CC BY
38
УДК 62-25 Линейцев Владимир Юрьевич,
к. т. н., доцент кафедры «Строительство железных дорог», Забайкальский институт железнодорожного транспорта, Чита, тел. +7-914-492-5894, e-mail: [email protected]
Ильиных Виктор Анатольевич, к. т. н., доцент кафедры «Прикладная механика и инженерная графика», Забайкальский институт железнодорожного транспорта, Чита, тел. + 7-924-472-8846
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕТАЛЕЙ КОНИЧЕСКОГО СОЕДИНЕНИЯ НА ОСНОВЕ Р^3 ПРОФИЛЬНЫХ КРИВЫХ
V. Yu. Lineycev, V. A. Il'inyh
SIMULATION OF CONICAL PARTS BASED ON Р-3 PROFILE CURVES
Аннотация. Одним из наиболее ответственных сопряжений в кинематических и силовых цепях машин являются мо-ментопередающие соединения. В последнее время в ряде промышленных стран (Российской Федерации, Германии, Венгрии и др.) нашли применение моментопередающим РК-профильным соединениям (профильные соединения с равноосным контуром) взамен традиционно используемых шлицевых и шпоночных.
В практике машиностроения зарубежных стран РК-профильные соединения используются в коробках скоростей и гитарах токарных полуавтоматов, выпускаемых фирмами Pitller, Bamessberger, Fortuna, в двигателях строительных машин Volvo, кузнечнопрессовом оборудовании и др.
Профильные соединения с равноосным контуром применяются как в силовых механизмах для передачи большого крутящего момента, так и в кинематических для точной передачи вращательного движения при относительно небольших значениях крутящего момента, а также в реверсируемых механизмах.
В настоящее время хорошо исследованы неподвижные цилиндрические РК-профильные соединения с гарантированным зазором и натягом. В то же время остаётся ряд нерешённых задач расчёта и конструирования РК-профильных соединений, выполненных по коническим поверхностям.
В статье представлена модель имитационного моделирования деталей конического соединения некруглого (РК-3) профиля с применением численных методов решения дифференциальных уравнений 2-го порядка. РК-3-профильная кривая контактирующих поверхностей обеспечивает высокую прочность соединения при передаче крутящего момента от ступицы к валу при небольших усилиях сборки конического соединения. Отмечено, что применение специального программного обеспечения, реализующего алгоритмы имитационной модели, позволяет исследовать РК-3-профильные конические соединения при проектировании технологической оснастки инструментальных систем. Излагается актуальность разработки имитационной модели и подробно описываются ее составные элементы.
Ключевые слова: РК-3-профиль, имитационная модель, натяг, инструментальные системы.
Abstract. One of the most critical interfaces in the kinematic and power circuits of machines are compounds which serve to transmit torque. Recently, several industrial countries (Russia, Germany, Hungary, and others) found application for P-3 connections (profile connection with equiaxed contour) instead of traditionally used slotted and keyed ones.
In other countries engineering practice P-3 connections are used in gearboxes and semi-automatic lathes adjusting plates manufactured by Pitller, Bamessberger, Fortuna, in the engines of Volvo construction machines, forging equipment, and others.
Profile connection with equiaxed contour are used in power mechanisms for transmitting high torque, and in kinematic transmissions for accurate rotational motion at relatively low values of torque, and a reversible mechanism.
At precent, motionless cylindrical P-3connections with guaranteed gap and interference fit are well-studied. However, there is a number & unsolved problems of P-3 connections on conical surfaces calculation and design.
The article presents a simulation model of conical parts of non-circular connection (P-3) using numerical methods for solving differential 2nd order equations. P-3 profile curves of the contacting surfaces provide a high bonding strength when transmitting torque from the hub to the shaft with little effort assembly of conical parts. It is noted that the use of special software realizing algorithms of the simulation model allows us to investigate P-3 profile connection with interference in the design of tooling systems machining attachments. Also the article sets the urgency of developing a simulation model, and describes in detail its constituent elements.
Keywords: P-3 profile, simulation model, interference, tooling systems.
Профильные бесшпоночные соединения применяются вместо шпоночных и шлицевых соединений в конструкциях машин и узлов для передачи крутящего момента. Профильное соединение - это подвижное или неподвижное соединение двух соосных деталей, контактная поверхность которых в поперечном сечении имеет форму плавной замкнутой кривой, отличной от окружности. Эти соединения могут быть с гарантированным зазором или натягом, а также с переходными посадками [1]. Актуальность их исследования в том, что в отличие от традиционных моментопередаю-щих соединений профильные соединения, в т. ч.
