CC BY
33
Н.Н. МИТЮШКИНА, ассистент кафедры высшей математики Орловского государственного технического университета
ИНДУКТИВНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ОРИЕНТИРОВАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В данной статье предлагается индуктивный подход к определению ориентированной поверхности. Индуктивность в определении понятия ориентированной поверхности понимается как определение поверхности более высокой размерности через понятие поверхности меньшей размерности.
Ключевые слова: согласование ориентации поверхности и её границы, ориентированная поверхность, кривая, кусочно-гладкая поверхность, параметризация.
Первый шаг в этом направлении состоит в определении понятия ориентированной поверхности размерности один, то есть кривой линии в координатном пространстве нескольких измерений.
Следует сказать, что эти пространства встречаются уже в школьной программе. Так, пространство размерности «один» есть прямая, размерности «два» есть плоскость. Школьному термину «пространство» соответствует размерность «три» в нашей формулировке, отвечающей стандартной терминологии изложения курса математического анализа.
Отметим, что определение понятия кривой в п-мерном пространстве при фиксированном значении п > 3 не несёт в себе существенной зависимости от размерности пространства, поэтому при его анализе для большей наглядности можно, вообще говоря, ограничиться случаями п = 2 и п = 3.
Обычное определение кривой в л-мерном пространстве понимается как образ отрезка [а, Ь] при его непрерывном отображении в данное пространство Яп. Это значит, что на отрезке [а, Ь] задана совокупность из л непрерывных функций f1(t), ..., fn(t). Каждой точке t из отрезка Е = [а, Ь] соответствует п чисел f1(t), ..., fп(t), которые рассматриваются как координаты некоторой точки в пространстве Яп, являющейся образом точки t.
Кривой L в пространстве Яп называется множество точек М е Яп, состоящее из всех значений (f1(t), ..., fn(t)) некоторой вектор-функции х1 = f1(t), ..., хп = fn(t), причём функции f1(t), ..., fn(t) заданы на отрезке Ее Я и непрерывны в каждой его точке [1].
Чтобы обеспечить пригодность данной кривой для дальнейших рассмотрений, её координаты, т.е. функции f1(t), ..., fn(t), подчиняют различным дополнительным условиям.
Например, предполагают, что все эти функции в каждой точке t внутри отрезка Е = [а, Ь] имеют производные, а в концевых точках отрезка односторонние производные. Если при этом оказывается, что указанные производные как функции аргумента t являются непрерывными на Е = [а, Ь], то все они называются гладкими функциями, а кривая L называется гладкой кривой.
Точка п = (с1, с2 , ... , Сп ) е Ь называется кратной точкой кривой L, если имеются, по крайней мере, две различные точки t1 Ф t2 промежутка Е, такие, что
f1(11) = f 1(12)=С1, ..., т=/п(у=Сп.
Кратную точку ещё называют точкой самопересечения.
Точки кривой, не являющиеся кратными, называют простыми точками кривой.
© Н.Н. Митюшкина
Кривая L, имеющая только конечное число кратных точек, называется параметризуемой кривой [1].
Если гладкая кривая не имеет кратных точек, то её называют дугой или дугой кривой линии.
Обратим внимание на одно важное обстоятельство.
Поскольку данная кривая понимается как некое множество точек п-мерного пространства, то может оказаться, что существует другой отрезок Е = [а, Ь], также являющийся прообразом данного множества L при некотором непрерывном отображении. В этом случае говорят, что имеет место другая параметризация кривой L. Более точно, всякое задание множества L как непрерывного образа некоторого отрезка Е называется его параметризацией. Если фиксированная параметризация кривой L позволяет рассматривать данную кривую как некоторую дугу, то эту параметризацию называют гладкой. Дугу кривой называют ещё «куском гладкой кривой».
Всякая параметризация дуги задаёт на ней «направление». Это значит, что при данной параметризации про любые две различные точки г1 и г2, лежащие на данной кривой, можно сказать, какая из них предшествует другой или следует за ней.
Действительно, у этих точек есть прообразы t1 и t2. И если t1 < t2, то г1 = г(^) предшествует г2 = г(у, а если t1 < t2, то г1 следует за г2. В этом случае говорят, что данная параметризация задаёт ориентацию кривой L.
Другими словами, термины «ориентация» и «направление» в данном случае являются синонимами.
Легко понять, что для данной дуги L можно задать строго два различных направления, которые, в частности, определяются тем, куда отображаются концы отрезка Е при данной параметризации.
В связи с этим при выбранной ориентации дуги вводятся понятия «начало дуги» и «конец дуги», определяемые как образы А = г(а) и В = г(Ь) точек а и Ь, являющиеся началом и концом отрезка Е = [а, Ь]. Образом отрезка [а, Ь] является дуга L при данной параметризации г(^.
