Индивидуально-групповое прогнозирование остаточного ресурса измерительных комплексов по экономическому критерию Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНДИВИДУАЛЬНО-ГРУППОВОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ПО ЭКОНОМИЧЕСКОМУ КРИТЕРИЮ

Миронов

Андрей Николаевич,

д.т.н., профессор кафедры конструкции ракет-носителей и ракетных двигателей Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

Новиков

Александр Николаевич,

к.т.н., доцент кафедры метрологического обеспечения вооружения, военной и специальной техники Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

Малахов

Александр Владимирович,

адъюнкт кафедры метрологического обеспечения вооружения, военной и специальной техники Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

Ключевые слова:

измерительные комплексы; интенсивность метрологических отказов; методы прогнозирования остаточного ресурса машин по экономическому критерию; критерий недопустимого возрастания эксплуатационных затрат; оценка гамма-процентного остаточного ресурса.

В современных условиях в связи с повышением требований к качественной оптимизации расходования материальных средств на поддержание многофункциональных измерительных комплексов, таких как подвижные лаборатории измерительной техники в готовности к применению с требуемой степенью надежности возникает необходимость обоснования предельных сроков эксплуатации измерительных комплексов по экономическому критерию, особенно, когда это касается решения вопроса о целесообразности модернизации измерительных комплексов, что в значительной мере определяется достоверностью оценки предельных сроков эксплуатации измерительных комплексов при условии невыхода объёмов затрат на эксплуатацию за установленные рамки.

В данной работе статистический подход к задаче прогнозирования предельного срока службы (остаточного ресурса) машин и оборудования, такого как многофункциональные измерительные комплексы, по экономическому критерию развивается на основе моделей, которые могут оказаться наиболее приемлемыми во многих реальных ситуациях, связанных с оценкой измерительных комплексов в условиях, когда причиной увеличения эксплуатационных затрат является возрастание стоимости поддержания измерительных комплексов в работоспособном состоянии в условиях повышения интенсивности отказов из-за старения аппаратной части измерительных комплексов и средств их ремонта и поверки. При этом показатель эксплуатационных затрат интегрально отражает рост стоимости устранения как аппаратурных отказов, связанных с полной потерей возможности проведения измерений, так и метрологических отказов, возникающих при превышении погрешности измерений некоторого критического уровня, при котором качество измерений считается неудовлетворительным. Предложена модель и алгоритм индивидуально-группового прогнозирования остаточного ресурса измерительных комплексов по критерию недопустимого возрастания эксплуатационных затрат. Признаком наступления предельного состояния для измерительных комплексов является достижение показателем «средние удельные эксплуатационные затраты» заданного предельно допустимого уровня. Основным результатом прогнозирования с помощью данного алгоритма является оценка значения нижней доверительной границы гамма-процентного остаточного ресурса измерительных комплексов. Дополнительными результатами - точечные и интервальные прогнозные оценки изменения эксплуатационных затрат, а также прогнозные значения оценок вероятности невыхода эксплуатационных затрат за предельно допустимый уровень. В отличие от существующих методов прогнозирования остаточного ресурса машин и конструкций, основанных на детерминированных моделях физических процессов износа (накопление усталостных повреждений, изнашивание механизмов и т.п.) предложенный алгоритм позволяет существенно уменьшить номенклатуру и объем необходимых для проведения расчетов исходных данных с учетом специфики применения по назначению конкретного типа измерительных комплексов. Выходные результаты алгоритма могут быть использованы для обоснования решений по срокам модернизации находящихся в эксплуатации подвижных лабораторий измерительной техники.

1. Содержательная постановка задачи

Сущность индивидуально-группового метода прогнозирования остаточного ресурса заключается в том, что при малом числе точек временного ряда, описывающего изменение во времени эксплуатационных затрат, начальные (априорные) оценки параметров тренда получаются на основе обработки дополнительной информации в виде однородной выборки временных рядов, получаемых при наблюдениях за однотипными измерительными комплексами (ИК) в сходных условиях эксплуатации.

Однородность выборки дополнительных временных рядов в нашем случае достигается следующим образом:

1. Из всего множества ИК формируется подмножество со статистикой наблюдений не более 6 кварталов (6 и менее).