РК-профильные, имеют ряд эксплуатационных и технологических преимуществ по сравнению со шлицевыми соединениями [2-5]:
- повышенная усталостная прочность и крутильная жесткость профильных валов;
- сниженный приработочный износ и интенсивность установившегося износа;
- кратное уменьшение шумовых характеристик коробок скоростей с РК-3-профильными соединениями для горизонтально-фрезерного станка;
- уменьшение веса, автоматическое центрирование под нагрузкой и т. п.
Одним из главных недостатков профильных соединений является наличие распорных усилий, особенно для тонкостенных соединений с малым количеством граней. Также затруднено изготовление профильных отверстий, в отличие от профильных валов [1, 3].
Область применения таких соединений широка. Профильные соединения могут быть использованы как в силовых механизмах автомобилей, так и в кинематических цепях металлорежущих станков для точной передачи вращательного движения при относительно небольших значениях крутящего момента, а также в реверсируемых механизмах [5].
В настоящее время научный интерес представляет исследование РК-профильных соединений, выполненных по коническим поверхностям, которые могут применяться в качестве разборных неподвижных реверсируемых соединений в различных узлах станков и машин.
Сведения о расчетах данного вида соединений в литературных источниках не приведены.
Основная часть
В данной статье рассматривается разработка имитационной модели непрерывных профильных соединений с равноосным контуром и количеством граней, равных трем, т. е. разработка имитационной модели РК-3-профильных соединений с учетом их специфики формирования и работы под нагрузкой.
Имитационная модель должна обеспечивать в случае конической контактной поверхности сборку соединения под действием сборочной силы, вращение собранного соединения при действии центробежных сил и работу собранного соединения под действием внешней нагрузки (сил резания), заданной в общем случае пространственным вектором сил и моментов. Помимо этого в модель должна быть заложена случайная составляющая (шероховатость) контактирующих поверхностей. Также в произвольный момент времени должна быть возможность определения динамических и прочностных характеристик работы формирующегося или уже сформированного соединения. Цилиндрические профильные соединения в данной статье не рассматриваются.
Разработанная имитационная модель сопряжения конических РК-3-профильных соединений позволит:
- провести статистическое исследование влияния погрешности формы контактирующих поверхностей на точность положения вала в от-
(1)
верстии втулки при их сопряжении и работе соединения под нагрузкой;
- решить оптимизационные задачи при определении основных характеристик сборки соединения и его работы под нагрузкой;
- определить экстремальные и средние значения прочностных и точностных характеристик;
- дать рекомендации по режимам работы собранного соединения под нагрузкой и т. п.
В основу разработанной имитационной модели положены труды [2, 6, 7] и координаты непрерывной кривой равноосного контура, заданные в параметрическом виде [5]:
X (Д /) = (0,5О - е ес8( N • /)) • со8(/) -
- N • е • 8т(N • /) • 8т(/), ¥ (Д /) = (0,5О - е со8( N • /)) • 81и(/) + + N • е • 8ш( N • /) • со8( /), где: В - расчетный диаметр РК-3 профильной кривой, мм;
N = 3 - количество граней (кратность) профильной кривой;
е - эксцентриситет профиля, мм;
/ - угловой параметр профиля, 0... 2п, рад.
В работах [8, 9] для РК-3-профильных кривых приняты значения расчетного диаметра 50 мм и эксцентриситета 1,8 мм. Шаг углового параметра / принят равным 0,001 рад.
При имитационном моделировании для конической поверхности расчетный диаметр О = 50 мм - это большой диаметр, а малый диаметр й определяется в соответствии с конусностью К = (О — й)/Ь и длиной Ь соединения. Производные координат профильной кривой (2) по параметру /
Хп(Д /) = -(0,5О - е со8(N • /)) • зш(/) -
- N2 • е • со8(N • /) • 8ш(/),
(2)
¥п(О, /) = (0,5О - е со8( N • /)) • со8(/) + + N2 • е • со8(N • /) • со8(/) необходимы для определения нормали к поверхности профильной кривой при расчете сил и направлений контактного взаимодействия как во время сборки соединения, так и при его работе под нагрузкой.
Результаты обработки координатных кривых РК-3-профильной кривой показаны на рис. 1, 2.
На рис. 1 отображен в полярных координатах расчетный диаметр В (окружность), сама РК-3-профильная кривая (скругленный треугольник) и кривая производных координат РК-3-профильной кривой (треугольная скругленная звезда).
