CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 1, С. 51-62
УДК 517.98
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ПОЛИНОМОВ, СОХРАНЯЮЩИХ дизъюнктность1
3. А. Кусраева
Александру Ефимовичу Гутману в связи с его пятидесятилетием
Цель настоящей работы — дать характеризацию однородных полиномов в векторных решетках,
сохраняющих дизъюнктность, и доказать для них теорему о мультипликативном представлении.
Mathematics Subject Classification (2010): 46А40, 47Н60, 47Н07.
Ключевые слова: степень векторной решетки; однородный полином, сохраняющий дизъюнктность; ортогональная аддитивность; решеточный полиморфизм; мультипликативное представление.
1. Введение
Изучение полиномов в бесконечномерных пространствах в значительной мере стимулировано исследованиями в области бесконечномерной голоморфности. В литературе достаточно хорошо представлены алгебраические свойства полиномов, а также взаимосвязи полиномов с геометрическими и линейно-топологическими свойствами банаховых пространств, см., например, [17].
В то же время, полиномы в векторных решетках обладают интересными порядковыми свойствами и вызывают растущий интерес исследователей, см., например, [22, 23]. Классы полиномов в банаховых решетках, определяемые в смешанных терминах нормы и порядка, имеют богатую структуру и заслуживают самостоятельного изучения [14]. Наибольший прогресс достигнут в изучении ортогонально аддитивных полиномов, см. [6-8, 11, 19, 26]. Эти результаты дают новые возможности для получения детальной информации о строении ортогонально аддитивных полиномов, с одной стороны, и дальнейших приложений в теории операторов в банаховых решетках, с другой.
Цель настоящей работы — исследовать класс полиномов в векторных решетках, сохраняющих дизъюнктность. Этот класс можно рассматривать как абстрактное описание наименьшего множества полиномов, которые можно сконструировать, комбинируя операции взвешенного сдвига, возведения в степень и суммирования.
Структура работы такова. Во втором параграфе вводятся основные понятия и формулируются необходимые для дальнейшего изложения теорема о факторизации ортогонально аддитивного оператора через линейный оператор и канонический полином, теорема о мультипликативном представлении решеточных полиморфизмов и теорема
© 2016 Кусраева 3. А.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 15-51-53119 ГФЕН-а.
Мейера о строении полилинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность. В третьем параграфе даются различные характеризации полинома, сохраняющего дизъюнктность. Основной инструмент здесь — степень Е50 векторной решетки Е и канонический полином х ^ ж50 := х 0 • • • 0 х £ Е50 (ж £ Е). В частности, показано, что порядково ограниченный полином, сохраняющий дизъюнктность, факторизуется через линейный оператор, сохраняющий дизъюнктность, и канонический полином. В четвертом параграфе показано, что полученное описание полиномов, сохраняющих дизъюнктность, позволит распространить на них теорию А. Е. Гутмана [2, 18] линейных операторов, сохраняющих дизъюнктность, что приводит к результатам о мультипликативном представлении этого класса полиномов.
Общие свойства полиномов см. в [17]; необходимые сведения из теории операторов в векторных решетках см. в [10]. Все рассматриваемые векторные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми.
2. Вспомогательные сведения
Введем основные понятия, используемые в дальнейшем. Приведем также необходимые сведения о полилинейных операторах в векторных решетках, большей частью хорошо известных в билинейном случае. Напомним, что полилинейным (или, точнее, в-линейным, в £ N — число переменных) называют оператор, линейный по каждой переменной.
Определение 2.1. Пусть Е и Е — векторные решетки и 1 ^ в — целое число. Отображение Р : Е ^ Е называется однородным полиномом степени, в (или в-однородным полиномом), если существует в-линейный оператор < : Е5 ^ Е такой, что
Р(х) = <(х,...,х) (х £ Е). (2.1)
Равенство (2.1) можно переписать в виде Р = < о Д5, где Д5 : Е ^ Е5 действует по правилу Д5 : х ^ (х, ...,х) £ ЕДля любого полинома Р : Е ^ Е существует и притом единственный симметричный в-линейный оператор < : Е5 ^ Е такой, что выполняется Р = < о Д5. Этот оператор < называется порождающим для полинома Р и часто обозначается символом Р, см. [17].
Определение 2.2. Однородный полином Р : Е ^ Е называют ортогонально аддитивным, если для любых х, у £ Е выполняется
|х| Л |у| = 0 Р(х + у) = Р(х) + Р(у).
Возьмем в £ N векторные реш етки Е1,..., Е5 и фиксированный набор (а1, ..., а5), где (ц £ Ег (I = 1,..., в). Обозначим ак := (а\,..., ак-\, ак+\> • • •> я«)- Для отображения ср : Е\ х • • • х Е3 —» Е определим оператор (рак Ек —» Е формулой
Уаи ■ %к ^ <р(а1,. ■ ■ ,ак-1,хк,ак+1,... ,а3) (хк £ Ек). (2.2)
В этих обозначениях к := 1,..., в, причем возникающие при к = 1 и к = в символы ао и а5+1 опускаются. Положительность в-линейного оператора < : Е1 х • • • х Е5 означает, что линейный оператор (р-ак положителен при всех к := 1,..., и 0 ^ а» £ Е^, % ф к. Как обычно, < ^ ф означает, что ф — < ^ 0. Обозначим символом Е) упорядоченное
векторное пространство симметричных в-линейных операторов из Е5 в Е.
