Импульсная коррекция управления для динамических моделей с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 ЭКОНОМИКА Вып. 1(1)

РАЗДЕЛ УН. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

УДК 519.8:336.71

ИМПУЛЬСНАЯ КОРРЕКЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

В.П. Максимов д. ф.-м. наук, проф., профессор кафедры информационных систем и математических методов в экономике

ГОУВПО «Пермский государственный университет»

614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 Электронный адрес: [email protected]

Рассматриваются задачи управления для функционально-дифференциальных систем управления с запаздыванием в случае, когда цель управления определяется линейным вектор-функционалом, значение которого считается заданным. Наряду с традиционным Ь2-управлением используется импульсное управление, позволяющее скачкообразно изменять состояние системы. Приводятся условия управляемости в классе таких «гибридных» управлений. Для систем, управляемых в классе Ь2-управлений, обсуждается возможность импульсной коррекции с целью уменьшения общих затрат на управление. Приводится иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: управление, динамические модели, функционально-дифференциальные системы.

требовать непрерывность матрицы В (О), отвечающей за возможность управления системой (1). Классическая задача управления для системы (1) - это краевая задача

х — А(О) х + В()т>, х(0) = а, х(Т) = Д разрешимость которой при некотором управлении V означает управляемость системы (1). Ниже рассматривается задача управления для линейной функционально -

дифференциальной системы в случае, когда

V’, СЕ //2 и точки возможных разрывов решения фиксированы. При этом благодаря специальному выбору пространства

Б8(ш) = Ь х Кы удается обойтись без

привлечения 5 -функций, охватить общий случай нелокального линейного оператора

В : П2 ^ Ь , преобразующего управляющее

воздействие V, (Е /Д. а также случай, когда цель управления задается общим линейным вектор-функционалом. Подход к исследованию импульсных систем на основе использования пространства 08(ж) был предложен в работе [1].

2. Предварительные сведения

1. Введение

Для обыкновенных дифференциальных уравнений линейную систему с импульсным управлением записывают в виде

x = A(t)x + B(t)V, t g [0, T], (1)

где v : [0, T] ^ Rr - управление - функция ограниченной вариации. Как известно, функция ограниченной вариации представляет собой

сумму абсолютно непрерывной функции v, функции скачков v и непрерывной функции v , производная которой равна нулю почти всюду на [0, T]. Таким образом, в правой части (1) имеется две составляющих управления: U = V g Lr и u2 = V2. Вторая приводит к

появлению 8 -функций (функций Дирака), сосредоточенных в точках разрыва функции скачков (при этом производная V2 понимается в смысле теории обобщенных функций), а решения системы (1) имеют разрывы в тех же

точках, что и функция v2. Для корректности операции умножения B(t) на V2 (t) приходится

© Максимов В.П., 2009

96

Будем придерживаться следующих

обозначений и определений (см. [2, 3]). Rn -линейное пространство векторов-столбцов

ос = col {éZj ,..ап} с нормой

|| а || = max | а |; L - банахово пространство

1<; <n

суммируемых функций z : [0, T] ^ Rn,

T

|| z ||L = J || z(s) || ds . Зафиксируем систему

0

точек 0 0<^< ...<tm<T и

обозначим через DS (m) пространство функций у : [0, Т] —> R", у є L вида

* m

y(t) = у (0) + j y{s)ds + Yj X[tt л (ОАИУ*).

0 k=1

где Ay(tk) = y(tk) -y(tk -0), X[tkT](t) -

характеристическая функция отрезка [tk, T]. После введения нормы

ІІ-УІЦ^НІЖ + II Ду IU

def

Ay = co1 {y(°X AyftX.. Ay(tm)}, это пространство становится банаховым.

Рассмотрим функционально -

дифференциальную систему

(Ay)(t) = f (t), t e[0,T], (2)

с линейным ограниченным оператором A : DS(m) ^ L, f є L . Будем предполагать,

что главная часть оператора A, т.е. оператор (■)

Q: L ^ L, Qz = A (J z(s)ds), имеет вид

0

t

(Qz) (t) = z(t) - J Á- (t, s) z(s)ds,

0

где элементы kIJ (t, s) ядра ^(t, s) измеримы

на множестве 0 < s < t < T и

|A:y (t, s)| < m{t), i,j = m(-)

суммируема на [0,7]. В виде (2) могут быть записаны многие классы динамических моделей, в частности, дифференциальные системы с сосредоточенным и/или распределенным запаздыванием и

интегродифференциальные системы.

