Идентификация многомерных ЛДС в условиях малой априорной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

Функция Селекция Скрещивание Мутация Замещение Надежность(%) Итерации

Парабола Ранговая Двухточечное Средняя Потомки 60 11

Ф1 Турнирная Равномерное Низкая Пот. + родит. 28 7

Ф2 Турнирная Одноточечное Низкая Потомки 27 7

Griewank Турнирная Двухточечное Высокая Потомки 48 20

Растригина(3с1) Ранговая Двухточечное Низкая Потомки 83 33

Растригина(пов.оси) Ранговая Двухточечное Высокая Потомки 70 42

Растригина(2С) Пропорц. Одноточечное Высокая 50/50 50 16

Розенброка Пропорц. Равномерное Средняя 50/50 47 32

Как видно из таблицы, различные задачи требуют различных настроек параметров ГА для высокой вероятности нахождения оптимального решения. Если параметры подобраны неправильно, надежность алгоритма резко падает, среднее количество итераций для нахождения решения возрастает. Для решения этой проблемы в дальнейшей работе будет исследована схема коэволюции, в которой настройка параметров ГА не требуется (самонастраивающийся алгоритм).

Библиографические ссылки

1. Holland J. H. Adaptation in natural and artificial systems /MI: University of Michigan Press, 1975.

2. Goldberg D. E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning / Reading, MA : Addi-son-Wesley, 1989.

© Иванов И. А., Сопов Е. А., 2011

УДК 62-506.1

Н. В. Коплярова Научный руководитель - О. В. Шестернева Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЛДС В УСЛОВИЯХ МАЛОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Рассматривается задача идентификации в широком смысле, а также когда уравнение, описывающее объект в системе, имеет высокий порядок. Приводится алгоритм, позволяющий создать адекватную модель многомерной ЛДС.

На практике существует мало объектов, входное воздействие которых было бы скалярным. Поэтому можно рассмотреть такую задачу идентификации, как построение модели объекта, входные и выходные данные которого представлены векторами, а также при довольно малой априорной информации об объекте.

Метод построения непараметрической модели одномерной ЛДС основан на следующем: известно, что реакция ЛДС х(/) на входное воздействие и(() описывается интегралом Дюамеля:

í

х(/) = к (0)и^) +1 к'(/ - г)и(г^г =

I

= к(0)u(t) + Jh(t -x)u(x)dx, (1)

0

где h(t) - весовая функция системы; а k(t) - переходная функция это же системы.

Вычисление значения выхода объекта x(t) при этом возможно, если известна его весовая функция h(t). В связи с тем, что снятие весовой функции с объекта на практике представляется невозможным, основная идея идентификации ЛДС в условиях непараметрической неопределенности состоит в непараметрическом оценивании весовой функции.

Известно, что весовая функция является производной по времени от переходной. Запишем переходную функцию системы в виде стохастической аппроксимации регрессии следующим образом [2]:

1 s

К (t) =--2 кi ■ H

s • c. ^

(t -1, ^

(2)

где к:1 - выборочные значения переходной характеристики ЛДС; И(-) - колокообразная функция; с,. - параметр размытости, которые должны удовлетворять условиям сходимости [2]

Рассмотрим модификацию данного непараметрического алгоритма для многомерных линейных динамических систем. Линейный динамический многомерный объект с N входами и М выходами можно представить, как M*N одномерных линейных объектов, которые можно описать интегралом Дюамеля. Необходимо построить математическую модель стохастического объекта, адекватно описывающую его поведение при произвольном входном воздействии.

Математическое описание многомерного объекта может быть представлено в виде суммы интегралов свертки, таким образом, что каждому конкретному выходу объекта соответствует совокупность звеньев системы, влияющих только на этот выход. Линейную динамическую систему с векторным входом ип(/), векторным выходом хт(() и ненулевыми начальными ус-

V cs J

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

ловиями относительно каждого выхода объекта мож- дующей математической формулой [3]: но описать, используя принцип суперпозиции, сле-

N N 1 г/Дт х

* (г) = 2 (0)ИЯ (г)+£ ^ 2 2 ктн'

п=1 п=1 х 7=1 г=1

' г - т, - г ^

_,7 '

V у

ип(т 7)Дт т = 1,М .

