CC BY
71
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 • 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Идентификация линейных динамических звеньев по частотному годографу # 09, сентябрь 2013 Б01: 10.7463/0913.0618917
Боевкин В. И., Недашковский В. М., Павлов Ю. Н.
УДК 01.04.01
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected] [email protected] [email protected]
Частотные характеристики широко применяются в анализе систем автоматического управления для исследования систем и ее элементов по экспериментальным данным.
Оценка качества работы таких систем определяется в конечном итоге при экспериментальной отработке реальных образцов. При этом может возникнуть задача идентификации системы и отдельных ее звеньев. В данной статье рассматривается метод идентификации динамических звеньев по их реакции на гармонический сигнал.
Частотная передаточная функция линейного динамического звена с постоянными параметрами описывается в частотной области соотношением [1]
Ж (у®) = С0 + + С2(»2 + ... + Ст (У®)т (1)
е0+в^® +е2(з®)2 +...+еп (у®)п
Неизвестные коэффициенты с0, С1,...,ет, в0, в1,...,вп частотной передаточной функции (1) надо определить в результате решения задачи идентификации.
Из соотношения (1) можно получить выражение для частотной передаточной функции [ 1, 2 ]
Ж (у®) = Р(®) + jQ(®), (2)
где Р(®) и Q(®) - вещественная и мнимая части частотной передаточной функции соответственно.
Частотная передаточная функция Ж(у®) может быть изображена на комплексной плоскости в виде годографа [1]. Для этого для каждого значения частоты вычисляются модуль вектора (у®)| и угол поворота р(®) вектора. Модуль вектора (у® )| есть
отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала, а угол поворота р(®) вектора представляет собой сдвиг фаз
между выходным гармоническим сигналом и входным гармоническим сигналом. На рис. 1 представлен вид годографа, построенного по соотношению (2) для звена второго порядка (е =1 е1 = 1.5, е2 =1, с0 = 1).
Рис. 1. Годограф динамического звена второго порядка
Амплитуд Л(о) и фаза ср(т) частотной передаточной функции определяются из соотношений
Л(о) = Р» + б» , tg9(о) = .
Р(а)
При получении частотных характеристик реальных звеньев в эксперимент вмешиваются помехи, в результате которых точки годографа смещаются случайным образом. Введем обозначения для определенных с погрешностями вещественных и мнимых значений отсчетов экспериментально полученного годографа Wэ (/ю)
динамического звена для пехр значений частот а>1, а>2,..., о>тх(:
Р = Р(о),..., Рп ехр = Р(0п ехр ), б = бО),., бп ехр = бОп ехр) . (3)
На рис. 2 показан пример искажения экспериментально полученного годографа динамического звена второго порядка относительно годографа, приведенного на рисунке 1 при наличии случайных погрешностей в экспериментальных данных
Рпехр , Q1,. . ., бпехр для ПеХР=12.
-0
0,1
-0,1-0-
—Г0
и-0,3-
0,4 >
0,5
\ I 0,6
0,7
0
0,9
без ошибок
с ошибками
Рис. 2. Пример искажения экспериментально полученного годографа динамического звена второго порядка при наличии случайных погрешностей в экспериментальных
данных
Решение задачи идентификации будем искать в классе годографов, задаваемых моделью
или в виде
где
К (М) = 0
¿0 + ЪХ]Ю+ Ъ2(]ю)2 +... + Ът (»и
а0 + ах]ю+ а2(]ю) +... + ап (ум)п
К (М) =
а + ¿в
7 +
а = Ъ0 - Ъ2м + Ъ4м -..
в = ъ1 - ъ3м + ъ5м -...
у = а0 - а2М + а4М -.
о 3 5
о = а1 - а3м + а5м -...
(4)
(5)
(6)
Отклонение /-ого отсчета Жм (]т[) годографа модели на частоте а>1 от
определенного экспериментально ього отсчета Жэ(уМ) экспериментального годографа идентифицируемого звена
АК = Жэ (ум) - Км СМ) с учетом (3) и (5)можно записать в виде
АК = р + уа -
а+ ¿в
г г + уо
(7)
5
5
где параметры а,, в,, 7,, А соответствуют частоте со,.
