Характеристики переходного процесса в одноосевом пьезогироскопе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Здесь Ф(7) - определенная функция.

С использованием выражения (9) получены результаты для пластин, изготовленных из пьезокерамики марки ЦТС-19 с механической добротностью Q = 90. Расчеты проводились для Н = 6 • 10-4 м при угловой скорости ^з = 10 рад/с. Наблюдалось возрастание амплитуды тока для значений в, близких к первой собственной частоте А1 свободных колебаний пластины без внутреннего трения.

В таблице представлены значения собственной частоты и нормированной безразмерной амплитуды тока при различных величинах присоединенной массы.

M, кг 1,0 • 10-3 1,1 • 10-3 1, 2 • 10-3

Ai 0,5077 0,4876 0,4698

j • 106 1,20 1,44 1,68

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нагар Ю.Н., Ольшанский В.Ю., Панкратов В.М., Серебряков A.B. Об одной модели пьезогироскопа // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. JVS 2. С. 71-74.

2. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. T.5. Электроупругость. Киев: Наук, думка, 1989. 280 с.

УДК 539.3

В.Ю.Ольшанский, Ю.Н.Нагар

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ОДНООСЕВОМ ПЬЕЗОГИРОСКОПЕ

Рассматривается модель устройства [1] для измерения угловых скоростей вращения подвижного объекта, состоящего из двух тонких взаимно перпендикулярных пьезокерамических пластин Щ, П2 и груза массы M. У каждой из пластин одно из оснований закреплено, а другое постоянно контактирует с грузом, воспринимая лишь нормальное механическое усилие.

К пластине П прикреплены электроды, с помощью которых подается электрический сигнал. Пьезоматериал, из которого изготовлены пластины, предварительно поляризован в направлении вдоль их толщин. Порождаемые в пьезопластинке за счет продольного пьезоэффекта плоские упругие деформационные волны приводят в движение груз.

При вращении подвижной системы отсчета относительно инерциальной системы на груз действует кориолисова сила

Fc = —2M(Q x vr). Вследствие этого угловая скорость Q подвижной системы отсчета влияет на амплитуду и другие характеристики колебаний. Так как период колебаний пластин весьма мал и за один период угловая скорость изменяется незначительно, возможно рассматривать установившиеся колебания при Q3 = const.

Обозначим ui (xi, t) - перемещение плоского слоя с координатой Xi в пластине Щ. Воспользуемся волновым уравнением, описывающим распространение волны в длинной линии с затуханием без искажений [2]. Дополним его начальными условиями, а также граничными условиями, учитывающими уравнение обратного пьезоэффекта. Переходя к безразмерным величинам, получим следующую краевую задачу для определения перемещений в пластинах:

(ui)tt + 2ah(ui )t + a h ui = (ui)XiXi ,i = 1 2, (1)

Ui (Xi, 0) = 0, (ui)t = 0, i = 1,2, (2)

t=0

Ui(0,t) = 0, i = 1, 2, (3)

WXi + Muitt) x = hi(t) + m(-1)jи (uj)t

/ xi=oi

xj oj

,3 = 3 — %,% = 1, 2.

(4)

Здесь а - коэффициент затухания, учитывающий рассеивание энергии на тепловые потери, сЕ - скорость звука в пьезокерамическои пластине при Е = сопэ!, ¿зз - пьезомодуль при продольном пьезоэффекте, вЕ3 -упругие податливости по осям % = 1, 2 при Е = const, Н\(Ь) = (33Е\(Ь), Н2(Ь) = 0, Е\(Ь) - напряженность электрического поля в первой пластине. В формулах (4) обозначено т = МзЕ3(сЕ)2/(АН), и = 20<3Н/сЕ^ Н -характерный линейный размер.