Определение 2.3. Однородный полином Р : Е ^ Е называют положительным и пишут Р ^ 0, если положительным является порождающий его полилинейный оператор, т. е. Р(Ж1 ,...,ж5) ^ 0 для любых Ж1,...,Ж5 £ Е+ При этом Р ^ Q означает, что
Я - Р ^ о.
Всюду далее множество ^-однородных порядково ограниченных ортогонально аддитивных полиномов из Е в Е будем обозначать символом Р~(5Е, Е). Легко видеть, что (Р~(5Е, Е), — упорядоченное векторное пространство. При в = 1 получаем упоря-
Е
в Е, которое принято обозначать символом £~(Е, Е).
Определение 2.4. Полилинейный оператор ^ : Е1 х... хЕ„ ^ Е называют решеточным полиморфизмом или, точнее, решеточным в-морфизмом, если для любого к := 1,... и любых 0 ^ йг £ Ег, г ф к, оператор (р-ак является решеточным гомоморфизмом из Е в Е. Полилинейный оператор ^ : Е5 ^ Е называют ортосимметричным, если ^>(ж1,..., жп) = 0, как толь ко ж» ± ж^- для какой-нибудь пары индексов г = ] из {1,..., п}.
Определение 2.5. Пусть 2 ^ в £ Ми Е — архимедова векторная решетка. Пара (Е50,05) называется в-ои степенью Е, если выполнены следующие условия:
(1) Е50 — архимедова векторная решетка;
(2) 05 : Е5 ^ Е50 — ортосимметричный решеточный в-морфизм, называемый кано-
вЕ Е
шеточного в-морфизма ^ : Е5 ^ Е существует единственный решеточный гомоморфизм Б : Е50 ^ Е такой, что ^ = Б о08.
Это определение введено в [13, определение 3.1]. Там же установлено, что для любой архимедовой векторной решетки Е и любого натурального 2 ^ в £ N существует единственная с точностью до решеточного изомофизма в-ая степень (Е50, 05), см. [13, теорема 3.2]. Для удобства полагают
Е10
= Ей 01 = /е- Далее будем писать 0 вместо
05 и ж1 0 • • • 0 ж5 вместо 05^,..., ж5).
Стоит различать два отображения (-)50, I : Е ^ Е50, определяемые формулами
(•)50 : ж ^ ж50 := ж 0 — 0 ж, I : ж ^ ж 0 |ж| 0 • • • 0 |ж| . (2.3)
5 раз 5 - 1 раз
Первое из них — специальный ортогонально аддитивный полином, порождаемый ка-
в 0 Е
играет роль отсутствующей в векторной решетке степенной функции. Второе является нечетной ортогонально аддитивной функцией и осуществляет порядковый (нелинейный) изоморфизм из Е в Е50, причем I будет биекцией, если Е равномерно полна. Заметим также, что эти отображения совпадают на конусе положительных элментов Е+
Е
(1) для любого и £ Е0 существует такой элемент ео £ Е+ что для сколь угодно малого е > 0 можно подобрать ж^д,..., ж^ £ Е (г := 1,..., в) так, что
u - 0 ■ ■ ■ 0
j=1
< ee00 ;
(2) для любого u G Es0 существует такой элемент e G E+, что |u| ^ es0;
(3) для любых xi,..., G E выполняется xi 0 ■ ■ ■ 0 xs = 0 в том и только в том случае, когда |х1| Л ■ ■ ■ Л |xs| =0;
(4) для каждого 0 < u G Es0 существует e G E+ такой, что 0 < es0 ^ u.
< Доказательство утверждений (1), (3) и (4) проводится по той же схеме, что и в [15, теорема 2.1], используя определение фремлиновского тензорного произведения Е\ © ... 0 Е3 векторных решеток Е\,..., Е8 при в ^ 2 и его свойства (а), (Ь) и (с) из [25, §2]. Если Е1 = ... = Е5, то Е50 определяется как фактор-решетка векторной решетки Е\ © • • • 0 Е3 по равномерно замкнутому идеалу, порожденному элементами вида х1 © • • • © х5, где для некоторой пары индексов 1 ^ г, ] ^ в выполняется хг ± х^-. Утверждение (2) легко вытекает го (1). В самом деле, если х^-, ео и е — те же, что и в (1), и положим е:= впе(е0 + ^¿=1 ^/=1 |хыт0 |и| ^ е50. >
Для однородных ортогонально аддитивных полиномов справедлива следующая теорема о факторизации:
ЕЕ
из них равномерно полна. Тоща для любого порядково ограниченного ортогонально аддитивного полинома Р : Е ^ Е существует единственный порядково ограниченный линейный оператор Т : Е50 ^ Е такой, что имеет место представление
Р{х) =Т(хзэ) = Т(ж© •••©ж) (ж еЕ). (2.4)
5 раз
Более того, соответствие Р <—> Т является изоморфизмом упорядоченных векторных пространств Р~(5Е, Е) и Р~(Е50,Е).
