CC BY
6
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2004, Том 6, Выпуск 2
УДК 517.98
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ДОПОЛНЯЕМЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ СТРУКТУРНО НЕСРАВНИМЫХ ПРОСТРАНСТВ КЁТЕ ИЗ КЛАССОВ (/)„ И (/), ДРАГИЛЕВА
В. П. Кондаков
В работе доказывается, что в декартовом произведении Е х Е пространств Кёте Е, Е из классов Драгилева (/)о, (/) 1 соответственно при условии строгой сингулярности всех непрерывных отображений Е в Е каждое дополняемое подпространство имеет базис и изоморфно подходящему координатному подпространству.
Пусть на числовой оси задана нечетная логарифмически выпуклая функция / быстрого роста, т. е. функция 1п/(ехр(-)) выпукла для х > 0 и при любом a € (0,1)
Них U.
х^оо j[x)
В статье рассматриваются декартовы произведения пространств Кёте числовых последовательностей вида
Ыехр/(АА)] = {е = (еп): ¿|Cn|2eXp2/(Ar6n) = |C|r2<~, гбм},
^ п=1 )
где Ar f А, А = —1,0,1 или ос, bn f ос, с топологией, определяемой счетной системой гильбертовых норм (| ■ В зависимости от значения А эти пространства Кёте относят к классам (/)-i, (/)о, (/)ъ (/)оо соответственно (см. [1]). При рассмотрении различных функций /ь/г, указанного вида, классы (/i)-i и (/2)0 ((/1)1, (/2)00) могут иметь пересечения, но между парами пространств ((/i)_i, (/1)0) и ((/2)1, (/2)00) пересечений нет, поскольку эти пары расположены в более широких непересекающихся классах (d2) и (d\) соответственно, выделенных также в [1].
Напомним, что пространство Кёте ¿2[«?•(«)] (0 ^ ar(n) < ar+i(n)) относят к классу (di) (i = 1,2), если соответственно (см. [1]):
1) (3r)(Ve)(3i) supn^M_<TO;
2) (Vr)(3e)(Vi) suPn < ос.
Известно, что в счетно-гильбертовых пространствах Кёте классов (/)q С {d2), (/) 1 С (d\) каждое дополняемое подпространство имеет безусловный базис и изоморфно некоторому координатному подпространству, порождаемому частью канонического базиса (ортов) (см. [2-4]).
© 2004 Кондаков В. П.
2-18
В. П. Кондаков
Пространства Фреше Е и F назовем структурно несравнимыми, если не существует пары изоморфных друг другу подпространств Е\ С Е и F\ С F таких, что либо изоморфизм Е\ на F\, либо обратный к нему можно продолжить до непрерывного отображения Е в F, либо F в Е (ср. [2]).
В настоящей работе будет показано, что и в декартовых произведениях структурно несравнимых пространств из указанных классов имеет место такая же характеризация дополняемых подпространств. А именно, будет доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть счетно-гильбертовы пространства Фреше Е и F изоморфны структурно несравнимым пространствам Кёте из классов (fi)o и (/2)1 соответственно. Тогда в декартовом произведении X = Е х F каждое дополняемое подпространство имеет безусловный базис и изоморфно подходящему координатному подпространству порождаемому некоторой подпоследовательностью канонического базиса ортов.
<1 Сначала с помощью модификации известного приема, использующего элементы теории Рисса (см., например, [2, 3]), покажем, что каждое дополняемое подпространство G пространства X изоморфно декартову произведению вида Е\ х F\, где Е\ — дополняемое подпространство в Е, a F\ — дополняемое подпространство в F.
Утверждение теоремы тогда будет следовать из результатов работ [4-7], в которых показано, что Е\ изоморфно некоторому координатному подпространству в Е (см. [4-6]), a F\ -подходящему координатному подпространству в F [7].
Для изложения упомянутой выше модификации приема из [2, 3] нам понадобится следующий факт.
Лемма 1 [3]. Если 1С (г (d,2), a F € (di), то всякое непрерывное линейное отображение Т : Е —> F компактно (в смысле [8]).
Известны примеры пар пространств Е € (di), F € (d-¿) таких, что все непрерывные отображения из Е в F компактны (см., например, [9]). В этом случае Е и F, очевидно, структурно несравнимы. Напомним определение строго сингулярного оператора в смысле Т. Като (см., например, [10]).