Если данная кривая составлена из конечного количества ориентированных дуг или кусков так, что начало каждой следующей дуги совпадает с концом предыдущей, то такая кривая называется ориентированной кусочно-гладкой кривой.
Если ориентированная кусочно-гладкая кривая не имеет точек самопересечения, то она называется простой ориентированной кусочно-гладкой кривой.
Если же допустить, что начало и конец этой кривой совпадают, а других кратных точек данная кривая не имеет, то она называется простой замкнутой ориентированной кривой.
Тогда говорят ещё, что на замкнутой кусочногладкой ориентированной кривой выбрано направление обхода.
Следующий шаг в определении кусочно-гладкой поверхности произвольной размерности в п-мерном пространстве состоит в выработке понятия куска гладкой ориентированной поверхности размерности два, а также в определении связи куска ориентированной поверхности с ориентацией её границы.
Куском гладкой поверхности Р размерности два в пространстве Яп будем называть непрерывный образ г(и, V) некоторого выпуклого ограниченного множества D на плоскости точек (и, V), имеющего кусочно-гладкую ориентированную границу дD и не имеющего кратных точек.
Понятие «кратная точка» определяется так же, как и в случае кривой.
Гладкость отображения г(и, V) подразумевает, что на множестве D, включая его границу, заданы п функций f1(u, V), ..., fn(u, V), каждая из которых имеет непрерывные частные производные на множестве В = В и дВ.
Заметим, что для простоты изложения можно предполагать существование и гладкость отображения г(и, V) на некотором открытом множестве D0, включающем в себя множество В.
Будем также считать, что множество D замкнуто, то есть D = В.
Как и в случае ориентированной кривой, произвольное фиксированное гладкое отображение г(и, V), образом которого является данная поверхность Р, будем называть её параметризацией. Более точно под термином поверхность Р мы подразумеваем здесь некоторый кусок гладкой поверхности.
Указанную выше параметризацию будем называть невырожденной, если матрица Якоби J(u, V) отображения г(и, V) в каждой точке (и, V), принадлежащей множеству D, имеет максимальный ранг, равный двум, г^) = 2.
Теперь предположим, что имеет место другая параметризация г1(и1, v1) поверхности Р, которая отображает плоское выпуклое множество D1 в Р и имеет те же самые свойства, что и первая параметризация г(и, V). Тогда каждая точка (и, V) е О имеет свой образ г(и, V) на поверхности Р, а этот образ имеет свой прообраз (и1, v1) на множестве О1. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие h между множествами О и О1. Оно является гладким невырожденным отображением, поскольку оба отображения г(и, V) и г1(и1, v1) предполагались невырожденными.
Это значит, что якобиан отображения h всюду на D отличен от нуля. Кроме того, он представляет собой непрерывную функцию на D, а отсюда следует, что во всех точках его значение имеет один и тот же знак.
Таким образом, все параметризации разбиваются ровно на два класса, первый из которых отвечает знаку «плюс» для значения якобиана отображения h, а второй отвечает знаку «минус».
Заметим ещё, что согласно данному определению исходное отображение r(u, v) будет отнесено к первому классу, поскольку отображение h в этом случае представляет собой тождественное отображение, якобиан которого равен единице.
Ориентацией куска P гладкой поверхности будем называть тот класс, к которому относится параметризация, задающая данный кусок.
Поясним, что в данном случае мы не имеем возможности один из классов назвать положительным, а другой отрицательным, поскольку оба класса равноправны, хотя и различны. Можно только говорить о том, что две разные параметризации задают одну и ту же ориентацию, если знак якобиана h положителен, или они задают противоположную ориентацию, если знак якобиана h отрицателен. Заметим, что для определения его знака достаточно рассмотреть всего одну точку, поскольку, как уже было сказано выше, данный якобиан в ноль не обращается.
Из сказанного выше следует ещё более наглядное, хотя и формально не строгое представление о согласовании направления обхода границы поверхности с её ориентацией. Оно может быть описано следующим образом.
Рассмотрение положительного обхода единичной окружности на плоскости Oxy, отвечающее параметризации x = cos р; у = sin р, равносильно «взгляду сверху», то есть со стороны положительного направления оси Oz, на ту же самую плоскость Oxy с тем же направлением обхода окружности, которое совершается «против часовой стрелки».
Не вдаваясь в детали, это означает, что при согласовании ориентаций произвольной поверхности и её границы в трёхмерном пространстве при «взгляде» со стороны выделенной двусторонней поверхности выбранное направление на её границе должно соответствовать её обходу «против часовой стрелки».
