Хеджирование опциона продажи с заданной вероятностью в случае выплаты дивидендов по рисковому активу Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(9)

УДК 519.865

Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин

ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОНА ПРОДАЖИ С ЗАДАННОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ В СЛУЧАЕ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ ПО РИСКОВОМУ АКТИВУ

Рассматривается задача нахождения цены опциона, портфеля (хеджирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью, для Европейского опциона продажи в случае выплаты дивидендов по рисковому активу при использовании диффузионной модели рынка.

Ключевые слова: финансовый рынок, цена опциона, хеджирующая стратегия, Европейский опцион продажи, дивиденды.

Используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей [1]. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов требуют применения математических методов на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным объектом исследования которой являются различные модели рынка ценных бумаг [2

- 4]. Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право купли или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по определенной цене, а продавец опциона за премию, являющуюся ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли, а во втором - продажи. Стандартная платежная функция опциона продажи, определяющая величину выплаты при предъявлении

опциона к исполнению, имеет вид /Т = (К - £Т)+, где £Т - цена базисного актива в момент исполнения Т, К - цена исполнения контракта, а+ = тах(а;0) Опцион, соответствующий такой платежной функции, получил название стандартного опциона продажи европейского типа для фиксированного Т. В случае стандартных опционов с платежными функциями данного вида выплата по опциону может быть достаточно высокой, что представляет существенный риск для эмитента и порождает требование ограничения этого риска. В предлагаемой работе реализация выдвинутого требования осуществляется на основе квантильного хеджирования с заданной вероятностью выполнения платежного обязательства [4, 5].

1. Постановка задачи

Рассмотрим модель финансового рынка, представленного безрисковым (банковский счет) Б и рисковым (акция) £ активами с ценами соответственно Б1 и £ в момент времени t е[0, Т]. При этом активы Б и £ называют основными активами или основными ценными бумагами, образующими (Б ,£) - рынок с непрерывным временем. Предполагается, что величина банковского счета Б задается детерминированной функцией Б = (Б( ^>0, отвечающей уравнению

СБ, = гБ,Л, (1)

решение которого имеет вид

Б1 = Б0 ег, Б0 > 0, г > 0, (2)

где г - процентная ставка, или банковский процент. Изменение стоимости акции £ = (£) >0 происходит на стандартном вероятностном пространстве

(, (, Р = (^ )t>0, Р). Ввиду того, что реально наблюдаемые флуктуации цен ак-

ций имеют случайный характер, для описания эволюции £ используется модель «геометрического», или «экономического», броуновского движения [2, 3]. Такой процесс описывается уравнением

^ (цС + оСШ1), (3)

с решением = А0 ехр

t + aWt

(4)

где Ш = (1¥( )t>0 - винеровский процесс, А0 > 0, ц е Я, с > 0 .

Рассмотрим некоторого инвестора, значение капитала X в момент времени t которого определяется как

X, = PtBt + у А , (5)

где ¥1 - измеримые процессы в, и у, - части безрискового и рискового активов соответственно - составляют портфель ценных бумаг п, = (в,, у,). За обладание акцией осуществляются выплаты дивидендов в размере Б со скоростью 5у,£, 0 < 5 < г пропорциональной рисковой составляющей капитала, а именно:

= 5уАС. (6)

Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами подчиняется уравнению

сХ1 = в^Б, + . (7)

Из (5), (7) следует, что

X = в^Б, + у+ Б,Св, + . (8)

Согласно (7), (8), получаем балансовое соотношение Б,Св, + , заме-

няющее условие самофинансируемости в стандартной задаче [2 - 4]. Учитывая соотношения (3), (5) - (7), запишем уравнение, определяющее X, в виде

X = гхс+у А -г+5,

^-г+5 = + (ц -г + 5) , . (9)

с

Задача. Требуется определить капитал X< , соответствующий ему портфель п* = (, у*) и начальное значение капитала X0 = РТ как стоимости вторичной

ценной бумаги - опциона, при которых обеспечивается выполнение платежного обязательства

Xт = /т (Ат ), (10)

где /Т (АТ) - платежная функция с вероятностью Р(А) = 1 - е, 0 < е < 1 [4, 5].