то

Представим решение в виде разложения и{(х{,Ь) = ^ и{п(х{ ,Ь) • ип,

п=0

% = 1, 2, по малому параметру и << 1. Получим для функций и{0(х{,Ь) и и{\(х{,Ь) краевые задачи, включающие уравнения (1), условия (2), (3), а также граничные условия соответственно

(ui0)Xi + m(ui0)tt) г = hi(t),

/ Xi = Oi

(ui1)Xi + m(ui1)tt) г = (-1)jm (UJ0)tt

Xi=oi

Xj=0j

,j = 3 — i,i = 1, 2.

а=0

частоты пластин, используемые затем в случае учета внутреннего трения в пластинах. Поскольку найденные резонансные частоты велики

( > 2 МГц), возбуждение колебаний в пластине П с частотой, близкой к резонансной, может приводить к ее нагреву. Для уменьшения этого нежелательного эффекта, можно производить возбуждение колебаний лишь в течение периода времени, достаточного для их установления. В связи с этим представляет интерес изучение переходного процесса и возникает необходимость рассчитать время выхода на установившиеся колебания.

Рассмотрим задачу с учетом диссипации. Пусть ^ = 62 = h. Применив к названным краевым задачам преобразование Лапласа по переменной t, имеем для изображений перемещений Uin ОДУ второго порядка с граничными условиями. Получив решение этих уравнений, затем восстанавливаем их оригиналы при x¡ = 1 с использованием теоремы умножения и второй теоремы разложения [3] и полагая h1 (t) = = U0 sin et

оттп V^ в(epnt - cos fit) - pn sin fit uio(M) = 2UoRe ^ - + )-;

Pn^Pn>o (в + Pn)f (Pn)

(л +\ гг/qY^ 1 (f" (Pn) Pn (cos et - ePnt) - в sin pt

MM) = -mUo в E f-y---+P1-+

pn

+ PntePnt + (p2n - в2)(cos pt - 2вРп sin ptU (5)

+в2 + рП + (в2 + РП )2 )' (5)

В равенствах (5) обозначено f (p) = YcthY + mp2,pn = Yn - ah простые полюсы функции ф(р) = 1/f (p). Для действительной и мнимой

Yn

xn = 2в/(шп2и2), yn = nn + 1/(mnn) (n >> 1),

которая использовалась при итерационном уточнении нулей f (p). При малых значениях n Yn находились методом продолжения по параметру a,

yn

собственных частот пластин, рассчитанные в [1], а для xn - нулевые значения.

Пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости, размерное перемещение незакрепленной грани пластины П2 можно выразить следующим образом:

U2(¿2,t) = huu2l(1,t). (6)

Для переходного процесса были проведены численные расчеты по формулам (5), (6) и построен график зависимости амплитудных

значений перемещения На рисунке представлено сравнение

амплитудных значений перемещения в переходном процессе для различных значений массы присоединенного груза, от которой зависит коэффициент а, рассчитанные при частотах внешнего воздействия, близких к резонансным (1 2,77998 МГц, 2 2,65951 МГц, 3 2,55344 МГц).

x 10

u2, m

1.5 1

0.5 0

0

0.005

...............

1 - M = 10-3 kg 2 - M = 1.1Я10-3 kg 3 - M = 1.2Я10-3 kg

0.01

0.015

t, c

Определен промежуток времени, за который происходит выход на установившиеся колебания, например, приМ = 10-3 кг он составил At ~ « 0,007 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нагар Ю.Н., Ольшанский В.Ю., Панкратов В.М., Серебряков A.B. Об одной модели ньезогироскона // Мехатропика, автоматизация, управление. 2010. JYS 2. С. 71-74.

2. Афонин С.М. Параметрическая структурная схема ньезонреобразователя // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. JY2 6. С. 101-107.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

УДК 629

И.А. Панкратов, Я.Г. Сапунков, Ю.Н. Челноков

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЕЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В настоящей статье исследуется следующая задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА): необходимо определить ограниченное по модулю управление u :

-Wmax < u < пшю,< Ж, U = |u|,

ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями