© Бодренко И.И., 2013
УДК 514.75 ББК 22.151
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОСТОЯННЫМ ГАУССОВЫМ КРУЧЕНИЕМ В Е4
Бодренко Ирина Ивановна
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры фундаментальной информатики и оптимального управления
Волгоградского государственного университета
Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. В работе установлен характеристический признак 2-мерных поверхностей F2 с постоянным гауссовым кручением к = const = 0 в 4мерном евклидовом пространстве Е4. Доказано, что поверхность F2 С Е4 имеет постоянное гауссово кручение к = const = 0 тогда и только тогда, когда тензор нормальной кривизны R± = 0 параллелен в связности Ван дер Вардена — Бортолотти.
Ключевые слова: гауссово кручение, эллипс нормальной кривизны, тензор нормальной кривизны, нормальная связность, связность Ван дер Вардена — Бортолотти.
Введение
Известно, что всякое двумерное риманово многообразие М2 со знакопостоянной гауссовой кривизной К имеет рекуррентный тензор кривизны Римана R. Имеет место равенство [2]: VR = d ln IK| ® R, где g — риманова метрика M2, V — риманова связность, согласованная с д. Основным инвариантом нормальной связности D двумерной поверхности F2 в евклидовом пространстве Е4 является гауссово кручение к. В каждой точке х £ F2 \к\ = 2аЬ, где а, b — полуоси эллипса нормальной кривизны в х.
Обозначим через D и R± соответственно нормальную связность и тензор нормальной кривизны F2 С Е4. Пусть V = V® D — связность Ван дер Вардена — Бортолотти. Определение 1. Тензор нормальной кривизны R± = 0 называется параллельным, если VR± = 0.
Определение 2. Тензор нормальной кривизны R± = 0 называется рекуррентным (в связности V), если существует 1-форма v на F2 такая, что VR± = v ® R± [3].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Поверхность F2 с ненулевым гауссовым кручением к = 0 в Е4 имеет рекуррентный тензор нормальной кривизны R±:
VR± = dln \к\ ® R±. (1)
Из теоремы 1 мы получаем следующий характеристический признак двумерных поверхностей с постоянным гауссовым кручением к = const = 0 в Е4.
Теорема 2. Поверхность F2 С Е4 имеет постоянное гауссово кручение к = const = О тогда и только тогда, когда тензор нормальной кривизны R± = О параллелен.
Замечание. Поверхности F2 с постоянным гауссовым кручением к = const = О в Е4 существуют [1].
1. Рекуррентность тензора нормальной кривизны двумерной поверхности в Е4
Пусть Е4 — 4-мерное евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами ( — скалярное произведение в Е4. Пусть F2 — двумерная
поверхность в Е4, заданная в окрестности каждой своей точки векторным уравнением
г(и1,и2) = {х1 (и1, и2), х2(и1, и2), х3(и1,и2),х4(и1, и2)}, (и1, и2) Є U,
где U — некоторая область параметрической плоскости (и1,и2), ха(и1 ,и2) Є C^(U), а = l,..., 4.
Рассмотрим на поверхности F2 в окрестности каждой точки регулярное оснащение {п<*\}2а=1, < па\,щ\ >= 8ар, где 8ар — символ Кронекера, a,fi = l, 2. Пусть
дг(и1,и2) д2г(и1,и2) дпа\ (и1, и2)
г і = ---------, Гц = г-ттт—:—, паи = -----------------, 1,1 = l, 2, а = l, 2.
диг дигди3 диг
Векторы {гі(х)}22=1 и {па\(х)}2(Х=1 соответственно образуют базисы касательной плоскости TXF2 и нормальной плоскости T^F2 поверхности F2 в точке х.
Метрическая форма поверхности F2 имеет вид:
ds2 = gij dulduj,
где gij =< fi, fj >, i,j = l, 2.
Обозначим через
II (na\) = ba\ij duldu3
вторую квадратичную форму поверхности F2 относительно нормали па\, где коэффициенты ba\ij = < па\,fij >, i,j = l, 2, а = l, 2.
