Имитационное моделирование методов нелинейного оценивания неизвестных параметров линейно-комбинационной динамической регрессионной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО ОЦЕНИВАНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНО-КОМБИНАЦИОННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

В. А. Фатуев, А.Г. Храпова

Данная статья посвящена имитационному моделированию процедуры нелинейного оценивания неизвестных параметров линейно-комбинационной динамической регрессионной модели с использованием экспериментально-статистических методов. Рассмотрен пример реализации процедуры нелинейного оценивания для динамического объекта третьего порядка, а так же приведены результаты моделирования.

Имитационное моделирование, линейно-комбинационная ДРМ, оценивание неизвестных параметров.

В настоящее время моделирование является неотъемлемой частью процесса проектирования систем. На данном этапе создается математическая модель, которая описывает реально существующий объект, процесс или явление.

В каждой математической модели имеются входные и выходные переменные, а так же присутствуют неизвестные параметры, которые необходимо оценить с использованием экспериментально-статистических методов.

Рассмотрим линейные динамические объекты. Известно, что данные объекты могут быть описаны регрессионной моделью типа:

Т

1 п

У (г) = | ™<г)и(1 -т)(1т+е(г), 0

где Тп - время переходного процесса объекта, е(г) - аддитивная случайная составляющая выхода.

Целью идентификации таких объектов является определение оценки импульсной переходной функции (ИПФ) ^(т) по реализации процессов и(г) и у(г).

Существует две динамические регрессионные модели, при помощи которых можно найти оценку ИПФ[1,2,4]:

1) динамическая регрессионная модель ординат: I-1

у(пАг) = X ™(шАг)и((п - т - 1)Аг)Аг + е(пАг), (1)

т=0

Т

где I - дискретное время памяти, определяемое как I = ;

т

# = (^(0),^(Аг),..., w((l - 1)Аг)) - вектор неизвестных коэффициентов.

В данной модели ИПФ представляется в виде набора ординат. Эта модель связывает дискретное значение выхода в произвольный момент времени пА? с предысторией по входу, т.е. со значениями входа в моменты, предшествующие моменту «А? глубиной Тп через неизвестные ординаты ИПФ.

Недостатком данной модели является большая размерность вектора неизвестных коэффициентов q = I = (10 ^ 50).

2) линейно-комбинационная динамическая регрессионная модель, в которой ИПФ представляется в виде разложения по системе функций Ла-герра.

к

п(т) = I 9 (г, а), (2)

,=1

где ф,(т,а) - 1-я базисная функция; а - параметр затухания функций Лагер-ра; а1,...,ак - коэффициенты разложения.

Вектор неизвестных коэффициентов модели будет выглядеть следующим образом: А = (а, а1, а2,..., ак ).

Функции Лагерра имеют следующий вид:

9(г,а) = 42аеа I ('- 1)!(-2аг)^,' = 1,2,... (3)

)=0 (' -] - 1)Ю!)2

Структура линейно-комбинационной ДРМ имеет вид:

к 1-1

у(пА?) = I а, I и((п - т - 1)А?)+ е(пА?), (4)

,=1 т=0

(т+1)А?

Ргт = ¡9, (а, Г). тА?

Данная модель является нелинейно-параметризованной и для оценки вектора А необходимо использовать нелинейные методы оценивания, сходимость которых не гарантирована. Поэтому представляет интерес имитационное моделирование процедуры нелинейного оценивания вектора А .

Исходными данными для моделирования является следующая информация:

1) Шаг дискретизации А?. Данный параметр необходим для формирования входного и выходного сигналов, а так же для оценивания неизвестных параметров линейно-комбинационной динамической регрессионной модели.

2) Параметры передаточной функции объекта.

3) Ошибка е - параметр, необходимый для правила останова проце-

дуры нелинейного оценивания неизвестных параметров.

Выходной информацией при нелинейном оценивании неизвестных параметров линейно-комбинационной ДРМ являются:

1) График исходной импульсной переходной функции объекта.

2) Таблица сходимости оценок параметров линейно-комбинационной модели.

3) Графики итоговых оценок импульсной переходной функции.

4) График доверительного коридора для импульсной переходной функции.