< Доказательство см. [6, следствие 3]. >
Теорема 2.8. Предположим, что в универсальном пополнении Еи векторной решетки Е фиксирована структура /-алгебры с единицей и умножение обозначено символом •. Для произвольного решеточного и-морфизма < : Е1 х ... х Еп ^ Е существуют и решеточных гомоморфизмов Б : Ег ^ Еи (г := 1,..., и) таких, что
<(х1,... ,х„) = ^1(х1) • ... • Бп(хп) (х1 £ Е1,... ,хп £ Еп).
Если, сверх сказанного, Е := Е1 = ... = Еп и полиморфизм < симметричен, то в этом представлении можно взять Б := Б = ... = т. е. имеет место представление
<(хь... ,х„) = Б(х1) • ... • Б(хп) (х1,... ,х„ £ Е).
< Доказательство проводится аналогично билинейному случаю (см. [5, теорема 3.2], а также [21, теорема 3.12.А.З]). >
ЕЕ
ного решеточного в-морфизма < : Е5 ^ Е существуют векторная решетка О и решеточный гомоморфизм Б : Е ^ О такие, что О50 С Ей имеет место представление
<(х1,..., хп) = Б(х1) 0 ... 0 Б(х„) (х1,..., х„ £ Е).
< Пусть Б : Е ^ Еи — решеточный гомоморфизм из теоремы 2.8 и положим О := Б(Е). Тогда О — векторная подрешетка решетки Еи, а отображение < : (и,... , и5) ^ «1 • ... • и5 представляет собой ортоспмметричный решеточный в-морфизм из О5 в Е. В силу условия (3) определения 2.5 существует единственный решеточный гомоморфизм Н : О50 ^ Е такой, что < = Н о 05. Если Н(и) = 0 и 0 < |и| £ О50, то существует
V £ О+ такой, что 0 < V 0 ... 0 V ^ и (см. [15, теорема 2.1(4)]). Следовательно,
V • ... • V = Н^ 0 ... 0 V) ^ Н(|и|) = |Н(и)| = 0 п получаем противоречие V = 0. Тем
самым гомоморфизм Н инъективен и, так как степень векторной решетки определяется с точностью до решеточного изоморфизма, можем отождествить С50 с подрешеткой в Е. >
Следствие 2.10. Решеточный полиморфизм ортосимметричен в том и только в том случае, когда он симметричен.
< Из следствия 2.9 видно, что симметричный полиморфизм ортосимметричен. Обратное верно для любого положительного полилинейного оператора, см., например, [12, теорема 2] и [16, следствие 2]. >
Определение 2.11. Полилинейный оператор < : Е1 х ••• х Е5 ^ Е называется сохраняющим дизъюнктность, если линейный оператор срак : Е—» Е, к = 1 сохраняет дизъюнктность, каковы бы ни были фиксированные а» £ Е^, г = к, т. е.
(\/ж ,у£Ек) X ± у (Рак(х) ± (Рак(у) (к = 1, . . . , .
Теорема 2.12 (теорема Мейера для полилинейных операторов). Пусть Е1,...,Е5 и Е — векторные решетки, а < — порядково ограниченный в-линейный оператор из Е1 х • • • х Е5 в Е, сохраняющий дизъюнктность. Тогда < имеет положительную часть отрицательную часть и модуль |<|, являющиеся решеточными полиморфизмами. Более того, <+ (ж1,... ,ж5) = (<(ж1,... ,ж5))+ и <-(ж1,... ,ж5) = (<(ж1,... ,ж5))- для всех 0 ^ ж» £ Ег и |<(ж1,..., ж5)| = |<|(|ж11,..., |ж51) для всех ж» £ Ег (г := 1,..., в).
< Доказательство повторяет рассуждения из [4, теорема 3.4], относящиеся к билинейному случаю. >
3. Полиномы, сохраняющие дизъюнктность
ЕЕ
помним, что все векторные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми.
Определение 3.1. Однородный полином Р : Е ^ Е степени в называют сохраняющим дизъюнктность (соответственно, решеточным полиморфизмом), если таковым является порождающий его симметричный полилинейный оператор Р : Е5 ^ Е, см. определения 2.4 и 2.11.
ЕЕ
шеткн. Пусть Р : Е ^ Е — порядково ограниченный ортогонально аддитивный в-
Р
часть Р+
Р- |Р|
того, Р +(ж) = (Рж)+ Р-(ж) = (Рж)- и |Р|(ж) = |Р(ж)| да ж £ Е+
< В силу определений 2.3, 2.4 и 3.1 Р ^ Р устанавливает изоморфизм упорядоченных векторных пространств Р~(5Е, Е) и Р~(5Е, Е). Поэтому первая часть требуемого вытекает непосредственно из теоремы 2.12. Кроме того, для любого ж £ Е+ имеем Р +(ж) = Р +(ж, . . . ,ж5) = Р(ж, . . . ,ж5)+ = Р(ж)+ АнаЛОГИЧНО для Р- и |Р|. >
Замечание 3.3. Дж. Лоан в своей диссертации [23] определил полиморфизм соотношением |Р(ж)| = Р(|ж|) (ж £ Е). При этом он привел пример полиморфного полинома Р, для которого порождающий полилинейный оператор Р не является решеточным полиморфизмом в смысле определения 3.1 (см. [23, предложение 4.22, примеры 4.23 и 4.24]). Дж. Лоан [23, предложение 4.27]) нашел также необходимые и достаточные условия на Р, при которых Р является решеточным полиморфизмом: для любого натурального п ^ в выполняется ^"Р(ж)(у)| = ¿"Р(ж)(|у|) (ж £ Е+, у £ Е), где ¿"Р(ж)у —
п-я однородная производная Р в точке х по направлению у определяется формулой (ТР (х)(у) = (/) <(х5-п,уп).
Лемма 3.4. Для порядково ограниченного ортогонально аддитивного однородного полинома Р : Е ^ Е равносильны условия:
(1) Р
(2) Р(х V у) = Р(х) V Р(у) для всех х, у £ Е+;
(3) Р(х Л у) = Р(х) Л Р(у) для всех х, у £ Е+;
(4) х Л у = 0 влечет Р(х) Л Р(у) = 0 для всех х, у £ Е+.
< Пусть Р — решеточный полиморфизм, т. е. по определению 3.1 решеточным полиморфизмом является Р. Решеточный полиморфизм Р будет ортосимметричным, так как он симметричен, см. следствие 2.10. В то же время, порядково ограниченный однородный полином — ортогонально аддитивен, если только порождающий его полилинейный
Р
В силу условия (3) определения 2.5 существует единственный решеточный гомоморфизм Т : Е50 ^ Е такой, что Р = Т о 05. Отсюда выводим
Р(х Л у) = Т((х Л у)50) = Т(ж50 Л у50) = Т(ж50) Л Т(у50) = Р(х) Л Р(у),
и тем самым (1) ^ (2). Заменив в этих рассуждениях Л на V, получим (1) ^ (3). Кроме того, очевидна импликация (3) ^ (4). Остается доказать, что (2) ^ (1) и (4) ^ (1).
Е
равномерно полна. (В противном случае в наших рассуждениях заменим Е на Еги). Согласно теореме 2.7 имеет место представление Р = Т о 0 о Д5 для единственного порядково ограниченного линейного оператора Т из Е50 в Е. Возьмем произвольные и, V £ Е+0 п докажем, что Т(и V V) = Ти V ^ = 0. Пусть Еги — равномерное пополнение Е Е Р
во ограниченного ортогонально аддитивного в-однородного полинома Р : Еги ^ Е, см. [6, лемма 3]. При этом Р(х V у) = Р(х) V Р(у) для всех х, у £ Е+и. Вновь по теореме 2.7 Р = Т о 0 о Д5 для единственного порядково ограниченного линейного оператора Т из (Еги)50 в Е. В силу единственности степени векторной решетки с точностью до решеточного изоморфизма можем считать Е50 подрешеткой (Еги)50, а канонический в-морфизм решетки Е — совпадающим с ограничением на Е5 канонического в-морфизма решетки Еги. Теперь видно, что Т(uVv) = P(жVy) = Р(х) VP(y) = Т(х) VT(у). Итак, установлена импликация (2) ^ (1); (4) ^ (1) обосновывается аналогичными рассуждениями. >
Лемма 3.5. Полилинейный оператор < : Е1 х • • • х Е5 ^ Е сохраняет дизъюнктность в том и только том случае, когда |<(х1,..., х5)| = |<(|х11,..., |х5|)| (Vхг £ Ег, г = 1,..., в).
< Доказательство аналогично билинейному случаю (см. [4, предложение 3.2]). >
<в
валентны следующие условия: (1) <
(2) <(х1,..., х5) ± <(у1,..., у в), ежи существует ] £ [1, в] такой, что х^ ± у^-.
< Пусть опера тор < сохраняет дизънктность. Возьмем х^ ± для некоторого ^ £ [1, в] и положим иг := |хг| + |уг| (г = ^). Тогда, используя лемму 3.5 и предложение 3.3, выводим:
|<(хь...,хв)| Л |<(у1 ,...,уя)| = |<(|х11,..., |хя|)| Л | < (| у 11,..., |уя|)| ^ |<|(и1,... ,и^-1, |ж^|,и,-+ь... ,и5) Л |<|(и1,... ,и,-_ь |у^|,и,-+ь ... ,и5) = 0.
