Индексные методы формирования таблиц c магическими свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

И.П. Кадиев, П.А. Кадиев. Циркулянты квадратных матриц и способы их формирования // Системные технологии. — 2017. — № 22. — С. 57—61

THE SKEW-CIRCULANTS ARE OBTAINED SQUARE MATRICES AND METHODS FOR THEIR FORMATION I.P. Kadiev, P.A. Kadiev

Abstract

The paper proposed a combinatorial configurations defined by the authors as «skew-circulants are obtained square matrices», in contrast to existing configurations, known as «skew-circulants are obtained» or circulante matrix. Skew-circulants are obtained, the configuration obtained by cyclic shifts of the individual elements of the finite set, with pre-picture obtained by shifts of the subsets in the form of configuration lines - the circus Lantau matrix. The skew-circulants are obtained the matrix, in contrast to the «circulant», is a configuration obtained by cyclic shifts of the elements in the rows and columns of square matrices by a certain, in the proposed method.

Key words

cyclic shifts, n -sets, circulant, n x n -

matrix, com-biatora configuration of the

system representation

Date of receipt in edition:

22 February 2017

Date of acceptance for printing:

26 February 2017

УДК 519.6

ИНДЕКСНЫЕ МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ТАБЛИЦ С МАГИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ И.П. Кадиев, П.А. Кадиев

Дагестанский государственный технический университет

Аннотация

В статье предложены индексные алгоритмы формирования класса комбинаторных конфигураций, известных как числовые магические квадраты, у которых суммы чисел в стоках и столбцах равны магическому числу. В основе алгоритмов циклические сдвиги строк и столбцов исходных конфигураций - квадратов, заполненных числами от1 до п,по приведенному в работе алгоритму: каждая 1-я строка сдвигается циклически в одну и ту же сторону на ( 1-1)- позицию, после чего в образовавшейся конфигурации каждый л'-ый столбец сдвигается циклически в одну и ту же сторону на ( '-1) -позицию

Ключевые слова

числовая таблица, магический квадрат, магическое число, циклические сдвиги, индексы окружения, строки, столбцы История статьи:

Дата поступления в редакцию: 15 февраля 2017

Дата принятия к печати: 20 февраля 2017

Введение. Издревле известны математические конфигурации, известные как магические или волшебные квадраты. Они представляют собой пхп - таблицы, ячейки которых заполнены числами, расположенными таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и диагоналях равны числу, называемому магической константой. Для магических квадратов это число определяется по известной формуле [1]:

М(п) = п(п2+1)/2

Таблицы, заполненные числами от 1 до п2, называются нормальными магическими квадратами.

Существует обширный класс таблиц, в которых равенство сумм имеет место только для строк и столбцов. Эти конфигурации известны как полумагические квадраты. Характеристикой этих таблиц, также как и магических, является магическое число.

Наряду с указанными выше свойствами, некоторые магические и полумагические квадраты обладают дополнительными свойствами.

Постановка задачи. Предложено множество методов построения таблиц указанного класса (методы террас, латинских квадратов, шахматного коня, методы для четной и нечетной размерности и др.) [1]. Большинство этих методов ориентированы на построение квадратов четной размерности, а алгоритмы их построения часто носят эмпирический характер.

Общий метод построения магических и полумагических квадратов не существует. Поэтому представляют интерес любые частные алгоритмы их построения. Объясняется это тем, что методы построения этих конфигураций в настоящее время находят применение при решении ряда задач, в частности, в теории информации, при планировании экспериментов, составлении расписаний и др. Именно эти обстоятельства явились обоснованием актуальности предлагаемых ниже методов построения полумагических квадратов.

Методы исследования. Предлагается два алгоритма построения полумагических числовых квадратов:

- организацией различного числом циклических сдвига строк и столбцов квадратной матрицы с числами от 1 до п;

- определением чисел «окружения» элемента-числа квадрата по индексам, независимо от его местоположения в таблице.

Циклические сдвиги выполняются путем пошагового сдвига всей группы сдвигаемых элементов (строки или столбца) в одну и ту же сторону, с перемещением крайних элементов в конец или в начало последовательности (в зависимости от направления сдвигов). Сдвиги в таблицах могут выполняться в строках и столбцах, в последовательностях «строки - столбцы» или «столбцы - строки». В зависимости от выбранной последовательности сдвигов, будут получены две транспонированные таблицы.