Необходимо ввести приемлемый критерий, характеризующий близость двух годографов на всей совокупности экспериментальных точек, и минимизировать его по параметрам модели звена а0, а1,..., ап, Ь0,Ь1,...,Ьт. В качестве критерия (меры) близости можно было бы выбрать сумму квадратов модулей расхождений А :
п ехр
I = ^\АЩ\ . (8)
Минимизация меры I приводит к нелинейной системе уравнений для определения коэффициентов а0, а1,..., ап, Ь0,Ь1,...,Ьт модели. В работе [2], где рассмотрен частный случай идентификации по годографу для получения линейной системы уравнений, применен способ, модификация которого состоит в следующем. Соотношение (8) умножим на отличный от нуля комплексный множитель (у1 + ) :
АН, = АЖг (ъ+ ]5г). (9)
I 12
Тогда с учетом (7) для АН,. и для АН,, получим
АН = р^ - ОА, - а + ] (РА + 0,7, -в), (ю)
|АН,I2 = (Ру - ОА - а)2 + (РА, + 0,7, - в).
I 12
В качестве меры близости J годографов примем сумму квадратов модулей АН, :
пехр пехр
J = Т\ан,Г = Т\РУг -ОА,-а)2 + (РА, + 0,7, -в)2]. (и)
Следует отметить, что если погрешности определения вещественных и мнимых значений (4) отсчетов экспериментально полученного годографа Жэ(у®) равны нулю, то
обе меры близости I (8) и J (11) обращаются в нуль.
Мера близости J экспериментально полученного годографа звена и годографа модели звена на всей совокупности экспериментальных точек задается формулой (11), которая после некоторого преобразования принимает вид
пех1
J = £[(Р2 + 02)7? +(Р2 + 02)А -2РгУа,+ 20Аа-2РАв-20,7,в +а2 +Д2] . (12)
,=1
Мера J (12) является функцией коэффициентов аг, Ьч частотной передаточной
функции модели (4). Для минимизации меры J приравняем нулю частные производные от J по этим коэффициентам
81 81
= 0, г=1, ,п , — = 0, 4=1, ,т . (13)
8а 8Ъ
ч
В выражениях (6) параметры а1, Д, у1,Д зависят только от четных или нечетных
коэффициентов модели. Поэтому отличные от нуля частные производные, которые потребуются для (13), можно записать в виде
^ = (-1)90г29, ч=0, 1,...,т/2 , = ИГУ2"-1, 4=1, 2,...,т/2+1 ,
Ъ дЪ2ч-1
пг , 2г__Л 1 ,„/о дД _ / 1\г+1 2г-1__1
= (-1)г0)2Г, г=0, 1,...,п/2 = (-1)г+Х , г=1, 2,...,п/2+1 .
да2г да2г-1
Уравнения (13) с учетом (14) принимают вид
я т п ехР
3 = 2(-1)4 2 (-РП + <2Д + а = 0, 4=0, 1,., т/2 ,
дЪ2ч 1=1
Я Т пехР
3 = 2(-1)4+1 2(-РД + аг, +в>?д -1 = 0, 4=1, 2,., т/2+1 ,
дЪ2ч-1 ¿=1
Я Т п ехР
1Л/ ,
= 2(-1)г 2 [Р + а2)^ - Ра - а в>Г = 0, г=0, 1,., п/2 ,
= 2(-1)г+1 2[(Р2 + б2)Д + РД>Г-1 = 0, г=1, 2,., п/2+1
да2г-1 ¿=1
2г ¿=1
83 пехр
или
2 (-Р^ + ад + аМ29 = 0 , 4=0, 1,., т/2 ,
?=1 п ехр
2 (-РД + + в-1 = 0, 4=1, 2,., т/2+1
п ехр
2 [(Р2 + а2) ъ - Ра- а в кг = 0, г=0, 1,., п/2 ,
=1 :хр
2[(Р2 + а2)д + аа -Рв>2г-1 = 0, г=1, 2,., п/2+1
=1
п ехр
[(Р2 , , ППЛ„2т-1
¿=1
(14)
(15)
Система уравнений (15) является линейной относительно параметров аг, Ъч,
модели (4). Вычисленные из (15) параметры аг, Ъч являются коэффициентами частотной
передаточной функции модели звена. Они минимизируют выбранную меру 3 (12) близости годографов и, таким образом, идентифицируют испытуемое динамическое
¿=1
звено, т.е. могут быть использованы в качестве приближенных значений коэффициентов частотной передаточной функции самого звена.
