CC BY
17
Прикладные задачи
^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн
УДК 537.86; 519.21
ИНДУЦИРОВАННЫЕ ШУМОМ ЭФФЕКТЫ В МОДЕЛИ БИСТАБИЛЬНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С ПЕРЕМЕННОЙ ДИССИПАЦИЕЙ
В. В. Семенов1, А. Б. Нейман2, Т.Е. Вадивасова1, В. С. Анищенко1
1 Саратовский государственный университет, Россия
2Department of Physics and Astronomy, Ohio University, Athens, USA
Предложена модель бистабильного стохастического осциллятора с диссипацией, зависящей от динамических переменных, демонстрирующего стохастические бифуркации Р-типа и немонотонную зависимость средней частоты колебаний от интенсивности шума. Для количественного описания наблюдаемых эффектов вводятся эффективная интенсивность шума и эффективный потенциал.
Ключевые слова: Бистабильность, двухямный осциллятор, шум, стохастические бифуркации.
DOI:10.18500/0869-6632-2016-24-1-5-15
Введение
Изучение влияния шума на динамические системы является актуальным направлением научных исследований в области нелинейной динамики. Это связано с присутствием различных источников внутренних и внешних шумов во всех реальных системах и устройствах, независимо от их физической природы, а также с той важной ролью, которую шум, даже при слабой интенсивности, может играть в нелинейных системах. Шум не просто разрушает динамические режимы, характерные для детерминированной системы, он может приводить к новым типам поведения или изменять характер бифуркаций (индуцированные шумом переходы и стохастические бифуркации [1-4]), поддерживать незатухающие колебания в бистабильных и возбудимых осцилляторах [5-8], управлять степенью регулярности стохастических колебаний (явления стохастического и когерентного резонансов [6-12]) и эффектами синхронизации (стохастическая синхронизация [7, 8, 10, 13-15] и синхронизация шумом [16-18]).
Особенно важна роль шума в так называемых стохастических осцилляторах, представляющих собой активные нелинейные системы, которые, в силу преобладания диссипации энергии над ее подкачкой, не способны поддерживать незатухающие колебания без воздействия внешних сил. В присутствии случайных воздействий
(шума) в таких системах возникают стохастические колебания, характеристики которых определяются как параметрами системы, так и свойствами шума. Выделяют две группы стохастических осцилляторов: возбудимые осцилляторы и бистабильные осцилляторы [7]. Возбудимые осцилляторы характеризуются устойчивым состоянием равновесия (покоя), из которого система может перейти в неустойчивое состояние возбуждения, если воздействие оказывается достаточно сильным (превышает некоторый порог возбуждения). Далее система возвращается в исходное состояние сама, вне зависимости от внешних воздействий, и может снова возбудиться только через некоторое время [7, 8]. Бистабильные осцилляторы - это системы с двумя устойчивыми состояниями. В общем случае этим состояниям могут соответствовать два любых аттрактора (в том числе хаотических), со своими бассейнами притяжения. В простейшем и наиболее изученном случае бистабильный осциллятор представляет собой систему с двумя устойчивыми точками равновесия [5-7]. Шум заставляет осциллятор случайным образом переключаться из одного состояния равновесия в другое, поддерживая таким образом стохастические колебания.
Стохастические эффекты в бистабильных системах хорошо известны. К ним относятся уже упомянутые явления стохастического резонанса [6, 7, 9, 10], стохастической синхронизация [7, 10, 13, 14], а также эффект индуцированного шумом хаоса [19, 20]. Классическим примером стохастического бистабильного осциллятора является осциллятор Крамерса [5, 6]. Он представляет собой стохастический осциллятор с одной степенью свободы, характеризующийся двухъямным потенциалом и постоянной диссипацией. В общем виде такой осциллятор описывается стохастическим дифференциальным уравнением вида
у + уу + дит = ^Ви(Ь), (1)
где у - постоянный коэффициент диссипации, и (у) - потенциальная функция, и(Ь) -нормированный источник шума ((и(^) = 0, {и(1)и(1 + т)} = 6(т), скобки (...) означают статистическое усреднение, 8(т) - функция Дирака), В - интенсивность шума. Поведение такого осциллятора хорошо изучено с применением аналитических методов и описано в научной литературе (см., например, [6,22]). Для осциллятора (1) с конечным трением (у = то) зависимость у(Ь) является гладкой функцией. В этом случае для характеристики средней частоты стохастических колебаний удобно использовать частоту Райса [21,22]. Она определяется как юд = 2пМ/Т, где М -число переходов переменной у через ноль в одном направлении за время наблюдения Т ^ то. Для осциллятора (1) с у = 1 частота Райса удовлетворяет следующему соотношению [21]:
■ЛжВ ехр {-™ }
^ = 1 { ™ 1 ■ (2)
J ехР1 —Г йУ
—1
В бистабильных осцилляторах типа (1) с ростом интенсивности шума частота Райса монотонно растет [21]. При этом не наблюдается качественных изменений
формы вероятностного распределения р(у,у), то есть отсутствуют стохастические бифуркации Р-типа (феноменологические бифуркации) [3, 4], хотя при малой диссипации возможна стохастическая бифуркация Э-типа, связанная с возникновением экспоненциальной неустойчивости стохастических траекторий [3, 19, 20].
