CC BY
163
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 681.5.073: 681.513.3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ И СИНТЕЗ СЛЕДЯЩЕГО ПРИВОДА
С БЕСКОНТАКТНЫМ МОМЕНТНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
В.В. Воробьев, А.Г. Ефромеев, Н.Н. Макаров, А. А. Огурцов
Рассмотрен подход к идентификации объекта и синтезу регулятора следящего привода c бесконтактным моментным двигателем. Для высокоточных следящих систем разработана методика идентификации, синтеза и испытаний на классе входных сигналов. Достоверность полученных результатов подтверждена компьютерным моделированием.
Ключевые слова: привод, регулятор, точность, идентификация, синтез, испытания, класс сигналов, метод предельных отклонений.
Двигатели бесконтактные моментные (ДБМ), работающие в вентильном режиме, в настоящее время широко применяются в электрических следящих приводах (ЭСП). Достоинствами ДБМ являются широкий диапазон регулирования скорости, надежность, долговечность, способность работать во взрывоопасных средах и на больших высотах, малый уровень радиопомех при высоких частотах вращения.
При синтезе регулятора ЭСП актуальной задачей является повышение точности идентификации линейной модели объекта управления. Такая модель позволяет существенно упростить синтез. Кроме того она может быть использована в качестве наблюдателя в системах управления, в которых не все переменные состояния могут быть измерены или результаты измерения содержат значительные помехи.
В настоящей работе задача идентификации решается применительно к безредукторному двигателю марки ДБМ-70. Бесколлекторный двигатель переменного тока (оригинал) может быть приближённо описан той же моделью, что и коллекторный двигатель постоянного тока. При этом коллекторный ток будет выступать в роли некоторой обобщённой координаты состояния. Математическое описание силовой системы привода на базе
двухфазного двигателя серии ДБМ-70 представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений [1].
diA / dt = L-1 (uA - R ■ iA + ce V ■ sin(Zp V ■ t)); diB / dt = L— (uB - R ■ iB - ce V ■ cos(Zp V ■ t)); M = cM •(cos(Zp V ■ t)■ iB - sin(Zp V ■ t)■ iA);
dro / dt = JIíp1(M - Mтр); V = -Гор + го,
где uA, uB - напряжения в обмотках двигателя, ía , iB - токи в обмотках двигателя, го - угловая скорость ротора; L, R - индуктивность и сопротивление обмотки двигателя, ce - коэффициент противоЭДС, cM - коэффициент момента, Zp - число пар полюсов, Jпр - приведённый момент
инерции вала двигателя, M^ - момент вязкого трения.
Математическое описание двигателя постоянного тока имеет вид:
di / dt = L- (U - Ri - cem);
dro / dt = Jпр (cmÍ - Mтр); dy / dt = ю; V = -юр + ю,
где L - обобщённая индуктивность управляющей обмотки, R - обобщённое сопротивление управляющей обмотки, cM - обобщённый коэффициент момента, ce - обобщённый коэффициент противоЭДС, i - обобщённый ток управляющей обмотки, U - обобщённое управляющее напряжение.
Традиционный подход к идентификации как детерминированных, так и стохастических систем базируется на использовании интегральной среднеквадратичной ошибки (СКО) моделирования. Критерий минимума СКО обеспечивает близость оригинала и модели «в среднем» в частотной области, либо во временной области
п2ш = m
c
где D(t) = ^o(t) - ,yM(t) - текущая ошибка идентификации (невязка); >o(t), >M(t) - реакции на тестирующий сигнал оригинала и модели, соответственно; c = (ci, c2,..., ck) - вектор корректируемых параметров модели;
*
c - оптимальное значение вектора.
Следует отметить, что критерий (1) не позволяет контролировать диапазон мгновенных значений ошибки в условиях произвольного характера входного сигнала. Оценка предельной ошибки моделирования, как
i T 2 *
I = — j [D(t)]2dt = min ® c
T 0
(1)
правило, необязательная для систем, используемых в промышленности, на транспорте, в бытовой технике и т.п., является важной при идентификации и синтезе приводов, входящих в состав высокоточных управляемых комплексов. Это обусловлено тем, что даже кратковременное, но значительное, увеличение текущей ошибки может привести к промаху либо срыву наведения скоростной ракеты, потере высокоманевренной цели и т.д. При этом критерий точности «в среднем» может иметь весьма малое, приемлемое значение.
При идентификации высокоточных СС целесообразно использовать минимаксный критерий, контролирующий предельную ошибку на классе входных сигналов V. Этот критерий базируется на норме Чебы-шева и обеспечивает равномерную близость оригинала и модели.
