Идентификация параметров сбалансированной межотраслевой динамической модели экономической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

шЮтайка/СоПеП/ЫЫю/Ь 1 /т£огт_тап/ц1_1_2.

6. Микешин А.И. Теория экономических информационных систем. М.: Финансы и статистика, 1993.

7. Балута В.И. Проблемы рынка информационных услуг в потребительской сфере. [электронный ресурс]. Режим доступа. http://www.cadrem.ru/ Ма1епаЬ/2005/2005 DоcBa12/DоcBa12 2005.вМт1.

УДК 338.4:004

Кирова К.С., Доценко А.Е., Мараховский А.С.

идентификация параметров сбалансированной межотраслевой динамической модели экономической системы

Проблема реструктуризации национальной экономики во все времена являлась актуальной, как в период подъема валового производства для увеличения темпа роста, начиная с 1998 года, так и в настоящий момент с целью нейтрализации влияния мирового финансового кризиса. В статье предлагается оригинальный метод оценки инвестиционных воздействий, а также прогнозирования и планирования структурных изменений, необходимых макроэкономической системе для поддержания сбалансированных темпов роста валового производства. Математическую основу данного метода составляет динамическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева. Метод содержит описание процедуры преследования выходных параметров экономической системы, которые должны удовлетворять требованиям эталонной системы, с наперед заданными пропорциями и магистральным темпом роста валового производства.

В методе предполагается взаимодействие двух динамических моделей макросистем, одну из которых будим называть развивающейся,

X ()= В-1 (Е - А - К)Х ()+ В_1и (),

(1)

Х(0) = Х0,

а вторую эталонной системой следующего вида:

Хт ()= ОтХт (), хт(0) = хт0, (2)

здесь Х(?) и Хт(?) - уровень валового внутреннего продукта развивающейся и магистральной системы; А - матрица прямых материальных затрат; В - матрица приростных фондоемкостей; К - матрица конечного потребления; и(?) - внешнее инвестиционное воздействие; От - матрица замкнутой магистральной системы.

Развивающаяся система не в состоянии самостоятельно перераспределить пропорции ВВП оптимальным образом, поэтому в модели предус-

мотрена внешняя инвестиционная составляющая и(?) пока неизвестная, но благодаря которой должен получиться результат совмещения ВВП развивающейся и эталонной системы. Из этого следует, что разность

7(0 = Хт(?) - Х(?) (3)

стремится к нулю при ? = т.е. 7(^) = 0. Для практических целей необходимо синтезировать такое внешнее управление и(?), которое бы за конечное время ?к приводило разность 7(?к) к нулю. При этом, начиная со времени ?к, уровень ВВП развивающейся системы должен совпадать с уровнем эталонной системы.

Определение функциональной зависимости разностного процесса 7(?), позволяет вычислить траектории сближения развивающейся и эталонной системы по формуле:

Х^О = Хт(?) - 7(?). (4)

Оптимальный процесс перехода макроэкономической системы из несбалансированного состояния в сбалансированное состояние является разностью двух процессов: первого -эталонного (магистрального процесса) Хт(?) и второго - асимптотически устойчивого процесса 7(?). Причем устойчивость 7(?) гарантирует сближение траекторий ВВП развивающейся макросистемы с магистралью или любой другой наперед заданной функцией развития.

Имея в наличии лишь оптимальные траектории перехода из одного состояния в другое сложно, что-либо сказать о параметрах оптимальной системы Хпот. Эти параметры необходимо знать для получения информации о том, как и в каких пределах необходимо изменить экономические параметры развиваемой несбалансированной системы для достижения оптимальных траекторий развития.