В качестве примера рассматривается объект третьего порядка со следующей передаточной функцией:

к

Ж (р) =-к--(5)

^ (Тхр + 1)(Т2р + 1)(Тзр +1) ' '

где к - коэффициент усиления, к=5; Т1, Т2, Т3 - постоянные времени, Т1=5, Т2=15, Т3=30.

Для данного примера шаг дискретизации, используемый для расчета выходного сигнала и оценивания неизвестных параметров, А1=17; ошибка, используемая в методе Гаусса-Ньютона, 8=0,01.

Соответствующая передаточной функции (5) исходная импульсная переходная функция имеет следующий вид:

г г

кТ т кТ2 т

w(г) =-1-е 1--2-е 2 +

(Т -Т2)(Т1 -Т3) (Т1 -Т2)(Т2 -Т3)

(6)

113_е Т3

(Т1 -Т3)(Т2 -Т3)

Для определения времени переходного процесса объекта Тп с помощью таблицы преобразования Лапласа на основе передаточной функции (5) находится переходная функция:

г г

1 / ч кТ2 ткТ Т Н(г) =-2-е 12--1-е Т -

(Т1 -Т2)(Т2 -Т3) (Т1 -Т2)(Т1 -Т3)

г

__кТ2_е" Т

(7)

(Т1 -Т3)(Т2 -Т3)

Время переходного процесса Тп определяется по графику переходной функции как интервал времени от начала процесса до момента входа в 5%-ю зону, после которого из этой зоны график не выходит.

В качестве входного сигнала используется псевдослучайный двоичный сигнал, представленный на рис. 1.

г

Щ) А

t

-V

Рис. 1. Псевдослучайный двоичный сигнал

Для расчета выходного сигнала используется динамическая регрессионная модель ординат (1). Предполагается, что аддитивная случайная составляющая выхода подчиняется нормальному распределению со следующей функцией плотности распределения:

I (е) =

1

(е - т)2

Параметрами распределения являются: т - математическое ожидание, равное нулю; о - среднеквадратичное отклонение, о=0,5. График выходного сигнала представлен на рис. 2.

(8)

1

1

е

Рис. 2. График выходного сигнала

624

Оценивание неизвестных параметров динамической регрессионной модели для данного объекта проводится в два этапа.

На первом, стартовом этапе, модель рассматривается как линейно-параметризованная и вычисляется МНК - оценка вектора коэффициентов

разложения Ал = (¿1, ¿2, ¿/3), а грубая оценка параметра затухания определяется следующим образом:

А

^ = —, (9)

X

п

где А=10 [1,2,4].

Оценка вектора коэффициентов разложения определяется при помощи метода наименьших квадратов по формуле:

(10)

Ал = (ГТГ)-1 ¥ТУ,

где У - вектор дискретных значений выхода; Б - матрица базисных функций размерностью (N-1,1):

í - Т - л

IТ Ф1)

^ =

1Т Ф 2)

1Т Фм-/У

I (Ф)- вектор-функция базисных функций, который имеет вид: _ /-1 /-1 Г Ф) = ( I и((п - т - 1)АЩт, I и((п - т - 1)А)^2ш,

т=0 т=0

/-1

Iи((п - т - 1)А)р3т ) т=0

Результатом стартового этапа является грубая оценка параметра за тухания и оценка вектора коэффициента разложения (табл.1).

(11)

Таблица 1

Оценки элементов вектора неизвестных параметров на стартовом этапе

/V О ¿1 ¿2 ¿3

0,05813953 0,11746183 -0,47368721 0,23142569

На втором, уточняющем, этапе оценивается полный вектор неизвестных коэффициентов А = (а, ¿1, ¿2, ¿з). При этом используется нелинейный метод оценивания - метод Гаусса-Ньютона, а результаты первого

этапа используются как начальное приближение вектора неизвестных па-

дТ(0) Л дт

раметров. Т. е. принимается, что А = (а, Ал ,) [1,2].

Метод Гаусса-Ньютона реализуется следующим образом:

А( 5+1) = А( + м-1( А( 8 ))г (А^х 8=0,1,...,

(12)

где

N-I

м(А(8)) = х уф(А(8)УФТ(А(8),и);

У г -Ф( А( 8),и; )

1=1

~ ~ N-1 - г

~(А(8)) = X УФ(А(8)Д) 1=1 -д(8) д к 1-1 Ф(А(8),и) = ЕЩ Xи((п -т - 1)Ы)Ри I=1 т=0

Т д д I-1 I-1

УФ7 (А,и) = ( хи((п - т - 1)М)Р1т, хи((п - т - 1)А1)р1т, т=0 т=0

чт '

I-1 к I-1

X и((п - т - 1)А?)Ьзт, X аг X и((п - т - 1)А?)