Оператор Т : Е —> F называют строго сингулярным, если никакое сужение Т на бесконечномерное подпространство Ei С Е не является изоморфизмом Ei на ТЕ\.
Легко проверить, что компактный оператор, действующий в пространствах Фреше, является строго сингулярным. Имеются простые примеры строго сингулярных операторов (например, оператор тождественного вложения 11 в l-¿), не являющихся компактными.
Упоминавшийся выше изоморфизм G ~ Е\ + F\ будет получен в следующем вспомогательном утверждении, аналогичном полученному в [2].
Лемма 2 (ср. [2]). Пусть G — дополняемое подпространство г, .V /',' — /•'. /',' fr (áI2), F € (di) и Е, F — структурно несравнимые пространства. Тоща существует изоморфизм Т из X на X такой, что TG = TG П Е + TG П F.
<1 Пусть Q — непрерывный линейный проектор из X = Е + F на G. Покажем, что тогда существует фредгольмов оператор S:E + F^E + F с индексом 0 и дополняемые подпространства Е\ С Е и F\ С F конечной коразмерности. Определим оператор II : /-; - /•' ^ /-; - /•' П.. формуле II = l'¡ Ql\ + P2QP2, где Р\ : X Е, Р2 : X F — проекторы на слагаемые прямой суммы X.
В этом случае легко проверить, что R = Q — P1QP2 — P2QP1 = Q + К, где К — строго сингулярный оператор. Это вытекает из того, что согласно лемме 1 P2QP1 — компактный оператор и если Ф = ^ /'i (JI 2 — P2QP1 обратим на каком-нибудь подпространстве, то и Ф + P2QP1 = ^/'i (JI'2 непрерывно обратим на некотором подпространстве согласно
Характеризация дополняемых подпространств
2-19
теории Рисса (см., например, [10]), а это противоречит структурной несравнимости Е
Покажем, что спектр а{Щ представляет собой счетное множество и имеет не более двух предельных точек А = 0 и А = 1, а для остальных точек спектра соответствующие спектральные операторы конечномерны.
Так как оператор (¡) — XI, где I — тождественный оператор, при Л ф 0 и Л ф 1 имеет непрерывный обратный дтгд ((1 — — Я)? оператор + К — XI имеет при Л ф 0 и X ф 1 конечный индекс согласно обобщению классической теории Рисса (см., например, [10]). Определим множество тех точек Л € С, для которых Н^ XI изоморфизм на некотором подпространстве конечной коразмерности в X. Его иногда называют множеством точек не бесконечно сингулярных для К. Согласно отмеченной выше конечности индекса оператора Я — XI, имеем I) С \ {0,1}, а совокупность точек X Ф 0,1 спектра Л представляет собой множество изолированных точек в не более, чем счетном числе, и имеет не более двух предельных точек 0 и 1. Конечномерность спектральных подпространств, соответствующих точкам спектра Д, отличным от 0 и 1, выводится стандартными рассуждениями, основанными на том, что строго сингулярные операторы являются изоморфизмами в указанных пространствах.
Введем оператор
где Г — гладкая кривая, ограничивающая фигуру, симметричную относительно действительной оси, не пересекающая спектра а(Н), с точкой Л = 1 внутри указанной фигуры и точкой Л = 0 во внешности Г, Кев(Л, К) — резольвента К.
Обычным образом проверяется, что в2 = в, т. е. в — проекция, и Ив = в П. Поскольку резольвента Кев(Л, Н) коммутирует с Р\ и Р2, имеем БР\ = Р\Б и БР2 = Рг^- Отсюда следует, что 1т5 = Е\ где Е\ = ^Р^, = 1тРг^- Спектр а(Б — Д) = <т(5 — ф — К) состоит из последовательности сходящихся к нулю точек и для всякой отличной от нуля точки из а(Б — Д) спектральная проекция конечномерна. Это следует из того, что 5 — Д = (/ — Д)5 — Д(/ — в) имеет образ 1т 5 и кег 5 в качестве инвариантных подпространств и в этих подпространствах Б ^ Н имеет спектр с описанными выше свойствами (I — Д аналогичен Д, поскольку I — Д = Р\(1 — С})Р\ + Р2(I — ■ Оператор I — 5 — Я
является фредгольмовым и, так как (¡) — К строго сингулярный,
является фредгольмовым оператором с нулевым индексом. Очевидно, что фредгольмов оператор Ф отображает дополняемое подпространство 1т на замкнутое дополняемое подпространство Ф (1т О).
