CC BY
17
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОРСКИХ СИСТЕМ
УДК 51.37
Идентификация параметров мгновенного точечного источника загрязнения в Азовском море на основе метода сопряженных уравнений
© 2017 В.С. Кочергин, С.В. Кочергин
Морской гидрофизический институт РАН, Севастополь, Россия E-mail: [email protected]
Поступила 20.06.2016 г. После доработки 27.06.2016 г.
Рассматривается модель переноса пассивной примеси в Азовском море. На основе метода сопряженных уравнений решается задача идентификации характеристик импульсного локального источника на поверхности моря путем интегрирования серии независимых сопряженных задач. Реализованный подход позволяет осуществлять решение этих задач одновременно в параллельном режиме. На тестовом примере показана работоспособность алгоритма поиска оптимального значения мощности источника, соответствующей данным измерениям.
Ключевые слова: идентификация мощности источника, поле концентрации, усвоение данных измерений, перенос примеси, сопряженная задача, Азовское море.
DOI: 10.22449/0233-7584-2017-1-66-71
Введение. Возрастающая антропогенная нагрузка на акваторию Азовского моря требует создания систем мониторинга состояния окружающей среды, позволяющих оперативно оценивать экологическую обстановку в районах, подвергающихся техногенному воздействию, особенно в областях интенсивного судоходства и в акваториях портов. Решение таких задач возможно на основе методов математического моделирования переноса пассивной примеси [1] и методов решения обратных задач [2 - 4], когда идентификация тех или иных параметров численного моделирования происходит по данным измерений за счет их ассимиляции. В последнее время вариационные методы ассимиляции и метод сопряженных уравнений активно развиваются и используются для решения океанологических задач [5 - 7]. Для оперативности получения информации о состоянии исследуемого объекта численная реализация таких моделей и алгоритмов должна осуществляться на высокопроизводительной вычислительной технике с использованием современных подходов, в том числе распараллеливания вычислений. Алгоритмы усвоения данных измерений основаны, как правило, на минимизации квадратичного функционала качества, характеризующего отклонения модельного решения от данных измерений. При этом модель переноса пассивной примеси выступает в качестве ограничений на вариации входных параметров. В работе [8] рассмотрен вариационный алгоритм идентификации мощности источника. В настоящей работе применен метод сопряженных уравнений [9], который позволяет эффективно (с точки зрения организации вычислительного процесса) осуществить поиск параметров источника загрязнения.
Метод сопряженных уравнений. Рассмотрим модель переноса пассивной примеси в о-координатах
дРС дВиС бОГС дЖС д л дРС д „ дРС д К дС
-+-+-+-= — Ан-+ — Ан-+---(1)
да дх ду до дх дх ду ду до В до
с условиями на боковых границах
Г: — = 0, (2)
дп
краевыми условиями на поверхности и на дне
дС
о = 0: — = б, б = & • 5(а-0).5(х-Хо)• 5(у-Уо), да
1 дС ~
о = -1: — = 0, до
(3)
и начальными данными
С(х, у, о,0) = 0, (4)
где а - время; х0, у0 - координаты точечного источника; В - динамическая глубина; С - концентрация примеси; б - мгновенный точечный источник мощностью б ; и,V, Ж - компоненты поля скорости; Ая и К - коэффициенты горизонтальной и вертикальной турбулентной диффузии соответственно; п - нормаль к боковой границе.
Умножая выражения (1) - (4) на С* и интегрируя по частям с учетом краевых условий и аналога уравнения неразрывности в о-координатах
дР дБи бDV дЖ п
— +-+-+-= 0, (5)
да дх ду до
выбирая С* как решение следующей сопряженной задачи:
дВС' дРиС" дDVC* дЖС _ да дх ду до
- р д Ан дС- - рд Ан С-д К С = 0,
дх дх ду ду до В до
(6)
^ дС * п дС- , дС * п
Г: — = 0, о = 0: — = g, о = -1: — = 0 , (7)
дп до до
а = Т: С*= 0, (8)
получим
• С* • dS =|с • g • dS, (9)
5 S
где £ - поверхность моря; g = - Т)-8(х - хп )• - уп ), п = 1,...,Ы, N - общее количество точек измерений на конечный момент времени. Учитывая представления для Q и g из формулы (9), имеем
дзС*„ (0, Хо, Уо,0) = С(Т, Хп, уп ,0), п = 1,..., N. (10)
Формула (9) аналогична формуле, полученной в методе оценки [10] поля концентрации по различным начальным данным, и является по своей сути двойственным представлением [9] концентрации через мощность и решение соответствующей сопряженной задачи. Отметим, что N сопряженных задач для N точек являются независимыми друг от друга и могут быть реализованы в параллельном режиме различными исполнителями (процессорами).
