Иерархия времен релаксации и модельные кинетические уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЕРАРХИЯ ВРЕМЕН РЕЛАКСАЦИИ И МОДЕЛЬНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

М. А. Рыдалевская

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Настоящая работа посвящена описанию газовых смесей с внутренними степенями свободы и химическими реакциями на основе модельных кинетических уравнений, которые являются аналогами модели Крука. В отличие от известных модельных уравнений в работе аппроксимируется только та часть интегрального оператора кинетических уравнений, которая соответствует столкновениям, определяющим быструю стадию процесса. Обладая теми же достоинствами и недостатками, что и БГК-модель, подобные модельные уравнения позволяют получить замкнутые системы уравнений для минимального числа экстенсивных или сопряженных им интенсивных параметров при исследовании равновесных и неравновесных режимов течений газовых смесей с физикохимическими процессами.

1. Введение. Для описания движения атомно-молекулярных смесей с внутренними степенями свободы и любыми химическими реакциями, включая диссоциацию и трехчастичную рекомбинацию, в работе используется система кинетических уравнений [1], представляющих собой обобщение уравнения Больцмана.

Как известно, системы кинетических уравнений больцмановского типа содержат интегральные столкновительные операторы. Наибольшие трудности при решении этих уравнений как асимптотическими, так и численными методами, связаны со сложным видом интегралов молекулярных столкновений. Для упрощения решения задач многие исследователи используют модельные кинетические уравнения, содержащие некоторую аппроксимацию оператора столкновений.

Впервые модельное кинетическое уравнение было введено Круком [2]. Далее последовала серия статей, в которых даны обобщения этого уравнения и показаны примеры их использования. Обзор этих работ можно найти, например, в [3]. В качестве недостатка подобных моделей обычно указывается, что они содержат только один параметр — время релаксации. При этом в первом приближении метода Чепмена—Энскога (МЧЭ) получается функция распределения, не позволяющая вычислить коэффициент теплопроводности (а в случае смеси газов, и другие коэффициенты переноса) с достаточной степенью точности. Для исправления этого недостатка была предложена S-модель [4], которая позволяет в первом приближении МЧЭ более точно вычислить коэффициент теплопроводности простого газа. В работе [5] приведены модельные кинетические уравнения, представляющие собой аналог ^-модели, и дано их обобщение на смеси газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями.

На основе модельных кинетических уравнений И. Н. Лариной и В. А. Рыковым был осуществлен расчет ряда течений разреженного газа. Ими же был сформулирован общий алгоритм построения кинетических моделей [6].

© М. А. Рыдалевская, 2010

Следует отметить, что во всех упомянутых работах в каждом из кинетических уравнений осуществляется некоторая замена всего столкновительного оператора. В этих условиях модельные уравнения позволяют определить отклонения от локально равновесных и слабо неравновесных функций распределения.

При решении методами кинетической теории задач высокоскоростной и высокотемпературной газодинамики наряду с упругими столкновениями молекул необходимо учитывать неупругие, сопровождающиеся изменением различных видов их внутренней энергии или химического состава. Известно, что молекулярные столкновения разного типа происходят с различной частотой. Средние промежутки времени между такими столкновениями могут сильно различаться. Следствием этого является формирование на определенных временных интервалах, обычно называемых временами релаксации, некоторых квазистационарных распределений, равновесных или слабо неравновесных по одним степеням свободы микрочастиц и сильно неравновесных по другим.

Существует некоторая иерархия времен релаксации, т. е. они удовлетворяют системе неравенств [7]

Т1 < Т2 < ... < Те.

Обычно время релаксации Т1 соответствует установлению равновесных распределений по поступательным, а Т2 — по поступательным и вращательным степеням свободы микрочастиц; через те обозначено время установления полного термодинамического и химического равновесия.

В этих условиях можно рассматривать режимы течения, слабо неравновесные по одним степеням свободы микрочастиц и сильно неравновесные по другим [8, 9, 1]. Для описания таких режимов можно использовать некоторое обобщение из [2]. Именно такой подход используется в настоящей работе. Он позволяет рассматривать течения с разной степенью неравновесности на основе модельных кинетических уравнений, сохраняя их преимущества и недостатки.

Для стандартизации описания течений с разной степенью неравновесности наряду с уравнениями для плотностей определяющих экстенсивных параметров в работе используются уравнения для сопряженных им интенсивных параметров.

2. Модельное представление ведущего столкновительного оператора.