т=0 I=1 т=0

дРт ) да

(1з)

Данная процедура реализуется до выполнения правила останова:

АА( 8)

<е

где

аа(8) = м-1(А(8))Г(А(8)). (14)

Недостатком процедуры Гаусса-Ньютона является зависимость сходимости и ее скорости от точности начального приближения. Часто эта процедура вообще расходится.

Если процедура Гаусса-Ньютона расходится, то необходимо использовать модификацию метода Гаусса-Ньютона - метод Хартли, который обеспечивает сходимость процедуры.

Идея метода Хартли заключается в использовании на каждой итерации не полного значения отклонения, а какой-то его части.

А<8+1) = А(8) +а8 ааИ (15)

Априори коэффициент а8 не известен. Он определяется в процессе отладки программы.

В данном примере процедура Гаусса-Ньютона расходится и применяется метод Хартли. Коэффициент а8=0,01.

Результатами уточняющего этапа являются:

1) таблица сходимости оценок неизвестных параметров (табл. 2);

2) графики исходной и оценочной импульсных переходных функций (рис. з);

3) доверительный коридор для значений импульсной переходной функции (рис. 4), который рассчитывается по формуле:

± г

4

т

ф (¡А?)соу(Л)ф(/А?)

где ф (т,а) = (ф(г,а), ф2(т,а), ((га)}; соу(Л) - ковариационная матрица оценок неизвестных параметров, г г/ - квантиль распределе-

N-1-0,1-'%,

ния Стьюдента.

Таблица 2

№ итерации /V а /V а1 а3

1 0,05813953 0,11746183 -0,47368721 0,23142569

2 0,05605389 0,12988846 -0,49708257 0,21090964

3 0,05813953 0,11746183 -0,47368721 0,23142569

4 0,05738354 0,12043025 -0,47840917 0,22198782

5 0,05813953 0,11746183 -0,47368721 0,23142569

6 0,05805345 0,11778889 -0,47418812 0,23035338

Рис. 3. График исходной и оценочной ИПФ

Рис. 4. График доверительного коридора для ИПФ

Статистический анализ полученной динамической модели регрессии [3] состоит из следующих этапов:

1. Оценка дисперсии внешнего шума.

2. Проверка значимости коэффициентов регрессии.

3. Проверка адекватности представления результатов эксперимента полученной моделью регрессии.

Для данного примера оценка дисперсии внешнего шума Var(e)=0,25; все коэффициенты являются значимыми; модель является адекватной и пригодной для дальнейшего использования.

Список литературы

1. Фатуев В.А. Математические модели объектов управления / В. А. Фатуев, Т.Н. Маркова. Тула: Тульский государственный университет, 2002. 119 с.

2. Фатуев В. А. Построение оптимальных моделей динамики по экспериментальным данным: уч. пособие. Тула: Тульский государственный университет, 1993. 104 с.

3. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов / Круг Г.К., Кабанов В.А., Фомин Г.А., Фомина Е.С.. М.: Наука, 1981. 169 с.

4. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. 208 с.

Фатуев Виктор Александрович, д-р техн. наук, проф., Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Храпова Анна Геннадиевна, бакалавр техники и технологии, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SIMULA TIONMODELING METHODS FOR NONLINEAR ESTIMA TION OF UNKNO WN PARAMETERS OF LINEAR COMBINA TION OF THE DYNAMIC REGRESSION MODEL

V.A.Fatuev, A.G.Khrapova

This article is devoted to the simulation of non-linear estimation procedure of unknown parameters of linear-combination of dynamic regression model using experimental and statistical methods. An example of the nonlinear estimation procedure for a dynamic object of the third order, as well as the results of modeling.

Key words: simulation, linear-combinatorial DRM, estimation of unknown parameters.

Fatuev Viktor Aleksandrovich, doctor of technical science, professor, Russia, Tula, Tula State University,

Khrapova Anna Gennadievna, bachelor of engineering and technology, Russia, Tula, Tula State University