CC BY
10IKKI KANALLI MOLEKULYAR-REZONANS MODELI XOS QIYMATLARINING SONI VA JOYLASHUV O'RNI
Nargiza Ahmedovna Tosheva
Buxoro davlat universiteti nargiza_n@mail .ru
Dildora Erkinovna Ismoilova
Buxoro davlat universiteti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada Fok fazosining nol zarrachali va bir zarrachali qism fazolarining to'g'ri yig'indisida ta'sir qiluvchi ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli qaraladi. Bu model ko'pi bilan 3 ta xos qiymatga ega bo'lishi hamdan ulardan ko'pi bilan 2 tasi muhim spektrdan chapda, ko'pi bilan 1 tasi muhim spektrdan o'ngda joylashganligi isbotlanadi.
Kalit so'zlar: molekulyar-rezonans modeli, birinchi va ikkinchi kanallar, Fok fazosi, xos qiymat, yo'qotish operatori, paydo qilish operatori.
In this paper we consider two channel molecular-resonance model acting in the direct sum of the zero-particle and one-particle subspace of the Fock space. We prove that this model has at most three eigenvalues and at most two of them lying on the left hand side of the essential spectrum and at most one of them lying on the right hand side of the essential spectrum.
Keywords: molecular-resonance model, first and second channels, Fock space, eigenvalue, annihilation operator, creation operator.
Kvant maydon nazariyasi, stoxastik fizika, ehtimollar nazariyasi va mexanikaning ko'plab dolzarb masalalari Fridrixs modeli va umumlashgan Fridrixs modeli nomi bilan mashhur bo'lgan operatorlarning spektral xossalarini o'rganish masalasiga keltiriladi. Ma'lum bir turdagi umumlashgan Fridrixs modellari esa ko'p hollarda ikki kanalli molekulyar rezonans modellari deb ham yuritiladi.
NUMBER AND LOCATION OF SPECIFIC VALUES OF THE TWO-CHANNEL MOLECULAR-RESONANCE MODEL
Nargiza Ahmedovna Tosheva
Bukhara State University nargiza_n@mail .ru
Dildora Erkinovna Ismoilova
Bukhara State University
ABSTRACT
KIRISH
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYA
Td orqali d o'lchamli torni, C orqali bir o'lchamli kompleks fazoni va L2 (Td)
orqali Td to'plamda aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymat qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz.
Faraz qilaylik, H0 := C (birinchi kanal), H1 := L2(Td) (ikkinchi kanal) va H := H © L (Td) bo'lsin. Ushbu
F(L (Td)) := C © L (Td) © L ((Td )2) ©.......
fazoga Fok fazosi deyiladi.
H0 va H fazolarga esa Fok fazosining mos ravishda nol zarrachali va bir zarrachali qism fazolari deyiladi. H fazoga esa Fok fazosining qirqilgan ikki zarrachali qism fazosi deyiladi.
Ixtiyoriy f = (f0, f ), g = (g0, g1) e H elementlar uchun ularning skalyar ko'paytmasi
(f, g ) = fo g 0 + J fi(t ) gi(t d
funksiyalar yordamida aniqlanadi. f = (f, f ) ning normasi esa
' i-
= /fol2 + J fi(t )|2 dt
Y Td
kabi aniqlanadi.
Chiziqli operatorlarning spektral nazariyasidan bizga ma'lumki, H fazoda aniqlangan har qanday chiziqli chegaralangan operator hamisha ikkinchi tartibli blok operatorli matritsa ko'rinishida tasvirlanadi. Ya'ni B e L(H) bo'lsa, u holda
b :=
B00 B01 VBi0 Bii y
tasvir o'rinlidir. Bunda By : H. ^ H , i, j = 0,i chiziqli chegaralangan operatorlar.
Ta'kidlash joizki, B blok operatorli matritsa o'z-o'ziga qo'shma bo'lishi uchun
B00 = B00 , B0i = B0i, Bii = Bii tenglikni bajarilishi zarur va yetarlidir.