Базовая теория рассматривает хеджирование с единичной вероятностью, когда е = 0 [1] и платежное обязательство выполняется на каждой траектории St. Подобная идеализация приводит к тому, что решение не зависит от параметра роста ц, который является существенным и определяет тенденцию изменения цены рискового актива. Хеджирование с вероятностью меньше единицы (квантильное хеджирование) является более реалистичным. В рамках проведенного исследования рассматривается задача хеджирования с заданной вероятностью стандартного опциона продажи в случае выплаты дивидендов, когда находится не только формула для справедливой цены опциона PT, но и формулы, определяющие эволюцию во времени портфеля (хеждирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью.

2. Цена опциона

Рассмотрим задачу квантильного хеджирования стандартного опциона продажи (put- опциона) с функцией выплатfT = (K- ST)+ = max (0, K- ST) [2, 3]. По теореме 6.1 из [4] имеем, что оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования совпадает с совершенным хеджем (с вероятностью единица) платежного

обязательства fT = fTIA , где IA - индикатор множества A, имеющего вид

A = {ю : —— > const- fT}, (11)

\ dP* T)

где P - рискнейтральная (мартингальная) мера, т. е. мера, относительно которой процесс St = St/Bt является мартингалом и существование которой обеспечивает разрешимость задачи на неарбитражных стратегиях хеджирования, т.е. стратегиях, не допускающих получения прибыли без риска. Используя тот факт из [2 - 4], что процесс плотности мартингальной меры P относительно P

dp- = Zf-' *> = exp j-W* +1 f A, (12)

dP t I с 2 v о

где Ш* = г+5 вида (9) есть винеровский процесс относительно меры Р. С учетом (4) и вида платежной функции для опциона продажи область успешного хеджирования А примет вид

v

о2 t 2

■ j T > const- (K - ST)+ j =

— - r+5 s s 2 N N 1

¡St °2 exp |- ——Г2+5 ln S0 + — + + + 5—— T > const-(K - St )+>. (13)

с

/

/

TT Й Д - r + Д -r +5 і

Необходимо рассмотреть два случая: ------ — < 1; ----- — > 1.

с с

На рис. 1 и 2 9j(ST) = const (K - ST)+ , <p2(ST) = +5/с . Заштрихованные

области являются областями решения неравенства (13) в зависимости от значения выражения (д - r + 5)/с2 . Отсюда становится видно, что в отличие от опциона купли в случае квантильного хеджирования [4] для опциона продажи структуры

Рис. 1. Структура множества хеджирования ц - г + 5

при

-< 1

Рис. 2. Структура множества хеджирования ц - г + 5

при

-> 1

2

2

а

а

множеств хеджирования идентичны. Поэтому множество А для опциона продажи в обоих случаях может быть представлено следующим образом:

Тогда

Из (4) следует

А — {5Т > ё} = {Т* > й} — |5Т > 50 ехр Р(А) = Р ] Бт > 50 ехр

ГГ с2

г-------

ЧЧ 2 У

Л

Т + йс

ГГ с2 ^

г------

2

V

V

Л

Т + йс

/

$т — 50 ехр

Т + сЩ

(14)

(15)

(16)

Ввиду монотонного возрастания экспоненциальной функции (15) примет вид

((

2

Р(А) — Р |50ехр ц + 5 --

Т + сЩ

> 50 ехр

Г с2 ^

г-------

Ч 2 У

Л

((

— Р |ехр ц + 5 —— |Т + сЩ

Л

> ехр

ГГ с2 ^

г------

2

ч

ч

Т + йс

Л

Т + йс

—Р

2

~ (5

ц + 5---------

2

Т + сЩ >

Г с2 ^

г------

2

ч

Т + йс | — ц + 5 - г'

— Р > йс-(ц + 5 - г )Т} — Р {щТ > й-^ Ц + 5 г ^ Т}. (17)

Замечание. Далее всюду Ф-1(у) означает функцию, обратную функции Лапласа

х 1 Г

ф(х) — [ ф(У)ёу, ф(х) —-¡= ехр | -

-! ^ I

Так как винеровский процесс ^ имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией t, то из (17) получаем

2

Р (А) = 1 — Ф

4.Т

(18)

где Р(А) — 1 - е, 0 < е < 1, есть вероятность успешного хеджирования. Следова-

тельно, для нахождения константы й — йр имеем соотношение

йр — л/Тф-1(£) + ц + 5 - г Т .