Описание предложенного алгоритма идентификации линейного динамического звена с постоянными параметрами завершим иллюстрацией применения этого алгоритма для линейного звена второго порядка, имеющего передаточную функцию
& (р) =-г
е0 + ехР + е2 Р
с коэффициентами е0, е1, е2.
Проведя пехр экспериментов, получим экспериментальные значения р,...,Рпехр,Ql,..,ехр (см. (3)).
С учетом (8) - (10) частотную передаточную функцию модели звена второго порядка зададим в виде
ЛГ г ■ \ 1 а + 3 в
О® =-:-т—2 =-,
где а = 1, в = 0, у = а0 - а2®2, 5 = а® .
Для рассматриваемого звена второго порядка система уравнений (15) принимает
вид
п ехр п ехр п ехр
а01 (Р2 + а2) - а2 2 (Р2 + а2н2 = 2 Р ,
1=1 1=1 1=1
пехр пехр
а 2(Р2+а2м2 = -2а®, (16)
1=1 1=1
п ехр п ехр п ехр
а02(Р2 + а2)®2 -а22(Р2 + а>*4 =2Р® .
1=\ 1=\ 1=1
Систему уравнений (16) приведем к матричному виду
Ча = и , (17)
где
Ч =
Ч х 00 0 Ч 1 02 а0
0 Ч 0 , а = а1
Ч -1 20 0 Ч -1 22 _ а2
и =
и.
(18)
и
0
и
2
Ненулевые элементы матрицы Ч и элементы вектора и в (18) имеют значения
n exp
^00 = Z (P + Qi),
i=1
n exp
% = Z (P2 + Qi >*2,
i=i
n exp
%20 = Z (Pi2 + Qi >i2,
n exp
=-Z (P 2 + Qi2)®2
i=1
%22 =-Z (P 2 + Qi V4
= ZP, u = -ZQi®i
U2 = Z Pi®f
Решая матричное уравнение (17), получим
a0 =
%22U0 %02U2 00 22 02 20
a1 =
u1
a2 =
%00U2 %20U0 00 22 02 20
Были проведены иллюстративные вычислительные эксперименты по оценке погрешности, с которой предложенный алгоритм определяет значения коэффициентов частотной передаточной функции звена второго порядка. В экспериментах заданы конкретные значения коэффициентов e0 = 1, e1 = 1,5, e2 = 1 (колебательное звено с собственной частотой 1 1/c и коэффициентом затухания 0,75).
Погрешности измерения значений р, Qi моделировались с помощью датчика
случайных чисел с равномерным законом плотности распределения вероятностей в различных диапазонах [-0,01, 0,01], [-0,05, 0,05], [-0,1, 0,1]. Количество отсчетов в годографе звена (т.е. количество экспериментов) nexp =6, 12, 24, 48. Для каждого конкретного количества экспериментов nexp проводилось nseriy серий этих экспериментов nseriy=25.50, 100, 200, 400.
В сериях экспериментов вычислялись погрешности erra0 = e0 - a0, erra1 = e1 - a1, erra2 = e2 - a2 определения коэффициентов a0, a1, a2 и среднеквадратические отклонения sko для случайных величин erra0, erra1, erra2 , а также строились гистограммы для этих величин.
Для примера на рис. 3 приведены графики зависимости среднеквадратического отклонения sko для погрешности erra0 определения коэффициента a0 от количества отсчетов годографа.
u
0
nexp
nseriy=25 nseriy=50 nseriy=100 nseriy=200
Рис. 3. Зависимость среднеквадратического отклонения sko погрешности erra0 определения коэффициента e0 от количества отсчетов nexp годографа устройства при погрешности измерений в диапазоне [-0,01, 0,01] и числе серий nseriy=25, 50, 100, 200
Из рис. 3 видно, что в рассматриваемом случае можно ограничиться количеством отсчетов годографа от 12 до 24. На рис. 4 в качестве примера показана гистограмма погрешности erra0 определения коэффициента e0.
Рис. 4. Гистограмма погрешности егга0 определения коэффициента е0 (пехр=12, диапазон
погрешности измерений [-0,01, 0,01], количество серий тепу=100, среднеквадратическое
отклонение ££0=0.0058)
Из рис. 4 видно, что около 95% результатов определения коэффициента частотной передаточной функции модели звена находится в доверительном интервале ± ^¿ко = ± 0,0116 относительно фактического значения этого коэффициента е0=1. Таким
образом, погрешность определения значения коэффициента е0=1 в иллюстративном
вычислительном эксперименте сравнима с диапазоном погрешности измерений отсчетов годографа [-0,01, 0,01].