Убедимся, что Ф(1т(2) является подпространством конечной коразмерности в 1т ,5. Заметим, что = БС}, а поэтому Ф(1тд)с1т5 и Ф |1тСЗ= 5 |1т(г. Если предположить, что 1т5'/Ф(1т^) бесконечномерно, то существует бесконечномерное подпространство У С кег (¡) такое, что Ф |у изоморфизм и Ф(З^) С 1т ,5. Но для у € У имеем Ф(у) = У + Зу € 1т 5, а значит у € 1т5. Поэтому У С 1т 5, а это влечет Я |у изоморфизм (согласно упоминавшемуся обобщению теории Рисса). Так как Н = + К, заключаем, что К |у изоморфизм, что противоречит строгой сингулярности К.
Рассмотрим разложение Х = Е + Е = Е1+Е1 + Е, где Е = ЕГ\Е + ЕГ\Р.
Положим = Н + кег Ф. Тогда сужение Ф \н'- Н ^ Ф(Н) изоморфизм и И и
(7 образуют разложение врап{Н, С?}, так как Ф(Н) С Z и Ф(С?) С Е\ + Рь
и Р.
г
2-20
В. П. Кондаков
Подпространство Z можно разложить Z = 4l(H) + Z\, где Z\ конечномерно и Z\ = Z\ П Е + Z\ П F. Таким образом, справедливы разложения
E + F = Ф (Я) + Zi+Ei+Fi, E + F = H + spanjker Ф, G} + Z2, где Z'i конечномерно и Ф(Z2) С Еi + F\. Так как Ф |ц изоморфизм, сужение
ф lspan{ker• spanjker Ф, G} + Z2 Ei + Fl + Zi
есть оператор Фредгольма с нулевым индексом.
Таким образом, Ei + Fi + Zi и spanjker Ф, G} + Z2 изоморфны. Так как G подпространство конечной коразмерности в spanjker Ф, G}, можно построить изоморфизм на
Т : spanjker Ф, G} + Z2 Zi + Ei + E2
такой, что
f (G) = f (G) П E + T(G) П F.
Теперь требуемый изоморфизм T определим по формулам
Т lspan{ker®,G}+Z2= Т И Т \н= Ф-
Доказательство леммы 2 закончено. >
Утверждение теоремы с учетом этой леммы прямо вытекает из результатов работ [5-7], где показано, что в счетно-гильбертовых пространствах Кёте из классов (/)о, (/)i каждое дополняемое подпространство имеет базис и изоморфно подходящему координатному подпространству. >
Литература
1. Драгилев M. М. О правильных базисах в ядерных пространствах // Матем. сб.—1965.—Т. 68, № 2.-С. 153-173.
2. Edelstein I. S., Wojtaszcyk P. On projections and unconditional bases in direct sums of Banach spaces // Studia Math.—1971.—v" 37.-P. 111-117.
3. Захарюта В. П. Об изоморфизме декартовых произведений линейных топологических пространств // Функц. анализ и его приложения.—Т. 4, вып. 2.—1970.—С. 87-88.
4. Митягин Б. С. Квазиэквивалентность базисов в гильбертовых шкалах // Studia Math.—1971.— T. 37.—С. 111-137.
5. Кондаков В. П. О базисах в некоторых функциональных пространствах и их дополняемых подпространствах // Матем. вестник. Белград.—1988.—Т. 40, № 3/4.—С. 267-270.
6. Кондаков В. П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 42, № 6.— С. 1308-1313.
7. Кондаков В. П. О дополняемых подпространствах некоторых пространств Кёте бесконечного типа // Сиб. мат. журн.—2003.—Т. 44, № 1.-С. 112-119.
8. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1967.— 257 с.
9. Nyberg К. Tameness of pairs of nuclear power series spaces and related topics. // Trans. Amer. Math. Soc.-1984.-V. 283, № 2.-P. 645-660.
10. Wrobel W. Streng singulare Operatoren in localconvexen Räumen // Math. Nachr.—1978.—T. 83.— P. 127-142.
Статья поступила 16 января 2004 г-
Кондаков Владимир Петрович, д. ф.-м. н. г. Ростов, Ростовский государственный университет E-mail: [email protected]