Машиностроение и машиноведение
На рис. 2 показана развертка полярного угла этих же кривых в прямоугольной сетке координат по параметру /
Рис. 1. РК-3-профиль и профиль производных РК-3-профильной кривой
Рис. 2. Полярные углы РК-3-профиля
Коэффициент «deg» (рис. 2) переводит углы из радианов в градусы. Полярные радиус-векторы Z(D, А), Zn(D, А и полярные углы /(/), Ап(/) РК-3-профильной кривой и ее производных определены по формулам:
г (д /) = у1 х 2(д /)+т 2(д /),
2пф, /) = Л/ Хп 2( П. /) + Тп 2 (Б. /)
Гт (П. /
(3)
fi(f ) = arctg
fin(f ) = arctg
X(D, f )
Yn(D, f ) Xn( D, f )
(4)
Анализ параметрических координат полярного угла fi(f) предполагает наличие кривой, похожей на «повернутую» синусоиду, график которой подробно показан на рис. 3. Данный график характеризует уклонение нормали fs(f) РК-3-профиля от центрального направления.
Линейный характер зависимости полярного угла производных РК-3-профильной кривой fin(f ) = f + 0,5% от углового параметра f позволяет определить это уклонение нормали как
fs(f ) = fi(f) - fin(f) - 0,5% = fi(f) - f, (5)
где 0,5% - угловое смещение полярного угла производных профиля.
Рис. 3. Уклонение нормали РК-3-профиля
На рис. 3 также показано, что при существующем технологическом исполнении РК-3-профильных поверхностей (сочетании эксцентриситета и геометрических размеров РК-3-профиля) это уклонение практически не отличается от синусоиды. Кривая /) - идеальная синусоида, определяемая зависимостью /) = А ■ Бт( N ■ /) , где А - некоторая амплитуда.
При увеличении эксцентриситета е будет наблюдаться более сильное отличие уклонения нормали /•(/) от синусоиды _/Я(/) и рост амплитуды А . При уменьшении эксцентриситета е кривые /•(/) и _/Я(/) будут практически идентичны, а амплитуда синусоиды А будет уменьшаться. При нулевом эксцентриситете е (окружность) уклонение и амплитуда станут равными нулю, при этом для окружности все нормали к кривой будут направлены в центр кривой отверстия О (рис. 4, а), не создавая момента для силы
Таким образом, наличие эксцентриситета е в РК-3-профиле обеспечивает возникновение дополнительного плеча для сил реакции ^ и увеличивает сопротивление РК-3-профильного соединения действию крутящего момента (рис. 4, б).
При разработке имитационной модели контактного взаимодействия деталей конического соединения типа «вал - втулка» необходимо для всех точек поверхности вала определять величину
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
аг^
А¥ (О, / )>
-ф = 0,
X (О, /)
где ф - полярный угол расчетной точки вала Втп в системе координат отверстия втулки, который
и направление сил реакции ^ и сил трения Гтр,
чтобы рассчитать величину «отскока» контактирующих поверхностей при их взаимодействии.
Одним из самых важных элементов в этих расчетах является правильное определение величины уклонения нормали /s(f) и входного значения углового параметра / при известном конечном координатном положении деталей в произвольный момент времени I на к -м шаге моделирования.
находится также через арктангенс, т. е. ф = аг^(утп / хтп ) для каждой точки поверхности вала в текущий момент времени и принимает разные, но постоянные значения в рамках одного решения уравнения (6).
Если учесть, что параметрические функции координат РК-3-профиля ¥(О, /) , X(О, /) (1) содержат в себе тригонометрические функции, то однозначно можно утверждать, что аналитического решения уравнения (6) нет. Однако существует возможность решить это уравнение численно, что вполне можно осуществить в применении к разработанной имитационной модели.
Один из самых быстрых численных методов решения уравнений - рекуррентный метод Ньютона. Он обладает быстрой сходимостью и за несколько шагов можно получить результат с необходимой точностью.
Исходное уравнение при этом должно быть приведено к виду /(х) = 0 . Общий вид формулы по методу Ньютона выражается формулой [10]
х = х
/ (х) /' (х),
(7)
где х , х - начальное и скорректированное численное решение; / (х) , / (х) - исходное уравнение и его производная.
Исходя из выше сказанного, проще решить
¥ (О, /) утп
уравнение -=-, т. к. не надо выполнять
Х(Р, /) хтп тригонометрические преобразования, но при обработке всей поверхности вала для некоторых ее точек может возникнуть условие хтп = 0, и численного решения получить не удастся. Именно поэтому надежнее решать уравнения (6), которое по методу Ньютона приводится к виду g(/) = 0,
где g(/) = аг^
б) РК-3-профиль Рис. 4. Определение контактных точек и направления действия сил реакции
Тогда для определения уклонения нормали /8(/) и входного значения углового параметра /
для расчетной точки Втп с координатами хтп, утп поверхности вала в неподвижной системе координат на к -м шаге моделирования необходимо решать нелинейное уравнение
¥ (О, /)
Л
ф.
