CC BY
42ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В СИСТЕМАХ ТРАНСПОРТА
Агуреев И. Е. Атлас Е. Е.
ГОУ ВПО «Тулский государственный университет»
Приведен анализ типов возникающего динамического поведения в некоторых диссипативных системах. Получение рассмотренных моделей относится к задачам автомобильного транспорта, однако показано, что некоторые решения могут интерпретировать процессы, происходящие при транспорте в медико-биологических системах. Это служит основанием для исследования инвариантов (паттернов) поведения в транспортных системах различной природы. Приведены системы аттракторов, возникающих в моделях, показано, что некоторые формы аттракторов могут возникать в математически отличающихся моделях.
Ключевые слова: математическое моделирование, диссипативная система, обыкновенные дифференциальные уравнения, аттракторы.
Введение
Разнообразие методов синергетики являются следствием двух противоположно направленных тенденций. С одной стороны, растет количество фундаментальных и прикладных исследований, затрагивающих все большее разнообразие изучаемых систем и порождающих значительное число новых парадигм, теорий и методов. С другой стороны, постоянно предъявляемые требования научного сообщества к объединению результатов заставляют исследователей находить универсальные формы описания разнородных на первый взгляд систем. Исследования нелинейной науки изначально были
междисциплинарными, таковыми они остаются и по сей день.
Существующие методы математических описаний исследуемых систем можно свести к формулировкам систем обыкновенных дифференциальных уравнений, систем в частных производных, интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям. В зависимости от дополнительных условий они могут содержать и стохастические функции. Иногда модель системы можно построить только для вероятностных характеристик, как это бывает для различных систем массового обслуживания. Как правило, модели отличаются значительным разнообразием размерности, могут быть непрерывными и дискретными.
Среди относительно новых парадигм, которые изначально в синергетике отсутствовали, но появились позднее на основе «классических» результатов, следует упомянуть отдельно понятия «русел и джокеров», «жесткой турбулентности», «переключающейся перемежаемости» [1, 2].
При этом безусловными, неизменными традициями нелинейной науки остаются представления о самоорганизации, режимах с обострением, диссипативных структурах, динамическом хаосе. Методы теории бифуркаций, нелинейных колебаний, асимптотического анализа по-прежнему находятся в арсенале исследователей.
Постепенно формируется сфера представлений о природе динамического хаоса в диссипативных системах. Расширяется описание сценариев перехода к хаосу. Каскад бифуркаций на основе сценария Фейгенбаума и порядка Шарковского получил дальнейшее развитие в виде так называемого гомоклинического каскада, разработанного Н.А. Магницким (сценарий ФШМ) [3]. В рамках теории ФШМ определенно заявлено о том, что единственным универсальным способом, который можно рассматривать как сценарий, является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума,
субгармонический каскад в соответствие с порядком Шарковского и далее гомоклинический каскад. Перемежаемость при этом рассматривается лишь как артефакт численного эксперимента, существующий при наличии нескольких неустойчивых решений. Другим результатом теории ФШМ является вывод о нефрактальной структуре нерегулярных (сингулярных) аттракторов. Претерпел существенные коррекции и классический сценарий возникновения аттрактора в системе Лоренца.
Среди нерешенных вопросов в теории ФШМ остается отсутствие сколь-нибудь общей теории, соответствующей бифуркациям за пределами гомоклинического каскада.
В работах [4-8] выполнялись численные исследования различных диссипативных
систем, полученных при моделировании некоторых транспортных процессов. Среди предварительных результатов можно отметить следующие. Во-первых, существенно расширяется представление о геометрии нерегулярных решений. Можно утверждать, что найдены неизвестные до сих пор формы нелинейных колебаний, которые требуют детального исследования. Во-вторых, среди полученных решений достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В-третьих, обнаруживается некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения) в одной и той же исследуемой системе. Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В-четвертых, в различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца, Ресслера или других более сложных).
Цель работы. Исследование только диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полутора степенями свободы и с нелинейностью не выше второй степени, разработанных для различных модельных ситуаций, касающихся в основном, транспортных процессов, с выделением некоторых общих результатов.
