CC BY
47
Библиографический список
1. Молчанов В.И. Экспериментальное исследование напряжений изгиба зубьев пластмассовых червячных колёс / В.И. Молчанов, В.П. Не-требко, А.С. Яковлев // Детали машин.- Киев: Техника, 1980.- Вып.31,-С.26-29.
Получено 23.04.08
УДК 517.925.42, 62-233.21,
А.А. Морозов, О.В. Соломин (Орел, ОрелГТУ)
ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ РОТОРНЫХ СИСТЕМ НА ГИДРОСТАТОДИНАМИЧЕСКИХ ОПОРАХ ЖИДКОСТНОГО ТРЕНИЯ
Рассмотрены хаотические колебания роторов на опорах жидкостного трения. Характерной особенностью является расчет поля давлений подшипника скольжения путем численного решения уравнения Рейнольдса. Получены хаотические траектории движения центра цапфы ротора, а также бифуркационная диаграмма движения ротора.
Широкое распространение в качестве опор в роторных машинах различного назначения получили подшипники жидкостного трения как обладающие по сравнению с опорами качения повышенной предельной быстроходностью, высокими демпфирующими свойствами, большой устойчивостью к ударным силовым перегрузкам и меньшими габаритами в радиальном направлении.
Движению роторов на опорах жидкостного трения посвящено большое количество работ, например [1]. Однако, в основном, в этих работах рассматривались линеаризованные модели роторных систем на опорах жидкостного трения. Так, например, реакции смазочного слоя заменялись линейными аппроксимациями, что справедливо для небольших отклонений и скоростей вращения ротора. На практике с возрастанием частот вращения роторов начинают проявляться нелинейные эффекты, связанные, например, с взаимодействием ротора и статора, а также вызванные нелинейностью смазочного слоя [1].
Последние десять лет внимание исследователей все больше направлено на изучение так называемых хаотических вибраций в роторах на опорах жидкостного трения [2-4]. Это связано с тем, что в современных роторных системах на опорах жидкостного трения наблюдается рост скоростей вращения ротора. При этом все более существенный вклад начина-
ют вносить нелинейные эффекты, обусловленные смазочным слоем или контактным взаимодействием ротора и статора.
Так, например, в работе [2] автором рассмотрен гибкий симметричный ротор на подшипниках жидкостного трения. Для нахождения реакций смазочного слоя использовалась модель ротора Джеффкотта. Автор построил хаотические траектории в фазовом пространстве, исследовал условия возникновения хаотических вибраций, используя сечения Пуанкаре и бифуркационные диаграммы. В работе [3] хаотическое движение ротора обусловлено контактным взаимодействием ротора и статора, причем контакт моделируется кусочно-нелинейной пружиной, которая является мягкой при вертикальном движении от положения покоя внутрь зазора и жесткой - при вертикальном движении от положения покоя в направлении контакта.
В работе [4] рассмотрен жесткий симметричный ротор на гладких опорах жидкостного трения. Хаотическое движение обусловлено в данном случае контактом ротора и статора. Авторами получены теоретические и экспериментальные траектории движения центра цапфы ротора, сечения Пуанкаре и бифуркационные диаграммы роторной системы. Хаотические колебания в обоих случаях обусловлены контактным взаимодействием ротора и статора
При изучении движения ротора возникает необходимость решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с нелинейной правой частью, описывающую движение ротора. Нелинейная правая часть порождает необходимость использовать численные методы решения ОДУ. В первую очередь авторов интересует установившееся движение жесткого ротора. Переходные процессы представлены, например, в работе [1].
В данной работе для решения системы ОДУ был использован метод Адамса - Башфорта - Моултона [5], как обладающий наибольшей устойчивостью среди численных методов решения ОДУ. Необходимо учесть, что не существует общепринятого критерия установившегося движения. Факт наличия установившегося движения полностью зависит от условий вычислительного эксперимента и опыта экспериментатора [4].
Рассмотрим модель симметричного жесткого горизонтального ротора на двух одинаковых гидростатодинамических опорах жидкостного трения с точечными камерами (рис. 1).
