CC BY
28
И. В. Минин, О.В. Минин
ИНФОРМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЗОННОЙ ПЛАСТИНЫ
Простейшим фокусирующим элементом компьютерной оптики является зонная пластина (ЗП) Френеля или Релея-Вуда, принцип работы которой основан на кодировании фазы волнового фронта в виде определенных фазовых задержек. В настоящее время такие элементы находят самое широкое применение в различных спектральных диапазонах длин волн: от рентгеновского до сантиметрового [1], предполагается исполь зовать их и в качестве специальных телескопов [2].
В настоящее время достаточно подробно изучены фокусирующие и частотные свой ства ЗП в осесимметричных пучках для плоского [з] и сферического [4] падающих волновых фронтов. В то же время остается открытым вопрос об информативности фор мируемого изображения, которая определяется, главным образом, числом разрешаемых элементов изображения в кадре, "качеством" изображения внеосевого источни-ка излучения, предельным частотным диапазоном, в котором сохраняется работоспособность ЗП и т.п.
Основной целью данной работы является изучение информативных возможностей светосильной ЗП, определение ее поля зрения, числа элементов изображения в кадре, связь этих характеристик с частотными свойствами. Приведены результаты исследований, полученных в начале 80-х годов.
Расчетные соотношения.Геометрия задачи поясняется на рис. 1. Центр ЗП совмещен с началом прямоугольной системы координат (х, у, 2), ось ОЪ направлена по нормали к пластине и совпадает с оптической осью радиообъектива. ЗП рассчитана для осевых положений излучателя с координатой Ъ = -А<0 и точки фокусировки с
радиусы
пХ _ А2 - В2
И = [£(А + В + —£■ + -----------------г-)2 - А2]1/г,
п М 2 * , -о , А0 ■*
(1)
А + В + п*
где х0 - длина волны, расчетная для ЗП и отличающаяся в общем случае от длины волны X, дифрагирующей на ЗП. Если В - заданный диаметр ЗП, наибольший номер
Пщах = N выбирается из условия ^£0/2.
В плоскости г = г вдоль прямой, параллельной оси ОХ, задана Ь когерентных
излучателей в точках О, 2Д) , где 1 = - высота, отсчитыва-
емая вдоль отрицательного направления оси ОХ (на рис. 1 показан лишь один из излучателей) . Положения изображений точек Р| задаются двояко: либо в сопряженных с Р' точках Р1(Ь1, О, гв), где Ь1 = В/А * либо на некоторой дуге , явля-
наилучшей
ги и прямой выбрана местная система прямоугольных координат (х", у",
г") , так что ось 0УИ направлена вдоль оси ОУ, ось 01й - вдоль прямой ось
дуге
ЕТИ. Тогда изображение излучателя есть точка
Р^(х", О, г").
1. Расчет дифракционного объектива
Дифракционное поле определялось численно посредством интеграла Френеля-
Кирхгофа, представленного в следующем виде
2 тс
и(Р) = с 2 / рс!р I £ехр(12лф)<1ф, (2)
Х'п V,
где ± - 21/г1)/г|г1; ф = (г^ + г1)/Я,
р, ф - радиус и угол в полярной системе координат в плоскости г= 0? - рас-
стояние от точки с координатами (рсовф, рвд-Пф, 0) до точки Р^, Р^ соответственно .
Аналогично вычисляется поле в точке Р^ при замене в (2) координат точки Р^ на Р^; С - константа нормировки, п = Ы, N-2, N-4,...^, где ц равно 1 и 0 при четном и нечетном N соответственно. Использовалась методика расчета, предложенная в [«]•
Сопоставление расчетов по (2) с экспериментами проводилось по интенсивности дифракционного поля VI = и • и*.
Экспериментальная техника. ЗП, рассчитанная согласно (1) при В = 200Ло,
В = А = 20, изготовлялась из фольгированного гетинакса по методике, изложенной
в [43-
В качестве генератора электромагнитных колебаний служила лампа обратной волны, нагруженная на волновод сечением 1,6 * 0,8 мм2, открытый срез которого являлся одиночным точечным истдчником излучения.
