CC BY
27
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 1 (2015). С. 13-18.
УДК 517.984.54
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОЛИНОМА В НЕРАСПАДАЮЩИХСЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ В СЛУЧАЕ КРАТНОГО НУЛЕВОГО
СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ
А.М. АХТЯМОВ, Р.Р. КУМУШБАЕВ
Аннотация. В работе рассматривается задача восстановления коэффициентов полинома в спектральных задачах с нераспадающимися краевыми условиями по одному кратному нулевому собственному значению и по п ненулевым попарно-различным собственным значениям. Доказана теорема единственности решения этой обратной задачи.
Ключевые слова: собственные значения, краевые условия, характеристический определитель.
Mathematics Subject Classification: 35L75, 65А18, 34К29
1. Введение
При решении прикладных задач математической физики возникают спектральные задачи с полиномиальным вхождением параметра в краевые условия [1]—[4], а также задачи с оператором в краевых условиях [5]. В соответствующих обратных задачах по известным спектрам восстанавливаются неизвестные коэффициенты в уравнении и краевых условиях [6]-[13]. В [14] идентифицировался полином в распадающихся краевых условиях по конечному набору различных собственных значений. В [15] восстанавливался полином степени т в нераспадающихся краевых условиях по т +1 различным собственным значениям. Однако, информация о кратности собственных значений в [15] не использовалась. В настоящей статье используется информация о кратности нулевого собственного значения. В этом случае для идентификации полинома используется меньшее число собственных значений (< т).
2. Постановка задачи
Рассмотрим спектральную задачу следующего вида:
у" + Pi(x,X)y' + Р2(х,Х)у = 0, (1)
иг(у) = ац(Х)у'(0) + аг2(\)у(0) + аг3(\)у' (1) + агА(\)у(1) = 0, (2)
где А — спектральный параметр; г = 1, 2; х Е [0,1]; р1(х, А), р2(х, А) - непрерывно дифференцируемые функции по х и А; а^ (i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4) - непрерывно дифференцируемые
A.M. Akhtyamov, R.R. Kumushbaev, Identification of a polynomial in nonseparated boundary conditions in the case of a multiple zero eigenvalue.
© Ахтямов А.М., Кумушваев Р.Р. 2015.
Работа поддержана Советом по грантам Президента РФ (грант НШ-1096.2014.1), РФФИ (гранты 14-01-
97010-р_поволжье_а, 15-01-01095_а), Министерством образования науки Республики Казахстан (гранты
МОН РК 2217/ГФЗ, МОН РК 2989/ГФЗ).
Поступила 24 августа 2014г.
функции по Л и
4
|aíj(Л)| = 0, при i = 1, 2 и любых Л. (3)
i=i
В настоящей статье решается следующая обратная задача. Пусть одна из функций «2j- (А) (j = 1, 2, 3, 4), которую мы обозначим через «2р(А), представляет собой полином следующего вида:
m
а2р(А) = a2ps^S.
s=0
Известны п +1 собственных значений А0, Ai,..., Ага задачи (1) — (2). Одно из них А0 = 0 кратности г0, причем m = п + г0 — 1 - степень полинома «2р(А). Требуется восстановить полином «2р(А).
3. Теорема единственности
Обозначим через у1(ж, А) и у2(ж, А) линейно независимые решения дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее в точке х = 0 условиям
yi(0,A) = 1, yi(0, А) = 0, У2(0,А) = 0, у2(0, А) = 1. (4)
Собственные значения А& являются корнями характеристического определителя [16]
ТТ,(о,Л тт,(о,Л .4
А(А)
tflfol) ^Ы
^(Ш) ^Ы
(А) ^(А), (5)
3 = 1
где
А21 (Л) = «12(А) + а1з(А) у'(1, А) + «М(АЫ1, А), ^22(А) = -ап(Л) - «13(А)у2(1, А) - «14(А)у2(1, А), Лз(А) = «12(А)у2(1, А) + «14(А) Ж(1, А) - «и(А)у/1 (1, А), ^24(А) = «12(АЫ1, А) - «и(А)У1(1, А) - «1з(А) Ш(1, А), Ж (1, А) = Ш(1,А) у2 (1, А) - у' (1, А) ^(1, А), при к = 0,1,...,га.
Если р1(ж, А) = 0, то из (4) и формулы Лиувилля для определителя Вронского [17, Гл. V, п. 17.1] следует, что Ш(1,А&) = 1.
Функция А2р(А), определенная в (5), где р выбрано выше, выражается через известные коэффициенты «^ и известные функции у1(ж,А) и у2(ж,А).
