CC BY
64
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
То м II 1971
№ 6
УДК 629.7.015.3.036:533.6.011.8
ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНИЧЕСКИХ ВОЗДУХОЗАБОРНИКОВ ПРИ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ
И. Д. Вершинин
Приводятся формулы для расчета характеристик воздухозаборников при свободномолекулярном режиме течения и рассматриваются примеры практических приложений полученных результатов.
В работе [1] для случая свободномолекулярного течения в воздухозаборнике обобщены основные понятия, обычно использующиеся при анализе работы воздухозаборников (степень сжатия, дроссельная характеристика, коэффициент расхода). В той же работе рассмотрены характеристики цилиндрического воздухозаборника с учетом использования части прошедшего через него воздуха некоторым устройством («потребителем"), к которому подсоединен воздухозаборник.
Ниже на примере конических воздухозаборников изложен такой подход к анализу совместной работы воздухозаборника с потребителем, при котором возможно сравнение характеристик воздухозаборников различной геометрии с учетом их дополнительного сопротивления независимо от абсолютных значений плотности, скорости и температуры набегающего потока.
Схематическое изображение воздухозаборника 1 и потребителя (движителя или накопителя) 2 представлено на фиг. 1.
Введем следующие обозначения:
N. — число молекул набегающего потока, пересекающих в единицу времени единицу площади входного сечения воздухозаборника;
/шах — максимальный коэффициент расхода воздухозаборника, равный средней вероятности того, что молекула, попавшая в воздухозаборник через его входное сечение, пройдет через выходное сечение воздухозаборника без столкновений или после любого числа столкновений со стенками;
N2 — число молекул, которые, двигаясь из потребителя, пересекают в еди. ницу времени единицу площади выходного сечения воздухозаборника;
/* — средняя вероятность того, что молекула, прошедшая из потребителя через выходное сечение воздухозаборника, покинет воздухозаборник через его входное сечение;
N—число молекул, накапливающихся в единицу времени в потребителе (накопителе) или покидающих потребитель (движитель) через его выход.
Используя введенные обозначения, можно записать соотношение, являющееся следствием условия сохранения числа молекул,
/шах ^1 ^1 =/* ^2 ^2 -\- М, (1)
где Т7! и /*2—площади соответственно входного и выходного сечений воздухозаборника.
Предположим, что, во-первых, отношение 5 средней скорости молекул
набегающего потока щ к наиболее вероятной скорости их теплового движения
достаточно велико (5 > 5); во-вторых, состояние газа в потребителе однородно и, следовательно, может быть охарактеризовано величинами средней числовой плотности я2 и средней тепловой скорости С2; в-третьих, угол атаки воздухозаборника равен нулю. Тогда
А’1 = п1и1, Л^=я2С2/4, (2)
где щ — числовая плотность молекул набегающего потока, величина С2 определяется температурой газа в потребителе.
Коэффициенты /щах и /* зависят от геометрии воздухозаборника. Кроме того, /тах зависит от 5.
- — Введя обозначения е == для относительной степени сжатия и Ы =
_ N ' 2
~~ "Р^п щ для относительного расхода, соотношение (1) с учетом равенств (2) можно переписать в виде
Л
/шах р — N
— ^-------%-------'• (3)
Соотношение (3) устанавливает связь между относительной степенью сжатия и относительным расходом независимо от абсолютных значений скорости, плотности и температуры набегающего потока.
С точки зрения практических приложений, наибольший интерес представляет случай, когда между величинами N и я2 существует зависимость вида
. ..Лг = йл2. (4)
Заметим, что именно такой вид имеет зависимость между N и п2, когда потребителем является камера с отверстием: N =я2 С2/4, где р3 — площадь отверстия. По аналогии с этим случаем зависимость (4) удобно представить в виде ДГ =? щ С2/4, где Р3— некоторая условная площадь. Тогда характеристика (4) потребителя может быть записана следующим образом:
^ = £^з//г2- (5)
Подставив выражение (5) в соотношение (3), получим основное соотношение для расчета характеристик воздухозаборника, подсоединенного к потребителю, имеющему характеристику вида (4):
- /тах ^/^2 ....
. ‘-г+Ъъ- <6>
Таким образом, в рассмотренном случае однородного состояния газа в по. требителе условная площадь полностью характеризует потребитель с точки зрения увеличения плотности газа в нем с помощью воздухозаборника. Очевидно, однако, что относительная степень сжатия не может служить единственным критерием качества воздухозаборника. Важной характеристикой воздухозаборника является величина его дополнительного сопротивления Хв. Это сопротивление появляется в результате того, что некоторые молекулы, попавшие в воздухозаборник из набегающего потока, после столкновений с внутренними поверхностями воздухозаборника и потребителя покидают воздухозаборник
через его входное сечение. Предположив, что средняя скорость этих молекул значительно меньше скорости а,, нетрудно получить следующее выражение для Хв:
Хв = тих (/^ щ щ — Ы), (7)
где т — масса молекулы. С учетом равенства (5) выражение (7) может быть записано в виде:
= тРг и\ щ (1 — ер'3//г'1). (8)
В случае электрореактивного прямоточного двигателя при сравнении эффективности различных воздухозаборников необходимо включить в рассмотрение величину тяги Я- По аналогии с обычным ПВРД тягу Я можно определить следующим образом:
Я = тЫ (иа — иг), (9)
где иа — скорость истечения. С учетом равенства (5) выражение (9) преобразуется к виду:
Я = ЪтГ3 Лх «] {иа!щ — 1). (10)
Рассмотрев выражения (8) и (10), можно заключить, что зависимость основных величин, характеризующих эффективность двигателя, от числа 5 и формы воздухозаборника определяется зависимостью относительной степени сжатия е от названных факторов.