В данной работе предлагается стохастический бистабильный осциллятор, качественно отличный от осциллятора (1), который, в зависимости от значений управляющих параметров, может демонстрировать более сложное и разнообразное поведение. Применяется численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений осциллятора по модифицированной схеме Эйлера-Коши [23] с учетом гауссова белого шума. В результате статистической обработки данных интегрирования строятся вероятностные распределения и вычисляется частота Райса. Сопоставление численных результатов с теоретическими соотношениями, справедливыми для осциллятора (1), позволяет ввести эффективные характеристики предлагаемой би-стабильной модели.
1. Модель бистабильного осциллятора с переменной диссипацией
Рассмотрим схему параллельного контура, представленную на рис. 1. Контур содержит два, в общем случае, нелинейных элемента N1, N2 с вольтамперными характеристиками 5- и N-типа, задаваемыми некоторыми функциями гм1 = Р(и), им2 = Р(г), и источник шумового тока 1пспзе(£), который будем полагать белым и гауссовым. Уравнения контура в безразмерных переменных имеют вид
еХ
= -y - F(x) + V2Dn(t), y = x - P(y)
(3)
где х - безразмерное напряжение на конденсаторе, а у - безразмерный ток, протекающий через катушку; время параметр е ~ С/Ь, а также коэффициенты, входящие в выражения для функций Р(х) и Р(у), являются безразмерными. Пер-
Рис. 1. Радиотехническая схема исследуемого осциллятора (3) (а) и вид фазовой плоскости (б) в случае нелинейности (6). Значения параметров: а = 1.2, Ь = 100, е = 0.01, е\ = 1, с3 = 9, с5 = 22, Б = 0. На схеме используются обозначения: и - напряжение на емкости, г - ток в цепи индуктивности, 1П01ае -источник шумового тока. На фазовоий плоскости отмечены две устойчивые точки равновесия «1» и «2»; точка «3» - седло в начале координат; изображены нульклины х = 0 и у = 0; линии со стрелками -сепаратрисы седла
вое уравнение содержит источник аддитивного белого гауссова шума с интенсивностью В. Выбор функций ¥(х) и Р(у) позволяет получить широкий спектр динамических режимов, от режимов, аналогичных поведению осциллятора (1) с двухъям-ным потенциалом, до динамики возбудимого осциллятора и бистабильности в режиме автоколебаний.
Положим Р(у) = —ау + Ьу3, а,Ь > 0. Зафиксируем значения а = 1.2, Ь = 100, £ = 0.01 и рассмотрим влияние на поведение системы нелинейного элемента N1 с характеристикой 5-типа (см. рис. 1). Пусть первое уравнение является линейным
¥(х) = С1Х, С1 > 0, (4)
тогда в осцилляторной форме получаем следующее уравнение исследуемой системы:
у + (3Ьу2 — а + кс1)у + ку(1 — С1а + С1Ьу2) = —ку/2Ви(г), (5)
где к = 1/£. При достаточно малом значении параметра £ влиянием слагаемого 3Ьу2 — а на диссипацию можно пренебречь. В этом случае осциллятор (5) аналогичен бистабильному осциллятору (1). Численные исследования осциллятора (5) свидетельствуют о монотонном поведении частоты Райса и отсутствии стохастических бифуркаций при любом значении £.