Аналогичные результаты были получены для погрешностей определения коэффициентов е1 и е2. Например, для погрешности егга1 определения коэффициента е1 (пехр=12, погрешность измерений в диапазоне [-0,01, 0,01], количество серий п£елу=100), среднеквадратическое отклонение ¿£»=0.0072. Для погрешности егга2 определения коэффициента е2. и (пехр=12, погрешность измерений в диапазоне [-0,01, 0,01], количество серий тепу=100), среднеквадратическое отклонение ¿£»=0,0097. Для погрешности егга1 определения коэффициента е1 (пехр=12, погрешность измерений в диапазоне [-0,05, 0,05], количество серий п£епу=100), среднеквадратическое отклонение ¿£»=0,0122. Для погрешности егга2 определения коэффициента е2 (пехр=12, погрешность измерений в диапазоне [-0,1, 0,1], количество серий п£епу=100), среднеквадратическое отклонение ¿£»=0,0956.
На рис. 5 приведены три годографа: годограф звена, когда погрешность измерения отсчетов годографа равна нулю, годограф звена, когда погрешность измерения отсчетов годографа не равна нулю, годограф найденной модели звена
Годографы
—♦—звено: ошибки измерения P и Q равны 0
звено:ошибки измерения P и Q в диапазоне [-0.05, 0.05] модель звена
Рис. 5. Годограф звена при нулевой ошибке измерения отсчетов, годограф звена при ненулевых ошибках измерения отсчетов в диапазоне [-0,05, 0,05]; годограф найденной модели звена (количество экспериментов пвхр=\2
Выводы
В данной статье предложен алгоритм идентификации динамического звена по экспериментально полученным отсчетам частотного годографа звена. В качестве меры близости годографов звена и модели звена выбрана сумма квадратов модулей предложенной авторами модификации отклонений отсчетов годографа модели звена от соответствующих экспериментально полученных отсчетов звена.
В иллюстративном вычислительном эксперименте показано, что для звена второго порядка можно ограничиться количеством отсчетов годографа от 12 до 24.
Иллюстративный вычислительный эксперимент показал, что при использовании предложенного алгоритма идентификации динамического звена по частотному годографу погрешность определения значений коэффициентов частотной передаточной функции
звена второго порядка сравнима с диапазоном погрешности измерений экспериментальных отсчетов годографа этого звена.
Список литературы
1. Основы автоматического управления / Под ред. В.С. Пугачева. М.: Наука, 1968. 680 с.
2. Боевкин В.И., Павлов Ю.Н. Регрессионный анализ в прикладной задаче идентификации. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990. (Труды МГТУ им. Н. Э. Баумана; № 546).
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Identification of linear dynamic elements using a frequency locus
# 09, September 2013
DOI: 10.7463/0913.0618917
Boevkin V.I., Nedashkovskii V.M., Pavlov Y.N.
Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation
[email protected] [email protected] [email protected]
This article deals with the identification method for a linear dynamic element with known transfer function using an experimental frequency locus with random measurement errors. A transfer function of an element was selected as a model. It was proposed to search for the solution to the identification problem in the class of hodographs, defined by the element's model. Search for unknown coefficients of a transfer function of the element's model was carried out by minimizing the proposed proximity measure of the experimental element's locus and the model's locus. As a result, the specified problem was reduced to a system of linear equations. An illustrative computing experiment for a second-order element showed that an error of the transfer function's coefficients was comparable with the range of measurement errors of experimental samples of this element's locus.
Publications with keywords: identification, linear dynamic element, frequency locus Publications with words: identification, linear dynamic element, frequency locus
References
1. Pugachev V.S., ed. Osnovy avtomaticheskogo upravleniya [Basics of automatic control]. Moscow, Nauka, 1968. 680 p.
2. Boevkin V.I., Pavlov Yu.N. Regressionnyy analiz vprikladnoy zadache identifikatsii [Regression analysis in applied problem of identification]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1990. (Trudy MGTUim. N. E. Baumana № 546 [Proceedings of the Bauman MSTU; no. 546]).