2. Для каждой ИК из данного множества производится подбор группы ИК - статистических аналогов с условием, что каждая ИК обладает следующими одинаковыми характеристиками: одинаковый тип ИК; одинаковая элементная база; примерно одинаковые годы выпуска.

2. Математическая постановка задачи

Для нахождения значения Т уБост - оценки нижней доверительной границы (НДГ) остаточного гамма-процентного ресурса по критерию недопустимого возрастания эксплуатационных затрат необходимо спрогнозировать изменение НДГ вероятности Р/ -недостижения максимально допустимого уровня 5дОП средними удельными эксплуатационными затратами на интервале упреждения t еТь = ; 1п+ь ] :

Р/ = Р (5 < Бдоп )

(1)

Тогда оценка НДГ остаточного гамма-процентного ресурса по критерию недопустимого возрастания эксплуатационных затрат вычисляется на основе следующего выражения:

Т,

= Т,

- tn

(2)

где Т у - оценка НДГ полного гамма-процентного ресурса, определяемая как Ту = тах t

Г Б

____

эксплуатации ИК, при котором НДГ вероятности Р/ не снижается ниже порога, равного у /100% .

Для оценивания вероятности Р(Б воспользуемся зависимостью средних удельных эксплуатационных затрат от времени для интервала наблюдения [0, tn ].

В теории прогнозирования ресурса сложных технических систем [4-8] установлено, что в данном случае близкие к оптимальным оценки величин, входящих в модель процесса изменения во времени параметра,

определяющего величину ресурса, могут быть получены с использованием функции правдоподобия:

0({Эк }) = р({у, }/(4})Р({Як})

при построении которой задаются: а) форма аппроксимирующего многочлена:

У(^-) = 2^ к=1

к-1

(4)

(5)

б) нормальная функция распределения вероятностей результатов наблюдений:

р( у(^. Ж4 }) =-

1

У, -2М~ к=1

2А,

(6)

в) многомерная (трехмерная) функция распределения априорной вероятности коэффициентов

аппроксимирующего многочлена:

1 .. ..т.. .. , ..

1

р({$к})=■ где |°и

„Т

(2л)

т/2

О

11/2

х е

2

(7)

к1

определитель ковариационной матрицы;

-1

||5к - вк || - транспонированная матрица ||5к -вк\; ||стн - матрица, обратная ковариационной, элементы этой матрицы далее будут обозначаться как о- ■

Функция правдоподобия с учетом рассмотренных соотношений (5), (6) и (7) имеет вид:

1

0({&к }) = -

(2л)

°п °к1 2

хе

-2\ у-2 Ж

.=11V к=1

2оП

(8)

Логарифмирование (8) дает логарифмическую функцию правдоподобия:

д{4}) = -1п

Р5 > у/100 %, t е Ть = ] , (3)

это такое максимальное значение времени

(2л)

т+п

2

Оп СТ„ 2

(9)

-2 (у-2 ^к-11 о --вк\\

.=1V к=1 ) 2 2

Дифференцирование последнего выражения по всем Зк с последующим приравниванием нулю производных приводит к системе из т=3 линейных уравнений, которая в матричной форме записывается в виде:

Бв = С, (10)

где в - матрица-столбец неизвестных оценок коэффициентов аппроксимирующего многочлена (5);

Б =

2 ^+1 -2 + До-1

1=1

пик1

(11)

-1

C =

ti f.. in «

Z M 4 + TekDn°M

i=1 k=1

(12)

Решение системы (10) и дает совокупность

А

апостериорных оценок Эк коэффициентов Эк многочлена

А

(5). Полученные оценки Эк составляют матрицу:

3

Шаг 1. Обработка априорных данных, ]' = 1,0 1.1. Нахождение оценок параметров аппроксимирующего полинома ЪI и е1 для всех априорных временных

рядов Ы^ Щ2,...,М^,...,М1п|, = 1,0 на основе

решения системы нормальных уравнений, суммирование в

которых осуществляется в пределах от

i =1

до n

(13)

После получения апостериорных оценок Эк производится оценивание доверительных интервалов прогноза и вычисляются оценки показателей остаточного ресурса ИК.