Гауссово кручение поверхности F2 С Е4 вычисляется по формуле
gkm {Ь1\к1 Ь2\т2 — b1\k2b2\m1) к = --------------р-------------. (2)
Линейные формы
Г(xf3\i', &, l, 2
называются линейными формами кручения поверхности F2 С Е4, где коэффициенты Гщі =< ™а\,пр\г > называются компонентами нормальной связности D поверхности
F2 С Е4. Имеет место равенство Г^і + Г/За|г = °.
Ковариантная производная вектора па\ в нормальной связности D вычисляется по формуле
Dina\ = Г^где = 5^^ і = ^ 2, a,fi,a = 1, 2,
матрица Ц6а11| = Ц6а$|| 1.
Компоненты тензора нормальной кривизны К1 вычисляются по формуле
^ р±а
тэ^а 1\^ 1\І і рі^г 1а т^ат^а /о\
П& \ ІЗ = $иі £)иі +г& \ і г а \ 3 \зг а \ і ' (3)
Обозначим
^1 \ІЗ ^1 \ІЗ ^а\.
В окрестности точки х Є Р2 ковариантная производная тензора нормальной кривизны К1 в связности Ван дер Вардена — Бортолотти V вычисляется по формуле
VкК&}\^ = Ок (к1 ^^ гпі — г™.В^1 іт — ^В^1 ^, (4)
где гт — символы Кристоффеля, вычисленные относительно метрического тензора ^.
Доказательство теоремы 1. В окрестности точки х Є Р2 в локальных координатах (и1, и2) из формулы (3) имеем:
(еП агц \ = / аг11 вг12 \
\Ж^ — ~м) "Ч' Н1п =^ — ~м) П1 '
Н112 = ^ ^ — -^ )Я2Ь ^
Обратимся к уравнению Риччи:
К^з = 9кт {ЬцікЬППз — ЬцкПщ) ' і'І'к'Ш =1' 2' = 1 2' (5)
где Ьа = 5а1Ьі\^. Из (5) находим
Кца12 = 9кт (Ь1\1кЬП2 — Ьі\2кЬПі) ' ДЦ = дкт {Ь^А — ■ (6)
Из (6) в силу (2) имеем:
^1\12 = -^1\12'^а\ = В1\12П2 \ = К/~9 п2 \' В2\12 = ^2|12И«| = ^1\12П1 \ = — К/~9п1 \■ (7)
По формуле (4) находим
VкН1п = Ок (я^) — гтП1т,'2 — 1т — гЦя! 12. а'в = 1.2. (8)
Мы имеем:
Як^1^ = вк(ку/дп2\) = ку/дг1^П1 \ + 9^К'к) П2\' (9)
Ек(^112) = Ок(—К /дщ\) = —К /д П2\------^ \ ‘ (10)
Учитывая (9), (10), из (8) соответственно получим
VкК^\12 = К / г1к ™1 \ + (^^к^) ™2\ — (г11 + гк2) ^1|12 — г12к ^2112'
Vк^12 = —К/д г12к ™2\-----------(^^к^) ™1 \ — (гкк1 + г/с2) Н-112 — г1к ^'Ц12-
ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2013. № 2 (19) 15
Отсюда, применяя соотношения (7), находим
^ о1 г- т^11- , 9(к /) ^ д(1п /9) ^ т.12 і а
Vк Л1|12 = К у/д ^ щ \ + ^к и2\-^^2\ — ^к (—к^/дП1 \) =
(д(к /9) 01п /£ г- ^ дх ^ 51п |к| 51п |к| 1
= I“&?----------к^) П2\ = к^ = ~а^~ ^
^ 01 _ ^ т^1^ 5к 51п /9 ( ^ _
Vк ІЇ1\12 = — к Л/9 г1| к ^2 \-^ик П1 \--^к ( —к у/дП1 \) — г2\1^Кл/дП2 \ =
_( 9(к/д) , ^(1п /д) ^ ^ _ дк _ д 1п |к| _д 1п |к| 1
= 1 а^- + —д^г-к/) »1 \ = — ^^\ = —-^г-К/Щ\ --^т ^■
Следовательно,
я 1п|к|
VкВ&}\12 = ^к ^^1\12' к = 1' 2' ^ = 1' 2. (11)
Так как Щ\п = К1\22 = 0, Щ\12 = —^1\21, из (11) находим
__ я 1п |к|
VкRl\гJ = ~^Т“ Я1^.' 1'3'к =1' 2' ^ =1' 2. (12)
Из (12) получаем, что на поверхности Р2 с ненулевым гауссовым кручением к= 0 в Е4 выполнено уравнение V Я1 = и ® Д1' где 1-форма //= d 1п |к|.