Сканирование распределения интенсивности дифракционного поля в свободном пространстве осуществлялось открытым концом волновода сечением 1,6 х 0,8 мм2, нагруженным на детектор излучения на барьере Шоттки, сигнал с которого усили-
вался и подавался на регистрирующее устройство.Перемещение приемного устройства в различных направлениях производилось микрометрическим механизмом, установленным на оптической стойке. Задавая различные положения приемного конца открытого волновода с детектором относительно ЗП и снимая в этих точках показания регистрирующего устройства, можно было построить экспериментальные зависимости интенсивности дифракционного поля от координат.
Одиночный точечный источник излучения
Для оценки поля зрения и числа элементов изображения в кадре для объектива на основе ЗП была проведена серия вычислительных и физических экспериментов по исследованию качества изображения точечного источника излучения. Из геометрии задачи ясно, что при удалении точечного источника излучения от оптической оси его изображение будет перемещаться не в плоскости, а вдоль некоторой поверхности - назовем ее поверхностью наилучшей фокусировки (ПНФ) РТ" (см. рис, 1) В первом приближении профиль образующей ПНФ можно определить из условия равенства оптических путей лучей, проходящих от источника излучения до его изображения через центр ЗП и границу п-й зрны Френеля. Учитывая также геометрию задачи, можно записать;
У(х,-хп) а+г* + У(ха-хп) а+га = /(.+ (х2-х1)а + п^, (3)
где (х , г ), (х , г ) - координаты источника излучения и его изображения соот-
11 2» 2
ветственно, х - расстояние от центра ЗП до некоторой точки на границе п-й зоны
п
Френеля. При записи системы (3) было предположено, что у1 = у2 = 0, что не снижает общности задачи. Приведенная система уравнений (3) решалась численно, причем для лучшего совпадения с точными расчетами по (2) проводилось усреднение величин (х2# га) для крайних значений п:п = 1 и п=И. Найденные таким образом величины (х2, г2) являлись начальным приближением для определения их точного значения по (2).
Результаты исследований. Для 0>200Л, А = В = 20 были выполнены эксперименты по определению разрезов дифракционной картины от одиночного источника (Ь = 1) при различных отношениях Ь =* (0, 16, 20, 24) к на поверхности наилучшей фокусировки в виде разрезов №(х") при у=0 и &7(у") при х"=х". Эти результаты при-
Каждая
15 - 20 измерений. На рисунках 2 и 3 нанесены также расчеты по (2) в виде различных линий. Аргументы функций Ю(х") или отсчитываются относительно по-
ложения центра изображения в точке Р1 (х£, 0, г"), где х”, г"0 - координаты пересечения прямой Р*Р с дугой ЕЕ" при заданном Ь' = В/А*Ь.
Как видно из приведенных рисунков, эксперименты совпадают с расчетами в не удовлетворительно: среднеквадратичное отклонение всей серии измерений от
расчетов составляет ~3%.
относительным
верстием 0/В~1/2 и апертурой 0/Л~200 обеспечивает разрешение в кадре на ПНФ порядка 50 х 50 дифракционных элементов. В случае плоского кадра изображения, как показали исследования, число элементов изображения уменьшается до -30 х 30
153-
Проводились также численные и экспериментальные исследования, аналогичные
вышей зложе н ным
на ±10%
80
60
40
20
-3,5
-2,5 -2,0
-1,0
0,0
1,0 (Х”-Х,)/Нга
Рис. 2. Распределение интенсивности поля для внеосевого источника излучения на поверхности наилучшей фокусировки
Теория
Эксперимент (х"—х')
О о О 0
о о с=з 16
0 0 0 20
V Л V Л А 24
Рис. 3. Распределение интенсивности поля для внеосевого источника излучения на поверхности наилучшей фокусировки:
Теория
Эксперимент у-/»э
О О О 0
о а с=з 16
0 0 0 20
V А V Л V А 24
Получено при этом, что в соответствии с результатами работы [4] положение фокальной плоскости (и поверхности наилучшей фокусировки) смещается в зависимости от А.; в остальном - при соответствующем представлении данных - описанные свойства ЗП сохраняются. Форма ПНФ в указанном спектральном диапазоне не изме няется.