Теорема. Полином «2р(А) степени т из краевого условия (2) однозначно восстанавливается по одному нулевому собственному значению А0 = 0 кратности г0 и по п = т - г0 + 1 ненулевым попарно различным собственным значениям А1, А2,..., Хп, если ^2Р(Ай) = 0, к = 0,1,...,гс.
Доказательство. Покажем, что при А2р(А^) = 0, то полином «2р(А) восстанавливается однозначно, а при А2р(А^) = 0 однозначное восстановление полинома невозможно.
Пусть А2р(А^) = 0, то из равенств А(А&) = 0 и (4) следует, что
' ^ (А^)
^2р(Ай )
«2P(Afc ) = — «2, (Afc) , к = 0, 1,...,п. (6)
.7 = 1, 3=р
Подставляя в (4) известные собственные значения, получаем систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов «2р5, где з = 0, ...,т.
&2р0 + ^2р1А1 + ... + «2ртА™ = - ^^ «2^-(А&) ) , (7)
• Т"/ А2р(Лк)
где к = 0,1,..., п.
Система линейных алгебраических уравнений (7) имеет га +1 неизвестных и п + 1 = (га — Го + 2) уравнений. Однозначное определение коэффициентов полинома через данную систему уравнений невозможно, так как количество неизвестных в системе уравнений больше количества уравнений. Однако, по условию задачи Ао = 0 имеет кратность Г .
Из определения кратности корня следует, что
Л(А0 ) = 0, Д'(А0) = 0,
Д(Г0-1) (А) = 0,
, ДЫ(А0) = 0.
Из (5) и (8) получаем
Д(А0)= ^ а2з(А) А*,(А), з = 1
4
Д'(А0)= £ (А0) Ац(А0) + а2,(А)А^(А0)) з = 1
Д(г0-1)(А) = Е (^0-1 40-1)(АО) ^(А,) +... + с;0:^-(А)40-1)).
3 = 1
Используя (9) и собственное значение Ао = 0, определим первые Го коэффициентов полинома а2рз(А) с помощью рекуррентных соотношений:
Е (с? а« (0)^2, (0) + С1а271)(0)А2, (0) + ■ ■ ■ + (0)^25(0))
.7 = 1, з=р
^2Р(0)
'10)
(с! а2,р,г-1А'2р(0) + С2а2,Р,г-2А/2/р(0) + ■ ■ ■ + С>Ро 4?(0))
^2Р(0) где г = 0,1,..., Го — 1.
Следовательно, восстанавливаемый полином имеет следующий вид:
«2Р(А) = «2Р0 + «2Р1А + ... + Рг0-1А"0-1 + ... + &2ртАт,
где а2ро , ...,а2 рГ0-1 находятся из рекуррентных соотношений (10), а оставшиеся а2рГ0,...,а2рт не известны. Восстановим их с помощью остальных п = (га — Го + 1) известных ненулевых попарно-различных собственных значений А1,..., Ап задачи (1) — (2). Обозначим известную часть полинома а2р(А) следующим образом:
V(А) := а2Ро + ^2Р1А + ... + а2рГ0-1А(г0-1), тогда система уравнений (7) имеет следующий вид:
Я>2рг0 Ак° + ... + а2ртАк = —
4
£
3 = 1, 3=Р
(Ак) — ^^), л2р(Ак )
11)
где А2р(Хк) = 0, а к = 1,2,...,т — г0 + 1. По условию задачи собственные значения А^ А2,..., \т-г0+1 попарно различны и отличны от нуля, поэтому, разделив все уравнения системы (11) на , где к = 1,т — г0 + 1, получим:
«2рг0 + ... + «2 pm^k
Y^ a2j (Ak)
A2j (Afc) V(\k)
^2p(Afc )\rk°
\ro Ak
0 = 1, 0=Р
Определителем системы (12) относительно неизвестных а2рз, где з = г0, ляет собой определитель Вандермонда
'12)
, т, представ-
1 А1 . . Am
Д= 1 А2 . m . ^2 = (Хп - Хп-1)... (Хп - А1)... (А2 - А1) = 0;
1 Хп . m . Лп
поэтому система уравнений (12) имеет однозначное решение, которое можно найти, например по формулам Крамера:
_ Д1 А
«2рго д , . . . , «2рт
13)
А ' ' 2рт А '
где определители Д^ (г = 1, ..., п) представляют собой определитель А, в котором г-й столбец заменен на столбец из свободных членов системы уравнений (12). В случае А2р(Хк) = 0 теорема доказана. Решение задачи определения коэффициентов полинома дается с помощью формул (10) и (13).
Если полином А2р(Х) обращается в нуль в точках А = Ак, то из представления (5) следует, что равенство Д(Ак) = 0 возможно при любом а2р(Хк). Поэтому в случае А2р(Хк) = 0 полином а2р(Хк) восстанавливается неоднозначно. Что и требовалось доказать.