3. Описание алгоритма решения Шаг 0. Ввод исходных данных (табл. 1):

N ={<,NY2NYNY } ;

St ; SДОП ; tn; n ; TL ; L ; « ; Y-

Z Nt = an' + bZ t + cZ t2; Z Ntt = a Z t + bZ t2 + cZ t3; Z Ntt2 = a Z t2 + bZ t3 + cZ t4,

Данная система уравнений решается следующим образом:

1.1.1. Рассчитываются значения коэффициентов системы уравнений:

е11 = n. ; е12 = е21 = Z t =

n'(n' +1)

е13 = е22 = е31 =Zt =

n' (n1 + 1)(2n' +1)

J J J

6

Таблица 1

№ п/п Наименование исходного параметра Обозначение Размерность

1 У ( У У У У ) N = < Ы1 , Ы2 ,..., N\ ,..., ЫпУ > - прогнозируемый временной ряд из чисел отказов за один квартал N Ед.

2 Число точек прогнозируемого временного ряда Y n Ед.

3 N' = , Ы1/-2,..., N^,..., Ы1пп11, j= 1,0 - априорные временные ряды из чисел отказовза один квартал; Nj Ед.

4 Числа точек априорных временных рядов i nj Ед.

5 Коэффициенты пересчета числа отказов N (компонентов временного ряда) в эксплуатационные затраты A, B -

6 Значение предельно допустимого уровня средних удельных затрат на эксплуатацию ИК (за 1 квартал) S ДОП Ед. ср. уд. затрат

7 Продолжительность эксплуатации на момент прогнозирования остаточного ресурса tn Ед. времени

8 Длительность интервала упреждения прогноза Tl Ед. времени

9 Число шагов интервала упреждения прогноза L В кварталах

10 Значение доверительной вероятности прогноза а -

11 Значение гамма-процентного уровня прогноза Y %

12 Значение г - критерия Стьюдента уровня а а -

е23 = е32 t =

n1 \n' +1)2

3 _ J V J

езз = ! r =

n1 (n1 + 1)(2nI + 1)(3n7 2 + Зп1 -1)

4 _ j j j j j

30

= 2^; 2г = 2^; = 2

1.1.2. Рассчитывается значение определителя матрицы коэффициентов:

А = е11е22е33 + е12е23е31 + е13е21е32 --е13е22е31 " е12е21е33 " е11е23е32

1.1.3. Рассчитывается значения определителей матриц, в которых один из столбцов, соответствующий искомому коэффициенту полинома, заменен на столбец свободных членов:

Аа = 21е22е33 + е12е2323 + е1322е32 - , -е13е2223 - е1222е33 - 21е23е32

Д = е1122е33 + 21е23е31 + е13е21 23 - , -е1322е31 - 21е21е33 - е11е2323

Д = е11е22 23 + е1222е31 + 21е21е32 -21 е22е31 - е12е2123 - е1122е32

1.1.4. Рассчитываются значения аппроксимирующего полинома:

Да

а = -

b = V

Д '

параметров

д,

c = -

Д Д Д

1.2. Нахождение априорных оценок математических ожиданий параметров аппроксимирующего полинома:

'Q /Q /Q

1.3. Расчет оценок элементов ковариационной матрицы

Ри , к, l = 1,2,3 .

Р13 =-

о- Ц(а()(I-Hi);

¿ЦК-[ )-[); 1 !!(( -Hi) Н

Q -1

i=1 J =1

22 - Q-1 il^ -5 = )J

- ЦК-H 2)((-H 3)

-! -H3 )(( -H 3)

Q -1

□ -1 г=1 ]= СТ21 = СТ12 ; СТ31 = СТ13 ; СТ32 = СТ23 .

1.4. Расчет априорной оценки Бп случайной составляющей временного ряда:

Dn

!

j=1

1 1,1.1* , it2 -1 а, + p,-t,- + c Л.