Учтем нелинейное сопротивление N и выберем функцию ¥(х) в виде
¥(х) = с1х — с3х3 + с5х5, с1, с3, с5 > 0. (6)
Вид фазовой плоскости, соответствующий этому случаю при В = 0, а = 1.2, Ь = 100, £ = 0.01, с1 = 1, с3 = 9, с5 = 22, приведен на рис. 1, б. В системе имеются две устойчивые точки равновесия типа устойчивый узел, расположенные симметрично относительно седла в начале координат. Бассейны их притяжения разделены устойчивой сепаратрисой седла. По виду фазовой плоскости динамических переменных х, у трудно сделать вывод об особенностях поведения исследуемого бистабильного осциллятора.
В осцилляторной форме система (3), (6) принимает вид
у + 91(у,у)у + кд2(у) = —кл/2Ви(Ь), (7)
где функция д2(у) определяет форму потенциала, а д1(у, у) есть нелинейное трение. Эти функции задаются следующими выражениями:
( С1 - С3 ^
V n=1
qi(y, y) = -a + 3by2 + k ( ci - сз > J ^щЗ-йу. У^^ - a)3-ny3-n+
_5!
n!(5 — n)!
г=1 v '
q2(y) = У + ci(by2 - a)y - сз(Ьу2 - afy3 + c5(by2 - a)5y5
5 5. \
+ c^E !(5 ! )!yn-1(by2 - a)5-ny5-n ,
n=1n!(5 - n)! )
Важно отметить, что коэффициент трения зависит не только от переменной у, но и от скорости у. Сложная зависимость диссипации от переменных у и у является причиной качественного отличия поведения осциллятора (7) от (1) и (5).
2. Эволюция вероятностного распределения и частота Райса в бистабильном осцилляторе с переменной диссипацией
Рассмотрим эволюцию плотности вероятности динамических переменных в осцилляторе (3) с нелинейностью (6), зафиксировав параметры, соответствующие бистабильному режиму с двумя устойчивыми точками равновесия (см. рис. 1, б), и меняя интенсивность шума D. При малом шуме вероятностное распределение р(у) имеет два локальных максимума, соответствующих равновесиям внутри потенциальных ям. C ростом шума последовательно происходят две стохастические бифуркации: переход к унимодальному распределению р(у) (с одним максимумом), а затем, снова к распределению с двумя максимумами. Соответствующие кривые приведены на рис. 2, а. Для переменной x стохастическая бифуркация не наблюдается -распределение p(x) при любом шуме остается унимодальным (рис. 2, б).
Одним из следствий стохастических бифуркаций является немонотонный характер зависимости дисперсии колебаний динамической переменной у с ростом шума (рис. 3): при малых уровнях шума наблюдается уменьшение дисперсии с ростом шума, которое затем сменяется ростом. Таким образом, существует интенсивность шума, при которой дисперсия колебаний y(t) минимальна. В то же время, дисперсия колебаний x(t) монотонно растет с ростом шума.
Стохастические бифуркации Р-типа в осцилляторе (3) с нелинейной диссипацией приводят к принципиально иной зависимости частоты Райса от интенсивности шума, которая не наблюдается в осцилляторах типа (1). Представим систему (3) в форме осцилляторного уравнения (7). Будем рассматривать частоту, с которой переменная у пересекает нулевое значение в одном направлении. Функция y(t) является
Рис. 2. Эволюция вероятностного распределения р колебаний у(£) (а)и х(£) (б) с ростом шума в осцилляторе (3) с нелинейностью (6) при а = 1.2, Ь = 100, е = 0.01, е\ = 1, с3 = 9, с5 =22 и различных значений В: 1 - 2 • 10~Б; 2 - 6 • 10~Б; 3 - 2.4 • 10~3
0.01 —.........—.........—........
110"5 110"4 1-10"3 1 10-2
D
Рис. 3. Зависимость дисперсии колебаний у(Ь) (сплошная линия) и х(Ь) (штриховая линия) от интенсивности шума Б в системе (3) с нелинейностью (6). Значения параметров осциллятора соответствуют рис. 2
Рис. 4. Зависимость частоты Райса от интенсивности шума Б для различных осцилляторов: 1 соответствует осциллятору (1) с потенциальной функцией и (у) = — 1/2у2 + 1/4у4, при у = 1; 2 - осциллятору (5); 3 - осциллятору (7)
гладкой, что определяет выбор переменной у для вычисления частоты Райса. На рис. 4 приведены полученные численно зависимости частоты юд от интенсивности шума В для осцилляторов (5), (7) и осциллятора (1) с двухъямным потенциалом. Для осцилляторов (5) и (1) зависимость < юд > от В имеет один характер (кривые 1 и 2) - частота Райса монотонно растет с ростом шума, что соответствует результатам, приведенным в [21]. Для осциллятора (7) зависимость является иной -частота Райса сначала растет с ростом шума, а затем, достигнув максимума, уменьшается до значений, близких к нулю (кривая 3).