MUHOKAMA
Blok operatorli matritsaning muhim sinflaridan biri bu soni saqlanmaydigan chekli sondagi zarrachalar sistemasiga mos Gamiltonianlardir. Bunday Gamiltonianlarni o'rganish masalasi zamonaviy matematik fizikaning dolzarb masalalaridan biridir.
Mazkur maqolada H Gilbert fazosidagi quyidagi ikkinchi tartibli blok operatorli matritsani qaraymiz.
rpd
au,a :=
A00 ^01 ^
juA* A0 -AV 01
Bunda
A00 f0 = af0 , A01 f1 = j V0 (t )f (t)dt,
n d
[Ahf)(x )= u (x)/1(x) (Vf)(x) = V1(x) j V1(t )/1(t )dt
rp d
Bu yerda A ^ operatorning parametrlari bo'lgan a, A, u sonlari hamda u(-),v0 (•) va v (•) funksiyalar quyidagi shartlar bilan olingan:
a - fiksirlangan haqiqiy son, uA - fiksirlangan haqiqiy musbat son (ta'sirlashish parametri), u(),v0 (•),v (•) funksiyalar esa Td da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalardir.
A^x operator uning parametrlariga qo'yilgan yuqoridagi shartlarda chiziqli,
chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma bo'ladi.
operatorning chizqli operator bo'lishini ko'rsatish uchun ixtiyoriy a,ße C
sonlar va ixtiyoriy f, g e H elementlar uchun
Aja (of + ßg) = aAM*f + ßAjAg
tenglik tekshiriladi.
A ^ operatorning chegaralangan ekanligini ko'rsatish uchun avvalo D(A Ä) = H ekanligi ko'riladi, hamda shunday C k > 0 soni topilib, ixtiyoriy f e H uchun
Aja/ * C
" u, a
tengsizlik bajarilishi ko'rsatiladi.
A ^ operatorning o'z-o'ziga qo'shmaligini ko'rsatish uchun ixtiyoriy f,g e H
elementlar uchun (A^ /, g) = (f, Au g) tenglik tekshiriladi.
Zamonaviy matematik fizikada Ai operator "yo'qotish operatori" deb ataluvchi maxsus nomga ega. Unga qo'shma bo'lgan A* operatorga esa "paydo qilish operatori" deyiladi. A ^ operatorli matritsa ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli deyiladi. O'rganilayotgan A ^ operatorli matritsa panjaradagi soni saqlamaydigan chekli sondagi zarrachalar sistemasiga mos keluvchi Gamiltonianni tavsiflaydi. An operatoriga esa Fridrixs modeli deyiladi va panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos Gamiltonianni tavsiflaydi.
Dastlab, AMÄ operatorning muhim spektrini aniqlash masalasini qaraymiz. Buning uchun, H Gilbert fazosida
A :=
^ 0 0 ^
0 A0
kabi aniqlangan ikkinchi tartibli blok operatorli matritsani aniqlaymiz. A^x - A blok operatorli matritsani qaraymiz:
A00 ^^01^
AuX A0 :=
uA* -XV
4 m
Ta'rifga binoan,
M AuX - A0 ) := ((a> bv0 (x) + cvi (x)) : abc e O v0 (•) va v (•) funksiyalar chiziqli bog'lanmagan bo'lgan holda, ushbu
f(1) = (1,0), f(2) = (0, Vo( x)), f(3) = (0, Vl( x))
ko'rinishdagi funksiyalar chiziqli bog'lanmagan bo'ladi.
Agar v0(•) va v(•) funksiyalar chiziqli bog'langan bo'lsa faqat f(1) va f(2) elementlar olinadi.