4. ПРИМЕРЫ Пример 1. Рассмотрим задачу следующего вида
-У" = А2 у, у'(0)+ у(1) = 0, у'(1) - «24(A) у(1) = 0,
где а24(А) = а240 + а241А + а242А2 + а243А3 + а244А4. Необходимо восстановить коэффициенты полинома а24(А) по трем собственным значениям: по собственному значению А0 = 0, которое имеет кратность, равную трем, и по двум собственном значениям А1 = п, А1 = 2^. Характеристический определитель данной задачи имеет следующий вид:
Д(А) = 1 + A sin(A) - «24(A) cos А.
Так как р = 4, то А24 = — cos А и А24(0) = 1 = 0. Используя уравнение (10) и собственное значение А0 = 0, найдем первые три коэффициента полинома а24(А):
3
«240 = 1 «241 = 0, «242 = 2.
Тогда наш искомый полином примет следующий вид:
3
«24 (А) = 1 + 2 + «243 А3 + Й244А4.
Коэффициенты а243 и а244 можно восстановить по собственным значениям А1 = п и А = 2^ по формуле (13):
_ Д2 _ 4 9 _ Д1 _ 2 3
а243 = X = - ^ - , а244 = X = ^ + 4^2.
Отсюда получаем, что
MA) = , + 2д2 - ( 4 ) Л3 + (± + ^) Л4.
П р и м е р 2. Для спектральной задачи
-У" = А2 у, у'(0) - у'(1) = 0, у(1) - «22 у(0) = 0.
Характеристический определитель данной задачи имеет следующий вид:
Д(А) = (1 + «22) (cos Л - 1) .
Однозначное восстановление коэффициента а22 по собственному значению Л = 0 этой задачи невозможно, так как не выполняется условие А22(0) = 0. Действительно, ^22(0) = -ап - a,i3 у2(0) - ai4 Ы0) = -1 + 1 ■ cos(0) - 0 ■ sin(0) = 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1983. № 9. С. 190-229.
2. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. №1. С. 115-119.
3. Ахтямов А.М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам одной спектральной задачи // Математические заметки. 1992. Т. 51, вып. 6. C. 137-139.
4. Ахтямов А.М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Математические заметки. 2004. Т. 75, вып. 4. C. 493506.
5. S.S. Mirzoev, A.R. Aliev, L.A. Rustamova On the Boundary Value Problem with the Operator in Boundary Conditions for the Operator-Differential Equation of Second Order with Discontinous Coefficients // Журн. матем. физ., анал., геом. 2013. Vol. 9, №. 2. P. 207-226.
6. I.M. Nabiev, A.Sh. Shukurov Properties of the spectrum and uniqueness of reconstruction of Sturm-Liouville operator with a spectral parameter in the boundary condition // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan. Vol. 40. Special Issue. P. 332-341.
7. Kh.R. Mamedov, F. Cetinkaya Inverse problem for a class of Sturm-Liouville operator with spectral parameter in boundary condition // Bound. Value Probl. 2013, Article ID 183, 16 p., electronic only. http://link.springer.com/journal/volumesAndIssues/13661
8. Мамедов Х.Р. Об одной краевой задаче со спектральным параметром в граничных условиях // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, Вып. 2. С. 281-290.
9. E.S. Panakhov, H. Koyunbakan, Ic. Unal Reconstruction formula for the potential function of Sturm-Liouville problem with eigenparameter boundary condition // Inverse Problems in Science and Engineering. 2010. Vol. 18, №1, P. 173-180.
10. M.V. Chugunova Inverse spectral problem for the Sturm-Liouville operator with eigenvalue parameter dependent boundary conditions // Oper. Theory: Adv. Appl. 2001. Vol. 123 (Basel: Birkhauser) P. 187-194.
11. Ван Дер Мей К., Пивоварчик В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2002. Т. 36, № 4. C. 74-77.
12. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратная задача для пучка операторов с нераспадающимися краевыми условиями // Доклады Академии наук. 2009. Т. 425. № 1. С. 3133.
13. G. Freiling, V. Yurko Inverse problems for Sturm-Liouville equations with boundary conditions polynomially dependent on the spectral parameter // Inverse Problems. 2010. Vol. 26, 055003. 17 p.
14. Ахтямов А.М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 8. C. 1127-1128.
15. Ахтямов А.М., Кумушбаев Р.Р. Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, вып. 11. С. 1549-1552.
16. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 526 с.
17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1976. 576 с.
Ахтямов Азамат Мухтарович, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия
Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН, пр. Октября, 71, 450054, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
Кумушбаев Рустем Райманович, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