Получим параметры оптимальной системы в явном виде, для этого воспользуемся уравнением разностного процесса (3) и равенством (4):

Хт - Xnew = О + О -В^(Е -А - К)) 7) (Х - X" ),

'' ' 4 т пете^'

далее, учитывая (2) имеем: ^пеш = (£т - В-1 (Е - А - К)) Упе„ -

-(От - В-1 (Е - А - К))гХт. (5)

Из уравнения полученной системы следует, что траектории оптимального переходного процесса зависят от траекторий эталонной системы как внешнего вынуждающего воздействия (Хт), внутренних параметров замкнутой эталонной системы (От) и регулятора 7, способствующего оптимальному сближению траекторий развиваемой системы и эталонной. Без этих параметров система (5) вырождается в первоначальную несбалансированную систему (1). В этом проявляется взаимосвязь между макросистемой находящейся в первоначальном состоянии и оптимально функционирующем состоянии. Для перевода из первого состояния во второе необходимы изменения в экономических параметрах развиваемой системы. Эти изменения не очевидны даже при наличии уравнения оптимальной системы в явном виде (5).

Несбалансированная система (1) может развиваться в магистральном режиме только при наличии структурных изменений в коэффициентах матриц А, В, К. Учитывая эти изменения перепишем систему (1) в следующем виде:

X ( )=(В + АВ (Е -(А + АА )-

-(К + АК))Хф, (6)

где АА, АВ, АК - добавки к коэффициентам прямых, капитальных и трудовых затрат, необходимые для функционирования системы в магистральном или любом наперед заданном режиме.

Определение конкретных значений этих добавок является экономико-математической задачей идентификации параметров макросистем. Устойчивые решения задач идентификации [1] всегда связаны с наличием априорной информации об объекте или системе и погрешностях в задаваемых параметрах. Кроме того должна учитываться способность макросистемы к изменениям конкретных параметров. В любом случае появление добавочных коэффициентов в системе (6) связано с изменением финансовых потоков, циркулирующих внутри системы, и финансовых потоков которыми система обменивается с внешней средой (импорт-экспорт).

Не теряя общности рассуждений можно переписать систему (6) в эквивалентном виде:

Х()= В- (Е - А - К -АМ)Х(), (7)

где АМ - коэффициенты матрицы, отвечающие за импортно-экспортное воздействие. В этом случае внешние инвестиции, которые влияют непосредственно на капитальные коэффициенты, можно рассматривать как часть импортируемого финансового потока. Тогда задачу идентификации можно свести к задаче определения коэффициентов матрицы АМ, которые с одной стороны характеризуют структурные изменения, а с другой учитывают импортно-экспортные и инвестиционные воздействия над системой с целью приведения ее в сбалансированное состояние.

Сравнивая системы (5) и (7), следует отметить, что система (7) является замкнутой, а система (5) разомкнутой с программным управлением 7Хт. Тем не менее, траектории развития этих систем должны быть идентичны, так как система (7) также как и система (5) развивается в магистральном режиме при одинаковых начальных условиях. Тождественное равенство траекторий развития Хпот = X предполагает равенство их производных, следовательно:

Хпеш = (°т + (°т - В ^ (Е - А - К )Хпе№ -

-(От - В-1 (Е- А - К))гХт (8)

X()= В-1 (Е - А - К - АМ)Х ().

Для определения коэффициентов матрицы АМ необходимо соответствующим образом подготовить тождество (8). Произведем замену переменных. Пусть АМ1 = -(Е + 7) (ОтВ - Е + А + К) и АМ = АМ1 + АМ2, тогда

Xпеш = В-1 (Е - А - К - АМ 1)Xпеш ~

-(От - В-1 (Е - А - К ))Хт X ()= В-1 (Е - А - К -АМ 1)Х ()-.

(9)

- В-1 АМ2Х(?).

Тождественность систем (9) предполагает равенство:

В1АМ2Х(?) = (О - В \Е - А -

- К))7Хт($ (10)

или

АМ2Х(?) = В(О - В-1(Е - А -

- К))7Хт(^) (11)

и в сокращенном варианте

АМ2Х(?) = р(?), (12)

где Р(0 = В(От - В1(Е - А - К))7Хт(().

В стационарном случае равенство (12) представляет собой систему линейных алгебраических

уравнений, т.е. произведение матрицы ЛМ2 на вектор Xдает вектор р. В динамическом варианте это равенство должно соблюдаться для любого момента времени на интервале [tH, tK]. Этим свойством можно воспользоваться для определения коэффициентов матрицы ЛМ2.