Простой и в тоже время гибкий способ оценок на классе V предельных ошибок (причем, как идентификации, так и слежения) дает метод гарантированной точности (ГТ). В настоящее время он хорошо развит для линейных и некоторых типов нелинейных стационарных систем [2-5]. Критерий ГТ имеет ясный содержательный смысл - наибольшая ошибка, которая может возникнуть на отрезке времени [0,Г] в условиях воздействия на систему сигналов v(t) е V. При этом V может рассматриваться и как класс регулярных функций, и как случайный процесс (в стохастической постановке задачи).
Точность идентификации в существенной мере зависит от класса V. Учет класса входных сигналов обеспечивает линейное динамическое задающее устройство (ЗУ), характеризующееся предельными значениями скорости ^ах и ускорения Vmax, а также областью достижимости Б на
фазовой плоскости (V, V).
На рис. 1 дан вид функции изменения угловой скорости вала ЭСП, принадлежащей некоторому классу, который по условиям технического задания (ТЗ) необходимо воспроизводить в приводе. Указанные функции будем рассматривать в отклонениях от некоторого постоянного номинального значения.
В соответствии с методом ГТ расчет предельной ошибки производится с помощью расширенной системы в виде последовательного соединения ЗУ и привода. ЗУ формирует класс сигналов на входе ЭСП. При этом на входной сигнал ЗУ накладывается единственное ограничение по модулю, т.е. иЗУ (t) £ 1. В рассматриваемом случае ЗУ представляет собой
соединение колебательного звена и интегратора. Выходом последнего является гладкий сигнал v(t) е V, соответствующий закону изменения угла
на входе привода. Для расчета параметров ЗУ использовался критерий минимума площади области Б, при условии того, что она целиком накрывает достаточно богатое множество функций из класса V (рис. 2) [4].
Рис. 1. Функция изменения угловой скорости привода
г-! и
2400
1600
800
а
к щ
и Рн
£ -800
-1600
-2400
ь * Ч- Л. Ъ -11 Ч % » к ч » Ъ к ъ > " % ?
14 к 1 - 'ч г » - . 1 1 ' " - ' * ^ _ _ \
г? \ л -Д V 11 1 \ V 11 > \ I1 ' л та
№ ' 1 , XV1 \ ?11 Ч \ г»1 > \ ? *1 \
\ т * \ г 1 V - - ч 4 _1 1 г" " - ■ ч » " , ч 1 Ч 4 1
Ч * * ч' "к * * 4 1 \ ч 4 * " * 4
■600
-400
400
-200 0 200 Скорость, рад/с
Рис. 2. Множество фазовых траекторий и область достижимости
600
Параметры ЗУ: К2и = 26.5386, Ти = 0.1817 с, £ = 0.0423. Предельные скорость и ускорение сигнала V (V) имеют, соответственно, значения
2
^тах = 386,69 рад/с; &&
тах = 2129,6 рад/с .
310
ЗУ соответствует эквивалентный гармонический сигнал
(г) = 70.214 • бш(5.507 г), т.е. синусоидальный входной сигнал, при котором достигаются предельные скорость Утах и ускорение &тах .
Полагаем, что исследуемый ЭСП содержит линейную обратную связь по углу и ПИД - регулятор, а в качестве объекта - безредукторный ДБМ, работающий на инерционную нагрузку. Пусть исходные параметры линейной модели, соответствуют паспортным данным двигателя ДБМ-70: Я = 3.34 Ом, Jпр = 0,018 кг• м2,Се = 0.0826 В• с/рад,См = 0.1757 Н• м/А (2)
Синтез закона управления выполним с помощью линейной теории из условия минимума ГТ слежения. Рассчитанный ПИД - регулятор имеет следующие коэффициенты, соответственно, по пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющим:
Кп = 304500, Ки = 20, Кд = 340. (3)
При этом все требования ТЗ удовлетворяются. В частности, ГТ слежения 2,45 мрад; перерегулирование 12%; время регулирования 0,12 с; запас по амплитуде 17,6 дБ; запас по фазе 33 град. Установившаяся ошибка слежения за эквивалентной синусоидой составила 2.4 мрад.
Проведем уточнение параметров линейной модели объекта методом идентификации с контролем ошибки на заданном классе сигналов. Схема стенда для расчета ГТ идентификации замкнутой автоматической системы представлена на рис. 3. Стенд предназначен для совместного решения методом ГТ задач идентификации объекта и синтеза регулятора. Заметим, что стенд может быть реализован как виртуальный и/или как лабораторный полунатурный, содержащий натурную силовую систему привода и компьютерные модели источника тестирующих сигналов, ЗУ и регулятора.