Алгоритм построения полумагических квадратов методом циклических сдвигов в последовательности «строки - столбцы» реализуется в два этапа:

1. циклическими сдвигами каждой 1-ой строки исходной таблицы последовательно на

(1-1) - позицию в одну и ту же сторону;

2. последовательно циклическими сдвигами каждого .-го столбца, в полученной после сдвигов строк таблице, в одну и ту же сторону на (|-1) - позицию.

Для облегчения анализа и выявления закономерностей в индексации при сдвигах строк и столбцов, формирование рассматриваемых квадратных таблиц может иллюстрироваться матричными преобразованиями. При этом элементам исходной числовой таблицы ставятся в соответствие элементы матрицы той же размерности: элементу таблицы (числу) на пересечении 1-ой строки и .-го столбца таблицы ставится в соответствие элемент матрицы А... Изменение местоположения этого элемента при преобразовании матрицы отражает изменение местоположения соответствующего ему в числовой таблице числа.

А 5x5 =

А11А12А13А14А15 А21А22А23А24А25 А11А32А33А34А35 А41А42А43А44А45 А51А52А53А54А55

Апр

А11А22А33А44 А55

А23А34А45А51А12 А35А41А52А13А24

А42А53А14А25А31

А54А15А21А32А43

Рис. 1

На рис.1 приведена матрица А5х5, соответствующая числовой таблице с числами от 1 до 25 в клетках, расположенных в порядке возрастания от клетки к клетке последовательности, и полученная при преобразованиях, выполненных циклическими сдвигами, выполненными по приведенным выше алгоритмам в последовательности «столбцы - строки» Апр

Анализ индексации матрицы Апр, полученной при выполнении циклических сдвигов в последовательности «столбцы-строки», показывает, что имеет место следующая закономерность в индексации окружения ее элементов:

- в строках элементами, стоящими до и после элемента А.. , где бы этот элемент из пхп позиций матрицы не находился, являются элементы А1 и элементы А.+1 ;

- в столбцах элементами, стоящими над элементом А.. и под ним, являются элементы Ап.2

и

элементы А.+1 ;

Обобщение анализа системы индексации, приведенной выше матрицы, позволяет сделать следующие выводы:

1. при циклических сдвигах строк и столбцов числовых квадратов, по приведенным выше алгоритмам в последовательности «строки - столбцы», первый слева столбец образуют элементы главной диагонали исходной матрицы, при циклических сдвигах в последовательности «столбцы -строки» элементы главной диагонали образуют первую строку полученной матрицы.

2. имеет место, при сдвигах в последовательности «строки - столбца», закономерность, состоящая в том, что для элемента матрицы А.., на какой бы из пхп - позиции он, после преобразований матрицы не располагался, предшествующий ему в строке элемент имеет индексы (. - к ), ( . - к +1), где к 1,2,..,(п-1). Если к = 1, то предшествующий ему элемент А 2, следующий в строке за ним элемент - А .

н-1,)+2

3. элемент в столбце, стоящий над элементом А.., имеет индексы (.-к),

( }-к), а стоящий ниже - (.+к), ( }+к), при к=1. это элементы А а-1) ( ) и А(.+1) ( ).

4. сложения при индексации выполняется по модулю п - размерности квадрата.

При сдвигах в последовательности «столбцы- строки», индексации по строкам и столбцам меняются местами.

Суммирование индексов выполняется по размерности матрицы со значений сумм больших п.

На рис.2, в качестве примера, приведено значение индексов окружения элемента таблицы Ау, независимо от его положения в таблице, при к = 1 .

Ai-ij-2 Ai-k j-{k+i)

Ai-i,j-i Ai,j Ai+i,j+i (mod n) Ai-j A|J Ai+k,j+k (mod n)

Ai+i,j+2 Ai+k,j+(k+i)

Рис. 2 Рис. 3

На рис.3 приведена обобщенная схема индексации элементов окружения для значений переменной k, принимающих з н ачен ияот ыя таблицили массцоо^в которых выполняются перестановки элементов по заданной индексации «окружения».