(3)

где хт (г) - т-й выход объекта; ип (г) - п-й вход объекта; N - число входов объекта; М - число выходов объекта; кпт(г) - весовая функция звена п,т системы; кп т (г) - переходная характеристика п,т-го звена системы; т -

переменная интегрирования.

Рассмотрим некоторый объект, вход которого является вектором параметров, а выход - скалярным. Природа объекта описывалась следующим дифференциальным уравнением:

г/10 1? г? с17 г!6 г?

а10 ^-МО + а9 —МП + а, —МП + а7 " *(/) + а6 + а5-^х(П +

(11

ОТ

сГ

л'

(Ь

(Г

(4)

где а - некоторые коэффициенты (/ = 1, ..., 10) [1], и1, и2 и и3 - входные параметры системы соответственно по первому, второму и третьему каналу объекта.

Обобщенные результаты численных исследований

х

и1=ешШ Ш=1 и 1 = 1. и1 =СОЗ(0.5Г) и1 =соз(0.5Ц

и2=щоШ и2=251П(0.4Ц и2=ез[п(0.2Ц+0.0 и2=з[п(0.5Ц и2=з[п(0.6Ц

из=1 из=1 21 из=з иЗ=0.2з1п(0.4Ц

1)3=2з[п(0.4Г) 1)4=0.231П(0.4Ц 1)4=0.2з1п(0.4Ц

и5=о.о5еайсо-5Ц+1 и5=Зз[П(0.02Цсоз(1У8)

3=500, помеха Сэ=0.56 Сэ=0.5 Сз=0.46Э Сэ=0.58 Сз=0.58Э

0% [п=0.5 [1=0.5 [1=0.5 [1=0.5 [1=0.5

УУ=7.47% №=4.2% W=10.12% W=12% \л/=12.5%

3=800, помеха Сэ=0.4 Сз=0.465 Сз=0.46Э Сз=0.589 Сз=0.58

0% [1=0.375 [1=0.375 [1=0.375 [1=0.375 [1=0.375

\А/=5.1% \^=3.76% \^=5.31 % \А/=7% W=10%

3=4000, Сэ=0.46 Сэ=0.4 Сэ=0.4 Сэ=0.46 Сз=0.4Э

помеха 0% [1=0.075 [1=0.075 [1=0.075 [1=0.075 [1=0.075

\ЛМ.07% \л/= 1.057% W=3.1% W=3.2% W=5%

3=500, помеха Сз=0.6 Сз=0.6 Сз=0.52 Сз=0.61 Сз=0.5Э

15% [1=0.5 [1=0.5 [1=0.5 [1=0.5 [1=0.5

УУ=8.84% \л/=5% W=11% \Л/=13.2% W=12.7%

3=800, помеха Сз=0.4Э Сз=0.46 Сз=0.46Э Сз=0.589 Сз=0.585

15% [1=0.375 [1=0.375 [1=0.375 [1=0.375 [1=0.375

Ш=7.04% W=4.54% \Л/=7.3% W=10% W=10.67%

3=4000, Сз=0.6 Сз=0.46 Сз=0.4 Сз=0.58 Сз=0.46

помеха 15% [1=0.075 [1=0.075 [1=0.075 [1=0.075 [1=0.075

\А/=4% \^=4.37% W=4.55% Ш=6.5% \Л/=6.71%

Примечание. Ш - относительная средняя ошибка моделирования; к - шаг дискретизации; х - объем выборки.

Библиографический список

3. Иконников О. А. Разработка и исследование непараметрической модели линейной динамической системы высоких порядков // Вестник НИИ СУВПТ. Вып. 4. НИИ СУВПТ. Красноярск, 2000. С. 164-171.

4. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск: Наука, 1983.

5. Пупков А. Н. Синтез и исследование многоканального непараметрического регулятора линейных динамических систем : автореф. дис. канд. техн. наук /А. Н. Пупков. Красноярск, 2003.

© Коплярова Н. В., Шестернева О. В., 2011