Пространство всех решений однородной системы

(Ay)(t) = 0, t є[0, T], (3)

конечномерно и его размерность равна п + шп . Пусть {у^--;Уп+т^\ - базис в этом

пространстве. Матрица У ={у1,..., уп+тп}

называется фундаментальной матрицей системы (3). Будем для определенности считать, что

А7 = {Ду1з • • • , кУтп+п } = Етп+п

(единичная (п + шп) х(п + шп) матрица). Так называемая главная краевая задача

Лу - /, Ду = а

однозначно разрешима при любых / е Ь ,

_ пп+шп

а е К , и ее решение представимо в виде

О

у (О) = У (О) • а +1 С(О, в)/(в)Ж,

0

где С (О, в) - матрица Коши.

Пусть £ : 1)8(т) —> Кы - линейный ограниченный вектор-функционал. Имеет место представление

Т т

£у = 1 Ф(я)у(з)Ж + ^оУ(О) +

0 к=1

где элементы измеримой N х п -матрицы Ф о граничены в существе нном, а ^к,

к = 0,...,да , - N хп -матрицы с

вещественными элементами.

3. Управляемость линейной системы

Рассмотрим общую задачу управления Ау = Ви + V, у(0) = ос, 1у = Р, (4)

в которой В: Ь2 ^ Ь - линейный

ограниченный оператор, Ь - пространство

функций (управлений) и : [0, Т] ^ К суммируемых с квадратом, скалярное произведение определено равенством

Т

(щ, и2 ) = ^ щ1 (в) щ (в) ^ - символ транс-

0

понирования. Цель управления задается с помощью вектор-функционала

£ : 1)8(111) —> Яы. Задача(4) включает в себя

задачу управления с Ь -управлениями (случай,

когда условие 1у = Р содержит равенства

Ау(^) = 0, к = 1,...,т) и задачу

импульсного управления (случай В = 0, в

этом случае в роли управляющих воздействий выступают только скачки Ду. (Ок)). Условия

управляемости для системы (4) с Ь2 -

управлениями представлены в [2,3], случай импульсных управлений рассмотрен в [4]. Здесь рассматривается общий случай смешанного управления [5, 6].

Обозначим

Т

0(в) = Ф( в) +1 Ф( в)С (г, в)йг,

: j‘0(í)7(í>fc = (S1 |S2),

где Sj -- N х n -матрица, составленная из первых n столбцов N х (n + mn) -матрицы

T

M = J[Б*0](s)[B*©]• (s)ds,

0

T)* T* T* u

где B : L ^ L - оператор, сопряженный к

Б.

Теорема. Задача управления (4) разрешима тогда и только тогда, когда линейная алгебраическая система

[Е , + ,.,'¥m)\-S+M-r-

(5)

T

Р - J 0(s)v( s)ds - (Sj + )■ а

0

разрешима относительно (N + mn) -вектора col (ó, г). Каждое решение col (50 ,Yo ), §0 = col (ó¿,...,óm ), системы (5)

определяет управление, решающее задачу (4):

ДНУ* ) = К , * = Ъ-т, u(t) = [Я*©]± (t)Гс-

В случае 5 = 0 задача (4) разрешима в Ь2 -управлениях, в случае /0 = 0 задача (4) разрешима в импульсных управлениях и

¿0=со1{ДХО,.--,АХО}.

Эффективное исследование задачи (4) сводится, таким образом, к исследованию системы (5), параметры которой могут быть найдены лишь приближенно. Последнее обстоятельство требует применения

специальной техники исследования в виде доказательного вычислительного эксперимента, основы которого изложены в [3,7,8 ].

Рассмотрим случай, когда в системе (5) матрица М обратима. В этом случае задача управления (4) разрешима в классе управлений

и : [0, Т] ^ № суммируемых с квадратом,

причем управление

и>(0 = [£*©]х (ї )у0,

где

Т

Уо = М _1[ р-|©(ф(5)<*-(Е1 + %)•«],

0

среди всех £2 -управлений, решающих задачу

(4), имеет минимальную норму. Рассмотрим возможность уменьшить общие затраты на управление за счет использования импульсного управления, в роли которого используются скачки Ду(^),...,Ду(їт). Для каждого набора

Ду(^ ),..., Ду(їт ) соответствующее ему в силу системы (5) управление и8 (ї) определяется равенством

и8 (ї) =

и0(ї) - [В*©]1 (ї) М-1[Н 2 + (^1,..., ^ )] б.