Результаты и их обсуждение. Модель 1 (логистическая система). Рассмотрим вариант модели логистической системы (ЛС), которая может быть описана следующими переменными: х - число автомобилей в текущий момент времени, участвующих в транспортном процессе; у - уровень текущих запасов на складах розничной торговли; г -уровень текущих запасов на складе оптовой торговли. Таким образом, формулируем модель ЛС в виде х = Г (х
или
X = Г (х, г, ц ), (1)
где х е М , ц е Ь сШк, г е I сШ, к и т - размерности соответственно параметрического и фазового пространств.
Представим правые части уравнений системы следующим образом.
1) x = kz(Y - y). (2)
Число автомобилей, участвующих в транспортном процессе, пропорционально запасам оптового склада и разнице (Y-y), представляющей собой объем вакантных мест для хранения запасов. Здесь Y - суммарная предельная вместимость складов розничной торговли.
2) y = I yî +I yj , где I y+ = ax(1 - y/Y),
i j i
I yj = f ( y). (3)
j
Запасы на складах розничной торговли формулируются в виде балансового уравнения, в котором слагаемое I y+
i
описывает скорость поступления
материальных запасов, а слагаемое
I y- = f (y) задает функцию (скорость) их
j
расходования. Правая часть уравнения
I y+ = ax(1 - y Y )
отражает
факт
пропорциональности скорости поступления материальных запасов числу автомобилей. Параметр а при этом может иметь смысл грузоподъемности, «прибывающей» в единицу времени, а величина (1—у/У), равная относительной незаполненности складских помещений, служит для отражения, например, коэффициента использования
грузоподъемности и, в конечном итоге, для описания размера партии перевозимого груза. Функция расхода, в простейшем случае, может быть задана линейной в виде /(у)= —Ьу, а в более сложном - в виде случайного процесса.
3) Z = Iz++Izj , где Iz+= g(z);
i j
I z j =-dx(1 - y Y ). (4)
j
Запасы на складе оптовой торговли формулируются в виде балансового уравнения, аналогичного (3), при этом слагаемое ^ + = g(г) характеризует внешнее
г
«воздействие» на открытую ЛС - поток
материальных запасов от дистрибьютора и/или производителя. Эта величина также может быть выражена в виде простейшей линейной зависимости g(z)=c(1—z/Z) или в
виде случайного процесса. Слагаемое ^ г —
]
совпадает, с точностью до коэффициента, с
величиной +, что является логичным,
^ yi I
поскольку афа в общем случае, позволяющем учесть не только возвраты, потери и пр., но еще и поступление материальных запасов на розничные склады от иных поставщиков. Здесь Z - предельная вместимость складских помещений оптового склада.
Остановимся на смысле некоторых величин, используемых в формулах. Параметр Ь, имеющий размерность , обозначает интенсивность расходования запасов на складе розничной торговли (отнесенную, например, к одним суткам, если эта величина используется в качестве единицы измерения времени). Параметр с в этом случае будет обозначать суточную норму поступления запасов на склад оптовой торговли.
Таким образом, модель ЛС запишем окончательно в виде:
х = klz — k2 уг,
у = kз х — ^ у — k5 ху,
? = —kfr х — k7 г + kg ху + k9.
(5)
Положительные коэффициенты системы (5) определяются по формулам: k1=kY; ^=к; к=а; к=Ь; к=а/Г; kб=d; k7=c/Z; k8=d/Y; kд=c. Очевидно, что девять коэффициентов k¡-kg выражаются через семь параметров модели: а, Ь, с, d, к Y, Z. Это означает, что коэффициенты нельзя выбирать произвольно.
Модели рассматриваемого класса, относящиеся к диссипативным динамическим системам, выраженным в виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяют на наш взгляд, учесть некоторые особенности транспортных систем:
1) сочетание детерминированных и стохастических факторов функционирования;
2) коллективный характер работы транспортной системы (большое число участников в виде совокупности транспортных средств; значительное количество происходящих событий -операций транспортного процесса);
з) неравновесное состояние открытой ЛС - постоянное присутствие потока материальных запасов.
Проиллюстрируем некоторые результаты численного моделирования системы (5).
Уравнения (5) совместно с начальными условиями и заданными значениями коэффициентов позволяют сформулировать задачу Коши.