Ещё один важный аспект при рассмотрении понятия гладкой поверхности состоит в том, что множество точек, которое согласно данному выше определению представляет собой кусок гладкой поверхности, может быть задано не только с по-
мощью конкретной параметризации, но и ещё каким-либо другим способом.
В частности, поверхности задаются как «поверхности уровня» некоторой функции трёх переменных. Так задаются все классические поверхности второго порядка, такие как единичная сфера х2 + у2 + z2 = 1, параболоид z = х2 + у2, конус z2=х2 + у2, однополостный гиперболоид z2 = х2 - у2 и такдалее.
В случае такого задания вопрос о превращении данной поверхности в двустороннюю кусочно-гладкую поверхность должен решаться с помощью нахождения соответствующей ей параметризации либо любым другим из описанных выше эквивалентных ей способов.
Следует также сказать, что для ориентации поверхности в трёхмерном пространстве часто используют другой эквивалентный подход, обладающий большей наглядностью. Он состоит во введении понятия двусторонней поверхности. Не вполне строгое, но краткое и удобное для применения описание такого подхода сводится к представлению о том, что трёхмерное пространство в окрестности этой поверхности разбивается ею на две части подобно тому, как всякая плоскость в трёхмерном пространстве разбивает его на два полупространства. При этом плоскость можно рассматривать как «двустороннюю», то есть склеенную из двух совпадающих плоскостей, одна из которых является границей первого полупространства, а вторая - границей другого полупространства.
Данный подход становится более строгим, если в каждой точке одной из выделенных сторон плоскости поставить единичный вектор, ортогональный плоскости и направленный в сторону соответствующего полупространства.
Эта схема выделения двух различных сторон плоскости легко переносится на случай произвольной гладкой поверхности.
Для этого достаточно в каждой точке поверхности рассмотреть касательную плоскость и применить к ней приведённые выше рассуждения, при необходимости заменить в ней единичный вектор на вектор сколь угодно малой длины. Эквивалентное геометрически наглядное представление о превращении поверхности в двустороннюю подразумевает, что на одну и ту же часть поверхности мы можем «посмотреть» с двух разных сторон и различать при этом обе стороны.
Аналитические средства позволяют эту процедуру строить математическим путём. При этом можно воспользоваться данной параметризацией поверхности, т.е. её заданием с помощью отображения г (и, V).
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
На поверхности Р в точке г = г (и, V), (и, V) е D определены два касательных к ней вектора г1 и г2, являющихся соответственно первым и вторым столбцами матрицы Якоби иг (и, V), т.е.
rdxл ^dx л
Г1 = Г ' u (u, v ) = du дУ du dz <du j , r 2=r ' v (u, v) = dv дУ_ dv dz ,dv j
В силу условия невырожденности матрицы Якоби имеем, что для любой точки (и, V) е Р векторное произведение [ г 1? г 2] отлично от нуля. Заметим, что особыми точками поверхности называются такие её точки, в которых ранг её матрицы Якоби меньше двух.
Рассмотрим вектор
Я = [Г’У2] . 11[ г 1,г ,]||
Вектор Я = Я (г ) будем называть нормалью к поверхности Р, отвечающей параметризации г = Г (и, V).
Такое название связано с тем, что вектор Я перпендикулярен касательным векторам г 1 и г 2 .
Если задана другая параметризация р поверхности Р, то всегда выполнено одно из равенств, Я (г) = Я (р) или Я (г) = - Я (р). Следовательно, функция ^и, V), равная скалярному произведению векторов Я (г ) и Я (р), принимает всего два значения: + 1 и -1. Но эта функция является непрерывной на области О. Отсюда имеем, что она либо тождественно равна + 1, либо тождественно равна -1. Это означает, что при замене параметризации определённая нами нормаль к поверхности Р либо не меняется во всех точках Р, либо меняет своё направление сразу во всех точках Р. Поэтому говорят, что нормаль к поверхности, отвечающая некоторой параметризации этой гладкой поверхности без особых точек, выделяет на ней её сторону. Поверхность с выделенной стороной называется двусторонней поверхностью.
Выделение одной из сторон поверхности Р с помощью параметризации называется ориентацией поверхности Р.
Обратим внимание, что и в случае кривых про данную ориентированную дугу, вообще говоря, невозможно сказать, к какому классу относится её
ориентация, несмотря на то, что задание направления имеет наглядное представление посредством указания её начала и конца.
