Импульсная коррекция управляемой системы с неполной информацией Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Аверина Т.А. Новые алгоритмы статистического моделирования неоднородных пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. Москва. 2010. Т. 50. № 1. С. 16-23.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами РФФИ (проекты № 11-01-00282, № 12-01-00490).

Averina T.A. INVESTIGATION OF JUMP-DIFFUSION IN RADIO ENGINEERING PROBLEMS

The article deals with the stochastic systems with impulses generated by Poisson flow and lead to discontinuities of the system trajectories. The statistical simulation method for analysis of jump-diffusion is proposed. Numerical examples of radio engineering problems are given to illustrate the efficiency of proposed method.

Key words: analysis; impulse signals; Kolmogorov-Feller equation; Poisson flow, Poisson process; statistical simulation method; stochastic system.

УДК 519.856.2

ИМПУЛЬСНАЯ КОРРЕКЦИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

© Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова

Ключевые слова: коррекция движения; импульсное управление; минимаксное оценивание.

Рассматривается задача коррекции движения линеаризованной управляемой системы с помощью импульсных управлений в условиях неполной информации о фазовом состоянии. С использованием методов минимаксного оценивания и управления получены определяющие соотношения. Синтезирован момент перехода от наблюдения к управлению. Рассмотрены примеры.

Пусть отклонение фазового состояния управляемого объекта от номинальной траектории в момент Ь € [0, Т] описывается в линейном приближении вектором х(Ь) € Яп, подчиняющимся дифференциальному уравнению

йх(Ь) = (А(Ь)х(Ь) + С (Ь)у(Ь))(М + Б(1)йп(1), (1)

где А(Ь), Б(Ь), С(Ь) — непрерывные матрицы подходящих размеров; п(-) — к -мерная функция ограниченной вариации, стесненная ограничением ^\du(t) \ ^ ц. Здесь и далее | ■ | — евклидова норма. По ходу процесса измеряется ш -мерный вектор

у(Ь) = С(Ь)х(Ь) + ■ш(Ь). (2)

В (1), (2) помехи ь(-), 'ш(-) являются измеримыми функциями, подчиняющимися вместе с неизвестным начальным состоянием хо уравнения (1) совместному ограничению

хр + /оТ (\у(Ь)\т + ^(Ь)\т)^ 1 (3)

где \х\р = х'Рх для матриц Р = Р1 > 0. Сужение функции х(з), в € [0,Т}, на отрезок [0,Ь] обозначаем хь(-), а сужение на отрезок [Ь,Т] — через хь(-).

2433

Совместимым множеством V(t,y,u) системы (1), (2), где u — допустимое управление, назовем совокупность всех пар {(x(t),vt(^))}, для которых найдутся элементы (xo,vt(),wt()) такие, что выход уравнения (2) на [0,t] почти всюду совпадает с измеренным сигналом yt(^) при условии, что тройка {(xo,v(^),w(^))} удовлетворяет ограничению (3). Совместимое множество V(t,y,u) состоит из пар, удовлетворяющих неравенству

\x(t) — x(t)\p(t) + ¡T\v(s)\2Q{s)ds < 1 - h(t),

где параметры P(t), x(t), h(t) определяются дифференциальными уравнениями. Область достижимости системы (1) в момент T по возмущениям при заданном управлении ut(•) и реализовавшемся множестве V(t,y,u) обозначим через Xt(ut \ V(t,y,u)).

Вспомогательная программная задача. Для фиксированного момента t € [0, T] рассмотрим минимаксную задачу

V JDx\^ , = rt(У,uo), (4)

x£Xt (ut\V(t,y,uo)) Ut£Ut(uo)

где множество управлений Ut(uo) = {ut: ftT \dut(s)\ ^ ß — \duo(s)\}; uo — некоторое до-

пустимое управление; D — матрица. Полагаем U = Uo(0). Если момент окончания наблюдения t не задан, его следует синтезировать, исходя из поступающей информации на основании прогноза наихудшего результата. Пусть Y(r,t \ V(t, y,u)) — множество всех продолжений {yt(^)} сигнала yt(•) на [0,т], где t<T, при управлении u € U. Определяем величины

rt(T,y,uo)= sup Гт(y,uo), r*(t,y,uo)= min rt(T,y,uo). (5)

yt()€Y(r,t\V(t,y,uo)) т&[t’T

Задача однократной коррекции состоит в определении наименьшего корня уравнения r*(t,y,uo)= rt(y,uo). Эта задача имеет смысл для непрерывной функции ограниченной вариации uo(•) (до момента коррекции). В противном случае функции из (4), (5) будут разрывными, и наименьший корень может не существовать.