3. Эффективные характеристики осциллятора
Эволюцию колебаний у(Ь) в системе (7) с ростом шума можно описать с помощью эффективной интенсивности шума Вэфф и эффективного потенциала иэфф. Такая возможность обусловлена тем, что совместное стационарное распределение переменных у и у в осцилляторе (7) может быть представлено в виде, аналогичном распределению, полученному теоретически для осциллятора (1) [21,22]. Оно имеет вид
р(у,у) = Сехр |-У + иэфф(у)) | , (8)
где С - нормировочная константа. Эффективные значения Вэфф и иэфф(у) определяются на основании аппроксимации вероятностных распределений переменных у и у, полученных численно при заданном уровне шума. Как показали расчеты, распределение 'р(у) всегда является унимодальным и близко к гауссову распределению.
Значение Вэфф равно дисперсии скорости у. Для плотности вероятности переменной у из (8) следует выражение р(у) = Сехр{-^эфф(у)/Афф}. Эффективный потенциал задавался в виде иэфф = -АН2 + ВН4. Полученные по формуле значения р(у) сопоставлялись с результатами компьютерных расчетов, и по методу наименьших квадратов определялись коэффициенты А и В. На рис. 5 приведены кривые Нэфф(у), рассчитанные для различных значений В. Качественные перестройки формы эффективного потенциала соответствуют описанным ранее стохастическим бифуркациям (см. рис. 2, а). Часто-
Цфф 0.02
-0.02
-0.04
-0.06
■у .............
\V Vy
/ \ / \ / \ / \
/ \ \ / \ / \
\ ! \ !
.... 1 .... 1 , ... 1 ... .
-0.12 -0.06
0
0.06 у
Рис. 5. Эффективный потенциал иэфф(у) осциллятора (7), рассчитанный для различных значений интенсивности шума В: 1 - 2 • 10-5; 2 - 6 • 10-5; 3 - 2.4 10-3. Значения параметров осциллятора (7) соответствуют рис. 2
ту Райса можно вычислить по формуле (2) с соответствующей заменой В ^ Вэфф, Н(у) ^ Нэфф(у). На рис. 4 кружками отмечены значения частоты Райса, полученные для осциллятора (7) с использованием эффективных характеристик Вэфф, Нэфф(у) и выражения (2).
Выводы
Предложена новая характерная модель бистабильного осциллятора с нелинейной диссипацией, демонстрирующая стохастические бифуркации Р-типа и немонотонную зависимость средней частоты стохастических колебаний от интенсивности шума. Введение эффективной интенсивности шума и эффективного потенциала позволяет описать поведение данной модели, используя известные аналитические соотношения, полученные для осцилляторов с постоянной диссипацией.
Работа поддержана грантом РФФИ (№ 15-02-02288) и Министерством образования и науки РФ в рамках гос. задания (код проекта 1008).
Библиографический список
1. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987.
2. Graham R. Macroscopic potentials, bifurcations and noise in dissipative systems // Noise in Nonlinear Dynamical Systems. Vol.1: Theory of Continuous Fokker-Planck systems / Ed. by. F. Moss and P.V.E. McClintock. Cambrige: Cambridge University Press, 1989.
3. Arnold L. Random Dynamical System. Berlin: Springer, 2003.
4. Sri Namachshivaya N. Stochastic bifurcation//Appl. Math. and. Computation. 1990. Vol. 38. P. 101.
5. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. Vol. 7. P. 284.
6. Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. Vol. 62. P. 251.
7. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.-Ижевск: Инст. компьютер. исслед., 2003.
8. Lindner B., Garcia-Ojalvo J., Neiman A., Schimansky-Geier L. Effects of noise in excitable systems // Physics Reports. 2004. Vol. 392. P. 321.
9. Gammaitoni L., Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Santucci S. Stochastic resonance in bistable systems // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 62. P. 349.
10. Анищенко В.С., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гаер Л. Стохастический резонанс: Индуцированный шумом порядок // УФН. 1999. Т. 42, № 1. С. 7.
11. Pikovsky A., Kurths /.Coherence resonance in a noisy driven excitable system // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 775.