Система точечных когерентных излучателей
Для изучения вопроса о влиянии интерференции между системой точечных когерентных синфазных излучателей на форму ПНФ и число элементов разрешения в кадре были проведены соответствующие вычислительные эксперименты. Расчет по (2) проводился одновременно для Ь=9 источников, высота которых выбиралась с равномер-
ным шагом
її
х = В/А • 81^ • (1-1); 1=1,9,
(4)
где = 1,2197А. В/и - радиус Эйри.
Расчеты интенсивности поля К=I и 12 были выполнены в различных точках плоско сти ХОУ и выводились на экран полутонового дисплея. В результате получалась визуализированная область сходящихся волн, которая представлена на рис. 4 (на рисунке пучок от осевого источника с номером 1*1 показан только для полупространства х>0) .
В этих исследованиях было также подтверждено предположение о возможности расширения поля зрения радиообъектива на основе ЗП при увеличении О и сохранении на постоянном уровне относительного отверстия Б/В=1/2.
Из рис. 4 следует, что при 02300А. изображение источника с номером 1=5 еще удовлетворительно на некоторой дуге наилучшей фокусировки. Следовательно, максимальное число разрешаемых по критерию Рэлея элементов изображения на криволинейной строке составит **64.
При увеличении Б вдвое число разрешаемых элементов в строке возрастает до 80-90, однако размеры антенны при этом весьма велики.
Расчеты, выполненные для условий эксперимента 0=200А, дают ~50 элементов изображения в строке.
Далее из рис. 4 следует, что поверхность наилучшей фокусировки обладает значительной кривизной и вогнута в сторону ЗП. Профиль дуги РТ" (см. рис. 1) приближенно описывается дробностепенной зависимостью
ДВ = Н'Ь3/з, (4)
где Дв - стрелка прогиба дуги относительно плоскости в мм; Ь - высота
а
в мм. Оценки константы Н для 0/А=300, 450 и 600, полученные из рис. 4 с учетом (4), для 1=5, 6 и 7 дают значения, близкие к 1,9*10 2; 1,7*10 2; 1,6*10 2 мм 1/^а
соответственно.
Рабочий спектральный диапазон ЗП. В работе [4] подробно исследованы частотные свойства ЗП при осевом точечном источнике излучения. Показано, что ее частотные свойства удовлетворительно описываются аналитической зависимостью, полученной в [4] из выражения для радиусов зон Френеля:
Аа+ (А+Ыу) а-2^Аа+1*а • (А+п4)
В (Л) = --------—------------------— . (5)
2>/Аа+Еа-2А-пЛ
п
Из приведенного выражения легко оценить рабочий спектральный диапазон ЗП, рассчитанной на преобразование расходящегося сферического волнового фронта в
Рис. 4. Визуализированная область сходящихся пучков для
апертуры 0/А=619, 476, 333
сходящийся сферический. Минимально допустимая длина волны ^*т^п определяется из условия В-®; приравнивая в (5) знаменатель к нулю, имеем:
= £(Уа2+К2 - А).
Ш1П П П
(6)
длине волны ^-шах* В-*0 , отсюда с учетом
(6) из (5) имеем
X = А. . + А2. + 2А(А+у'А2+К2)-
шах шш шхп п п2
Учитывая, что обычно Л . «А , имеем
тт шах
(7)
Полученные соотношения (6), (7) определяют рабочий спектральный диапазон ЗП.
В случае ЗП, преобразующей плоский падающий волновой фронт в сходящийся сферический, аналогичным образом легко получить, что
2
А . =0, А = ~ И . тт ' шах п п
Это указывает на большую широкополосность данного типа ЗП.
