CC BY
74
УДК 372.8:51
Колоскова М. Е.
СУНЦ Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
ИНДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО НЕРАВЕНСТВА
Данная статья посвящена одному неожиданному применению метода математической индукции при решении геометрической задачи, в которой устанавливается связь между отношением углов и отношением длин сторон заданного треугольника, а именно: для любого треугольника АВС, в котором а = ^САВ, Р = ^СВА, имеют место
AC
неравенства
Р
BC
AB а + р’ BA а + р
Ключевые слова: геометрическое неравенство, индуктивное доказательство, метод математической индукции.
Изучение основных математических принципов и методов является неотъемлемой частью математических курсов в школе имени А.Н. Колмогорова Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. В частности, при изучении метода математической индукции мы не ограничиваемся только стандартными задачами на доказательство формул, а показываем его применение и в геометрических задачах.
Примером одной такой геометрической задачи (см.: [3]) является доказательство того, что для
любого треугольника АВС, в котором а = АСАВ, ¡5 = АСВА, имеют место неравенства
AC
Р
BC
(1)
AB а + Р ’ BA а + Р'
Эти геометрические неравенства, с одной стороны, обобщают тот факт, что боковая сторона равнобедренного треугольника больше половины его основания, а с другой стороны, эквивалентны тому, что функция
y = -
* €Ю: f
является монотонно убывающей.
Указанная эквивалентность является следствием теоремы синусов для треугольника АВС, а точнее, равенств AC = 2Rsinр , BC = 2Rsina , AB = 2R sin(180 - (а + Р)) = 2R sin(a + Р): после подстановки в (1) они превращаются в неравенства sin Р sin(a + р) sina Sin(a + Р)
Р а + Р ’а а + ¡ ' (2)
Отметим также, что неравенства (1), (2) можно также переписать в форме, в которой фигурируют длины дуг окружностей и стягивающих их хорд: если АВ и АС две хорды окружности, АВ < АС, стягивающие дуги, не превышающие по длине половину длины окружности, то
АВ > [дугаАВ] АС [дуга АС]'
(3)
где [1] обозначает длину 1.
Доказательству неравенств (1) посвящена одна лекция в курсе геометрии десятого класса. Это до-
казательство опирается только на геометрические понятия и применение метода математической индукции. Возвращаясь, со временем, к доказательству этих неравенств уже в курсе математического анализа, мы, конечно, всегда акцентируем на этом внимание учеников.
Яркой отличительной особенностью доказательства является неожиданное применение принципа математической индукции в ситуации, когда вообще отсутствует натуральный параметр. Поэтому, прежде чем доказывать утверждение с помощью метода математической индукции, требуется этот параметр обнаружить. Следуя работе [3], разобьем доказательство на два случая: углы а, р соизмеримы и несоизмеримы.
1) Если углы а и р соизмеримы, то это, по определению, означает, что эти углы имеют общую меру 8, для которой а = р8, р = qS(p, q - натуральные взаимно простые числа).
Воспользуемся методом математической индукции и проведем ее по сумме п = р + q натуральных взаимно простых чисел.
База индукции. При р + q = 2 имеем р = 1 и q = 1. Тогда треугольник АВС равнобедренный и нужные неравенства очевидны: они следуют из неравенства треугольника.
Шаг индукции. Предположим теперь, что нужные неравенства установлены для р + 2 = 2, 3, ..., ^1, k > 2. Докажем, что неравенства справедливы и для р + q = k.
Пусть АВС данный треугольник АВС, у которого р + q = k > 2. Тогда стороны АС и ВС не могут быть равными: пусть АС > ВС. Построим теперь, как на рисунке 1, равнобедренный треугольник АDС; имеем:
АС = DC и 2 АС > AD = АВ + BD. (4)
Рис. 1.
а
а
>
sin *
1 6
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2012
© Колоскова М.Е., 2012
Рассмотрим теперь треугольник ВDС, углы которого также соизмеримы:
ZDCB = ^ - р)8, ZBDC = р8.
Для этого треугольника выполнено индуктивное предположение и поэтому
ВD > q—P СD
или
BD > АС
q
Складывая (4) и (5), имеем:
(5)
2 AC + BD > AC + AB + BD
и поэтому
AC q
Р
АВ р + q а + Р '
Из того же треугольника BDC по предположению индукции заключаем, что
СВ > рСА
q
Учитывая предыдущее неравенство, отсюда заключаем, что
ВС а
ВА а + Р '
Таким образом, индуктивный переход (при соизмеримых углах а и Д) установлен и утверждение задачи следует из принципа математической индукции.
2) Утверждение задачи остается в силе и в том случае, когда углы а и р не являются соизмеримыми. В основе рассмотрения в общем случае уже приходится применять другой важный математический принцип - принцип непрерывности.
Разделим а на р равных частей (так, что а = р8) и определим q из условия
q8 < Р < ^ +1)5 .
Рассмотрим теперь треугольник АВС', углы которого при стороне АВ равны р8 и q8. Так как углы при стороне АВ этого треугольника соизмеримы, то, по уже доказанному в п.1), имеем:
AC
q BC' p
>—ї— и-------->- у
AB p + q AB p + q' Легко видеть, что
P q
и ——<^-<-
p
а+Р р+q а +Р-8 Следовательно, при р (то есть при 8 ^ 0)
р q
отношения--------и-------имеют пределы, и из пре-
р + q р + q
дыдущих неравенств заключаем, что
АС р ВС а
>------ и ---->-
- „ _ . (6)
АВ а + Р АВ а + Р
Это следует из того, что при р сторонні АС' и ВС' стремятся к АС и ВС соответственно, что вытекает из неравенств 0 < р - q8 < 8 .
Доказательство того, что в (6) знак равенства невозможен, основано на использовании еще раз той же конструкции (рис. 1).
Из треугольника ВВС имеем:
Р -а
BD >-
Р
-AC и 2AC > AB + BD.
Следовательно,
или
(2 — AC > AB
Р
AC р
АВ а + Р '
Комбинируя с неравенством
СВ > а ~АС ~ р ,
(которое следует по доказанному выше из треугольника BDC), окончательно получаем
СВ а >-
AB а + Р '
Что и требовалось доказать.
Библиографический список
1. Головина Л.И., Яглом И.М. Индукция в геометрии. - М.: Физматлит, 1961.
2. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Наука, 1975.
3. Uspensky J. V. A case of the use of mathematical induction in geometry // Amer. Math. Monthly. -1934. - № 34. - P. 247-250.
4. Вавилов В.В., Колоскова М.Е. Принцип математической индукции // Потенциал. - 2008. - №2.
а +Р p+q а +Р—8
q
q
а
а
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2012
1 7