Решение задачи выполнялось численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка, с точностью 1-10-6. Величина шага изменялась по алгоритму, обеспечивающему требуемую точность. Начальные условия выбирались таким образом, чтобы выполнялось условие:
хо е Md с М,
где Ма - область диссипативности системы (5), определяемая из соотношения к4 + к7 ,
х > к5~
вытекающего из условия диссипативности
(6)
, ^ дхх ду о? „
аг\¥( х, у, г) = — + — + — < 0 дх ду дг
На рис. 1 приведены некоторые найденные в модели ЛС режимы, соответствующие аттракторам диссипативной системы. На графиках фазового портрета и проекций вертикальная ось соответствует переменной г. В первом столбце вправо вверх направлена ось у, а вправо вниз - ось х. Во втором столбце вправо направлена ось у, а в третьем - ось х. В таблице приведены пять вариантов решений, коэффициенты для которых представлены в табл. 1.
Как известно из теории хаотической динамики, в подобных системах могут наблюдаться состояния равновесия (устойчивые и неустойчивые), предельные циклы и нерегулярные колебания (аттракторы). С точки зрения практики все эти режимы работы ЛС могут представлять интерес. Так, устойчивые состояния равновесия, вычисленные в теоретической модели, построенной для конкретной ЛС, могут дать информацию о границах устойчивого поведения.
В модели (5) может быть от нуля до трех особых точек. Характер их устойчивости в зависимости от параметров в настоящей работе мы не рассматриваем. Вопросы, касающиеся стационарных состояний, более подробно изложены в работе [8].
Предельные циклы (периодические колебания) могут изучаться с точки зрения влияния амплитуд и периодов колебаний на затраты при изменении параметров модели. Хаотические колебания могут быть предметом исследований для выяснения наличия и доли детерминированных составляющих нерегулярного поведения в реальных ЛС. Конечно, невозможно ограничить моделирование ЛС только классом рассматриваемых в настоящей работе систем уравнений. Совершенно очевидно, что для более глубоких исследований требуется иметь дело со стохастическими дифференциальными уравнениями.
Модель 2 (логистическая система). Более сложный и интересный вариант модели ЛС с точки зрения разнообразия решений может быть представлен в виде системы уравнений
'х = а[(Х - х) + ку- тг](Т - г)- Ь(У - у\2 - г); у = с[(У - у) + 1х + пг]г - й(X - х)г; (7)
г = ех - ¡у + g.
Здесь переменные имеют следующий смысл: х - автомобили, доставляющие груз; у
- автомобили, развозящие груз; г - количество груза на складе. Параметры в уравнениях (7) обозначают: X - число автомобилей, участвующих в доставке груза; У - число автомобилей, участвующих в развозе груза; Т
- предельная (или наиболее вероятная) емкость склада; g - интенсивность восполнения груза другими видами транспорта.
Выражая систему (7) в явном виде относительно фазовых координат, получим
X = kix + k2 y + k3 z + k4 xz + k5 yz + kg z + kq, 2
y = kg xz + kg yz + kio z + kliz, z = ki2 x + ki3y + ki4.
(g)
При этом, если выбирать произвольно 14 параметров в системе (7), то из 14-ти коэффициентов в (8) независимыми будут только 12 из них. Таким образом, система (8) представляет собой более широкое множество моделей по сравнению с (7). Отметим, что в системе (8) имеется преобразование симметрии вида:
х ^ А - + ог , у ^ ~ + [¡Яг , г ^ В - ~ (9) При формулировке модели (7), так же как и (5), использовалось представление о балансе
транспортных средств и груза (по аналогии с уравнением баланса массы в механике сплошной среды), а также были учтены основные причинно-следственные связи, приводящие к изменению поведения участников транспортной системы. Например, в первом уравнении учтено: чем больше груза на складе, тем больше автомобилей снимают с маршрута (-mz); чем меньше запас z, тем интенсивнее будут поступать автомобили (Z-z); чем больше автомобилей стоит на погрузку, тем медленнее отбывают автомобили типа x (множитель Y-y); чем больше груза, тем сложнее разгрузиться (множитель Z-z) и т.д. Отсюда становится ясным смысл коэффициентов a...f, которые выражают интенсивность прироста или убывания переменных в результате действия соответствующих причин.
Анализ модели (7) в основном выполнялся при допущении, что все параметры положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начиналось с определения точек стационарных состояний, их типа и устойчивости.