В работе рассматриваются разреженные газы, допускающие описание на уровне одночастичных функций распределения /(г, и, £); поступательная энергия микрочастиц описывается квазиклассически, внутренняя энергия считается квантованной (индекс г соответствует частицам определенного химического сорта с фиксированным набором квантовых чисел, характеризующих уровни их внутренней энергии). В безразмерных переменных система кинетических уравнений может быть представлена в виде

Л/; = г = ~1, (1)

где Di и Л[, Jlil —дифференциальный и интегральные операторы в безразмерной форме; £ = т/9, в — характерное макроскопическое время, т соответствует максимальному из времен релаксации, которое много меньше в; описывает столкновения, среднее время между которыми много меньше в; среднее время между столкновениями оператора Л" сравнимо с величиной в или превосходит ее [8, 9, 1].

Оператор Л[ обычно называют ведущим столкновительным оператором. Столкновения, описываемые этим оператором, формируют некоторое квазистационарное рас-

пределение /(0), которое является предельным решением уравнения (1) при £ —> 0. По аналогии с работой [2] введем аппроксимацию

Л = /(0) - /. (2)

Подставляя (2) в (1) и возвращаясь к размерным переменным, получим систему модельных уравнений

/•(°) _ /•. _______________

= ^-------- + •/", г = 1,-Г. (3)

Т

В рассматриваемых условиях функции распределения / (0) имеют вид

,(0) т

/• ' = 84р-еХР . ;и . 2

Здесь И — постоянная Планка, 8; и т; — статистический вес уровня внутренней энергии и масса г-й микрочастицы, с = и — V — ее собственная скорость (V — среднемассовая скорость газа), £; —часть внутренней энергии г-й молекулы, которая заменяется поступательной при столкновениях, описываемых оператором Л/, ^(0) = т;с2/2 + £; и ^(Л) (Л = 1, Л)—аддитивные инварианты столкновений этого оператора, 7л (А = 0, Л) — параметры, которые могут зависеть лишь от координат и времени и определяются из условий нормировки:

£ / /.<0)Л<Ч * = £= Фх, а = ттл. (6)

г г

Общее число частиц в единице объема п(0) = ^; п(0). Плотности п(0) частиц г-го сорта, вычисленные с использованием функций /(0) (4), имеют вид

Пг(0) = У/^°} йс = ехр(^7оё* + ^7л^(Л)^^р^) • (7)

Сопоставляя известное термодинамическое равенство

е4г = | п(0)кТ,

где е4г — поступательная энергия молекул, к — постоянная Больцмана, Т — температура газа, с формулой (5), получаем соотношение

1

70 " _кТ'

Одним из критериев адекватности предлагаемых кинетических моделей является справедливость Н-теоремы Больцмана. Для газов с внутренними степенями свободы и

любыми химическими реакциями, включая диссоциацию и рекомбинацию, Н-функция имеет вид (см., например, [1])

Н = Е //; (1п / — 1)^ (8)

г

В формуле (8) введено обозначение /; = /;/(в;т3/Ь3). Абсолютная и равномерная на любом конечном отрезке времени сходимость интеграла доказывается так же, как для простого газа (см., например, [10]).

В пространственно однородном газе

^ = £/‘,ф(с. ««

г

При этом уравнения (3) примут вид

^ } ~ ^ + 7/', г = Т7Т. (10)

а£ т

Подставляя (10) в (9), получаем

^ 1п/*(/*0) / 1п/^"^с- (и)

г г

В операторе Л/1 учитываются как прямые, так и обратные столкновения, соответствующие медленным физико-химическим процессам, поэтому второе слагаемое в правой части (11) может быть записано с использованием интегральной леммы. В этих условиях легко увидеть справедливость неравенства

]Г У 1п /; Л/1 ас < 0. (12)

г

При рассмотрении первого слагаемого в правой части (11) обратимся к формуле (4), из которой следует равенство

Л

р(0) — 'С2 /2 _1_ £ -) _1_ ^.„„/,(л)

1п Л = 70(т;е2/2 + £;) + ^ ^л^,.

А=1

Используя условия нормировки (5), (6), получаем

Е/ // — /.) ас = 0.

г

Соответственно, первое слагаемое в правой части (11) может быть представлено в виде ЫМ^0) - Л) \ ^2 /(1п^ _ 1пЛ(0))(/Г} - Л) лс. (13)

г г

Подинтегральное выражение в (13) удовлетворяет очевидному неравенству

(1п /; — 1п /(0))(/^0) — /;) < 0,

следовательно,

Формула (11) с учетом (12) и (14) позволяет записать соотношение

ЙЯ

-г- < °-

Таким образом, справедливость Я -теоремы Больцмана для системы модельных кинетических уравнений вида (3) доказана.