Тем самым, (1) ^ (2), а справедливость импликации (2) ^ (1) очевидна. >
Лемма 3.7. Пусть Е и Е — векторные решетки. Если Т : Е50 ^ Е — порядково ограниченный линейный оператор, то для однородного ортогонально аддитивного полинома Р = Т о08 о Д5 : Е ^ Е эквиваленты следующие утверждения:
(1) Т
(2) Р сохраняет дизъюнктность;
(2) ж ± у ^ Рж ± Ру для всех ж, у £ Е.
< (1) ^ (2) очевидна, а (2) ^ (3) следует го леммы 3.6. Импликация (3) ^ (1) выводится так же, как и в лемме 3.4. >
Лемма 3.8. Однородный полином Р : Е ^ Е степени в между векторными решетками ортогонально аддитивен тогда и только тогда, когда ¿"Р(ж)(у) = 0 для любых дизъюнктных ж, у £ Е и всех 1 ^ п < в.
< Напомним, что ¿"Р(ж)(у) = (")<(ж5-га, у"), где < := Р. Пусть Р ортогонально аддитивен, а ж, у £ Е дизъюнктны. Тогда для любого 4 £ М элементы ж и ¿у также дизъюнктны, поэтому Р(ж + ¿у) = Р(ж) + ¿5Р(у). В то же время,
5-1
Р (ж + ¿у) = Р (ж) + ¿5Р (у) + Мж5-"-, у")Г.
"=1
Отсюда видно, что для любого 4 £ М выполняется равенство
в<(ж5-1, у)4 + (2)<(ж5-2, у2 )42 + ... + (/-1)<(ж, у5-1 )45-1 = 0.
Разделив на в4 = 0 и обозначив а := |<(ж5-2, у2)| (2)/в + ... + |<(ж, у1)| (5-1)/в, приходим к оценке |<(ж5-1, у)| ^ ¿а, справедливой для всех ненулевых 4 £ [-1, 1]. В частности, п|<(ж5-1,у)| ^ а для всех п £ N и ввиду архимедовости Е получаем <(ж5-1, у) = 0. Повторяя эти рассуждения, шаг за шагом выводим <(ж5-2,у2) = 0, ..., <(ж,у5-1) = 0. Обратное утверждение очевидно. >
Теорема 3.9. Пусть Е и Е — векторные решетки, Р : Е ^ Е — порядково ограпи-
в
(1) Р
(2) ж ± у влечет ¿"Р(ж)(у) = 0 ж Рж ± Ру для всех ж, у £ Е и 1 ^ п < в;
(3) Р ортогонально аддитивен и ж ± у влечет Рж ± Ру для всех ж, у £ Е;
(4) существуют векторная решетка С и решеточные гомоморфизмы Б1, Б2 : Е ^ С такие, что С50 С Е, Б1(Е) ± Б2(Е) и Рж = (Б1ж)50 — (Б2ж)50 для всех ж £ Е;
(5) существует сохраняющий дизъюнктность порядково ограниченный линейный оператор Т : Е50 ^ Е такой, что Рж = Т(ж50) для всех ж £ Е.
< (1) ^ (5). В силу теоремы Мейера для полиномов Р имеет положительную Р+
Р- | Р|
вия (3) из определения 2.5 существуют решеточные гомоморфизмы ТъТ2 : Е50 ^ Е такие, что Р +(ж) = Т1 (ж50) и Р -(ж) = Т2(ж50) для вс ех ж £ Е. Определим линейный регулярный оператор Т : Е50 ^ Е равенством Т := Т1 — Т2 и заметим, что Т сохраняет дизъюнктноть и имеет место представление Р(ж) = Т(ж50) (ж £ Е).
(5) ^ (4). Положим Т1 := Т +, Т2 := Т- и Т0 := |Т|. Отображение ж ^ Тк(ж1 0 ■ ■ ■ 0 ж5) является симметричным решеточным полиморфизмом из Е5 в Е. В силу следствия 2.8 существуют векторная решетка С и решеточный гомоморфизм Б& : Е ^ С такие, что Ск0 С Е и имеет место представление Тк (ж1 0 ■ ■ ■ 0 ж5) = Б& (ж1) 0 ■ ■ ■ 0 Б(ж„) для всех ж1,..., ж„ £ Е и к = 0,1,2. Более того, С1 и С2 С С0 и С1 ± С2. Оператор Б:= Б1 — Б2
действует из Е в О := Оо, сохраняет дизъюнктность, и для любого ж £ Е выполняется Т(ж50) = Т1(х50) - Т2(х50) = ^(ж)50 - ^(х)50.
(4) ^ (3). Если выполнено (4), то Р ортогонально аддитивен, так как ортогонально аддитивен полином ж ^ ж50 из Е в Е50. Кроме того, для дизъюнктных ж и у элементы ж50 и у50 также дизъюнктны, следовательно, |х50 — у50| = |х50 + у50|. Отсюда выводим
|Р (ж) — Р (у)| = |Т (ж50) — Т (у50)| = |Т (ж50 — у50)| = |Т (|х50 — у50|)| = |Т (|х50 + у50|)| = |Т (ж50 + у50)| = |Р (х) + Р (у)|,
что и означает дизъюнктность Р(ж) и Р(у).