Будем оценивать общие затраты на управление с помощью квадратичного функционала

F(S) =||К||2 +|| us L

Если

arg min F(S) = Sopt * 0,

то управление с минимальными общими затратами является смешанным. Приведем иллюстрирующий пример.

Пример. Рассмотрим на отрезке [0,2] задачу управления

Х(0 = у2(t - О,

У2 (t) = -y2(t) + 1 + u(tX

У1(0) =1; У2(0) =1; У2 Ю = °если £ < 0;

У1(2) = 3; У2(2) = 2;

с траекториями из пространства DS(1) с

возможными скачками компонент в точке t = 1 и скалярным управлением u(t).

В данном случае фундаментальная матрица Y имеет вид

Y(t)=

(

1 /[1,2] (t)(1 - ßl У ) ^[1,2] (t) 0

0 e -t 0 /[1,2](t) e

матрица Коши C(t, s) определяется равенством

Л

4. Импульсная коррекция управления

S

0

2

\-t

C(t, s) = Далее,

M =

M -l =

fl /[1,2] (t) /[G,t-1](s)[1 - e^+1+"

П a-(t-s)

( G.168G9124G8 G.G734979716^ G.G734979716 G.49G84218G6 ( 6.3659492G8 - G.953227682^

- G.953227682 2.18GG496G3

У 2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Рис. 3

(t) = (5.412721526-6.36549208 J + + 0.3506728670 J) • х®.\] (t) • (1 - e"-1) + + (1.226821921 + 0.9532276820J -

- 0.8019954297 S2) • e"-2,

F(J ,J) = (J2 +S22) + (6.365949207J2 -

- 0.7013457343 + 0.2950376305 J2 +

+ 6.639543444 -10.82544305J -

- 0.9026451248J,

arg min F (J, J2) =

= (0.7612345813, 0.5546301196),

min F (J ,J ) = 2.268875554.

Отметим, что в классе Z2 -управлений минимальное значение функционала F составляет 6.639543444.

График наиболее экономного управления представлен на рис.1, графики компонент соответствующей траектории, - на рис. 2,3.

Рис. 1

У1

Рис. 2

В заключение отметим, что в задачах экономической динамики режим импульсного управления связан с возможностью изменять состояние системы (в стоимостном выражении) в некоторые моменты времени за счет одномоментного выделения соответствующих средств дополнительно к некоторому регулярному постоянному финансированию. При этом в функционале, характеризующем общие затраты на управление, можно учитывать конкретные обстоятельства финансирования, такие как, например, параметры кредитных программ. Как показывает приведенный пример, за счет единовременных финансовых воздействий можно достичь более экономных общих затрат на достижение поставленных целей.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант № 0701-96060).

Библиографический список

1. Анохин А.В. О линейных импульсных системах для функциональнодифференциальных уравнений / А. В. Анохин // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. № 5. С. 10371040.

2. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально -дифференциальных уравне -ний / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. М.: Наука, 1991.

3. Azbelev N. V. Introduction to the theory

of functional differential equations: methods and applications / N.V. Azbelev, V.P. Maksimov, L.F. Rakhmatullina. N. Y.: Hindawi Publishing

Corporation, 2007.

4. Максимов В.П. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование / В.П. Максимов, А.Н. Румянцев // Известия вузов. Математика. 1993. № 5. С. 5671.

u

5. Maksimov V.P. Problems of impulsive and mixed control for linear functional differential systems / V.P. Maksimov //Известия Института математики и иформатики. Изд-во УдГУ, Ижевск, 2006. № 3(37), С. 87-88.

6. Maksimov V.P. Theory of functional differential equations and some problems in economic dynamics / V.P. Maksimov // Proceedings of the Conference on Differential and Difference Equations and Applications. N. Y.: Hindawi Publishing Corporation. 2006. P. 74-82.

7. Румянцев А.Н. Доказательный вычисли-тельный эксперимент в исследовании кра-евых задач / А.Н. Румянцев; Перм. ун-т. Пермь, 1999.

8. Maksimov V.P. Reliable computer experiment in the study of generalized controllability of linear functional differential systems / V.P. Maksimov, A.N Rumyantsev // Mathematical Modeling. Problems, Methods, Applications. N. Y.: Kluver Academic/Plenum Publishers. 2001. P. 91-98.