3. Уравнения для определяющих макропараметров. В рассматриваемых ситуациях суммарные значения аддитивных инвариантов оператора 7/ являются определяющими экстенсивными параметрами.

Умножая каждое из уравнений (3), записанное в собственных скоростях, на импульс ш;с и энергию т;с2/2 + микрочастиц, а также на инварианты ^(Л), не зависящие от скорости с, интегрируя полученные выражения в пространстве собственных скоростей и суммируя по г, получаем уравнения для скорости V и для плотностей ^д, определяющих экстенсивных параметров (Л = О, Л):

^ „ 1 „ ,

— = Р - -V -Р, 15

аъ р

= 37 = - (+ Р : у'1’ + + г0, (16)

аъ аъ

(17)

Здесь й/йЪ = д/дЪ + V • ▽; Р — сила, действующая на единицу массы газа; р — массовая плотность газа; P = / /т;сс йс — тензор давления; д0 = / /(т;с2/2 + е;)с йс —

вектор переноса той части энергии, которая является инвариантом оператора 7/; =

5^®/ 1гф\^С(1с— векторы переноса инвариантов ф\Х^ (Л = 1, Л); гх = / Ф^ ^1'

(Л = О, Л)—релаксационные члены, определяющие скорость изменения плотностей определяющих экстенсивных параметров за счет медленных физико-химических процессов.

Из условий нормировки (5)—(7) следует, что зависимость параметров фх (А = О, Л) от координат и времени определяется соответствующей зависимостью величин 7л (А = 0,Л). В [1] было показано, что эти величины являются интенсивными параметрами, сопряженными определяющим экстенсивным параметрам, и якобиан перехода имеет вид

^ = в^ь...м > 0

£(70,71, •••Лл)

Используя (5) и (6), можем записать

*Дл=ЛЭДл<!7,_ Л = 0Д. (19)

ЙЪ ^ д7^ йЪ 1/=0

Подставив (19) в (16) и (17), получим соотношения, которые можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Й7^/йЪ (V =

0,Л). Правые части этих уравнений соответствуют правым частям уравнений (16) и

(17). Решение этой системы может быть представлено в виде

сЬ/и/А = Д„, V = 0, Л, (20)

где = ёе^ / ёе^ det — якобиан перехода (18), ёе^ соответствует определителю ёе^ в котором столбец производных по 7^ заменен столбцом правых частей уравнений (16)

и (17).

Уравнения (15) и (20) можно рассматривать как систему уравнений для определения скорости V и интенсивных параметров (V = 0, Л). Эта система, как и система урав-

нений (15)—(17) для V и плотностей определяющих экстенсивных параметров, ничем не отличается от системы, которая получается из обобщенных кинетических уравнений больцмановского типа. Для замыкания этих систем нужно знать потоковые члены, которые выражаются через функции распределения.

Для решения модельных уравнений при исследовании релаксационных или слабо неравновесных режимов течения газовых смесей наиболее естественно использовать модифицированный метод Чепмена—Энскога (ММЧЭ) [7, 8, 1].

4. ММЧЭ в терминах интенсивных параметров. В безразмерных переменных модельные кинетические уравнения имеют вид (1) с учетом замены (2). Раскладывая функции распределения в ряд по малому параметру е, можем записать

/* = Ее”^п)’ % = ~1- (21)

п=0

Наиболее естественно в качестве нулевого приближения использовать функции (4), удовлетворяющие условиям нормировки (5), (6). Согласно ММЧЭ, для функций /(п) при п > 1 должны выполняться соотношения

Е / Л* Лс = °. А = ОД. (22)

г

Подставляя разложение (21) в безразмерные модельные уравнения и приравнивая члены при одинаковых степенях е, а затем возвращаясь к размерным переменным, получаем

/п) = т^ - Д(п)(/0),...,/”-1)) + 7"(п)(/(0),...,/(и-1))^, п > 1. (23)

Операторы ^((п) и ^,,(и) соответствуют стандартной процедуре разбиения дифференциальных и интегральных операторов в модифицированном методе Чепмена—Эн-скога.