Система (7) диссипативна, если выполнено
условие (6), при этом
aZ
z <-
если a>c и
a - c
z >
„7
, если а<с. Следовательно, возникает
а - с
предположение о возможности существования сингулярных циклов и аттракторов, а также гетероклинических контуров, определяющих вид траекторий в фазовом пространстве.
Уравнения (7) исследовались численно методом Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью 1-10-6. Были найдены все основные виды решений, характерные для трехмерных автономных нелинейных систем:
стационарное состояние, предельный цикл, странный (хаотический) аттрактор и другие типы циклов различной периодичности. Зафиксируем константы модели (7), как указано в табл. 2. Некоторые результаты исследований представлены на рис. 2. Найденные численные решения образуют два симметричных семейства, в соответствии с формулами (9). Для анализа рассмотрим нечетное семейство решений, которым были присвоены условные номера: 1, 3, ..., 13 (т.е.
семь типов). Решения, принадлежащие каждому типу, достаточно четко выделяются от иных. Между всеми решениями имеется тесная связь, которая заключается в том, что плавное изменение некоторых параметров может приводить от решений одного типа к решениям другого типа (в форме бифуркаций).
Исходными (базовыми) решениями в представленной цепи аттракторов можно считать сингулярные циклы и соответствующие им сингулярные аттракторы типа 1 и типа 7, находящиеся на противоположных концах. Они отличаются тем, что ведут происхождение от различных особых точек.
На рис. 2 (вариант 4, тип 13) приведена зависимость, которая свидетельствует о существовании в модели (7) так называемых «контрастных структур» и пограничного слоя [9]. На наш взгляд, подобные решения вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». Зависимость г^) в этом варианте весьма напоминает при этом некоторую стратегию управления запасами, что придает модели (7) практическую привлекательность.
Модель 3 (пассажирская остановка). Модель транспортного процесса перевозок пассажиров в населенном пункте может быть сформулирована в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными правыми частями: х = а^Х + ку — т?) — х]г — Ь(У — у )1 — г)
< у = —схг + а ^ — у); (10)
? = —еуг + / (I — г)+ — к(У — у )]х.
Здесь переменными являются: х -количество автобусов, находящихся на остановке; у - количество пассажиров, ожидающих посадку; г - число свободных мест в автобусах, находящихся на остановке. Остальные параметры имеют следующий смысл: Х - среднее (нормативное) число автобусов, работающих на маршруте; Y -среднее количество пассажиров на остановке (условная «вместимость» остановки); I -среднее число мест для пассажиров (вместимость автобуса). Коэффициенты модели: а - характеризует интенсивность
прибытия автобусов на остановку (имеет размерность 1/(местмин)); Ь - характеризует интенсивность отправления автобусов от остановки (авт/(пассместмин)); с -учитывает интенсивность посадки пассажиров в автобусы (пасс/авт мест мин)); а - отражает интенсивность прибытия пассажиров на остановку (1/мин); е - учитывает скорость уменьшения числа свободных мест вследствие посадки пассажиров (1/(пассмин)); / -характеризует интенсивность увеличения числа свободных мест за счет высадки пассажиров (1/мин); g - характеризует скорость роста числа свободных мест, «прибывающих» вместе с автобусами (1/автмин)); к - отражает интенсивность «убывания» свободных мест, не занятых пассажирами до отправления автобуса (1/пассавтмин)); к - описывает интенсивность выхода на линию автобусов сверх нормативного значения при увеличении числа пассажиров на остановках (авт/пасс); т - характеризует интенсивность «схода» автобусов с маршрутов вследствие роста числа свободных мест (авт/мест).
Слагаемые в правых частях уравнений имеют следующий смысл. В первом уравнении (10) слагаемое с знаком «+» отражает поступление автобусов на остановку, зависящее от разности общего количества автобусов, находящихся на маршрутах, и числа автобусов на остановке. В этом слагаемом учитываются также выпуск автобусов на маршрут при росте числа пассажиров на остановке (например, в часы «пик»), а также «сход» с маршрута при увеличении числа свободных мест в автобусе. Это слагаемое пропорционально количеству свободных мест в автобусах на остановке (чем больше свободных мест, тем интенсивнее будут автобусы поступать на посадку с целью загрузки - или сходят с маршрута, о чем уже сказано). Слагаемое со знаком «-» отражает процесс отправления автобуса от остановки. Оно осуществляется быстрее, если, с одной стороны, на остановке мало пассажиров (становится короче по времени процесс посадки) или, с другой стороны, если мало свободных мест в самом автобусе (пассажиры отказываются от посадки). Таким образом, имеем произведение Ь^-у)(1-г).