(1) ^ (2) ^ (3). Эти эквивалентности следуют из лемм 3.7 и 3.8. >
Следствие 3.10. Пусть Е и Е — векторные решетки, Р : Е ^ Е — однородный в
(1) Р
(2) Р ортогонально аддитивен и Р(ж V у) = Р(ж) V Р(у) для всех ж, у £ Е+;
(3) Р ортогонально аддитивен и Р(ж Л у) = Р(ж) Л Р(у) для всех ж, у £ Е+;
(4) Р ортогонально аддитивен их Л у = 0 влечет Р (ж) Л Р (у) = 0 для всех ж, у £ Е;
(5) существует решеточный гомоморфизм Т : Е50 ^ Е такой, что справедливо представление Рх = Т(ж50) для всех ж £ Е;
(6) существуют векторная решетка О и решеточный гомоморфизм Б : Е ^ О такие, что О50 С Е и имеет место представление Рх = (Бх)50 для всех ж £ Е.
< Следует непосредственно го теоремы 3.9, предложения 3.2 и леммы 3.4 >
4. Мультипликативное представление
Всюду в этом параграфе Е и Е — фундаменты расширенных Е-простанств В пространствах Е и ^ зафиксируем порядковые единицы и а также мультипликативные структуры, превращающие эти пространства в /-алгебры с единицами 1е и соответственно. Напомним, что в данной ситуации ортоморфизмы представляют собой операторы умножения и поэтому будут отождествляться с соответствующими мультипликаторами.
Для произвольного / £ Е существует единственный элемент д £ Е, для которого /д = [/]!Е и [/]^д = 0, где [/] — проектор на полосу {/. Этот элемент д будем обозначить символом 1// := //■ Произведение е(1//) короче обозначается символом е//. Идеал в Е-пространстве Е, порожденный элементом 1 := 1е, обозначается через Е (1).
Будем обозначать через Р(Е) булеву алгебру порядковых проекторов в векторной решетке Е. Пусть Н : Р(Е) ^ ) — булев гомоморфизм и обозначим символом Е(1, Н) Н-замыкание идеала Е1, порожденного в Е единицей 1, т. е. множество всех элементов ж £ Е, представимых в виде ж = пгахга, где (хп) — произвольная
последовательность в Е1 и — счетное разбиение единицы в Р(Е) такое, что (Н(пп)) — разбиение единицы в ), см. предложения 5.6.3 и 5.6.4 в [18]. Очевидно, что Е(1, Н) — Е
Определение 4.1. Тенью оператора Р : Е ^ Е называем отображение яЬ(Р) : Р(Е) ^ ), определенное формулой = [Р(п(Е))]. Тем самым, — поряд-
ковый проектор на полосу (Рп(Е
Лемма 4.2. Пусть E и F — векторные решетки с проекциями. Ортогонально аддитивный полином P : E ^ F сохраняет дизъюнктность в том и только том случае, когда sh(P) — булев гомоморфизм.
< Остаются в силе те же рассуждения, что и в [18, п. 5.4.2] (или [3, п. 5.2.2 (1)]) для случая линейного оператора. При этом вместо линейности работает ортогональная аддитивность. >
Лемма 4.3. Для произвольного кольцевого гомоморфизма h : P(E) ^ P(F) существует единственный регулярный оператор Sh : E (1, h) ^ F такой, что тень Sh совпадает с h и Sh(le) = h(l)lf Более того, E(1,h) является f-под^геброй E, а оператор Sh мультипликативен, т. е. Sh(xy) = Sh(x)Sh(y) для всех x, y G E(1, h).
< См. [18, предложения 5.6.4 и 5.6.7, теорема 5.6.10]. >
S
называют сдвигом посредством h и обозначают символом Sh. Пусть E — фундамент E и F — фундамент F. Оператор S : E ^ F назовем оператором сдвига, если существует кольцевой гомоморфизм h : P(E) ^ P(F) такой, что E С E(1, h) и S = Sh на E.
h P S P
Заметим, что понятие сдвига посредством гомоморфизма и оператора сдвига зависят от выбора единиц ^и^в ^-пространствах E и F, см. [18, п. 5.6.8].
Теорема 4.5 (А. Е. Гутман [2]). Пусть E —векторная решетка, F — K-пространство, T : E ^ F — порядково ограниченный линейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существует разбиение единицы (p¿)¿es в булевой алгебре P(F) и семейство положительных элементов (e¿)¿es в E такие, что имеет место представление
Tx = o-^W о p¿S о (x/e¿) (x G E), (4.1)
¿es
где оператор S — сдвиг оператора T, а ортоморфизм W : F ^ F представляет собой оператор умножения на ¿es p¿T(e¿).