Модель
1Х[
ЗУ V | Р и ОУ
1 - 1
У* Л А
Оригинал
Уа
Рис. 3. Схема стенда для расчета ГТ идентификации: Р - регулятор;
ОУ - объект управления
Рассмотрим вначале частную, практически важную задачу, когда в стенде сопоставляются две линейные системы, различающиеся, например, порядком. Аппроксимация на классе сигналов линейной системы высокого порядка (оригинал) моделью меньшего порядка является самостоятельной задачей, решение которой часто упрощает синтез. Сформулированная за-
дача имеет точное решение. Предельная на классе V ошибка аппроксимации АО определяется выражением
АО = | (г, с)| Л, 0
где wАu (г) - весовая функция от входа расширенной системы иЗУ до выхода по невязке А (рис. 3). Длительность испытания Т0 допустимо ограничить временем затухания функции wАu (г). Экстремальный сигнал, при подаче которого на вход ЗУ достигается в момент г = Т0 ошибка АО, имеет вид
и А (г) = 8ВП(>Аи (т0 - г)).
Настройка параметров модели осуществляется по критерию минимума критерия АО с использованием алгоритмов конечномерной оптимизации. Ввиду неясного характера критерия наиболее часто применяют методы направленного поиска (например, метод деформируемого многогранника, покоординатный спуск), либо случайный поиск.
В случае, когда оригинал - нелинейная система отсутствуют точные методы формирования экстремального тест-сигнала для входа ЗУ, максимизирующего на классе V ошибку идентификации в конечный момент времени. Рассмотрим приближенную оценку с помощью стенда ошибки идентификации на классе V (рис. 3). В основу подхода положен тот факт, что качество идентификации тем выше, чем более разнообразные и интенсивные воздействия прикладываются к входам оригинала и модели.
Предлагается в программе испытаний ЭСП с оценкой предельной на классе V ошибки идентификации использовать разгоняющие тест-сигналы на входе ЗУ [5]. При этих сигналах скорость и ускорение, а также их взвешенная сумма, которые развиваются двигателем в оригинале и в модели, приближаются к предельным на классе V. Последние определяются границей области достижимости Б. Заметим, что эта граница задает минимальное требование к мощности двигателя, используемого в ЭСП. Комплект тест-сигналов позволяет контролировать правильность выбора двигателя.
В качестве скалярной оценки АО близости на классе V двух сопоставляемых приводов предлагается использовать критерий равномерной близости границ их областей достижимости на плоскости «скорость - ускорение». В качестве АО будем использовать максимальную на дискретном множестве точек А невязку границ указанных областей. Причем, поскольку область достижимости симметрична относительно начала координат, то достаточно рассмотреть ее в верхней полуплоскости.
В качестве эталона для оценки используем границу области достижимости ЗУ. Определим набор контрольных точек границы области Б, соответствующих углу направления а на эти точки из начала координат,
например, в виде:
I „ п п п 2п 5п а е А; А = < 0,— — —,—,—, п I 6 3 2 3 6
Определим максимальное отклонение ЗУ по скорости:
= I \wsu )| & , 0
где (*) - весовая функция ЗУ от входа до выхода по скорости. Экстремальный тест-сигнал, при воздействии которого достигается в момент
* = Т8 предельная скорость (4), имеет вид:
*
) = (Т- *)).
Предельные отклонения ЗУ по ускорению, по взвешенной сумме ХзУ скорости и ускорения, а также соответствующие им экстремальные тест-сигналы определяются аналогичным образом.
Введем относительный критерий АО равномерной близости границ областей достижимости оригинала (нелинейной модели) и линейной модели Эм. При фиксированных параметрах регулятора критерий имеет вид:
АО =
* * ^о(а )-*м(а )
•100 <8, (4)
^ЗУ (а)
где 8 - действительная постоянная в процентах, характеризующая требование к точности идентификации; угол а - определяется в результате решения задачи:
ЕоОО-2м(а)
*
тах ® а аеА
Таким образом, оценка точности идентификации на классе V производится с помощью тест-сигналов, которые подаются на вход ЗУ в стенде (рис. 3). Критерий (4) зависит как от параметров регулятора, так и от параметров объекта в сопоставляемых системах. При параметрах (2), (3) критерий АО = 9,09%, что является не достаточным.
Задача идентификации модели ставится как оптимизационная по
критерию минимума оценки (4). Пусть множество корректируемых параметров модели: {Я
Jщ>, се, СМ} . Оптимизация производилась с помощью стандартного программного обеспечения. В результате при неизменном регуляторе (3) и скорректированных параметров объекта
Я = 3.4235 Ом, J = 0.0185кг • м2, Се = 0.0847В • с/рад, СМ = 0.1669Н• м/А
достигнута удовлетворительная точность идентификации: АО = 3,02%; СКО (см. выражение (1)) для случая эквивалентного синусоидального
входного сигнала составила 0,236 мрад.