В случае если координаты точки выброса (х0,у0) подлежат определению, то, решая N сопряженных задач (6) - (8), можно определить область 0 = П£и,п = 1,...,N, где - области существенных значений С* . Проведенные предварительные численные эксперименты показали, что априорная информация о местоположении и границах пятна загрязнения важна при определении области О . Расположение точек (хг, yi) на границе пятна загрязнения позволяет существенно сузить область О, а использование данных измерений в точках максимальной концентрации приводит к лучшей обусловленности решаемой задачи определения^. Выбирая(хг,у1 )еП, г = 1,...,М, можно построить М систем для различных координат источника загрязнения. Наилучшая оценка ^ будет соответствовать истинному положению источника. Для условия (х1,)=(х0,у0) значенияQns «^, п = 1,...,N. Значения^ находятся из системы (10) при помощи метода фильтрации [11], хорошо зарекомендовавшего себя при решении океанологических задач [12]. В случае переопределенной системы (10) и ошибок при измерении Си необходима фильтрация данных измерений с учетом всей информации, сосредоточенной в N уравнениях. В результате работы этой процедуры уравнения новой системы сортируются по рангу и неинформативные уравнения удаляются. В итоге в первой строке системы появляется уравнение с наилучшей обусловленностью, из которого находится значение ^ .
Результаты численных экспериментов. Численные эксперименты проводились с использованием модели из работы [1] для акватории Азовского моря. Чтобы протестировать алгоритм идентификации мощности источника, проведен расчет модельного поля течений под воздействием постоянного ветра северо-восточного направления со скоростью 10 м/с. В результате моделирования также получено пространственное распределение коэффициентов и К. Поля скоростей и коэффициентов турбулентной диффузии использовались в качестве входной информации при интегрировании модели переноса пассивной примеси на срок 5 сут.
Рис. 1. Местоположение мгновенного точечного источника, нормированное поле концентрации и точки измерений
Рис. 2. Решение сопряженных задач, область О и местоположение источников загрязнения
Модельное поле концентрации рассчитывалось при б = 1, а результаты расчетов нормировались на максимальное значение. На рис. 1 истинное местоположение мгновенного точечного источника обозначено черной точкой. Кроме модельного поля концентрации, на этом рисунке изображены четыре точки измерений (Ы = 4). Результат интегрирования четырех сопряженных задач (6) - (8) представлен на рис. 2. Соответствующая этим сопряженным задачам область О выделена на рисунке серым цветом. Из рисунка видно, что истинное местоположение источника, обозначенное на рисунке цифрой 1, принадлежит области О. Для этой точки решение четырех уравнений систе-
мы (10) имеет следующие значения: Q = 1,024, Q2S = 0,9882, Q3S = 0,9581, Q4 = 1,2446 ; для точки 2 - Q = 0,8863, Q2S = 2,2692, Q = 1,3714, Q4S = 21,1078; для точки 3 - Q = 2,5234, Q2S = 1,1829, Q3 = 0,4601, Q4 = 1,2467. Точка 1 является истинным местоположением источника загрязнения, так как значения в этой точке Q's ~ 1. Значения Q's в остальных точках
в большей мере отличаются друг от друга, поэтому не рассматриваются. Из переопределенной системы (10) для точки 1 на основе метода фильтрации находим QS = 1,0122.