Ixtiyoriy f e Im( Au,A - A0) uchun shunday a, b, c g C sonlari topilib, f := (a, bv0 (x) + cv (x)) tasvir o'rinlidir. U holda
f = (a, bv0 (x) + cvi (x)) = af(1) + bf(2) + cf(3) tasvir o'rinli bo'ladi. Shu sababli dimIm(Au,A - A0) = 3 bo'ladi. Shunday qilib, Au,A - A0 blok operatorli matritsa chiziqli, chegaralangan, o'z-o'ziga qo'shma va ko'pi
bilan uch o'lchamli operator bo'ladi.
Agar v0(•) va v (•) funksiyalar chiziqli bog'lanmagan bo'lsa, - A0 uch
o'lchamli, ular chiziqli bog'langan bo'lsa ikki o'lchamli operator bo'ladi.
Bizga yaxshi ma'lumki, chekli o'lchamli qo'zg'alishlarda muhim spektrning o'zgarmasligi to'g'risidagi mashhur Veyl teoremasiga ko'ra AmJ va A0 blok operatorli
matritsalarning muhim spektrlari ustma-ust tushadi.
A0 blok operatorli matritsaning aniqlanishiga ko'ra, uning spektri uchun
<( A ):= {0} u[m, M ]
tenglik o'rinlidir. Bu yerda
m := min u(x), M := max u(x)
y1 d rp d
Bundan tashqari <jAsc (A) = {0}, <ess (A ) = [m, M]. Bu yerda 0 soni A0 operatorning oddiy (bir karrali) xos qiymat bo'ladi. Yuqoridagi mulohazalarga ko'ra,
(A^) = <ess (A0) = [m,M]
munosabat o'rinlidir. Ko'rinib turibdiki, AuA operatorning muhim spektri ¡u va A ta'sirlashish parametrga bog'liq emas.
Endi A)Ä blok operatorli matritsaning yakkalangan chekli karrali xos
qiymatlarini aniqlash masalasini qaraymiz.
Funksional analiz fanidan bizga yaxshi ma'lumki, A)Ä blok operatorli matritsa
o'z-o'ziga qo'shma bo'lganligi boiz, uning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.
A)Ä blok operatorli matritsaning diskret spektrini aniqlashda muhim bo'lgan
hamda C \[m, M] sohada
v2 (t)dt ,
A()(z) := « - z— ) J
u(t ) — z
Af(z):= 1 — ÄJ v'2(t) dt '
I(z) := J
u(t ) — z Vo (t)vi (t)dt
u(t ) — z
regulyar funksiyalarni qaraymiz.
Odatda A)Ä(z):=A()(z)A(f(z) — )12(z) funksiyaga A)Ä blok operatorli
matritsaga mos Fredgolm determinant deyiladi.
A)Ä blok operatorli matritsaning xos qiymatlari va A^ ( • ) funksiya nollari
orasidagi munosabatni ifodalovchi teoremani bayon qilamiz.
1-teorema. Har bir fiksirlangan ¿,Ä> 0 sonlari uchun z)Àe C\[m,M] soni
A)Ä blok operatorli matritsaning xos qiymati bo'lishi uchun A^(z^) = 0 bo'lishi zarur
va yetarlidir.
Ushbu maqolaning keyingi qismlarida yuqoridagi teoremaga asoslanib xos qiymatni topish maqsadida A)Ä( z):= z)Af( z ) — ä) 12( z ) Fredgolm determinantining I ( z) = 0 va
J vm., i=o,i
TdU(t ) — z
integrallar [m;m] kesmaning chegaraviy nuqtalarida chekli bo'lgan holdagi xos qiymatlar soni hamda ularning o'rnini topish masalasini qaraymiz. Endi I(z) = 0 bo'lgan holga misollar keltiramiz:
1-misol: d = 1 bo'lgan holda v0( • ) hamda v(• ) funksiyalarni quyidagicha tanlab olamiz:
fsint, t e [—^;0] V0(t) = ( 0, t e (0;.];
v(t)=1 te[—*;0]
[sint, t e (0;^]
V ( • ) hamda v ( • ) funksiyalarning tanlab olinishi va
T
rvoCOvitM
u(t) - z
ifoda o'rinli ekanligidan I ( z) = 0 tenglikning bajarilishi kelib chiqadi.