(19)

Теорема 1. Пусть уо(Т, Бо) определяется по формуле

Уо(Т, 5о) = ■

1п — — (г — 5 — —)Т Бо 2

?4Т

(20)

Тогда справедливая (рациональная) цена опциона продажи в случае выплаты дивидендов определяется формулой

РТ = Ке

гТ

Ф( Уо(Т, 5о)) — Ф

' ЬТ Л р

V УJ

-5Т

Ф( Уо(Т, Бо) — о4Т) — Ф

( ЬТ Ьр — о4Т

4т

(21)

Доказательство. Согласно [2 - 4],

Рт — Е* {/т1а }, (22)

где Е - усреднение по мартингальной мере Р . Выполнив замену х — г - а, где ц + 5 — г ^ I—

IVТ , и используя (12) и (16), находим согласно (22)

Рт = Е* [є-гТ/т } = Е* {е-гТ (К — Б. )+ } =

= е-гТ Ет—г+5

К — Бо ехр \ I и + 5--------

-2 Л

Т + оШТ

| ехр

И — г + 5Л^уТ Т (и — г + 5

2

К — Бо ехр \ и + 5-----------

2 V о

ІЛ+

Т + оШТ

•ф( х)аХ =

—гТ

і ЄХР

И — г + 5

К — Бо ехр

г — 5-----

2

Т + ол/Т

= е

-гТ

== I ехр|—

л/2п

/

2 2 2 а і а~

-іа+а---------------+ іа----

х +

И — г + 5

4т

2

2 2

К—Боехр

г — 5—

• ф( х)йх =

СІ2 .

О

X

Так как подынтегральное выражение больше нуля при

K - S0 exp

( 2 Л !

r - 5--------T + сл/T"z ^ > 0,

то

Тогда

K > S0 exp <j I r - 5 - ^2-1T + с-\Ту [■.

, K с2,

ln-----------(r - 5----------)

yo(T,So) >■

cVT ’

где y0(T, S0) определяется по формуле (20). Окончательно с учетом (19) получаем

Р = e~rT

Рт =e Т2П

^ J ^K - S0 exp j(r - 5 - у jj T + сл/Tzj jj exp j-Zj- |dz

= Ke

-rT

( bT \ p

4T

Ф( y0(T, S0)) -Ф

_ V ' “ j

т.е. пришли к (21). Теорема доказана.

- S0 є'

-5T

Ф( y0(T, S0) - сТТ) -Ф

( bT bp -с p

4T

3. Капитал и портфель

Обозначим через п* = (в*,у*) — минимальный хедж, где в* — часть безрискового актива (сумма, находящаяся на банковском счете), а у* — часть рискового актива (сумма, вложенная в акции).

Теорема 2. В случае квантильного хеджирования портфель п* = (в*, у*) и текущий капитал Хі определяются формулами

Yt =-e

-5(T-t)

Ф( У0(Т -1, St) - сл/Т-7)-Ф

( bT-t Л

p - с-ІТ-t

в* = e-r (T-t} K ф( У0(Т -1, St)) -Ф

VT -1

( bT-t л

P

VT-7

(23)

(24)

= Ke-r(T-t)

X* = Ke

Ф( У0(Т -1, St)) -Ф

( bT-t л p

yir-t

-5(T-t)

Ф( У0(Т -1, St) - cVT-7)-Ф

( bT-t Л

p - с^/T-7

VT-

t

(25)

где bp и y0(T -1, St) определяются по формулам (19) и (20) с заменами

Т ^ (Т -1) и S0 ^ St, т.е.

0

Ьт- _4т-7 Ф-1(е) +

(Т - 7),

Уо(т -7, X,)=•

1п I-(г - 5 - Т 1(т -' >

ал/Т -7

Доказательство. Согласно [2 - 4],

X* =Е{е-г (т-7) /т\Б,};

* _ ах*С£) I .

Ъ _ дs '*_Х .

* _ X* - тХ

в* _

В,

(26)

(27)

(28)

Из (26) следует, что X'* _ е г(т 7)Е* {{т1А |Х7}. Тогда, проводя вычисления, которые использовали при выводе формулы (21), получаем

1

Р _ е-г (т -,)

Рт -7 _е л/2Л

Уо(т-7 ,Х7)/ Г с а2 > Г z 2 1

К - Х7 ехр ^ 5- О г - 5 (т-7)+ал/т-7z \ ехр < >dz

Ь-/,/т- ( 1 ( 2 V 1 2 2

_ Ке

г (т -7 )

Ф(у0(т - 7, Б,)) -Ф

С Ьт-7 ^ р

л/т-7

- Х(е

-5(т-7 )