< См. [18, теорема 5.7.5] и [3, теорема 5.3.7]. >
Лемма 4.6. Если полином P сохраняет дизъюнктность, то P и |P| имеют один и тот же сдвиг. Если Px = (Tx)sQ (x G E) для некоторого решеточного гомоморфизма T : E ^ G С F, то сдвиги P и T совпадают.
< Доказательство следует непосредственно из определения 4.1 и конструкции сдвига (см. [18, предложение 5.6.7]), учитывая предложение 3.2 и тот факт, что множества B С G и |gsQ : g G G} порождают одну и ту же полосу в F. >
Теперь все готово для доказательства основной теоремы данного параграфа.
Теорема 4.7 (о представлении ортогонально аддитивных полиномов, сохраняющих дизъюнктность). Пусть E — векторная решетка, F — K-пространство, P : E ^ F — s-однородный порядково ограниченный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют разбиение единицы (p¿)¿es в булевой алгебре P(F) и семейство положительных элементов (e¿)¿e= в E такие, что имеет место представление
P(x) = o-^W о p¿S(x/e¿)sQ (x G E), (4.2)
¿es
где оператор S — сдвиг полинома P, а ортоморфизм W : F ^ F представляет собой оператор умножения на ¿es p¿P (e¿).
< Предположим сначала, что полином P положителен. В силу следствия 3.10 (6) существуют векторная решетка G и решеточный гомоморфизм T : E ^ G такие, что GsQ С F и имеет место представление
P(x) = (Tx)sQ (x е E). (4.3)
Так же, как и в теореме 2.8 и следствии 2.9, умножение в F обозначим символом •. Тогда GsQ можно отождествить с подрешеткой E(s) := {ui • ... • us : ui,..., us е T(E)} /-алгебры F, a также считать usQ = = u • ... • u для u е E(s), см. [13, теорема 4.1].
Для решеточного гомоморфизма по теорема Гутмана 4.5 имеет место представление (4.1), в котором 5 — сдвиг T. Пусть v := o-J^p¿T(e¿) и обозначает осколок 1fj соответствующий проектору Подставив (4.1) в (4.3), получим
P(x) = f o-^ v • Ц • S(x/e¿Л = o-^ v" • • S(x/e¿)sV ^ íes ' íes
Обозначив буквой W оператор умножения в F на элемент получим требуемое пред-
P
|P|(x) = o-J] Wo (p¿S(x/e¿)sQ) (x е E), íes
Где s — сдвиг |P| и Wo ^ 0. Так как P = n|P| — n^|P| для некоторого проектора п, то остается положить W := nWo — n^Wo и сослаться на лемму 4.6. >
Пусть теперь K и Q — экстремально несвязные компакты, a E и F — фундаменты в расширенных K-пространствах E := C^(K) и F := C^(Q) соответственно. Пусть Co(Q,K) обозначает множество всех непрерывных функций a : Qo ^ K, определенных на открыто-замкнутых подмножествах dom(a):= Qo С Q.
Определение 4.8. Для произвольного a е Co(Q,K) и x е C^(K) определим функцию х • a : Q —» Ж формулой
. I x(a(q)), если q е dom(a),
(x • a)(q) := <
I 0, если q е Q \ dom(a).
Замечание 4.9. Функция x • a, как очевидно, непрерывна, но не принадлежит, вообще говоря, пространству C^(Q), поскольку она может принимать бесконечные значения на некотором подмножестве U е Q с непустой внутренностью. Однако, если x • a е Cro(Q) для всex x е E, то нетрудно видеть, что отображение x ^ x • a (x е E) является оператором сдвига. Несмотря на это, произведение W(x • a) корректно определяет функцию из Cro(Q), если W обращается в ноль на внутренности U. Иначе говоря, рассматривая произведение fg двух функций f,g£ Cqo(Q,'R)7 считаем (fg)(q) = 0, если либо /, либо g равняется нулю тождественно в окрестности q е Q, подробности см. [18, 5.8.5]. Именно в этом смысле понимается произведение ((w¿x)s • a) в следующей теореме.
Теорема 4.9 (о мультипликативном представлении ортогонально аддитивных по-
EF
C^(K) и Cж (Q) соответственно, а P : E ^ F — порядково ограниченный ортогонально аддитивный s-однородный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют
отображение о £ C0), семейство (w¿)¿es положительных функций в ) и се-
мейство (W¿)¿e= попарно дизъюнктных функций из C^(Q) такие, что 1/w¿ £ E для всех £ £ 2, и справедливо представление:
P(ж) = о-^ W((w¿ж) • o)s (ж £ E). (4.4)
¿es
< Этот факт следует непосредственно из теоремы 4.6. Нужно лишь заметить, что если S : E ^ F — оператор сдвига, то существует функция о £ Co(Q,K) такая, что Sx = ж • о для всех ж £ E, см. [18, предложение 5.8.7]. >
Замечание 4.10. Внутренний вес, фигурирующий в представлениях (4.2) и (4.4), впервые ввел А. Е. Гутман, см. [2, 18]. Без привлечения внутренних весов указанные представления возможны лишь на части области определения, ср., например, [1, 9].