Таким образом, задача идентификации коэффициентов матрицы ЛМ сводится к определению матрицы ЛМ2 (ЛМ1 известна и определена выше), которая бы при умножении на вектор X(t) была бы равна вектору правой части P(t) системы линейных алгебраических уравнений (12) на интервале времени [tH tK].

Для нахождения элементов первой строки матрицы ЛМ2<'> необходимо сформировать матрицу коэффициентов X на основе вектора X(t), изменяющегося во времени на интервале [tH, tK]. При этом дискретизации должен быть подвергнут и вектор P(t). Таким образом, в результате получается СЛАУ:

ХЛМ 2<1>=р1. (13)

Проделанные преобразования можно пояснить графически [2] с помощью рис. 1, для чего подробно рассмотрим произведения элементов первой строки матрицы ЛМ2<'> уравнения системы (12). На протяжении всего временного участка первая строка матрицы ЛМ2<'> умножается на вектор столбецX(t). Сумма произведений строки ЛМ2<'> и столбца X(t1) в момент времени t1 равна Pj(t1). Аналогичные действия выполняются для всего интервала времени [tH, tK]. Применение дискретизации по времени дает возможность рассматривать вектор столбец X(t) как матрицу коэффициентов X, необходимую для определения элементов

первой строки матрицы ЛМ2, что и записано в виде СЛАУ (13).

Обобщая данные преобразования на случай определения /-ой строки матрицы ЛМ2 решение системы (13) будет иметь вид:

ЛМ 2< > = X _1р;-. (14)

Как показано в (14) нахождение всех элементов матрицы ЛМ2 зависит от результата обращения матрицы X. Первая трудность при обращении X возникает в связи с тем, что матрица прямоугольная, т.е. n < m или количество уравнений в системе больше количества неизвестных. Такие системы называются переопределенными и их решение находится с помощью нормализации. Система нормальных уравнений имеет вид

(XTX)ЛМ2<> = (XTв ) (15)

Матрица коэффициентов XT X симметрична и положительно определена, следовательно, используя вариант гауссова исключения можно решить нормальные уравнения с затратами, вдвое меньшими, чем требуется для стандартной программы решения систем линейных уравнений SGEFS, которая входит в известный пакет Lin-pack.

Но матрица XTX имеет большое число обусловленности, поэтому, независимо от того, каким именно способом решать нормальные уравнения, ошибки в данных и ошибки округления, вносимые в процессе решения, значительно увеличиваются в вычисляемых коэффициентах. Определение числа обусловленности имеет вид неравенства, которое для системы нормальных уравнений (15) запишется как:

АМ2<!> X(t) p1(Î)

Рис. 1. Графическое пояснение преобразований

A(AM if

AM Т

:Cond (XTX И

(16)

Величина

AßJ

есть относительное измене-

ние правой части, а величина

A(AM if

- от-

AM 2<

носительная ошибка, вызываемая этим изменением. Неравенство (16) показывает, что число обусловленности Cond (XTX) выполняет роль

коэффициента увеличения относительной ошибки. Изменения в правой части могут повлечь за собой изменения в решении, большие в Cond раз.

Для матрицы X величина Cond (XT Xf составляет порядка 1011-1020, что является очень большим значением, т.к. хорошо обусловленными считаются матрицы с Со^<103 , а плохо обусловленными с ^nd>105.

В линейной алгебре существует способ решения СЛАУ с помощью сингулярного разложения (SVD - Singular Value Decomposition) [3]. Это наиболее надежный способ решения СЛАУ близких к вырожденным. Его надежность достигается дорогой ценой - он требует в 5-10 раз больше арифметических операций, чем стандартные методы.

Если X - матрица размера m х n и m > n, то одна из форм SVD имеет вид

X = WZVT (17)

где W и V - ортогональные матрицы, а X - диагональная матрица. W - матрица размера m х m, V - матрица размера n х n, а

'а 0

1=

а 2

n-1

вырожденной матрицы. Итак, если матрица X вырождена, то, по крайней мере, сп = 0. На практике сингулярные числа редко в точности равны нулю, однако если матрица X близка к вырожденной, некоторые из сингулярных чисел будут малыми. Отношение 01 / Сп можно рассматривать как число обусловленности матрицы X. Это не тоже самое число обусловленности, которое описано выше, но оно имеет во многом сходные свойства и обычно является величиной такого же порядка.