Ф( уо (т - 7, Х{) - ал/т-Г) - Ф

С Ьт-

р - ал/т-Г

л/Г - 7

т.е. пришли к (25). Согласно (25), (27),

Ф(Уо(т -7,X,)-ал/т-7)-Ф

у* _ е-5(т-7)

С Ьт-7

р - ал/т"-7

л/т - 7

е-г(т-7) _ д

дХ7

+К^г(-)— ф(уо(т-7,Х,))-Х( — е-5(т-7)фУ-7,Х()-сл/т~-7) . (29)

Х7 дХ7

Учитывая вид функции уо (т - 7, Х7), имеем

-X-ф(Уо(т-7,Х()) _-Х

дХ7 дХ7

1

дХ7

-\/2л

л/2п

1

Уо(т-7 Х)

| ехр ]- — \й2

\

фп(т - 7)

л/2л

ехр

ехр

(Уо(т - 7, Х7 ))21 д

■Уо(т -7,Х7) _

(Уо(т - 7, Х())2

Аналогично

д

— Ф(уо(т - 7, Х7) - ал/т-7 )_-

аХ7 ^/2п(т - 7)

ехр

(Уо(т - 7, Х7) - ал/т"-7 )2

1

Подставляя полученное выражение в (29), получаем

^ Ф( - (, ^) - ол/Г-7) - К))(Т -7) д^Ф( Уо (Т - 7, о)) -

дБ,

-е

-5(Г-7 )

ехр

Ф( Уо(Т - 7, Б,) - ол/Т~-7)-Ф

Г Ьг-7

Р - ол/г-7

л/Т -

(Уо(Т - 7, Б, ))2

Ке~г(Т-) I о2(Г - 7) +

-------------+ Уоол/ Т -7

Б,

ехр

-е

,-5(Г-7 )

Ф( Уо(Т - 7, ^) - ол/Г-7 )-Ф

Г ЬТ -7 V

Р - ^л/Т-7

л/Т -

7

(30)

Так как

^г (Т-7) |- +Уо^тг^ 1=

ехр

о , то

У 7 =-е

-5(Г-7 )

Ф( уо(Т - 7, Б7) - сл/Т-7) -Ф

г ЬТ-7

Р - ол/г-7

л/Г-7

т.е. пришли к (23). Используя (23) и (25) в (28), получаем

X* - тХ = Ке-г(Т-7)

в;=■

в в

Ф(Уо(Т - 7, ^)) -Ф

( ЬТ-7 V

Р

л/Г-7

Б(е

-5(Г-7 )

в

V

-5(Г -7 )

в

Ф (Уо(Т - 7, ^) - ол/Г-7) -Ф

Ф( Уо(Т - 7, ^) - ол/Г-7)-Ф

( ЬТ -7 у

ЬР 1 а 1

л/ Т-7

V

( ЬТ - V

ЬР 1 а 1

\4 Т-7

Ке

-г (Т-7 )

в

Г ЬТ -7 V Р

ТТ-7

Ке

-г (Т-7 )

в

Ф( У0(Т - 7, $ )) -Ф

Г ьт- -

Р

ТТ-

Ф( Уо(Т - 7, $)) -Ф т.е. пришли к (24). Теорема доказана.

4. Свойства решения

Утверждение. Для стандартного опциона продажи в случае выплаты дивидендов решение задачи определяется формулами

(1п(К/Бо)-(г - 5 - о2/2)г V 5Т (1и(^Бо)-(г - 5+о2/2)г 2

' ’ - Бое 1Ф 4 ’

РТ = Ке~гТ Ф

зл/Г

у7 =-е-5(Т-7 ) Ф

в = е-Г(Т-7) К Ф

в,

1п(К/Б7) - (г - 5 + о72)(Г - 7)' о\/ Т -7

У

1п( К/Б() - (г - 5 - о72) (Г - 7)' ол/Т -7

; (31)

(32)

1

X = Ке

г (Т-ґ )

Ф

-^0е-5(Т-ґ) Ф

1п(К/Б{) -(г - 5 - о72)(Т - ґ) ' ол/Т -ґ

V

1п( К/Б,) - (г - 5 + о 72) (Т -ґ) ол/Т -ґ

(34)

Данные формулы следуют в результате обобщения соответствующих формул из [2, 3] на случай выплаты дивидендов.