Теорема доказана.
Теорема 2 непосредственно следует из теоремы 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аминов, Ю. А. О поверхностях в Е4 со знакопостоянным гауссовым кручением / Ю. А. Аминов // Укр. геометр. сб. — 1988. — Т. 31. — C. 3-14.
2. Бодренко, И. И. О внутренней геометрии внешне рекуррентных подмногообразий в пространствах постоянной кривизны / И. И. Бодренко // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Мат. Физ. — 2003-2004. — Вып. 8. — C. 6-13.
3. Бодренко, И. И. Обобщенные поверхности Дарбу в пространствах постоянной кривизны / И. И. Бодренко. — Saarbrucken, Germany : LAP LAMBERT Асабешю Publishing, 2013. — 200 c.
REFERENCES
1. Aminov Yu.A. O poverkhnostyakh v E4 so znakopostoyannym gaussovym krucheniem [Surfaces in E4 with a Gaussian torsion of constant sign]. Ukr. gеomеtr. sb. [Ukranian Geometric Collection], 1988, vol. 31, pp. 3-14.
2. Bodrenko I.I. O vnutrenney geometrii vneshne rekurrentnykh podmnogoobraziy v prostranstvakh postoyannoy krivizny [On internal geometry of externally recurrent submanifolds in spaces of constant curvature]. Vеstnik Volgogradskogo gosudars^nnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Mat. Fiz. [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2003-2004, issue 8, pp. 6-13.
3. Bodrenko I.I. Obobschеnnyе povеrkhnosti Darbu v prostranstvakh postoyannoy krivizny [Generalized Darboux surfaces in spaces of constant curvature]. Saarbrucken, Germany, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 200 p.
A CHARACTERISTIC FEATURE OF THE SURFACES WITH CONSTANT GAUSSIAN TORSION IN E4
Bod^nko Irina Ivanovna
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor, Department of Fundamental Informatics and Optimal Control
Volgograd State University
Prospect Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. It is known that every two-dimensional Riemannian manifold M2 with Gaussian curvature K of constant signs has recurrent Riemannian — Chrictoffel curvature tensor R. The following equality holds: VR = d ln |K| ® ® R, where g is Riemannian metric M2, V is Riemannian connection.
Let E4 be 4-dimensional Euclidean space with Cartesian coordinates (x1, x2, x3, x4), F2 is two-dimensional surface in E4 given by vector equation
r(u1,u2) = {x1 (u1, u2), x2(u1, u2), x3(u1,u2),x4(u1,u2)}, (u1,u2) G U,
xa(u1 ,u2) G C™ (U), a = 1,..., 4.
The properties of surfaces F2 with nonzero Gaussian torsion k = 0 in Euclidean space E4 are studied in this article.
Let R± be normal curvature tensor of F2 c E4, D is normal connection,
V = V © D is connection of van der Waerden — Bortolotti.
Normal curvature tensor R± = 0 is called parallel if VR± = 0. Normal curvature tensor R± = 0 is called recurrent (in connection V) if there exists 1-form v on F2 such that VR± = v ® R±.
The following statement is proved in this article. A surface F2 with nonzero Gaussian torsion k = 0 in E4 has recurrent normal curvature tensor R±:
V R± = d ln |k| ® R±.
The characteristic feature of 2-dimensional surfaces F2 with constant Gaussian torsion k = const = 0 in 4-dimensional Euclidean space E4 was obtained in this article.
It was proved that surface F2 c E4 has constant Gaussian torsion k =
= const = 0 if and only if normal curvature tensor R± = 0 is parallel in
connection of van der Waerden — Bortolotti.
Key words: Gaussian torsion, ellipse of normal curvature, normal curvature tensor, normal connection, connection of van der Waerden — Bortolotti.