12. Lindner B., Schimansky-Geier L. Analitical approach to the stochastic FizHugh-Nagomo system and coherence resonance // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60, № 6. P. 7270.
13. Neiman A.B. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 3484.
14. Shulgin B., Neiman A., Anishchenko V. Mean switching frequency locking in stochastic bistable system driven by a periodic force // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, № 23. P. 4157.
15. Han S.K., Yim T.G., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. Interacting coherence resonance oscillators // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83, № 9. P. 1771.
16. Sanchez E., Matias M.A., Perez-Munuzuri V. Analysis of synchronization of chaotic systems by noise: An experimental study // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56, № 4. P. 40.
17. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronozation of self-sustained oscillators by common noise // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. P. 045201(4).
18. Короновский А.А., Москаленко О.И., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, единый тип поведения связанных хаотических систем // ДАН. 2006. Т. 407, № 6. С. 761.
19. Schimansky-Geier L., Herzel H. Positive Lyapunov exponents in the Kramers oscillator // Journal of Statistical Physics. 1993. Vol. 70. P. 141.
20. Arnold L., Imkeller P. Stochastic bifurcation of the noisy Duffing oscillator. Report. Institut fur Dynamische Systeme, Universitat Bremen, 2000.
21. Freund J.A., Schimansky-Geier L., Hanggi P. Frequency and phase synchronization in stochastic systems // Chaos. 2003. Vol. 13. P. 225.
22. Rice S.O. Mathematical analysis of random noise // Bell System Tech. J. 1944. Vol. 23. P. 282 (first part); 1945. Vol. 24. P. 46 (second part).
23. Никитин Н.Н., Разевиг В.Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей // Журнал вычислит. математики и мат. физики. 1978. Том. 18, № 1. С. 107.
Поступила в редакцию 21.12.2015 После доработки 23.02.2016
NOISE-INDUCED EFFECTS IN THE DOUBLE-WELL OSCILLATOR WITH VARIABLE FRICTION
V. V. Semenov1, A. B. Neiman2, T.E. Vadivasova1, V. S. Anishchenko1
1 Saratov State University 2Department of Physics and Astronomy, Ohio University
A model of bistable stochastic oscillator with dynamical variables depending on dissipation is offered. Considered system demonstrates stochastic P-bifurcations and nonmonotonic dependence of the mean oscillation frequency on the noise intensity. An effective noise intensity and an effective potential are introduced for a quantitative description of the observed effects.
Keywords: Bistability, double-well oscillator, noise, stochastic bifurcations. D0I:10.18500/0869-6632-2016-24-1-5-15
References
1. Horsthemke W., Lefever R. Noise-induced Transitions. Berlin: Springer, 1984.
2. Graham R. Macroscopic potentials, bifurcations and noise in dissipative systems // Noise in Nonlinear Dynamical Systems. Vol.1: Theory of Continuous Fokker-Planck Systems / Ed. by. F. Moss and P.V.E. McClintock. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.
3. Arnold L. Random Dynamical System. Berlin: Springer, 2003.
4. Sri Namachshivaya N. Stochastic bifurcation//Appl. Math. And Computation. 1990. Vol. 38. P. 101.
5. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. Vol. 7. P. 284.
6. Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. Vol. 62. P. 251.
7. Anishchenko V., Astakhov V., Neiman A., Vadivasova T., Schimansky-Geier L. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Second Edition. Berlin: Springer, 2007.
8. Lindner B., Garcia-Ojalvo J., Neiman A., Schimansky-Geier L. Effects of noise in excitable systems // Physics Reports. 2004. Vol. 392. P. 321.
9. Gammaitoni L., Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Santucci S. Stochastic resonance in bistable systems// Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 62. P. 349.
10. Anishchenko VS., Neiman A.B., Moss F., Schimansky-Geier L. Stochastic resonance: Noise-enhanced order// Phys. Usp. 1989. Vol. 42. P. 7.
11. Pikovsky A., Kurths /.Coherence resonance in a noisy driven excitable system // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 775.
12. Lindner B., Schimansky-Geier L. Analitical approach to the stochastic FizHugh-Nagumo system and coherence resonance // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60, № 6. P. 7270.
13. Neiman A.B. Synchronization like phenomena in coupled stochastic bistable systems // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 3484.
14. Shulgin B., Neiman A., Anishchenko V. Mean switching frequency locking in stochastic bistable system driven by a periodic force // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, № 23. P. 4157.