X (О, /),
Окончательно рекуррентная формула решения уравнения (6) имеет вид
/ '=/ -
аг^
¥ X
—
ф
X2 + ¥2
X • ¥п - ¥ • Xn
(8)
(6)
В этой формуле X, У, Хп, Уп - численные значения функций координат и их производных (1, 2). Для краткости аргументы функций опущены, а исходный полярный угол расчетной точки Втп равен ф = аг^(утп / хтп ). Начальное значение / принимается равным / = ф, которое впоследствии уточняется до значения /'. Алгоритм позволяет
не более чем за 5 итераций найти искомое значение углового параметра / с точностью 0,0001 рад
Машиностроение и машиноведение
[11]. Решение этого уравнения значительно замедляет процесс моделирования, т. к. его нужно решать для всех точек поверхности на каждом шаге моделирования независимо от того, есть в этой точке контакт поверхностей или нет.
При известном значении / определить величину уклонения нормали /s( /) не составляет труда (5). Также не составляет труда определить радиальный натяг А (рис. 4, б), являющийся разностью радиус-векторов отверстия втулки р О и вала для РК-3-профильных кривых
Лтп ЛЪ ло . п
= Рху -Ро > 0
(9)
где рО = д/X2(О,/) + ¥2(О,/) , рЪу ^ТхтГ+у!
Заключение
Проведенные исследования позволяют сформулировать основные элементы имитационной модели конического соединения на основе РК-3-профильных кривых [12, 13]. К ним относятся:
- дискретная координатная модель поверхности РК-3-профильного вала с учетом погрешности формы и связанная с ней подвижная система координат X0C0Y0 (рис. 4, б);
- непрерывная координатная модель поверхности РК-3-профильного отверстия втулки и связанная с ней неподвижная система координат XC¥;
- геометрические, физические и прочностные характеристики деталей конического соединения вала и втулки;
- аналитические зависимости между натягами и положением вала в отверстии втулки (9);
- аналитическое перемещение вала в отверстии втулки по шести координатам в пространстве (три смещения центра масс и три угла поворота) с учетом сил трения;
- возможность образования конического сопряжения под действием сборочной силы и работы собранного соединения под действием внешних сил.
Таким образом, на базе проведенных исследований предлагается имитационная модель формы деталей РК-3-профильного соединения, выполненного по коническим поверхностям.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зенин Н.В., Камсюк М.С. Технологические методы формообразования поверхностей бесшпоночных соединений // Сборка в машиностроении приборостроении. 2005. № 9. С. 35-40.
2. Ильиных В.А. Расчет и выбор конструктивных параметров профильных соединений с равноосным контуром : дис. ... канд. техн. наук. М., 1987.185 с.
3. Индаков Н.С. Технологическое управление эксплуатационными свойствами РК-профильных соединений : автореф. . канд. техн. наук / Брян. ин-т трансп. машиностроения. Брянск, 1979. С. 21.
4. Моргунов А.П. Разработка и обеспечение прочности профильных неподвижных неразъемных соединений : автореф. ... докт. техн. наук / Омск. гос. техн. ун-т. Омск, , 1998. 38 с.
5. Тимченко А.И. РК-профильные соединения и их применение в различных отраслях промышленности. // СТИН. 1993. №2. С. 13-18.
6. Линейцев В.Ю. Контактная прочность, жесткость и точность разъемных неподвижных конических соединений в инструментальных системах : автореф. ... канд. техн. наук : 01.02.06 / В. Ю. Линейцев. Иркутск, 2006. 23 с.
7. Линейцев В.Ю. Контактная прочность, жесткость и точность разъемных неподвижных конических соединений в инструментальных системах : дис. ... канд. техн. наук : 01.02.06 / В. Ю. Линейцев. Иркутск, 2006. 184 с.
8. Рожкова Е.А., Ильиных В.А. Расчет и конструирование моментопередающих профильных соединений с равноосным контуром с натягом // Транспортная инфраструктура Сибирского региона. 2012. Т. 2. С. 493-497.
9. Профильное соединение вал-ступица с равноосным контуром с натягом авторское : свидетельство № 142049 Рос. Федерация. №2013149425.
10.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров : пер. с англ. М. : Наука, 1984. 832 с.
11. Линейцев В.Ю. Определение параметров асимметричной железнодорожной кривой // Безопасность регионов - основа устойчивого развития. 2014. Т. 1-2. С. 355-360.
12.Линейцев В.Ю., Ильиных В.А., Лукьянов П.Ю. Моделирование сопряжения деталей конического соединения : регистрационный номер № 5948. ОФАП, 2006 г.
13. Модифицированное профильное моментопере-дающее соединение вал-ступица с равноосным контуром с натягом : заявка № 2015107771 : опубл. 05.03.2015 г.