Заключение. Численные эксперименты показали, что результат идентификации параметров источника загрязнения существенно зависит от местоположения точек измерений. Наиболее точное воспроизведение истинного значения мощности источника загрязнения получается в случае, когда измерения производятся в области максимальных значений поля концентрации, что приводит к лучшей обусловленности решаемой задачи. Использование метода фильтрации при решении переопределенной системы позволяет получать решение с учетом всей поступающей информации. В целом проведенные численные эксперименты показали, что алгоритм идентификации мощности источника загрязнения работает надежно. Результаты могут быть использованы для решения различных задач экологической направленности при изучении воздействия источников загрязнения антропогенного характера в акваториях Азовского и Черного морей.
Работа выполнена в рамках государственного задания по теме № 08272014-0010 "Комплексные междисциплинарные исследования океанологических процессов, определяющих функционирование и эволюцию экосистем Черного и Азовского морей на основе современных методов контроля состояния морской среды и гридтехнологий".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов В.А., Фомин В.В. Математическое моделирование динамических процессов в зоне море - суша. - Севастополь: ЭКОСИ-Гидрофизика, 2008. - 363 с.
2. Marchuk G.I., Penenko V.V. Application of optimization methods to the problem of mathematical simulation of atmospheric processes and environment // Modelling and Optimization of Complex Systems / Ed. G.I. Marchuk. - Proc. оf the IFIP-TC7 Working conf. - NewYork: Springer, 1978. - P. 240 - 252.
3. Кочергин В.С., Кочергин С.В. Использование вариационных принципов и решения сопряженной задачи при идентификации входных параметров модели переноса пассивной примеси // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. - Севастополь: ЭКОСИ-Гидрофизика, 2010. -Вып. 22. - С. 240 - 244.
4. Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. - Л.: Гид-рометеоиздат, 1981. - 350 с.
5. Агошков В.И., Пармузин Е.И., Шутяев В.П. Ассимиляция данных наблюдений в задаче циркуляции Черного моря и анализ чувствительности ее решения // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 2013. - 49, № 6. - С. 643 - 654.
6. Шутяев В.П., Ле Диме Ф., Агошков В.И. и др. Чувствительность функционалов задач вариационного усвоения данных наблюдений // Там же. - 2015. - 51, № 3. - С. 392 -400.
7. Рябцев Ю.Н., Шапиро Н.Б. Определение начального положения обнаруженных в открытой части моря поверхностных линз пониженной солености примеси // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. - Севастополь: ЭКОСИ-Гидрофизика, 2009. - Вып. 18. - С. 141 - 157.
8. Кочергин В.С., Кочергин С.В. Идентификация мощности источника загрязнения в Ка-зантипском заливе на основе применения вариационного алгоритма // Морской гидрофизический журнал. - 2015. - № 2. - С. 79 - 88.
9. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1982. - 320 с.
10. Кочергин В.С. Определение поля концентрации пассивной примеси по начальным данным на основе решения сопряженных задач // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. - Севастополь: ЭКОСИ-Гидрофизика, 2011. - Вып. 25, т. 2. - С. 270 - 376.
11. Страхов В.Н. Метод фильтрации систем линейных алгебраических уравнений - основа для решения линейных задач гравиметрии и магнитометрии / Докл. АН СССР. - 1991. -320, № 3. - С. 595 - 599.
12. Еремеев В.Н., Кочергин В.П., Кочергин С.В., Скляр С.Н. Математическое моделирование гидродинамики глубоководных бассейнов. - Севастополь: ЭКОСИ-Гидрофизика, 2002. - 238 с.
Identifying the parameters of the instantaneous point pollution source in the Azov Sea based on the adjoint equation method
V.S. Kochergin, S.V. Kochergin
Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences, Sevastopol, Russia e-mail:vskocher@gmail. com
The model of passive admixture transport in the Azov Sea is considered. Based on the adjoint equation method, the problem of identifying the characteristics of an impulse local source on the sea surface is solved through integrating a series of independent adjoint tasks. The realized approach permits to solve these problems simultaneously in the parallel mode. The efficiency of the algorithm search for the source power optimal value corresponding to the measurement data is shown on the test example.
Keywords: identification of power source, concentration field, assimilation of measurement data, admixture transport, adjoint problem, the Azov Sea.