у
Смазочный
рттгл*
Б
Втулка
подшипника
* Центр тяжести ротора
Цапфа
ротора
Рис. 1. Схема подшипника жидкостного трения
Тогда уравнение движения центра цапфы на основании второго закона Ньютона будет иметь вид
где М - масса ротора, приходящаяся на одну опору; Д - дисбаланс; со - частота вращения ротора; Рн - нормальная составляющая силы, с которой взаимодействуют ротор и статор; ^ - тангенциальная составляющая; Ру- составляющие по оси х и у соответственно;
тором и статором, у - полярный угол точки контакта ротора и статора, Кс- коэффициент жесткости при ударе, і— время, g~ ускорение свободного падения, Х,У- декартовы координаты центра ротора.
Входящие в систему (2) реакции смазочного слоя Ях и были найдены путем численного интегрирования поля давлений, полученного в ре-
Ш = ЯХ (х, Г, X, г)+Рх + А/Ао)2 соз(со/),
Ж = Яу (х,¥,х,у)+ ^ + МДсо2 8Іп(сО^) - М^, рх = со5і(у) + ъ ^іп(у),
Ру = -Рм віп(7) - Р, соэСу),
(1)
(2)
где е- эксцентриситет, е + X2 , /- коэффициент трения между ро-
зультате решения основного уравнения гидродинамической теории смазки роторных систем на каждом шаге интегрирования по времени:
ЬхО
Кх~ \ \psinadxdz-,
°° (3)
= | \pQQsadxdz,
О О
где р- давление смазочного слоя в подшипнике.
Основное уравнение гидродинамической теории смазки имеет вид
д_ А3 • р Ф ■ ■■■! ■ ■ д -4 \ъ-р .Ф
ск А Зс ск
= б-^-(р-и‘к)-12рУ + 12А— , (4) ас д
где V и V - скорости в точках на поверхности цапфы; р - давление в смазочном материале; А - функция радиального зазора; р - плотность смазочного материала; ц - вязкость смазочного материала; Кх и К2 -коэффициенты турбулентности [1].
Уравнение (4) было решено методом конечных разностей [6]. В результате было получено множество точек {X},У/}, / = 0. Этот набор точек называют также фазовым портретом системы. Полученные в результате численного эксперимента траектории подверглись анализу с использованием методов детерминированного хаоса и синергетики.
таугентол вд&рщим используют различные мето-
ды. Чаще всего для этих целей используется метод изучения спектра Фурье колебаний, сечение Пуанкаре и бифуркационные диаграммы.
Различают качественные методы анализа хаотического сигнала и количественные методы. К качественным методам анализа относятся: анализ спектра Фурье колебаний, сечение Пуанкаре, вейвлет-анализ и анализ бифуркационных диаграмм. К количественным методам относятся: вычисление фрактальной размерности, вычисление показателей Ляпунова, построение автокорреляционной функции.
Фурье-анализ основан на преобразовании вида [7]
1 * И?)
2*=-/= £ (5)
V# у=1
где + Х! - координаты точек фазового пространства;
/-мнимая единица.
В хаотическом режиме спектр Фурье непрерывен [7]. Основным недостатком преобразования Фурье является то, что это преобразование не может провести различие между случайными и апериодическими сигналами. Поэтому часто в совокупности с методом Фурье используют и метод сечения Пуанкаре.
Метод сечение Пуанкаре позволяет перейти от непосредственного анализа системы (1) к анализу дискретного отображения
Рк+1=ПРк), (6)
где Рк - точка фазового пространства, Р% = У^}.
Тем самым уменьшаем фазовое пространство на единицу [8]. В случае хаотического аттрактора сечение Пуанкаре представляет собой множество точек, принадлежащих траектории движения ротора, располагающихся на фазовой плоскости и обладающих фрактальной структурой. Вместе с сечением Пуанкаре часто применяют метод бифуркационных диаграмм, который позволяет провести анаииз системы при изменении какого-либо параметра.