J J '

J '

)2

nI - 1

Q

Шаг 2. Подготовка априорной информации Е1, С1 2.1. Обращение ковариационной матрицы ||стн|| :

II II-1 обр

Ри = \Ри =

Ри

где

"2р12СТ13СТ23 -

2 2 2 РР23 Р^^Рт

■ Р99Р33 Р 2

22 13

33 12

■ а11а33 -Р

р.. =

= Р12Р23 Р13Р22 '

Рп = Р Р

13 23 12 33

2.2. Нахождение левой информационной матрицы BI

Bi = Dn |Ы

= DnP^

Dn

2.3. Нахождение правой информационной матрицы

C,

!H k^P?

\Dn

* Р11 ^ 2 Dn * Р12 + [1] * Р13

\akl\ |pkl | |pkl |

* * *

Р21 + Н2 Dn Р22 HH3 Dn Р23

Pkl |pkl | |pkl |

* * *

Р31 2 Dn Р32 + HH3 Dn Р33

Pkl |pkl | |pkl |

CY.

Шаг 3. Подготовка измерительной информации Ет , 3.1. Вычисление левой измерительной матрицы Ет :

nY nY ! t, ,=1 nY 2 ! t2 ,=1

Y Y Y Y

By =| M = ! t,k+l-2 ,=1 = n ! t, i=1 n 2 ! t2 ,=1 n 3 ! t3 ,=1

nY 2 ! t2 i=1 nY 3 ! t3 ,=1 nY ! t/ ,=1

3.2. Вычисление правой измерительной матрицы CY :

rY

CY = Ы =

! Nft1 -1

nY

! N

i =1

II у

! N't,

,=1

Y

! NYt2

4

kl

kl

11

Pi =

12

i=1

Шаг 4. Формирование полных матриц общей системы уравнений B и С.

B = BY + B' =

Z tk+l -2 + DnG

i=1 3

n^ kl

С = CY + C' =

Z NYtl 1 + Z5kDna^

i=1 к=1

Шаг 5. Решение системы линейных уравнений в матричной форме с нахождением апостериорных значений параметров аппроксимирующего полинома

|, к = 1,2,3.

B 5' = С ; Н' = Цк||, где v'k -совокупность наиболее

~ з k ,

правдоподобных оценок многочлена Nt = Z v'ktj .

к=1

Шаг 6. Расчет упрежденного значения прогноза 8 для момента ti е [1, TL ]:

Ni = |'+| ^ + |2. Шаг 7. Вычисление дисперсии прогноза Dt: 7.1. Вычисление частных измерительных матриц Ci,

j =l,nY, Q =||сг7|| = kML

7.2. Вычисление величин икг путем решения систем уравнений:

в КII = с,, г =1, пУ.

7.3. Расчет значений вспомогательных весовых коэффициентов Н1, г = 1, пУ .

3

Ь, = Zlk¡^1 = | +12ггг +|ггг2.

к=1

7.4. Вычисление значений невязки апостериорных и априорных значений параметров аппроксимирующего полинома Аик , к = 1,2,3 : Аик = ик - Ек .

7.5. Оценка составляющей погрешности за счет смещения ^м :

S2, =

ZA^kl Z Vf4 - tk-1

k=1 l i=1

7.6. Оценка составляющей погрешности за счет слу-

пУ

чайной компоненты временного ряда : = Бп Z ^

n ^ i

i=1

где га есть значение г - статистики Стьюдента, рассчитанной для уровня доверительной вероятности а и пУ - 3 степеней свободы.

Шаг 9. Расчет 8в - прогнозных значений верхней доверительной границы средних удельных затрат на эксплуатацию ИК: Б? = АЙ? + В , г еТь = ;гп+ь] .

о Н

Шаг10. Расчет Б - прогнозных значений нижней доверительной границы средних удельных затрат на эксплуатацию ИК: = АЬ1Н + В , г е Ть = \гп; гп+i ] .