Очень большое значение имеет тот факт, что удаётся связать понятия ориентации куска поверхности размерности два с ориентацией его границы, являющейся кусочно-гладкой кривой. Разберём сначала случай, когда кусок лежит на координатной плоскости и представляет собой круг радиуса единица. Тогда его границей является окружность L = дР единичного радиуса. Её естественная параметризация x = cos р,
p: . , 0 < р < 2 п
y = sin р,
задаёт обход начала координат «против часовой стрелки». Этот обход обычно называется обходом в положительном направлении. Будем считать этот обход согласованным с ориентацией круга Р, задаваемой его тождественной параметризацией.
Далее этот подход к согласованию ориентации необходимо зафиксировать в аналитическом виде, который имеет более широкую область применения.
Для этого введём понятие касательного вектора по направлению обхода границы и внешней нормали к границе L куска Р.
Направляющим вектором кривой L, отвечающим её параметризации, будем называть единичный вектор Т , сонаправленный с вектором производной рр = (х'р,у'р) , т.е.
Т=рр_
|рр|'
Для того чтобы определить вектор внешней нормали b для точки р(р) границы L, проведём в ней прямую, ортогональную касательному вектору Т(р). В силу выпуклости множества D = Р эта прямая пересекает его по некоторому отрезку. Из двух разнонаправленных лучей, лежащих на этой прямой и начинающихся в точке р(р), только один содержит в себе внутренние точки этого отрезка, а другой таких точек не содержит.
Единичный вектор, задающий направление второго луча, мы будем называть направлением внешней нормали и обозначать его через b = b (р).
В рассмотренном выше случае единичного круга и его положительного обхода, очевидно, имеем
Т = (- Бтр, соэр)
и
b = (соэр, этр).
Из координат векторов Ь и Т составим определитель А второго порядка, взяв в качестве элементов первого столбца координаты вектора Ь , а второго - координаты вектора Т. Тогда получим
А
cosp - sinp
■ 1 > 0.
этр соэр
В общем случае в силу единичности и ортогональности векторов b и Т всегда будем иметь
А = ±1.
Будем считать, что направление обхода р(р), то есть параметризация границы L = dD, согласовано с ориентацией куска Р, если выполнено условие А > 0.
Можно также вектора Т и b рассматривать как точки трёхмерного пространства, полагая их третью координату равной н^п^ . Тогда с мешанное произведение векторов (к, b ,Т), где к = (0,0,1) является направляющим вектором оси Oz, имеет тот же знак, что и определитель А. А потому положительность знака данного смешанного произведения может быть выбрана как условие согласованности и ориентации куска плоскости D и его границы dD.
Теперь имеем возможность распространить это определение согласования ориентации Р размерности два его кусочно-гладкой границы L на общий случай n-мерного пространства.
Для этого достаточно потребовать, чтобы согласование ориентаций было проведено сначала на прообразе D и её границе dD, а потом уже было перенесено на Р и дР с помощью одной и той же гладкой невырожденной параметризации r(u, v), при которой класс параметризаций, то есть ориентация как самого куска Р, так и его границы, определяется однозначно.
Другими словами, мы будем считать, что ори-
ентации поверхности и ее границы согласованы в том случае, если они были согласованы на прообразе.
Заметим, что в случае размерности п = 3 согласование ориентаций поверхности и её границы можно проводить непосредственно на самой поверхности. Для этого достаточно в некоторой точке поверхности проверить выполнение условия
(к, Ь ,т) > 0,
причём в качестве вектора к следует рассматривать вектор, ортогональный к поверхности Р и соответствующий той её стороне, по которой проводится интегрирование.
Установленное правило согласования ориентаций куска поверхности размерности два и её кусочно-гладкой границы позволяет ввести в рассмотрение понятие ориентированной кусочногладкой «двумерной» поверхности в этом пространстве.
Будем называть множество Р в пространстве Ип ориентированной кусочно-гладкой двумерной поверхностью, если его можно представить в виде объединения конечного числа кусков гладкой ориентированной поверхности размерности два.
При этом граница каждого из кусков представляет собой кусочно-гладкую кривую, ориентация которой согласована с ориентацией самого куска. Куски эти могут быть занумерованными числами так, что два куска с соседними номерами имеют общий участок границы, являющейся кусочногладкой кривой. Но две ориентации, отвечающие каждому из этих кусков, имеют противоположные направления.
Предполагается также, что данная кусочногладкая поверхность не имеет кратных точек.
Понятие кратной точки имеет тот же самый смысл, что и в случае кусочно-гладких кривых.
Библиографический список
Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов/ Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. 4-е изд., испр. М.: Дрофа, 2004. 640 с.
N.N. Mityushkina
The inductive approach to definition of the focused surface
In the article the inductive approach to definition of the focused surface is offered. Inductance in definition of concept of the focused surface is understood as definition of a surface of higher dimension through concept of a surface of smaller dimension.