15. Han S.K., Yim T.G., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. Interacting coherence resonance oscillators // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83, № 9. P. 1771.
16. Sanchez E., Matias M.A., Perez-Munuzuri V. Analysis of synchronization of chaotic systems by noise: An experimental study // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56, № 4. P. 40.
17. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronozation of self-sustained oscillators by common noise // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. P. 045201(4).
18. Koronovskii A.A., Moskalenko O.I., Trubetskov D.I., Khramov A.E. Generalized synchronization and noise-induced synchronization: the same type of behavior of coupled chaotic systems // Doklady Physics. 2006. Vol. 51. P. 189.
19. Schimansky-Geier L., Herzel H. Positive Lyapunov exponents in the Kramers oscillator // Journal of Statistical Physiks. 1993. Vol. 70. P. 141.
20. Arnold L., Imkeller P. Stochastic bifurcation of the noisy Duffing oscillator. Report, Institut fur Dynamische Systeme. Universitat Bremen, 2000.
21. Freund J.A., Schimansky-Geier L., Hanggi P. Frequency and phase synchronization in stochastic systems // Chaos. 2003. Vol. 13, P. 225.
22. Rice S.O. Mathematical analysis of random noise // Bell System Tech. J. 1944. Vol. 23. P. 282. Part 1; 1945. Vol. 24. P. 46. Part 2.
23. Nikitin N.N., Razevig V.D. Digital simulation of stochastic differential equations and error estimates // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1978. Vol. 18. P. 102.
Ссылка на статью: Семенов В.В., Нейман А.Б., Вадивасова Т.Е., Анищенко В.С. Индуцированные шумом эффекты в модели бистабильного осциллятора с переменной диссипацией // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 1. С. 5-15.
Paper's reference: Semenov V.V., Neiman A.B., Vadivasova T.E., Anishchenko V.S. Noise-induced effects in the double-well oscillator with variable friction // Izvestija VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 24, № 1. P. 5-15.
Семенов Владимир Викторович - родился в Саратове (1990). Окончил физический факультет Саратовского государственного университета (2012). Аспирант физического факультета СГУ кафедры радиофизики и нелинейной динамики. Область научных интересов - влияние шумов в нелинейных системах, системы с запаздывающей обратной связью, химерные состояния, методы управления динамическими системами, исследование нелинейных явлений в натурном радиофизическом эксперименте. Автор более 15 научных публикаций.
410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: [email protected]
Нейман Александр Борисович - родился в Саратове (1962). Окончил Саратовский государственный университет (1984). Получил степень кадидата физ.-мат. наук (1991, СГУ) и степень доктора физ.-мат. наук (1998, СГУ). В настоящее время занимает должность профессора на факультете физики и астрономии Университета Огайо (Афины, Огайо, США). Автор более 100 научных работ. Научные интересы включают биофизику сенсорных систем, вычислительную нейронауку, нелинейную динамику стохастических систем.
Ohio University, Athens, Ohio 45701, USA E-mail: [email protected]
Вадивасова Татьяна Евгеньевна - родилась в Саратове (1958). Окончила физический факультет Саратовского государственного университета (1981), доктор физико-математических наук. В настоящее время - профессор кафедры радиофизики и нелинейной динамики физического факультета СГУ. Научные интересы сосредоточены в области нелинейной динамики и статистической радиофизики: эффекты синхронизации в ансамблях хаотических и стохастических осцилляторов, волновые структуры в активных средах, свойства различных типов нерегулярных аттракторов, влияние шума и стохастические эффекты в нелинейных системах и др. Автор более 130 публикаций в рецензируемых отечественных и зарубежных изданиях.
410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: [email protected]
Анищенко Вадим Семенович - родился в 1943 году. Окончил физический факультет СГУ (1966). Защитил диссертацию на звания кандидата физико-математических наук (1970) и доктора физико-математических наук (1986). С 1988 года - заведующий кафедрой радиофизики и нелинейной динамики СГУ. С 1979 и по настоящее время работает в области исследования нелинейной динамики и стохастических процессов в нелинейных системах. Является автором более чем 450 научных работ и более чем 20 научных монографий и учебников на русском и английском языках. Неоднократно читал лекции в ведущих вузах Германии в качестве приглашенного профессора. Заслуженный деятель науки РФ (1995), Соросовский профессор, лауреат Премии Фонда Александра Гумбольдта (1999).
410012 Саратов, Астраханская, 83
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: [email protected]