Во втором уравнении слагаемое со знаком «+» описывает приход пассажиров на остановку: чем меньше занята остановка, тем выше вероятность увеличения числа пассажиров. Чем больше занята остановка (уменьшение разности (Y-y)), тем больше пассажиров будет ее покидать с целью поиска альтернативного способа передвижения. Чем больше пассажиров уже находится на остановке, тем меньше потенциальных пассажиров находится за ее пределами. Слагаемое со знаком «-» описывает процесс посадки пассажиров в автобусы: чем больше автобусов на остановке и чем больше на ней свободных мест, тем выше вероятность посадки.
В третьем уравнении слагаемое f(Z-z) учитывает процесс увеличения числа свободных мест за счет высадки пассажиров (чем больше пассажиров в автобусе, тем вероятнее выход пассажиров на остановке). Второе слагаемое со знаком «+» учитывает «поступление» свободных мест с автобусами. Слагаемое со знаком «-» описывает процесс уменьшения свободных мест за счет посадки пассажиров. Это слагаемое пропорционально произведению yz: чем больше пассажиров на остановке и чем больше свободных мест, тем выше вероятность того, что свободные места будут заняты.
В целом, в уравнениях (10) отражены основные причинно-следственные связи, реально действующие в системе и учитывающие коллективный характер динамики пассажиров, транспортных средств и свободных мест. Последний фактор становится здесь своего рода управляющим параметром, влияющим на процесс принятия решений пассажирами и водителями автобусов. Следует ожидать, что построенная модель относится к целой совокупности остановок (метаостановке) и содержит решения, имеющие практический смысл. Отрицательные значения переменных x, y, z будут означать потребность в соответствующем виде компонента, т.е., мы специально не ограничиваем значения функций x(t), y(t), z(t) множеством .
Система уравнений (10) решалась численно методами Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью 1-10-6. В модели были найдены все основные виды
устойчивых аттракторов (фокус, предельный цикл, нерегулярный аттрактор). В табл. 3 представлены значения параметров модели и начальные условия, которые принимались при изучении системы.
Практический интерес представляет решение системы, полученное приведенное в табл. 3 (вариант 6, рис. 3, е). Здесь имеет место циклический характер работы системы. Временная зависимость переменных х и у показывает изменение числа автобусов и пассажиров на метаостановке, напоминающее известные функции из теории управления запасами. В течение некоторого времени число автобусов на остановке плавно уменьшается, число пассажиров остается до определенного момента почти постоянным, затем их количество заметно уменьшается и практически мгновенно (в масштабе времени одного цикла) осуществляется интенсивный переходный процесс, связанный с накоплением пассажиров и автобусов до исходного уровня. Эти пилообразные кривые представляют своего рода временные структуры, показывающие согласованный характер работы всех элементов (остановок) системы (метаостановки), т.е.
самоорганизацию.
Изучение подобных структур в реальных системах позволит сформулировать постановку задачи теории управления для создания требуемых типов временных структур в течение дня работы автобусного парка.
Модель 4 (конкуренция двух автомобильных перевозчиков). Известна динамическая модель конкуренции, предложенная в работе [10] и описывающая производство взаимозаменяемых товаров одинакового качества двумя фирмами. Фазовыми координатами являются в модели оборотные средства конкурентов.
Если в качестве переменных модели выбрать х - увеличение затрат перевозчика «1» на организацию и повышение качества перевозочного процесса (реклама, информация, маркетинговые исследования, техническое состояние подвижного состава и др.), у - то же, для перевозчика «2», г -увеличение количества груза, доставленного потребителю перевозчиком «1», то один из
возможных вариантов модели конкуренции может быть записан в виде системы: х = ау(2 - 2) - Ьг(х - X)
< у = схг - а (г - 2 )(у - у) (11)
г = е(х - у).
Система представляет собой выражение стратегий двух игроков рынка, записанное в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Каждое из них является уравнением динамического баланса типа х = Р - Я, где в общем случае Р=Р(г, х) -источник, а Я=Я(г, х) - потери изучаемой величины х.