Оценим добротность дифракционного объектива. Для этого рассмотрим ход луче
от точечного осевого источника излучения до его изображения через крайнюю зону ЗП. На пути
т^гп +1п = 'Уа
уложится п0 длин волн: п0=(ш1+ша)/Ха. При расстройке длины волны А0 на малую величину ДА., значение п0 изменится на Дп. Пусть Дп=1, тогда
А.=А.0+ДА, п=по-Дп/
« п0-1*(ш1+ша)/(А0+ДА), по=(ш1-*-ша)/А0.
Отсюда следует^ что ДА/л0=А0/ (ш1+ш2-Л0) . Учитывая, что А=с/!:, <1А= -с&£/±л, имеем
£0(т +т )-с •
Таким образом, для разности хода, равной А.0, расстройка по частоте составляет Д£25-с/ (ш1+ша) . Пусть £о**150 ГГц, т1=ш2*50 см, тогда Д£~300 МГц. Отсюда эффек тивная добротность ЗП составляет
£ о £о<т1+та> _ т1+т3
гг ■ ————— «12 . * ■ ■■ = 500.
0 " Д£ - с ~ Хс
Следствием полученного выражения является очевидный факт, заключающийся в том, что добротность дифракционного объектива пропорциональна его относительной апертуре 0~(В/Х), т.к. ш1га-0. Кроме того, с этой точки зрения предпочтительнее длиннофокусные систем, поскольку 0**А, В.
Рассматривая аналогичным образом значение добротности для внеосевого положения источника излучения и его изображения, легко получить, что, например, при
А-В-2 О и смещении точечного источника излучения от оптической оси на границу поля зрения (Дх**0/4), отношение добротностей для внеосевого и осевого положений источников излучения составляет величину, близкую к единице. Отсюда следует важный вывод о том, что добротность дифракционного объектива при фокусировке электромагнитной волны от точечного источника излучения слабо зависит от его положения в фокальной плоскости.
Заключение
Приведенные результаты исследований осесимметричной зонной пластины показали следующее:
- она сохраняет свои фокусирующие свойства для внеосевых положений источников излучения и может быть использована в качестве дифракционного объектива в широком спектральном диапазоне;
- ЗП с относительным отверстием ~1/2 и апертурой -200А. обеспечивает до •*50 х 50 элементов разрешения по критерию Рэлея на поверхности наилучшей фокусировки, образующая которой может быть описана кривой вращения вида у“х3/а;
- в плоском кадре число элементов изображения уменьшается примерно в два раза;
- при увеличении апертуры ЗП В/Х вдвое (при постоянном относительном отверстии) число элементов изображения в кадре увеличивается в -1,6 раза.
Получены соотношения, описывающие рабочий спектральный диапазон ЗП, оценена ее добротность для осевого и внеосевого положения точечного источника излучения.
Литература
1. Сисакян И.Н. Компьютерная оптика. Достижения и перспективы // Тез. док* Всес. конф. "Современные проблемы физики и ее приложений". Ч. I. М.: ВДНХ, 1987. С. 3-4.
2. Демков Ю.Н. Длиннофокусные всеволновые телескопы со сверх звуковым угловым разрешением // Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6, № 12,
С. 756-760.
3. S а п у а 1 G.S., Singh М. Fresnel zone plate antenna //
Journ. of Institution of Tellecommunications. 1968. Vol. 14, N 2.
• •
P. 265-281.
4. Байбулатов Ф.Х., Минин И.В., Минин О.В. Ис-
• • • •
следование фокусирующих свойств зонной пластины Френеля // Радиотех-
»
ника и электроника, 1985. Т. 30, № 9. С. 372-380.
5. Ми н и н И.В., Ми н и н О.В. Дифракционные радиооптические системы СВЧ диапазона // Тез. док. 6 Всес. конф* по методам и средствам измерений электромагнитных характеристик материалов на ВЧ и СВЧ. Новосибирск. 1987. С. 169-170*