Следствие. В случае е = о формулы (21), (23) - (25) переходят в формулы (31)

- (34). Это соответствует тому, что несовершенное хеджирование переходит в совершенное.

Доказательство. В случае, когда е = о, вероятность успешного хеджирования РА) = 1 - е = 1, т. е. переходим к совершенному виду хеджирования. Рассмотрим формулы (21), (23) - (25) при е = о.

При є = 0 константа Ьр принимает вид

ЬТ = ТТф-1(0) + ц + 5 г Т ■■

Тогда Ф

= 0, Ф

( ЬТ-

р

у/т-

- ол/Т -ґ

с

Л

(35)

= 0 .

л/Т-ґ Согласно (23) - (25),

X* = Ке-г (Т -ґ )Ф( у (Т - ґ, Б)) - ^е-5(Т-ґ) Ф( у (Т - ґ, Б) - ОУІТ-ґ) = (1п(К/Б,) - (г - 5 - о72) (Т - ґ) Л

= Ке-г (Т-ґ )Ф

ґ

-V

у* = -е-5(Т-ґ)

-5(Т-)

Ф

о4Т -ґ

1п(К/Б,) - (г - 5 + о72) (Т - ґ)

о\/ Т -ґ

V

Ф( У0(Т - ґ, Б) - ол/Т-7)-Ф

( ЬТ-ґ р

(

= -е-5(Т-ґ) Ф

уІТ-ґ

\

1п(К/Б,) - (г - 5 + о72) (Т - ґ) Л

- ол/ Т -ґ

р: = е~г (Т-ґ)—

д

К

ол/Т-ґ

Ф(У0(Т -ґ,Б)) -Ф

Г ЬТ- Л р

УІТ-ґ

1п(К/Б() - (г - 5 - о72) (Т - ґ)' ол/Т-ґ

Таким образом, пришли к (32) - (34). Так как РТ = Х(, то из (35) получаем (31). Следствие доказано.

Представляют интерес зависимости стоимости опциона от параметров Бо и К, определяющих начальную цену рискового актива и оговариваемую цену исполнения опциона. Эти зависимости характеризуются величинами

pso = dpL

T dS0

PK -

T

dPT

dK

Теорема 3. Коэффициенты чувствительности PT лами

So

PK

T

(36)

определяются форму-

S Є pSo —

T

-5T

ф(Уо(Т,So)-gVT)- Ve rTФ(Уо(Т,So))-

л/Т

-5T

s0^^/T

Ф( yo(T, So) - vJT) -Ф

-pr - gVt y¡T

(37)

PTK - e~

Ф( yo(T, So)) -Ф

Г bT A

P

JT

WT

ф( yo(T, So)) -

-5T

KgVT

ф( yo(T, So) - ол/Г).

Доказательство вытекает непосредственно из определения Рт 0 (21).

(38)

и PTK с учетом

Исследования Рт° и PT с привлечением численных расчетов показали, что

Рт > 0 , т.е. рациональная стоимость опциона продажи с выплатой ди-

Р/0 < 0,

видендов является убывающей функцией от начальной цены акции £0 и возрастающей функцией от цены исполнения опциона К. Экономическая интерпретация этих свойств заключается в следующем. Увеличение начальной цены £0 приводит в среднем к увеличению £т. Это повышает вероятность того, что Бт превзойдет К, т.е. вероятность непредъявления опциона к исполнению. В этом случае риск покупателя опциона возрастает, а за возрастающий риск следует меньше платить. Увеличение К приводит к повышению вероятности того, что Бт не превзойдет К. Таким образом, риск для покупателя опциона уменьшается, а за уменьшающийся риск следует больше платить.

Заключение

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Найдена формула для справедливой цены опциона продажи.

2. Найдены формулы, определяющие оптимальный портфель ценных бумаг и отвечающий этому портфелю капитал.

3. Исследованы некоторые свойства цены опциона, касающиеся характера ее зависимости от начальной цены акции и цены исполнения опциона.

ЛИТЕРАТУРА

1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007. 1052 с.

2. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типа: Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применение .1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80 - 129.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 1998. 1017 с.

4. МельниковА.В., Волков С.Н., НечаевМ.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

5. Новиков А.А. Хеджирование опционов с заданной вероятностью // Теория вероятностей и ее применение. 1998. Т. 43. Вып. 1. С. 152 - 161.

Данилюк Елена Юрьевна Демин Николай Серапионович Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 25 сентября 2009 г.