Первое слагаемое ау(Т-г) выражает стремление игрока (перевозчика «1») увеличить затраты ресурсов (в итоге -увеличить объем своих рыночных предложений), если конкурент увеличивает свои. Поэтому слагаемое пропорционально переменной у. Множитель (Т-г) выражает запас спроса на услуги со стороны потребителя. Коэффициент а учитывает степень информированности игрока «1» о стратегии игрока «2» и о спросе на услуги перевозчиков. Параметр Т следует понимать как максимальную величину спроса потребителя.
Второе слагаемое Ьг(х-Х) выражает стремление игрока «1» использовать свои ресурсы с максимально допустимой отдачей. Величина X есть ее предел. Если х<Х (есть возможность наращивать объем
предложения), слагаемое в целом имеет знак «+» и смысл источника величины х. Если х становится больше X, игрок вынужден сокращать использование ресурсов. Слагаемое пропорционально г, т.к. при высоком уровне г игрок «1» может позволить себе интенсивнее сокращать использование ресурсов на увеличение предложения. Коэффициент Ь отражает представление игрока «1» о необходимости такого снижения.
Аналогично интерпретируется запись второго уравнения (11). Смысл третьего уравнения очевиден.
Условие диссипативности системы (11) представляет собой неравенство
йгур(х, у, г) =г(й-Ь)-йТ<0 (12)
Таким образом, рассматриваемая система, подобно исследованной в [3] модели Ресслера,
не является всюду диссипативной в фазовом пространстве.
Перепишем уравнения (11) в каноническом виде
х = ку у + к2 г - к3 хг - к4 уг у = -к$у - кбг + к7хг + к%уг + кд (13) г = куо х - кц у.
Здесь к1=аТ; к2=ЬХ; к3=Ь; к4=а; к5=йТ; к6=йУ; к7=с; к8=й; к9=йУТ; к100=к11=е
Исследование системы (11), как и ранее, выполнялось численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка с точностью 110-6. Отметим, что вследствие высокой размерности
параметрического пространства (к=8) в настоящее время говорить о законченном исследовании системы не представляется возможным.
Рассмотрим вариант 1 системы (11), приняв параметры в соответствии с табл. 4.
Здесь наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода, если в качестве параметра выбрать коэффициент а. Например, при а = 4 имеем устойчивый предельный цикл (окно периодичности а е(4,00025; 3, 798)), при а е(3,798; 2,1067) - цикл периода 2, при а е(2,1067; 1,894) - цикл периода 4 и т.д. Последующий субгармонический каскад бифуркаций аттрактора Фейгенбаума приводит при а = 1,36060606 к циклу периода 3. Дальнейшее уменьшение а ведет к гомоклиническому каскаду (по терминологии Н.А. Магницкого [3]). При а «0,8233... «глаз» аттрактора закрывается и структура аттрактора изменяется (рис. 4, а-г). Отметим, что аттрактор подобного вида существует и при бесконечном числе других сочетаний параметров (например, вариант 2, табл. 4). Отмеченное выше изменение структуры аттрактора выражается в усложнении траектории, выходящей из «глаза» и совершающей затухающие колебания вокруг некоторой осевой линии (рис. 4, г).
Если параметры системы выбрать согласно варианта 3 (табл. 4), то получим аттрактор, обладающей симметрией по отношению к аттрактору 1 -го варианта и являющийся результатом аналогичной последовательности бифуркаций.
Обратим внимание, что эволюция аттракторов в этом случае может быть более развитой и приводить к решениям, которые
подходят под понятие «контрастных структур», примеры которых приведены в работе [9]. Каскад бифуркаций проходит всю последовательность, начиная от удвоения периода предельного цикла,
субгармонический и гомоклинический каскады, а далее - более сложную последовательность бифуркаций, приводящую к «контрастным структурам».
Заключение
Результаты выполненных исследований диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений показывают, что универсальным способом, который можно рассматривать как сценарий перехода к хаотическому поведению, является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонический каскад в соответствие с порядком Шарковского и далее гомоклинический каскад Магницкого (теория ФШМ).
Среди полученных решений достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В некоторых моделях (например, модель 3 и модель 4) обнаруживается некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения). Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца в модели 1, Ресслера в модели 2 или других более сложных).