Шаг 11. Расчет значений среднеквадратического отклонения нормального усеченного распределения средних удельных затрат на эксплуатацию ИК для каждого

["! Б? ^

гп;гп+ь | из уравнения: | )йй" = а

J ^

Шаг 12. Расчет прогнозных значений 5/ - НДГ вероятности недостижения максимально допустимого уровня БдОП средними удельными затратами:

1 1 1 PS

C1 = t1 ; C2 = t2 ; c y = ' n tnY

12 t1 12 t2 t\ n

Pf = J%(St ,aS YS ; ф(( ,aS ) =

1

exp

MY

2af 2

t е TL = [n ; tn+L ]

Шаг 13. Расчет значений оценки НДГ полного гамма-процентного ресурса по критерию недопустимого возрастания эксплуатационных затрат:

Т / = тах г| 5 >у, г е Ть = \гп; гп+ь ].

Шаг 14. Расчет значений оценки НДГ остаточного гамма - процентного ресурса по критерию недопустимого возрастания эксплуатационных затрат по формуле:

Б т Б

S _ ti

Y о с m ~ y

- t.

7.7. Вычисление значения оценки общей дисперсии прогноза Dt: Д = S2, + .

Шаг 8. Оценивание доверительного интервала прогноза | N^, iVte :

N = Nt - tJ Dt ; NB = Nt + tJ Dt

Литература

1. Ломакин М.И., Миронов А. Н., Бекасов С. Р. Методика анализа затрат на обеспечение функционирования средств связи // Транспортное дело России. 2013. № 5. С. 242-248.

2. Миронов Е.А., Гузенко В.Л., Клёпов А.В., Шестопа-лова О.Л. Обоснование предпочтительного варианта построения и функционирования системы технической эксплуатации территориально-распределенной информационной системы по вектору технико-экономических показателей // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 3. URL: http:// www. science-education.ru/ru/article/view?id=13295 (дата обращения: 01.07.2016).

3. Логунов А. В. Методика технико-экономического обоснования вариантов модернизации составных частей наземных комплексов // Современные проблемы науки и образования.

Y

Y

2013. № 4. URL: http://www.science-education.ru/ru/ article/ view?id=9786 (дата обращения: 01.07.2016).

4. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977. 200 с.

5. Силин В.Б., Заковряшин А.И. Автоматическое прогнозирование состояния аппаратуры управления и наблюдения. М.: Энергия, 1973. 336 с.

6. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 312 с.

7. Абрамов О.В., Розенбаум А.Н. Прогнозирование состояния технических систем. М.: Наука, 1990. 126 с.

8. Бобровников Г.Н., Клебанов А.И. Прогнозирование в управлении техническим уровнем и качеством продукции. М.: Изд-во стандартов, 1984. 232 с.

Для цитирования:

Миронов А.Н., Новиков А.Н., Малахов А.В. Индивидуально-групповое прогнозирование остаточного ресурса измерительных комплексов по экономическому критерию // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2016. Т. 8. № 4. С. 25-30.

INDIVIDUAL AND GROUP FORECASTING RESIDUAL RESOURCE OF MEASURING COMPLEXES BY ECONOMIC CRITERION

Mironov Audrey Nikolaevich,

St. Petersburg, Russia, [email protected] Novikov Alexandr Nikolaevich, St. Petersburg, Russia, [email protected] Malakhov Alexander Vladimirovich,

St. Petersburg, Russia, [email protected]

Abstrart

In modern conditions in connection with increase of requirements to high-quality optimization of an expenditure appliances on maintenance of the multipurpose measuring complexes (MC), such as mobile laboratories of measuring equipment in readiness for application with the demanded degree of reliability there is a need of justification deadlines of operation MC by economic criterion, especially, when it concerns the solution a question of expediency modernization MC that considerably is defined by reliability an assessment of deadlines operation MC on condition an absenteeism of volumes costs operation for the established framework.

In this work statistical approach to a problem of forecasting a deadline of service (a residual resource) industrial machines and equipment, such as the multipurpose measuring complexes by economic criterion develops on the basis of models which can be the most acceptable in many real situations connected with MC assessment in conditions when increase of cost maintenance MC in operating state in the conditions of increase failure rate because of aging the MC hardware and means of their repair and checking is the reason of increase in operational expenses. Thus the indicator of operational expenses integrally reflects growth of cost elimination as the hardware refusals connected with total loss of possibility carrying out measurements, and the metrological refusals arising at excess an error of measurements some critical level at which quality of measurements is considered unsatisfactory.