Расчет величины г сводится, как следует из соотношения (3), к нахождению коэффициентов /Шах и /*. Здесь эти коэффициенты определены для конических воздухозаборников в предположении диффузности отражения молекул от поверхности*. В связи с этим применен метод, изложенный в работе [2], корректность которого при 5 > 1 подтверждена экспериментально в работе [3]. В соответствии с работами [2] и [4] для нахождения коэффициентов /шах и /* необходимо решить интегральное уравнение, определяющее вероятность до (х) того, что молекула, отразившаяся от элемента поверхности воздухозаборника, расположенного на расстоянии х от входа, пройдет через выходное сечение:
£
т (х) = тгз (х, Ь) 4- | тгг (х, £) т (£) <й( (11)
о
где до„ и до„ — вероятности, определенные в работе [4].
Решение интегрального уравнения (И) и расчет коэффициентов /тах были выполнены на ЭВМ. Уравнение (И) после разбиения длины I на п отрезков сводилось к системе п линейных алгебраических уравнений. Точность расчетов контролировалась сравнением значений /^х, получаемых при последовательном удвоении (до 32) числа п. В связи с тем, что, с одной стороны, при фиксированном п точность расчетов уменьшается с увеличением £ и уменьшением 5, а, с другой стороны, при решении задачи на ЭВМ допустимое число п ограничено сверху, перед проведением основных расчетов были определены величины
| г(32) _ ^16) |
„ — к тах •' тах _ ,
расхождении Д =------------------- при различных способах разбиения интервала
* тах
интегрирования, т. е. при использовании различных формул для расстояния £* между центром 6-го отрезка и входом воздухозаборника.
Результаты расчетов коэффициентов /тах (для 5 = 10), представленные на фиг. 2 в виде зависимостей /тах от полуугла раствора воздухозаборника к при различных Ь, получены при разбиении по эмпирически подобранной
■формуле
1П-А+,1
К
1п (я+1)
1 +
ш
<7 — в градусах).
* В ранее опубликованных работах содержатся результаты расчетов /тах {при 5<оо) лишь для воздухозаборников, у которых отношение £ длины £ к радиусу выходного сечения не превышает 10.
При использовании этой формулы величины Д не превышали 2,5%.
Коэффициенты /* могут быть рассчитаны по изложенному выше методу с учетом очевидного равенства /*^2 = ^1 [/тахЬ=:0- Коэффициенты /*, представленные на фиг. 2, были определены по данным работы [5].
В качестве примера использования полученных результатов рассмотрим решение следующей задачи: при заданных параметрах движителя и числе 5 полета определить геометрию (£ и к) конического воздухозаборника, при которой эффективная тяга Яэф прямоточного двигателя будет максимальной.
Пренебрегая силой сопротивления, обусловленной передачей импульса молекулами, сталкивающимися с наружными боковыми поверхностями двигателя, можно записать: = У? — X. Величина Х = ХВ, если мидель движителя
~fГ.--'Г.г
меньше Fx. Если же Fu>Fi, то, предполагая, что скорость молекул, отраженных от наружной поверхности, значительно меньше скорости ии значение X можно определить следующим образом:
X = Хв -|- (FM — Fx) тпх и\ — mFM пх и\ (1 — eF3IFM).
Следовательно,
/?Эф = mFz пх и\ [sujui — max (F^ FM)IF’3]. (12)
Пусть, например, S = 10; F'3jFM = 0,l; F2IFM — 0,5; ua!ux = 5. Тогда, воспользовавшись результатами, представленными на фиг. 2, и соотношениями (6) и (12), получим, что эффективная тяга будет максимальной при L = 15,05 и i = 1°,55.
127
ЛИТЕРАТУРА
1. Бог ом а зои В. И., Кузнецов Ю, Е., Носик В. А. О характеристиках цилиндрических воздухозаборников в свободно-эдолекулярном потоке. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 1, № 5, 1970,
2. Townsend S., Patterson G., Sinclair S. Free molecule flow through conical tubes. Rareiied Gas Dynamics, Proc. 4-th Symp., 1965.
Зі Боровков И. С., Вершинин И. Д. О коэффициенте расхода воздухозаборника при свободномолекулярном режиме течения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 5, 1970.
4. От махова И. П. Истечение разреженного газа через диффузор (конфузор). Вестник МГУ, Серия мат., мех., физ., аст. 1959, № 6.
5 Спэрроу Е. М., Джонсон У. К. Свободномолекулярное течение и лучисто-конвективный перенос энергии в сужающихся трубах или конических соплах. .Ракетная техника и космонавтика*, 1963, № 5.
Рукопись поступила 31jVh 1970 Переработанный вариант поступил 3jV 1971