Использование сингулярного разложения для решения задачи наименьших квадратов заключается в следующем:

рАМ2<1> -^Ц = АМ2<1> -Щ = = Жт АМ2<1>)= (18) = \\^т АМ 2< >-Жт рЦ.

Обозначив Жт в1 через с1 и УГАМ2<'> через г,

получим

- ||2

\\XAM 2<l >-ßJ =\\Tz -t

(19)

= (а1 - Zl - dl )2 + ... + (anZn - dn f+ dl+1 + - + d

i2 'm'

- диагональная

матрица размера т х п (т.е. такого же размера, как X). Кроме того, > с2 > ... > Сп > 0. Величины называются сингулярными числами матрицы X. Наименьшее сингулярное число Сп равно расстоянию в евклидовой норме от X до ближайшей

Если ни одно из сингулярных чисел не равно нулю, мы можем однозначно выбрать г , (или, что эквивалентно, АМ 2<1>), чтобы свести эту величину к ее минимуму

IX АМ 2<1>-р| = d2n+l +... + d2m. (20)

В этом случае задача наименьших квадратов имеет единственное решение. Однако если сп = 0, то возможен произвольный выбор г , и любой выбор даст одну и ту же остаточную сумму квадратов.

В этом случае задача наименьших квадратов не имеет единственного решения. Когда некоторое сингулярное число с. = 0, обычно соответствующее г. приравнивают к нулю. Оказывается, сингулярные числа не равны нулю тогда и только тогда, когда базисные функции линейно независимы в точках данных. Поэтому, если некоторые из базисных функций близки к зависимости, среди сингулярных чисел есть близкие к нулю. Поскольку нулевое сингулярное число означает вырожденность и отсутствие единственности, естественно, что малые сингулярные числа являются симптомом плохой обусловленности. Это проявляется в больших изменениях вычисленного

в

2

0

а

n

решения в результате малых изменении данных или точности машинной арифметики.

Правильное использование SVD включает некоторый допуск, отражающий точность исходных данных и используемой арифметики с плавающей точкой. Любое а, превышающее допуск, приемлемо, и соответствующее z , вычисляется как z . = d / а . Любое а, меньшее допуска, рассматривается как пренебрежимо малое, а соответствующее z. полагается равным нулю.

Допуск в SVD играет роль, подобную роли TOL в подпрограмме NNLS [4], системы инженерных и научных расчетов MATLAB. Увеличение допуска ведет к увеличению невязок, но дает результаты, которые меньше подвержены изменениям при изменении данных. Уменьшение допуска ведет к уменьшению невязок, но дает результаты, которые более чувствительны к изменению данных. Пренебрежение величинами а, меньшими, чем допуск, дает эффект снижения числа обусловленности. Поскольку число обусловленности является фактором увеличения ошибок, это приводит к более надежному определению параметров задачи наименьших квадратов. Однако за это увеличение надежности приходится платить возможным увеличением невязок.

Естественно предположить, что чем больше сингулярных чисел спектра матрицы участвуют в решении, тем больше линейно-независимых элементов в матрице, следовательно, наилучшей будет та матрица, в которой для получения Cond~1000 будет наибольшее в знаменателе по порядковому номеру сингулярное число. Таким образом, критерий, по которому может быть сформирована матрица X, запишется в виде:

Cond(X) = 8/8и - (1000 - 5000)

при и^тах, (21)

где и - последний порядковый номер числа сингулярного спектра матрицы X, участвующий в решении СЛАУ.

Данный критерий необходимо применять при формировании матрицы X для получения оптимальных точек дробления вектор-функций X(t) и Xm(t) на временном интервале [tH, tK]. Тогда общий вид сформированной с учетом критерия (21) системы (12) будет следующим:

AM 2X (tH )= B (Gm - B"1 (E - A - K ))zXm (tH ) AM2X (ti )= B (Gm - B-1 (E - A - K))ZXm (tt)

AM2X (к )= B(Gm - B-1 (E - A - K))ZXm (tK )

I = 2, и -1. (1.22)

Практические расчеты матрицы АМ2 с использованием (14) показали наличие определенной невязки в системе (22). Поэтому дальнейшее уточнение коэффициентов матрицы АМ2 и, следовательно, АМ проводилось с применением численных алгоритмов оптимизации. При этом полученные значения АМ использовались как начальные данные оптимизационной процедуры, минимизирующей функционал вида:

* (А* ) = Х(В""- '-АЖ > * (0)-^ (4

' 4 7 (1.23)

В результате численной минимизация ^(АМ) была получена матрица АМ, коэффициенты которой характеризуют необходимый уровень импортно'-экспортных и инвестиционных вложений на единицу ВВП:

' 8,56 -3,85 -4,67л АМ = -5,93 -2,34 8,49 ч—3,68 -3,16 7,75 ,

погрешность аппроксимации F(АM) = 0,000005.

Численная минимизация функционала (23) проводилась с использованием квазиньтоновс-кого метода программно-математической среды МаЮа^ Проверка гипотезы о нормальности распределения остатков была подтверждена на жестком 10%-ном уровне по %2-критерию и критерию Колмогорова-Смирнова.

Наличие положительных и отрицательных коэффициентов в АМ свидетельствует о двунап-равленности потока финансовых средств как в систему так и из нее. Сравнительно большая величина этих коэффициентов говорит о больших финансовых потоках средств, необходимых для поддержания магистрального развития системы.

Коэффициенты матрицы АМ позволяют определить временной график импортно-эксортных процессов Щ() = -АМХ(1) изображенный на рисунке 2. Отрицательные значения вектор-функции Ц7) следует рассматривать как внешний инвестиционный поток средств, необходимый данной системе для магистрального функционирования. Положительные значения Ц7) характеризуют экспортный финансовый поток, направленный из системы.

Для данной динамической системы, взятой в качестве примера, на первоначальном этапе необходимы вложения (импорт и инвестиции) в отрасль и0 при этом система будет работать в автономном режиме (без инвестиций) приблизительно 1 год. Далее потребуются инвестиции (импорт) в

АМ 2«> Щ р1(г)

Рис. 2. Временной график инвестиционных процессов

отрасль Ц, а затем почти одновременно для и0 и и2. Причем эти инвестиции должны постоянно увеличиваться, чего требует выбранное магистральное направление развития и соответствующие ему пропорции ВВП. В связи с тем, что в системе функционируют двунаправленные финансовые потоки (импорт и экспорт), то положительные значения Щ?) следует рассматривать как экспорт средств в виде конечного продукта данной макросистемы.

В реальных экономических системах, например макросистеме РФ, возможность полной управляемости в рамках балансовой модели связана со значениями коэффициентов матрицы В приростных фондоемкостей. Если В вырождена, что имеет место в случае наличия всего двух фондосоздающих отраслей ("Строительство" и "Машиностроение") из 22-х, то возможности по управлению экономической динамикой ограничены. Эти ограничения связаны с малым количеством составляющих движения, участвующих в переходном процессе. Для таких систем синтез матрицы АМ с использованием квадратичного функционала будет затруднен, что связано с трудностью обращения вырожденной матрицы В. Поэтому реальную частично-управляемую систему необходимо разбить на полностью управляемую и неуправляемую части. При этом закон инвестиционного управления и коэффициенты матрицы АМ необходимо синтезировать в полностью управляемой части системы.

Возможность определения коэффициентов матрицы АМ в замкнутой модели развивающейся системы (1) свидетельствует о необходимости

структурных изменений в экономических параметрах модели для достижения поставленных целей магистрального функционирования, так как без этой матрицы и соответственно без инвестиционного воздействия система развивается несбалансированно. Сбалансированность в системе может быть достигнута путем соответствующих изменений коэффициентов матриц прямых затрат и приростных фондоемкостей, а также параметров отвечающих за конечное потребление, при этом матрица замкнутой системы (1) должна оставаться неизменной. В этой матрице содержится информация о темпах роста и пропорциях магистрального развития каждой отрасли макросистемы. Структурные изменения в динамических системах непременно скажутся на уровнях материально-финансовых потоков циркулирующих внутри системы и за ее пределами, но эти изменения можно контролировать с помощью математического аппарата балансовых уравнений.

Прогнозирование и поддержание соответствующих уровней экспортиртно-импортных и инвестиционных потоков макросистем, проведение вычислительных экспериментов и выработка практических рекомендаций входит в компетенцию департамента макроэкономического прогнозирования Министерства экономического развития и торговли РФ. Определение конкретных сумм инвестиционных потоков связано с дискретизацией непрерывных моделей динамических систем. Возникающие при этом колебания и отклонения от заданных траекторий необходимо будет компенсировать дополнительными воздействиями.

Таким образом, предложенный математический аппарат проектирования оптимальных инвестиционных воздействий на макроэкономические системы позволяет создавать и поддерживать магистральные

темпы развития этих систем, проводить анализ и оптимизацию временных инвестиционных процессов в фазовом пространстве отраслей, предоставляя при этом информацию о реструктуризации экономики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хохлов В.А., Устинов С.М., Ракитский Ю.В.

Определение комплексов параметров при идентификации математических моделей // Теор. основы химич. технологий. XX т, 1986, С. 224-229.

2. Мараховский А.С., Торопцев Е.Л. Методика определения матрицы коэффициентов капитальных приростов основных средств в динамической модели

межотраслевого баланса // Экономика регионов России: сб. науч. тр. / СГАУ Ставрополь, 2004. С. 410-415.

3. Кахонер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М: Мир,1998, 256 с.

4. Потемкин В.Г. Система МаНЪАВ: Справ. пособие. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997. 330 с.

УДК 338.45:332

Щепакин М.Б., Губин В.А.

Понятийно-содержательные аспекты процессно-институционального подхода к антикризисному управлению промышленно-экономической системой

В условиях глобального экономического кризиса особое внимание уделяется стабилизации реального сектора экономики, который наряду с финансово-кредитной сферой получает всемерную помощь со стороны государства. Становится очевидным, что без эффективной поддержки со стороны властей последствия кризиса могут оказаться достаточно серьезными, если не губительными. Первостепенными объектами такой помощи и поддержки должна стать предприятия промышленности. В тоже время уже сегодня можно сказать, что применяемые стабилизационные меры системно не подготовлены и сводятся, в первую очередь, к разовым, хотя и масштабным финансовым вливаниям. Подобное положение дел носит отнюдь не случайный характер, а является реальным результатом практического применения сложившихся научно-методических подходов к антикризисному управлению, которые ориентированы, прежде всего, на очевидные (явные) формы проявления кризиса, когда ситуация достигла пиковой точки и носит, как правило, труднообратимый характер. В этих условиях приходится осуществлять резкие, ограниченные во времени, кардинальные изменения, которые даже при положительном итоге сопровождаются значительными и порой

безвозвратными потерями. Для минимизации возможных потерь представляется необходимым уточнить методологию антикризисного управления (АКУ), ориентируя его в большей степени на эволюционно-превентивный режим, реализуемый в рамках системного охвата всех этапов развития кризисной ситуации. Возможным направлением развития подобной методологии видится процессно-инсти-туциональный подход к антикризисному управлению промыш-ленно-экономическими системами, разработка и реализация которого требует:

- уточнения понятия промышленно-эконо-мической системы, ее объективизированной и субъективизированной сущностей в контексте реализации интересов, ожиданий и действий всех входящих в систему агентов;

- выявления процессной природы кризиса;

- установления зон рациональности ожиданий и действий промышленно-экономической системы и соответствующих им размеров ее кризисного поля;

- определения процессно-институциональной природы антикризисного управления;

- формирования системы конструктивных и регулятивных норм института антикризисного управления;