2-misol: v0(•) hamda v(•) funksiyalarni ularning ko'paytmasi toq funksiya va u(•) funksiyani juft bo'ladigan qilib tanlab olamiz. Td to'plamning simmetrikligi va toq funksiyalarning simmetrik oraliqdagi integrali nol ekanligidan I (z) = 0 tenglikning bajarilishi kelib chiqadi.
A(1) :=
^ Aoo vAoiï va A(2):= A0 - ÀV
A AO
0
y
bo'lsin.
Xos qiymatlar haqidagi quyidagi teoremani keltiramiz:
2-teorema. z g C \ <ress (A A) soni A x blok operatorli matritsaning xos qiymati
bo'lishi uchun z soni A) va A[2) operatorlarning kamida bittasi uchun xos qiymat
bo'lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi: z g C \ aess (A^ A) soni A)À blok operatorli matritsaning xos
qiymati bo'lsin. U holda birinchi teoremaga ko'ra, A^ ( z ) = 0 bo'lishi kerak. Ya'ni,
AM( z) = A()( z )A(f( z ) -V12( z)
hamda
I ( z ) = 0
ekanligidan, A)À(z) = A()(z)A(2)(z) tenglikka ega bo'lamiz. A()(z)A(2)(z) = 0 bo'lishi uchun ko'paytmalardan kamida bittasi nolga teng bo'lishi kerak. Bundan esa, A(ji)(z) = 0 yoki A(2)(z) = 0 bo'lishi kerakligi kelib chiqadi. Bu ikki tenglikdan,
z g C \ <ress (A a) soni mos ravishda A) yoki Aa2) operatorlarning xos qiymati bo'lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi: Faraz qilaylik, z soni A) va A(2) operatorlarning kamida bittasi
uchun xos qiymat bo'lishi ma'lum bo'lsin. U holda, z soni A)À blok operatorli
matritsaning xos qiymati bo'lishini isbotlaymiz.
Farazimizga ko'ra, z soni A) va Af] operatorlarning kamida bittasi uchun xos
qiymat bo'lsa, ular uchun mos ravishda quyidagi tengliklardan kamida bittasi o'rinli bo'ladi:
A()(z) = 0, A(2)(z) = 0. U holda I(z) = 0 bo'lganligi uchun A^(z) = 0 bo'lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi tenglik o'rinli ekanligi kelib chiqadi:
adisc (AM,Ä ) = adisc () U adisc (Ai2) )
Ushbu maqolada hozirgacha faqatgina xos qiymatlarning mavjudlik shartlari va ko'pi bilan nechta xos qiymatga ega bo'lishini ko'rib chiqdik. Maqolaning keyingi qismida esa, agar z soni AmJ blok operatorli matritsaning xos qiymati bo'lsa, bu xos
qiymatlar qay holatda qayerda joylashishini o'rganamiz. NATIJA
[1-30] ishlarda Fridrixs modeli va umumlashgan Fridrixs modelining muhim va diskret spektrlariga oid tadqiqotlar olib borilgan. Endi A{2) operator xos qiymatlarini topish masalasini qaraymiz, teoremadan chiqargan xulosamizga ko'ra ularning birlashmasi AMÄ blok operatorli matritsaning xos qiymati bo'ladi.
XULOSA
Berilishiga ko'ra, A(2) operatorning Fredgolm determinant quyidagi ko'rinishga
ega:
A(f( z) := 1 — Af v2(t) dt.
^du(t) — z
A(jf) (z) kamayuvchi funksiya. Chunki:
d x d
f ..2^ \
v2(t)
d A(f( z) = d 1 — Af-v-i^- dt =— f v (t < 0.
u(t) — z
v 2(t )dt
V ~ y
d (u (t ) — z ) 2
A(A(-) funksiyaning aniqlanishiga ko'ra barcha z > M lar uchun A(^}(z) > 0
bo'lganligi uchun A\ ) blok operatorli matritsa barcha A larda M dan katta xos qiymatga ega emas.
