Индикаторные системы для представлении вырожденных серий линейной группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Обозначим {g(t), h) = f F(t, x, p(t, x))h(x) dx + {f (t), h), h G Wp1(Q). Рассмотрим экстре-

п

мальную задачу

У \^(u(x) — p(t, x))\p dx + J Ф^, x, u) dx + {f (t), u) ^ inf, u G \¥^(ii). (1)

пп

Решение этой экстремальной задачи является обобщенным решением уравнения

—Ap(u — <p(t)) + F (t, x, u) + f (t) = 0.

Теорема1. Пусть u(t) — решение задачи (1). Тогда для любого t G T существует r(t) > 0 такое, что неравенство ||u(s) — "¿¿(i)Hpv'1 (п)

^ Cp(s,t)mm p-1 ’3-p выполнено для любого s G Br(t)(t), где C = C(p, Q,L, a, M, A, ||g(t)|p^^1 (п)*) (если n ^ p), C = C (p, Ü,L, c(-), A, ||g(t)||Wpi(n)* ) (если n < p). Если inf tET l|g(t)|lwpi(n)* > 0, то û(t)

удовлетворяет условию Гельдера по t с показателем min ^, з—р^ •

Васильева Анастасия Андреевна Московский государственный ун-т Россия, Москва

e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

ИНДИКАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ 1

© Н. Б. Волотова

Желобенко [1, гл. X] предъявил системы уравнений (индикаторные системы), выделяющие конечномерные представления комплексной линейной группы 8Ь(п,С), содержащиеся в основной невырожденной серии представлений этой группы.

Мы рассматриваем аналогичные представления, содержащиеся в вырожденной серии представлений группы 8Ь(п, М), отвечающей разбиению п = 1 + (п — 1) + 1 числа п. Они реализуются в многочленах на подгруппе Z нижних унипотентных блочных матриц. Заметим, что группа Z есть группа Гейзенберга размерности 2п — 3.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 05-01-00074-а, №06-06-96318 р_центр_а, №07-01-91209 ЯФ_а), научной программы «Развитие Научного Потенциала Высшей Школы» РНП. 2.1.1.351 и темплана №1.2.02.

Будем записывать матрицы g из G = SL(n, R) в блочном виде соответственно разбиению n = 1 + (n — 1) + 1. Рассмотрим подгруппы Z и B группы G, состоящие соответственно из матриц

/100\ í p z = I t E 0 I , b = I 0 q * I , (1)

у с s 1 ) \0 0 r )

где s — вектор-строка из Rra_2, t — вектор-столбец из Rra_2, с — число из R, p,r — числа из

R*, q — матрица из GL(n — 2, R). Матрица, обратная матрице z, есть

z“1 = I -t E 0

1 0 0

-Ь Е 0

с —в 1

где С = вЬ — с. Пусть йг обозначает инвариантную меру на Z:

йг = йсйв2 . . . йвп-і ... йЬп-\.

Почти всякую матрицу д Є О можно записать в виде произведения: д = Ьг (разложение Гаусса).

Пусть Б^) — пространство многочленов на Z. Представление Тт, т = 0,1,..группы

О действует в некотором подпространстве Ут пространства ), см. ниже, по формуле

(ТШ(д)/) (г) = / (Г) (г/р

где г, Г, р находятся из разложения Гаусса матрицы гд: гд = Ш. Пространство Ут содержит тождественную единицу 1 в качестве циклического вектора. Представление Тт неприводимо, его старший вектор есть (сс)т, младший вектор есть 1, старший вес есть (т, 0,..., 0, —т), размерность равна

, 2т + п — 1(т + п — 24 2

ат =

п— 1 т

Пусть Е^ обозначает «матричную единицу», это матрица, в которой на месте (г]) стоит 1, а на остальных местах стоят нули.

В алгебре Ли группы Z матрицы Ец, Епг, г = 2,...,п — 1, являются образующими. Инфинитезимальные операторы левых сдвигов на группе Z, отвечающих этим матрицам, — это дифференциальные операторы

д г-, д д

Ег = ТГГ-, Ог = ¿¿——+ ——, г = 2, . . . ,п — 1.

ди дс двг

Рассмотрим в пространстве Б^) систему уравнений

ьш+1/ = 0, вт+1/ = 0, г = 2,... ,п — 1. (2)

Назовем ее, следуя Желобенко, индикаторной системой.

Теорема. Пространство Ут есть в точности пространство решений системы (2).

Одним из основных шагов в доказательстве теоремы служит интегральное представление многочленов из Ут:

f (z)= / K(z,Z)mF(Z) dZ, Jz

m

здесь F — обобщенная функция на группе Z, сосредоточенная в единице E, в этой точке с = 0, s = 0, t = 0. Функция K(z,(), z,( Е Z, имеет следующее выражение: пусть z имеет параметры с, s, t, см. (1), а ( имеет параметры a, u, v, пусть J — диагональная матрица порядка n — 2 с диагональю {-1,1, ■ ■ ■, 1}, тогда

K(z, () = (1 — sJv + са)(1 — uJt + ac).

В частности, дельта-функция 5(z), сосредоточенная в точке E, переходит в 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

Волотова Надежда Борисовна Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ

© Н. Г. Главнов

Будем рассматривать линейную нестационарную систему

x = A(t)x + b(t)u, u £ U = [—1,1], (1)

(с одним входом и n выходами, n ^ 2) и достаточно гладкими A(t) и b(t).

Определение!. Функцией быстродействия системы (1) называется функция

(t,x) ^ Tn(to,Xo) = min {$ ^ 0: x(to + $, to, xo, u(-)) = 0}, где x(t,to,xo,u(-)) — решение u(^)eü

системы (1) при управлении u = u(t). Если для некоторой точки (to,Xo) не существует допустимого управления, то будем полагать, что Tn(to,Xo) = <х.

Определение2. Множеством управляемости системы (1) на отрезке [to, to + $] называется множество D$(to) = {x £ Rn : Tn(to,x) ^ $}, a множеством управляемости — множество D(to) = U Dß(to).

Определим функции t ^ qi(t), равенствами qi(t) = b(t),..., qi(t) = q— 1 — A(t)qi-1(t),

i = 1,... ,n +1. Будем предполагать, что они непрерывны и ограничены на R. Для формулировки основного результата построим полином

l(t,X) = Pn(t)\n + Pn-i(t)An-1 +-+ pi(t)\ + po(t), (2)