Анализируя систему с помощью бифуркационных диаграмм, как правило, по одной оси откладывают значение какого-либо параметра системы, например, частоты вращения ротора, а по другой оси - некоторую характеристику системы, например, точки сечения Пуанкаре [7,8]. Данный метод позволяет исследовать систему в зависимости от значения её параметров.
Анализ с помощью фрактальной размерности основан на использовании формулы [8]
(7)
£-»0 1п(б)
где £) - фрактальная размерность аттрактора; //(е) - количество ячеек, в
которые попала хотя бы одна точка.
В случае хаотического аттрактора фрактальная размерность будет дробной. Фрактальная размерность может быть получена при помощи численного алгоритма.
Старший показатель Ляпунова вычисляется при помощи формулы
А = Ит -1п|3е(0||, (8)
где А - старший показатель Ляпунова; х(/) = *1 (0 - *2 (/) - вариация траектории движения; / - время [7].
Старший показатель Ляпунова является важнейшей характеристикой движения ротора, он показывает, как быстро траектории разбегаются при варьировании начальных условий. В случае хаотического движения он представляет собой положительное число [7, 8]. Для вычисления показателей Ляпунова использовался алгоритм Бенеттина [7]. В результате численного эксперимента были получены траектории, сечения Пуанкаре (рис. 2) и развертки Фурье нелинейных колебаний ротора.
Рис. 2. Сечение Пуанкаре хаотического движения ротора
На рис. 2 хорошо видно, что сечение Пуанкаре хаотического сигнала обладает фрактальной структурой. Спектр Фурье хаотического сигнала сплошной.
Были построены скейлограммы для хаотического движения ротора (рис. 3). На рис. 3 хорошо виден переходной процесс движения ротора, где скейлограмма на краях слегка размазана. Хаотическому движению соответствует скейлограмма с фрактальной структурой коэффициентов.
СКЕЙЛОГРАММА
О 1000 ОТО 3000 4000 5000 6000 7003 0300 9000
Отсчеты
Рис. 3. Скейлограммы хаотического движения ротора
Исследование показало, что хаотические колебания могут появляться при увеличении частоты вращения ротора. В этом случае возможен контакт ротора и статора, который приводит к апериодическому движе-
нию. Также причиной появления хаоса может стать статический дисбаланс ротора.
Однако не всегда контакт ротора и статора может приводить к хаотическому движению, возможна обкатка статора ротором. Частота вращения варьировалась в пределах 200 - 1000 рад-1, дисбаланс 3-5 микрон, масса системы 4 кг, моделирование проводилось на гидростатодинамическом подшипнике с точечными камерами.
Все расчеты были проведены в программе Анрос - нелинейный анализ, написанной авторами. Построение скейлограмм было проведено в программе Анрос - сигнал.
Библиографический список
1. Yamamoto Т. Linear and nonlinear rotordynamics / T. Yamamoto, Y. Ishida // A modem treatment with applications. - New York: John Willey & Sons, 2001.-326 p.
2. Edwards S. The influence of torsion on rotor - stator contact in rotating machinery / S. Edwards, A.W. Lees, M.I. Frischell // Journal of Sound and Vibration.- 1999. - № 225/4. -P. 767 - 778 (12).
3. Chu F. Periodic, quasi-periodic and chaotic vibrations of a rub-impact rotor system supported on oil film bearings / F. Chu, Z. Zhang // Int. J. of Engineering Science, 1997. - № 10/11. -P. 963 - 973.
4. Experimental verification of JefTcott rotor model with preloaded snubber ring / E.V. Karpenko [et al] // Journal of Sound and Vibration.- 2006. -№298.-P. 907-917.
5. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. — М.: Мир, 1990.- 512 с.
6. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. — М.: Стройиздат, 1982. — 448 с.
7. Берже П. Порядок в хаосе / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. — М.: Мир,1991. - 368 с.
8. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. / Р. Кроновер. — М.: Постмаркет, 2000. - 353 с.
Получено 23.04.08