The model and algorithm of individual and group forecasting a residual resource of the measuring complexes by criterion inadmissible increase of operational expenses is offered. A sign of approach a limit state for MC is achievement by an indicator "average specific operational expenses" of the set maximum permissible level. The main result of forecasting by means of this algorithm is the assessment value of the lower confidential bound the MC gamma percent residual resource. Additional results - pointed and interval projections of change operational expenses, and also expected values of estimates probability an absenteeism of operational expenses for maximum permissible level. Unlike the existing methods of forecasting a residual resource of the machines and equipment based on the determined models of physical processes of wear (accumulation of fatigue damages, wear of mechanisms, etc.) the offered algorithm allows to reduce significantly the nomenclature and volume of calculations basic data, necessary for carrying out, taking into account specifics of application to destination the MC concrete type. Output results of algorithm

can be used for justification decisions on terms of modernization the mobile laboratories of measuring equipment which are in operation.

Keywords: measuring complexes; intensity of metrological refusals; methods of forecasting a residual resource of the machines by economic criterion; criterion of inadmissible increase of operational expenses; assessment of a gamma percent residual resource.

References

1. Lomakin M.I., Mironov A.N., Bekasov S.R. ttist analysis method for providing means of communication. Transport business of Russia. 2013. № 5. Pp. 242-248. (In Russian).

2. Mironov E.A., Guzenko V.L., Klyopov A.V., SHestopalova O.L. Obosnovanie predpochtitel'nogo varianta postroeniya i funkcionirovaniya sistemy tekhnicheskoj ehk-spluatacii territorial'no-raspredelennoj informacionnoj sistemy po vektoru tekhniko-ehkonomicheskih pokazatelej [Reasons for a preferred choice of creation and functioning of system of technical operation of a geographically distributed information system on a vector of technical and economic indices]. Modern problems of science and education. 2014. № 3. URL: http:// www.science-education.ru/ru/article/view?id=13295 (date of access: 01.07.2016). (In Russian).

3. Logunov A.V. Metodika tekhniko-ehkonomicheskogo obosnovaniya variantov mod-ernizacii sostavnyh chastej nazemnyh kompleksov [Technique of the feasibility study on options of upgrade of components of terrestrial complexes]. Modern problems of science and education 2013. № 4. URL: http://www.science-education.ru/ru/arti-cle/view?id=9786 (date of access: 01.07.2016). (In Russian).

5. Chetyrkin E. M. Statisticheskie metody prognozirovaniya [Statistical methods of forecasting]. Мoscow: Statistika. 1977. 200 p. (In Russian).

6. Silin V.B. Zakovryashin A. I. Avtomaticheskoe prognozirovanie sostoyaniya appa-ratury upravleniya i nablyudeniya [Automatic forecasting of a condition the equipment of management and supervision]. Мoscow: EHnergiya, 1973. 336 p. (In Russian).

7. Bolotin V.V. Prognozirovanie resursa mashin i konstrukcij [Forecasting of a resource of machines and equipment]. Мoscow: Mashinostroenie 1984. 312 p. (In Russian).

8. Abramov O.V. Rosenbaum A.N. Prognozirovanie sostoyaniya tekhnicheskih sistem [Forecasting of a condition technical systems]. Мoscow: Nauka. 1990. 126 p. (In Russian).

9. Bobrovnikov G.N. Klebanov A.I. Prognozirovanie v upravlenii tekhnicheskim urov-nem i kachestvom produkcii [Forecasting in management of a technological level and quality of production]. Мoscow: Izd. Standartov. 1984. 232 p. (In Russian).

Information about authors:

Mironov А.N., Ph.D., professor, Military Space Academy;

Novikov A.N., Ph.D., Candidate of Engineering Sciences, associate professor,

Military Space Academy;

Malakhov A.V., postgraduate student, Military Space Academy.

For citation:

Mironov AN., Novikov A.N., Malakhov A. V. Individual and group forecasting residual resource of measuring complexes by economic criterion. H&ES Research. 2016. Vol. 8. No. 4. Pр. 25-30. (In Russian)