Литература
I. Зульпукаров М.-Г.М. Жесткая
турбулентность. Моделирование с помощью русел и джокеров // Нелинейность в современном
естествознании / Под ред. Г.Г. Малинецкого. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. - С. 159-187.
2. Малинецкий Г.Г. Простота нелинейного мира // Нелинейность в современном естествознании / Под ред. Г.Г. Малинецкого. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. - С. 10-19.
3. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 320 с.
4. Агуреев И.Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. - С. 3-13.
5. Агуреев И.Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. - С. 3-II.
6. Агуреев И.Е., Тропина В.М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.1, 2007.
7. Агуреев И.Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / Под ред. С.В. Емельянова. Т. 33. -Вып. 12. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. -С. 159-175.
8. Агуреев И.Е., Тропина В. М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.4, 2011. - С. 158-167.
9. Неймарк Ю.И., Смирнова В.Н. Контрастные структуры, предельная динамика и парадокс Пэнлеве // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. № 11. - С. 1507-1515.
10. Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Зульпукаров М. -Г.М. Модель конкуренции. Препринт № 64 ИПМ имени М.В. Келдыша. М., 2006. - 22 с.
Таблица 1
Параметры модели ЛС
Вариант К к 2 к 3 к 4 к 5 к 6 к7 к 8 к 9
1 4 3 14 2 2,4 17 0,1 3 6
2 2 0,3 1 0,9 9 11,4 4 0,2 5
3 1 2 24 2 3 12 1 4 5
4 2 15 6 7 1 28 1 6 3
5 0,8 12 5 6 1 0,3 2 12 4
Параметры модели Табли 7)
Вариант а Ь с й е / Я
1 3 8 2 25 1 5 180
2 3 5 6 2 1 4 2
3 5 0,6 3 1 0,4 2 9
4 1 7 4 5 0,9 2 2,1
5 1,5 2 1 0,4 7 9 -15
6 2,1 1 4 0,7 0,1 4 0,1
7 1 0,5 2,8 5,5 0,5 2 3
8 2 1 0,5 4 2,11 7 5
Вариант к 1 т п X Г Z
1 0,2 4 1,7 10 50 20 150
2 3 2 1 3 4 5 1
3 7 0,7 4 2 1 0,5 2
4 0,3 6 0,1 2 5 10 0,4
5 0,1 5 2 4 1 2 1
6 2 1 9 3 2 1 4
7 1 0,4 9 0,4 0,1 2 5
8 0,5 2 1 9 0,6 3 2
Параметры модели 1 Табли 10)
Вариант а Ь с й е / Я
1 0,5 5 2 1 12 2 0,2
2 0,5 0,95 1,6 0,2 1 5 8
3 5 2 0,4 4 0,5 9 1
4 0,2 6 3 5 1 0,5 4
5 2,5 0,2 15 0,5 7 50 2
6 6 20 0,6 1 0,5 2 14
7 0,3 0,1 0,3 0,8 2 5 15
Вариант к к т X Г Z -
1 3 15 6 2 0,3 25 -
2 0,2 0,5 0,3 20 10 14 -
3 0,8 10 7 15 12 3 -
4 9 2 0,2 20 10 60 -
5 1,5 1 0,5 50 25 20 -
6 48 5 2 12 24 10 -
7 5 5 12 6 36 15 -
Таблица 4
№ вар. а Ь с й Е X У Т
1 4 8 2 2,5 8 1,5 14 7
2 5 11 13 7 8 0,5 4 1,5
3 0,8 3 9 2,5 15 14 2 18
Параметры модели (11)
Рис. 1. Варианты динамического поведения в модели (5)
Ь
4-
Тип 1 (вариант 1)
Тип 3 (варианты 2 и 3)
Тип13 (вариант 4)
Тип 9 (вариант 5) Тип 5 (вариант 6) Тип 11 (вариант 7) Тип 7 (вариант 8)
Рис. 2. Система аттракторов в модели (7)
Рис. 3. Примеры аттракторов в модели (10)
Рис. 4. Проекции аттрактора системы (1) на плоскость (у^): а) а = 1,36060606; б) а = 1,11111.; в) а = 0,82333.; г) Ь = 31 (вариант 2)
Рис. 5. Проекции решения (вариант 2) на фазовые плоскости