Литература
1. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Об операторах, сохраняющих дизъюнктность // Докл. АН СССР.—1979.—Т. 248, № 5.-С. 1033-1036.
2. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточио нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН.—1995.— С. 63-211.
3. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
4. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, вып. 1.—С. 58-70.
5. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О мультипликативном представлении билинейных операторов // Сиб. мат. журн.—2008.—Т. 49, * 2.-С. 357-366.
6. Кусраева 3. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн.— 2011.—Т. 52, * 2.-С. 315-325.
7. Кусраева 3. А. О продолжении ортогонально аддитивных регулярных полиномов jj Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, вып. 4.—С. 28-34.
8. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Мат. заметки.—2012.—Т. 91, * 5.-С. 704-710.
9. Abramovicb Yu. A. Multiplicative representation of disjointness preserving operators // Indag. Math. N.S.—1983.—Vol. 45, * 3.-P. 265-279.
10. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—N.Y.: Acad. Press, 1985.— xvi+367 p.
11. Benyamini Y., Lassalle S., and Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.-2006.-Vol. 38, * 3.-P. 459-469.
12. Boulabiar K. Products in almost /-algebras // Comment. Math. Univ. Carolin.—2000.—Vol. 41, * 4.-P. 747-759.
/
Algebra.-2006.-Vol. 34, * 4.-P. 1435-1442.
14. Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products // J. Math. Anal. Appl.-2011.-Vol. 388.—P. 845-862.
15. Buskes G., Kusraev A. Extension and representation of orthoregular maps // Vladikavkaz Math.
J.—2007.—Vol. 9, * l.-P. 16-29.
/
Positivity.-2000.-Vol. 4, * 3.-P. 227-231.
17. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.—Berlin: Springer, 1999.—xv+543 p.
18. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // Vector Lattices and Integral Operators / Ed. S. S. Kutateladze.—Dordrecht etc.: Kluwer, 1996.—P. 361-454.
19. Ibort A., Linares P., and Llavona J. G. A representation theorem for orthogonally additive polynomials on Riesz spaces.—2012.—arXiv: 1203.2379vl [math.Fa].
20. Kusraev A. G. A Radon-Nikodym type theorem for orthosymmetric bilinear operators // Positivity.-2010.-Vol. 14, № 2.-R 225-238.
21. Kusraev A.G., Kutateladze S. S. Boolean Valued Analysis: Selected Topics.—Vladikavkaz: SMI VSC RAS, 2014.—iv+400 p.—(Trends in Science: The South of Russia. Math. Monogr. Issue 6).
22. Linares P. Orthogonally Additive Polynomials and Applications. PhD Thesis.—Universidad Complutense de Madrid, 2009.
23. Loane J. Polynomials on Riesz Spaces. PhD Thesis.—Galway: National Univ. of Ireland, 2008.
24. Quinn J. Intermediate Riesz spaces // Pacific J. of Math.-1975.-Vol. 56, № l.-P. 225-263.
25. Schep A. R. Factorization of positive multilinear maps // Illinois J. Math.—1984.—Vol. 28, № 4.— P. 579-591.
26. Toumi M. A. Orthogonally additive polynomials on Dedekind a-complete vector lattices // Proc. Irish Royal Academy.-2011.-Vol. 110.-P. 83-94.
Статья поступила IS января 2016 г.
Кусраева Залина Анатольевна Южный математический институт ВНЦ РАН, научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]
CHARACTERIZATION AND MULTIPLICATIVE REPRESENTATION OF HOMOGENEOUS DISJOINTNESS PRESERVING POLYNOMIALS
Kusraeva Z. A.
Let E and F be vector lattices and P : E ^ F an order bounded orthogonally additive (i. e. |x| A |y| = 0 implies P (x + y) = P (x) + P (y) te all x, y e E) s-homogeneous polynomial. P is said to be disjointness preserving if its corresponding symmetric s-linear operator from Es to F is disjointness preserving in each variable. The main results of the paper read as follows:
Theorem 3.9. The following are equivalent: (1) P is disjointness preserving; (2) dnP(x)(y) = 0 and Px ± Py te all x, y e Ex ± y, and 1 < n < s; (3) P is orthogonally additive and x ± y implies Px ± Py te all x, y e E; (4) there exist a vector lattice G and lattice homomorphisms Si, S2 : E ^ G such that Gs® C F, Si(E) ± S2(E^^d Px = (Six)s0 - (S2x)s0 te all x e E; (5) there exists an order bounded disjointness preserving linear operator T : Es0 ^ F such that Px = T(xs0) te all x e E.
EF
(pç)çes ^n the Boolean algebra of band projections P(F) and a family (e^)^es in E+ such that P(x) = o-X^es W o pçS(x/eç)s0 (x e E^, where S is the shift of P and W : F ^ F is the orthomorphism multiplication by çes PçP(eç)•
Key words: power of a vector lattice, homogeneous polynomial, disjointness preserving polynomial, orthogonal additivity, lattice polymorphism, multiplicative representation.