Многократная коррекция. Используется дискретная пошаговая процедура. Пусть Л: 0 = = to<tl <...<tN = T — разбиение отрезка [0, T ], и \Л\ =max{t^ —ti-l :1 ^ i ^ N}.

(а) Ввиду линейности системы (1), (2) и симметричности ограничений для возмущений и управлений, начальное управление, найденное в задаче (4), равно нулю. Поэтому в качестве момента ti имеет смысл брать решение однократной задачи коррекции с uo = 0.

(б) В момент ti ив последующие моменты ti проверяется равенство величин из (4), (5). Если r*(ti,y,uo) <rti(y,uo), то управление на следующий отрезок [ti,ti+l] не меняется. Иначе на весь оставшийся отрезок [ti,T] назначается новое управление utio(•), а момент ti объявляется моментом коррекции.

Замечание. Из результатов Л. Нейштадта [1] следует, что оптимальное управление в задаче (4) является линейной комбинацией не более чем (п + 1) -го числа импульсных воздействий (5 -функций).

Задачи коррекции движения (в т. ч. импульсные) в разных постановках исследовались в работах Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского, Ф.Л. Черноусько, Н.А. Парусникова, В.М. Морозова, В.И. Борзова, В.Н. Афанасьева и других. Мы придерживаемся подходов, изложенных в [2, 3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Newstadt L. Optimization, a Moment Problem, and Nonlinear Programming // J.SIAM Control. Ser. A. Vol. 2. No. 1. 1964. P. 33-53.

2434

2. Ананьев Б.И., Куржанский А.Б., Шелементьев Г.С. Минимаксный синтез в задачах импульсного наведения и коррекции движения // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. Вып. 1. С. 3-13.

3. Ананьев Б.И., Гредасова Н.В. Многократная коррекция движения линейно-квадратичной управляемой системы // Вестник УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2005. № 4 (56). С. 280-288.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ № 13-01-00120 и программой фундаментальных исследований Президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при участии УрО РАН (проект 12-П-1-1019).

Ananyev B.I., Gredasova N.V. IMPULSIVE CORRECTION FOR CONTROLLED SYSTEM UNDER UNCERTAINTY

A problem of motion correction of a linearized controlled system is considered by means of impulse controls in the conditions of uncertainty about the phase state. With usage of methods of minimax estimation and control defining relations are received. The moment of passage from observation to control is synthesized. The examples are considered.

Key words: motion correction; impulse control; minimax estimation.

УДК 517.977

ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ В СИСТЕМЕ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ СО СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

ФУНКЦИОНАЛОМ

© И.Ю. Андреева

Ключевые слова: линейно-квадратичная задача; импульсное управление; системы с последействием.

С помощью метода динамического программирования для линейно-квадратичной задачи с последействием с функционалом специального вида получены обобщенные уравнения Риккати, описывающие оптимальное управление данной задачи.

Пусть ф — вектор-функция размерности п, V — вектор-функция размерности т, А, АТ — непрерывные матрицы-функции размерности п х п, С — непрерывная п х п -матрица-функция, В — непрерывно дифференцируемая матрица-функция размерности п х т , Фо, Ф1, Ф2, Фз, Ф4 — непрерывные матрицы-функции размерности п х п , причем матрицы Фо, Ф2, Ф4 предполагаются симметричными.

Рассмотрим задачу минимизации функционала

J[<)]= y ('&)Ny(§) + J (y(t) + В(t)v(t)) $o{t){y{t) +

to

0

\T ''

+ B(t)v(t)) + (y(t) + B(t)v(t)) J Фг^,9)(у^ + 9) + В(t + 9)v(t + 9))d9+

— T

0

+ i(y(t + 9) + B(t + 9)v(t + 9))T(t, 9)d9 (y(t) + B(t)v(t)) +

$

2435