На рис.4а и 4б приведеналоо сливыеавадрат ы, соответствующие исходному расположению элементов в таблицах при к=1 и распо ложе™ ю их, соответствующее преобразованиям по индексации «окружения». Анализ полуаавн ых cHOTOBbixTc6x»i показылаеплчтоави отнлллтся 0]^руап1плг^Л^"' магических квадратов. Суммы строк, столбцов и одной из диагонале й равны магическому числу. В приведенном примере этокводолхсмтгивеским чисоом М(л) = 6р.

При построении числового квадрата, приведенного на рис.4,б элементы матрицы Апр, приведенной на рис.1, заменены числами из таблицы на рис.4,а в соответствии с индексацией элементов в матрице Апр: элемент A.. матрицы Апр из таЛлицы Hat рис.Н,а,стоящашв i-строкена j-айпозвщин.

Используя приведенную выше закономерность индексации, можно формировать квадраты, в том числе и числовые, р асположив оюцл0изааонентое сл)уом измхп-

позиции в формируемойм атряре м со ответстввющей ейтислслтйалЛлице.

Достоинством форми^вания таких конфигураций методом определения индексного «окружения» элемента являе тся то^лонн ]^озлл^тс^^тхборл^^0иилаь колдраты, рлсполагаяасждыйиз n2 элементов таблицы налюбомиз г^мсеавнлм.

Общее число квадратов, формируемых предлагаемым методом равно n4. Любые перестан овки между собой строк ил и стллрцис мепенлют олливногосвелзоаа равенстл- сумма1

элементов каждой строки it каж до г о ст олбцо мабхч«екoмyчиcор M(х)]Пpздлoжбвнaяаышe схсма индексации «окружения»элементаявлметсячрстхынсзриаотом зодило^же срвиcвмеcни ивдеклов окружения от индексов асждолоелеяевер. CаммеаoдмсcтpoснуякoвC)взyх аций сегдавмым зово-ном индексации «окруженам» оpздбсcа»яeтзн уввеерсальным. Возможности метода не исследованы и в литературных источниках не освещены.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 1 7 18 19 20

21 22 23 24 25

1 7 13 19 25

8 1 4 20 21 2

15 1 6 22 3 9

17 23 4 10 11

24 5 6 12 18

а) Рис.4 б)

В заключение следует отметить следующее:

- предлагаемые методы построения числовых квадратов, обладающих магическими свойствами, формализуются, в частности, указанные преобразования, циклические сдвиги, выполняются с использованием сдвиговых (0,1) - матриц и программно легко реализуются;

- полученные квадраты сохраняют свойства при любых перестановках между собой строк или столбцов, что позволяет определить возможное число вариантов их построения - ( п!)2;

- в качестве особых свойств полученных квадратов можно указать не только магическое число, но и свойство, заключающееся в том, что в каждой строке и в каждом столбце у них располагается один и только один элемент из каждого столбца и каждой строки исходной преобразуемой таблицы и, таким образом, предложенные методы являются методами формирования индексно непересекающихся множеств [4], составленных из элементов множеств, образующих строки и столбцы исходной матрицы-числового квадрата.

Вышеотмечалось,что некоторые числовыеквадратымогут обладать дополнительными свой-ствамиихарактеристиками. Нижерассмотрен класс полумагических квадратов, в которых элементы, сохраняя характерные для них свойства, присущие этим квадратам по строкам и столбцам, могут быть сгруппированы в основной таблицевтаблицыразмерностиСхС, обладающие свойствами квадрата в целом: сумма элементов таких внутренних таблицах, равно магическому числу, общее их число размерностиквадрата п. Числовые квадраты этоготипа могут быть построены только для нечетных размерностей, в которых выполняются условия С ^ п является целым числом.

Для формирования таких конфигураций необходимо, выполнить дополнительные перестановки в таблицах строк или столбцов в целом, полученных по приведенным выше алгоритмам. Нарис.5 приведенполумагический квадрат9х9,полученный по приведенным выше алгоритмам, с магическим числом369.