На рис. 4 представлены результаты моделирования: осциллограммы при а = 450 скоростей и ускорений, которые развиваются в ЗУ, в оригинале и в модели, соответственно.
Рис. 4. Осциллограммы скоростей и ускорений в ЗУ, оригинале
и модели
Из графиков видно, что для рассчитанного варианта ЭСП реакции на разгоняющий тест-сигнал в оригинале и модели достигают тех же предельных значений скорости и ускорения, что и в ЗУ. Это указывает на то, что в рамках принятого ТЗ исполнительный двигатель выбран правильно. Причем в оригинале и модели соответствующие предельные значения скорости и ускорения различаются незначительно (невязка не превышает 3%).
При этом показатели точности слежения привода: ГТ составила 2,46 мрад; ошибка слежения за эквивалентной синусоидой 2.4 мрад. Показатели динамики: перерегулирование 14%; время регулирования 0,11 с; запас по амплитуде 18,7 дБ; запас по фазе 34 град.
Таким образом, получены адекватная линейная модель объекта и регулятор, который обеспечивает необходимые показатели по динамике и точности. Проведенные исследования показали, что рассчитанный регулятор является робастным и обладает малой чувствительностью к вариациям параметров объекта. В тоже время точность идентификации сильно зависит от параметров регулятора.
Предлагается следующая прикладная методика идентификации и синтеза следящих приводов на заданном классе входных сигналов.
1. Описание класса сигналов и построение ЗУ, а также эквивалент-
ного гармонического входного сигнала.
2. Построение стенда и программы точностных испытаний системы с оценкой предельных на классе сигналов ошибок идентификации и слежения.
3 Идентификация модели силовой системы привода по критерию минимума оценки (4). Контроль правильность выбора двигателя.
4. Расчёт по линейной модели оптимального вектора параметров регулятора, доставляющих минимум функционалу ГТ слежения.
5. Проведение динамических и точностных испытаний привода с использованием комплекта тестирующих сигналов. Контроль показателей качества в переходных и установившихся режимах.
Примечание. В случае не выполнения требований ТЗ проводится итерационное возвращение на этап 3.
Выводы
Разработана методика идентификации, синтеза и испытаний высокоточных следящих систем в случае произвольного характера входного сигнала из заданного класса. Методика позволяет повысить достоверность и надежность результатов, снизить затраты времени и средств на экспериментальную доработку приводов, для которых важна оценка диапазона мгновенных значений ошибки, а не только её усреднённое значение.
Получаемая модель позволяет упростить синтез регулятора, а также может быть использована в системе управления в качестве наблюдателя. Программа испытаний позволяет контролировать правильность выбора двигателя.
Список литературы
1. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе (малая и средняя мощность): курс лекций. СПб.: КОРОНА-Век, 2006. 336 с.
2. Макаров Н. Н. Метод гарантированной точности следящих систем/ Н.Н. Макаров //Мехатроника, автоматизация, управление, №11. М., Новые технологии, 2006. С. 24 - 30.
3. Воробьев В.В. Метод гарантированной точности для релейных следящих систем/ В.В. Воробьев, Н.Н. Макаров, Парамонова А. А. //Мехатроника, автоматизация, управление, № 10 (127). М., Новые технологии, 2011. С. 32 - 38.
4. Макаров Н.Н. О формировании задающего устройства для метода гарантированной точности/ Н.Н. Макаров, В.Е. Семашкин// Изв. ТулГУ. Вып. 3. Системы управления. Тула: ТулГУ, 2005. С. 132-139.
5. Воробьев В.В. Один способ учета ошибки линеаризации при синтезе релейной следящей системы/ В.В. Воробьев// Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 60 - 71.
Воробьев Василий Викторович, канд. тех. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ефромеев Андрей Геннадьевич, асс., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Макаров Николай Николаевич, д-р тех. наук, проф., [email protected], Тульский государственный университет,
Огурцов Алексей Алексеевич, асп., alexey.ole@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
IDENTIFICATION AND SYNTHESIS OF THE SERVO DRIVE WITH CONTACTLESS TORQUE ENGINE
V. V. Vorob 'ev, A.G. Efromeev, N.N. Makarov, A.A. Ogurtsov
The approach to object identification and synthesis of the regulator servo drive with contactless torque engine is considered. Methodology of identification, synthesis and testing is developed for high-precision servo systems on the input signals class. The validity of the results is confirmed by computer simulation.
Key words: actuator, regulator, accuracy, identification, synthesis, testing, class of signals, the method extreme deviations.
Vorob 'ev Vasiliy Viktorovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Efromeev Andrew Gennadievich, assistant, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Makarov, Nikolai Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, nnm@sau. tsu. tula. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Ogurtsov Alexey Alexeevich, postgraduate, alexey. ole@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