Уравнения (15), (16) и (17) в разных приближениях ММЧЭ имеют вид

^ V-Р™. ^ = -у-Р<Ч -.>1; (24)

аъ р оъ р

^0^0 аое ( ^(0) . ,• (оЛ , (0)

= ~Ж = ~ V е ^ + : у V + ёпг ' ) + го >

дп^0 дП^ {^Гп) | л- (П)А I (п) - 1 (пк\

= ~о£ = -( р1 • уо + <11Уф, ' I + г£, II > 1; (25)

= ~ с1т; + с11у <7^°^ + г^0\

дпф\ 1- (п) . (п) . л л ч----7- /пп\

= —шу^д ; + Гд , п > 1; Л=1,Л. (26)

Здесь для простоты массовые силы предполагаются отсутствующими. Тензор P (п), век-

(п) (п) I \ п Л~\

торы с±\ и скалярные величины гД (Л = и, Л) определяются так же, как в уравнениях

(15)—(17), с заменой функций / на /(п).

Справедливость формул (22) легко доказывается после подстановки в них функций (23), конкретизации вида операторов Д(п) и использования уравнений (24)—(26).

Уравнение Крука [2] и его известные обобщения позволяют получить для простого газа и некоторых слабо неравновесных течений газовых смесей функции распределения и замкнутые системы макроскопических уравнений в разных приближениях метода Чепмена—Энскога, не решая интегральных уравнений. Система модельных уравнений (3) позволяет сделать то же самое для различных релаксационных режимов течения нейтральных газовых смесей с любыми физико-химическими процессами.

Функции (4) зависят от координат и времени через интенсивные параметры 7д (Л = О, Л). Дифференциальные операторы кинетических уравнений, соответствующие разным приближениям ММЧЭ, содержат производные от функций распределения предыдущих приближений, а значит, производные от интенсивных параметров. При этом разбиение на части самих дифференциальных операторов производится путем выделения членов разного порядка в уравнениях для плотностей определяющих экстенсивных параметров. В этих условиях не явно подразумевается необходимость выражения интенсивных параметров через экстенсивные в каждом приближении ММЧЭ.

Использование уравнений (20) для интенсивных параметров упрощает получение высших приближений этого метода. Выделяя в этих уравнениях члены разного порядка малости, можем записать равенства

= д(0) ^_>=ДМ п>1; ^ОД, (27)

л и ’ дг и ’ ~ ’ ’ ’ у 7

где д!п) = ёе^п) / det ( п = 0,1,...), определитель detV”) соответствует определителю

(18), в котором столбец производных по 7^ заменен столбцом правых частей уравнений (25), (26), записанных в соответствующем приближении.

Правые части уравнений (24) можно выразить лишь через параметры 7^, поэтому уравнения (24) и (27) при фиксированном п можно рассматривать как систему уравнений для определения скорости V и интенсивных параметров 7„, V = 0, Л.

Для исследования течений газовых смесей с внутренними степенями свободы молекул и химическими реакциями в работе предложены модельные уравнения, позволяющие описывать течения, которые являются слабо неравновесными по одним степеням свободы и сильно неравновесными по другим. В уравнениях газовой динамики осуществлен переход от определяющих экстенсивных к сопряженным интенсивным параметрам. Обсуждаются преимущества такого перехода для реализации модифицированного метода Чепмена—Энскога и для исследования течений газов с физико-химическими процессами в рамках модельного приближения.

1. Рыдалевская М. А. Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 248 с.

2. Bhatnagar P. L., Gross E. P., Krook M. A model for collision processes in gases // Phys.

Rev., 1954. Vol. 94. P. 511-539.

3. Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007. 352 с.

4. Шахов Е. М. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Крука // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. №1. С. 156-161.

5. Цибаров В. А. Модельное кинетическое уравнение и интегро-дифференциальные уравнения переноса для смеси газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями

// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1971, №13. С. 135-138.

6. Ларина И. Н., Рыков В. А. Модели линеаризованного интеграла столкновений Больцмана // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47. №6. С. 1029-1044.

7. Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.

8. Нагнибеда Е. А. О модификации метода Чепмена—Энскога для смеси реагирующих газов с учетом быстрых и медленных процессов // Вестн. Ленингр. ун-та, Сер. 1. 1973. №7, С. 109114.

9. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория прцессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 272 с.

10. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИИЛ, 1960. 510 с. (Пер. с англ. S. Chapman, T. G. Cowling. The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases. Cambridge Univ. Press, 1952.)

Статья поступила в редакцию 14 января 2010 г.