Дляполучения квадрата с указаннымивышесвойствами в нем необходимо переставить строки [2] в следующем порядке 1 - 4 - 7 - 2 - 5 - 8 - 3 - 6 - 9, что относительно просто реализуется с по-мощью(0,1) - матриц .

Нарис.бприведен полумагическийквадрат,полученный после перестановок строк в указанном порядке. Штрихами выделены в его составе 9 квадратов 3х3, сумма чисел в которых равна характеристике квадрата 9х9-369.

Выводы. Методыкомбинаторики, в основе которых перестановки элементов множеств или массивов последние годы находят широкое применение при реализации базовых операций над информацией. Достаточно отметить, что все каналы коммерческого ТУ и сотовой связи используют операции преобразования данных в виде перестановок, известные как скремблирование потоков данных. Эти же методы лежат в основе таких операций и технологий как сжатие информации, борьба с ошибками в виде стираний группы символов в потоках данных и ряда других применений,

1 12 23 34 45 47 58 69 80

11 22 33 44 46 57 68 79 9

21 32 43 54 56 67 78 8 10

31 42 53 55 66 77 7 18 20

41 52 63 65 76 6 17 19 30

51 62 64 75 5 16 27 29 40

61 72 74 4 15 26 28 39 50

71 73 3 14 25 36 38 49 60

81 2 13 24 35 37 48 59 70

Рис. 5

1 12 23 31 412 5535 61 72 74 34 47 45 55 77 66 4 26 15 58 69 80 7 18 20 28 39 50

11 22 33 41 52 63 71 73 3 44 46 57 65 6 76 14 25 36 68 79 9 17 19 30 38 49 60

21 32 43 51 62 64 81 2 13 54 67 56 75 51 6 24 37 35 78 8 10 27 29 40 48 59 70

Рис.6

свойственной классической комбинаторике: составление расписаний, календарных планов, распределения ресурсов и т.д.

К числу указанных операций по перестановке элементов множеств относятся и операции, реализуемые по предложенным в данной работе алгоритмам для формирования полумагических квадратов. Поэтому методы перестановок, предложенные в данной работе, носят по областям применения универсальный характер.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чебраков Ю.В. Теория магических квадратов - СПб.: СПб. Гос. тех. университет, 2008, 367с.

2. Кадиев И.П., Кадиев П.А. Циклические методы индексной сортировки элементов массивов данных. Вестник ДГТУ. Технические науки, №36, 2015, с.79-84

3. Тараканов В.Е. Комбинаторные задачи и(0,1)-матрицы. - М.: Наука, 1985, 193 с.

4. Андерсон Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. - М.: «Вильямс», 2006. - С. 960. - ISBN 0-13-086998-8.

5. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. - М.: Наука, 1975.

6. Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика - СПб.: СПбГУАП, 2001. - 37 с.

7. Липский В. Комбинаторика для программиста. - М.: Мир, 1988. - 213 с.

8. Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика. - пер. с англ. - М., 1966.

9. Райгородский А. М. Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике. - Летняя школа «Современная математика». - Дубна, 2006.

10. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. - пер. с англ. - М., 1963.

11. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. - М.: «Мир», 1990. -С. 440. - ISBN 5-03-001348-2.

12. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. - М.: «Мир», 2009. - С. 767. - ISBN 978-5-03-003476-8.

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

И.П. Кадиев, П.А. Кадиев. Индексные методы формирования таблиц c магическими свойствами // Системные технологии. — 2017. — № 22. — С. 61—66

INDEX METHODS OF FORMING OF TABLIS WITH MAGIC PROPERTIES I.P. Kadiev, P.A. Kadiev

Abstract

The article suggested the index algorithms class Combinatorial configurations, known as numerical magic squares, whose numbers in runoff and columns are equal to the magic number. Algorithm based on cyclic shifts of rows and columns of the original configurations-squares filled with numbers from 1 to n, on a form conforming to the model in the work algorithm: each row i is shifted cyclically to the same side (i-1) position, then left configuration, each j-th column is shifted cyclically in the same direction at (j-1)-position.

Key words

numerical table, magic square, magic

number, tsikli-technical developments,

environment, rows, columns

Date of receipt in edition:

15 February 2017

Date of acceptance for printing:

20 February 2017