1-hol: A(2)(m) > 0 bo'lsin. U holda A(2) blok operatorli matritsa xos qiymatga ega emas.
1.1. A(^(m) > 0 va A(^(M) < 0 bo'lsa, A(J} blok operatorli matritsa [m;M] kesmadan tashqrida xos qiymatga ega emas. Bu holda, AmA blok operatorli matritsa [m; M ] kesmadan tashqarida xos qiymatga ega emas.
1.2. A(^(m) > 0 va A(^(M) > 0 bo'lsa, A(J} blok operatorli matritsa [m;M]
kesmadan tashqrida yagona xos qiymatga ega va bu xos qiymat M dan o'ngda joylashgan. Bu holda, blok operatorli matritsa m dan chapda xos qiymatga ega
emas va M dan o'ngda bitta xos qiymatga ega.
1.3. A(^(m) < 0 va A(^(M) < 0 bo'lsa, A(J} blok operatorli matritsa [m;M] kesmadan tashqarida yagona xos qiymatga ega va bu xos qiymat m dan chapda
joylashgan. Bu holda, Am A blok operatorli matritsa m dan chapda bitta xos qiymatga ega, M dan o'ngda xos qiymatga ega emas.
1.4. A(^(m) < 0 va A(^(M) > 0 bo'lsa, A(J) blok operatorli matritsa [m;M]
kesmadan tashqarida ikkita xos qiymatga ega bo'lib, bu xos qiymatlarning biri m dan chapda, ikkinchisi M dan o'ngda joylashgan. Bu holda, blok operatorli matritsa m
dan chapda 68itt ava M dan o'ngda bitta xos qiymatga ega.
2-hol: A(jP(m) < 0 shart bajarilganda A[2) blok operatorli matritsa m dan chapda
yagona xos qiymatga ega. Shu sababli 1-holdagi barcha tasdiqlarda blok
operatorli matritsa uchun m chapda joylashgan xos qiymatlar soni bittaga ortadi.
REFERENCES
1. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.
2. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
3. Бахронов Б.И., Мансуров Т.З. (2021). Вычисление существенного спектра обобщенной модели Фридрихса в системе MAPLE. НТО, 2-2(77), 35-38.
4. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.
5. Тошева Н.А., Шарипов И.А. (2021). О ветвях существенного спектра одной 3х3-операторной матрицы. Наука, техника и образование, 2-2(77), 44-47.
6. Хайитова Х., Ибодова С. (2021). Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 48-52.
7. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. ВНО, 16-2(94), 9-13.
8. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
9. Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.
10. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.
11. Бобоева М.Н., Меражов Н.И. (2020). Поля значений одной 2х2 операторной матрицы. Вестник науки и образования, 17(95), 14-18.
12. Dilmurodov E. (2020). Discrete eigenvalues of a 2x2 operator matrix. ArXiv:2011.09650. 1-12.
13. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.
14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
15. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5(10), 511519.
16. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.
17. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
18. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
19. Умарова У.У. (2019). Обычные и квадратичные числовые образы 2x2--матриц. оператора. Учёные XXI века, 6-1(53), 25-26.
20. Умарова У. (2018). Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного моднльного оператора. Учёные XXI века, 5-3(40), 13-14.
21. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.
22. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
23. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретный спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня, 1(60), 17-20.
24. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. (2020). Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation. European science, 2(51), 7-10.
25. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
26. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.
27. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.
28. Рашидов А.Ш., Халлокова О.О. (2015) Пороговое собственное значение модели Фридрихса. Молодой ученый, 95:15, 1-3.
29. Рашидов А.Ш., Мирзаев Э.Э. (2016). Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое значение. Молодой ученый, 2, 23-25.
30. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки. 63:4, 2932.
