HADAMARD KASR TARTIBLI HOSILALI SUBDIFFUZIYA TENGLAMASIDA MANBA FUNKSIYASINI ANIQLASH BO‘YICHA TESKARI MASALA Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Физико-математические науки

HADAMARD KASR TARTIBLI HOSILALI SUBDIFFUZIYA TENGLAMASIDA MANBA FUNKSIYASINI ANIQLASH

BO'YICHA TESKARI MASALA

Yu. Fayziev1, I. Sulaymonov2, M. Xudoyqulova3

Ushbu maqolada Hadamard ma'nosidagi kasr tartibli subdiffuziya tenglamasi uchun Koshi masalasida tenglamaning o'ng tomonini topish bo'yicha teskari masalaning

Kalitso'zlar: Hadamard kasr tartibli hosilasi, Mittag-Leffler funksiyasi, operator.

Kirish. So'nggi yillarda fizika, biologiya va texnika fanlarida kasr tartibli tenglamalarining qo'llanilishi tufayli ularni o'rganishga bo'lgan qiziqish katta sezilarli darajada ortdi. Kasr tartibli tenglamalar ko'plab matematiklar tomonidan o'rganilgan. Bu haqda ko'proq ma'lumotni ishlarda topish mumkin ([1] - [4])

Faraz qilaylik, H separabel Hilbert fazosi bo'lsin. H da skalyar ko'paytmani (•, •)

orqali, normani esa || • || kabi belgilaymiz. A:H ^H chegaralanmagan, o'z-o'ziga qo'shma, musbat aniqlangan ixtiyoriy operator bo'lsin. Shu bilan birga A operatorning teskarisi mavjud va kompakt operator bo'lsin. Aytaylik, H fazodagi {v^ | to'la

ortanormal sistema A operatorning (A^} sanoqli musbat xos sonlariga mos xos funksiyalari bo'lsin. Qulaylik uchun {X^ | xos sonlar ketma - ketligi limit nuqtaga ega emas va qayta nomerlash orqali 0<X<X••• ko'rinishda yozib olamiz.

C((a,b);H) orqali qiymatlari H da yotuvchi te(a,b) oraliqda uzluksiz u(t) funksiyalar to'plamini belgilaylik.

Aytaylik, ß = x— va n — 1 <X< n bo'lsin. Hadamardning X - kasr dx

tartibli hosilasi deb quyidagiga ifodaga aytiladi:

S X n x / \n—X+1

Cn—(V(x))-(x±) ^J*(I) ^ (a<X<b). (11)

Aytaylik, 0 <x < 1 bo'lsin. Quyidagi Koshi masalasini qaraylik:

D(u(t) + Au(t) = f. t > 1

lim I" 1u(t) = p,

Li о

(1.2)

bu yerda p, f eH .

Ta'rif. Ushbu D"u(t), Au(t) e C((1,да);Н) va (1.2) shartni qanoatlantiruvchi

(ln t)l~a • u(t) e C((1,да);H) funksiyaga (1.2) masalaning yechimi deyiladi.

Ushbu maqolada (1.2) tenglamaning o'ng tomonini topish bo'yicha teskari masalani o'rganamiz. Albatda buning uchun bizga qo'shimcha shart kerak bo'ladi. Biz qo'shimcha shart sifatida quyidagi shartni olamiz:

u(t) = t > 1, fiksirlangan nuqta. (1.3)

1Fayziev Yusuf - O'zbekiston Milliy universiteti Differensial tenglama va matematik fizika tenglamasi kafedrasi dotsenti.

2Sulaymonov Ilyosxo'ja - O'zbekiston Milliy universiteti 4-bosqich talabasi.

3Xudoyqulova Muattar - O'zbekiston Milliy universiteti 4-bosqich talabasi.

Eslatib o'tamiz, xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun to'g'ri va teskari masalalarni yechishga oid ma'lumotlar bilan [4] ishida tanishish mumkin. Kasr tartibli subdiffusiya va to'lqin tenglamalarda tenglamaning o'ng tomonini va vaqt bo'yicha hosilaning tartibini aniqlash masalalari bilan [5] - [9] ishlarda tanishish mumkin.

Manba funksiyasini aniqlash bo'yicha teskari masala

Ushbu bo'limda biz tenglamaning o'ng tomonini topish bo'yicha teskari masalani o'rganamiz.

Buning uchun avval Mittag-Leffler funksiyasining keyinchalik bizga kerak bo'ladigan ba'zi xossalarini eslatib o'tamiz. E (z) bilan ikki parametrli Mittag-Leffler funksiyasini belgilaymiz:

n

z__(2.1)

EpA z )= Z

=0 r (pn + ¡)

Bizga Mittag-Leffler funksiyasi uchun ba'zi baholashlar kerak. Yetarlicha katta t uchun asimptotik baho mavjud ( [1], p. 75 , [3], p. 13)

E

1

p,p+1(-t) = 111 + O. t

va ixtiyoriy kompleks son S uchun

C

0<\Ep,s(-t)\<—, t >0.

Bizga quyidagi teskari masala berilgan bo'lsin

Dfu(t) + Au(t) = f, t > 1

lim I"~lu(t) = p t ^1+0

(2.2)

(2.3)

(2.4)

va biz quyidagicha shart kiritamiz

u(r) = 1 < t < T (2.5)

biz bilmagan element f e H, issiqlik manbalarini tavsiflovchi p e H elementlar va

T > 1 o'zgarmas son.

Ta'rif. (2.4) tenglamada |u(t),f} noma'lum funksilayar u(t) e C((1,T];H) va

f e H bilan Au(t) e C((1,T];H) va (2.4) va (2.5) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimga teskari masala deyiladi.

Teorema 1. iy,pe D(A) bo'lsin. U holda (2.4) va (2.5) teskari masalani qanoatlantiruvchi (t), f j yagona yechim bo'ladi va bu yechim quyidagi ko'rinishda

u(t ) = Z p (In t)"-1 Ea^(-xk (ln t )a) + fk (ln t)a Ea^+1(-Xk (ln t)a) yk

k=1

va

va

fk =

Wk__Pk (ln t)"-1 Eag(-Xk (ln tf)

(ln t )a Eaa 1 (-4 (ln t )a ) (ln t )a Eaa 1 (-4 (ln t )a )

ff

k=1

^__Pk (ln t )a-1 Ea,a(-4 (ln t )a)

(ln t)a Ea,a+1 ("4 (ln t)a) (ln t)a Ea,a+1 ("4 (ln t)a)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Isbot. Yuqorida takidlaganimizdek f noma'lum funksiya t o'zgaruvchiga bog'liq bo'lmagan. Agar biz f funksiyani ma'lum qilib to'g'ri masalani yechsak, u holda

(2.4) masala (2.6) ko'rinishdagi yechimga ega bo'ladi. Endi (2.5) shartdan foydalanadigan bo'lsak,

u(r) = fJ(pk (lnr)a-1 Ea,a(-4 (lnr)a) + fk (lnr)a Ea,a+1(-4 (lnr)a) }k =W '

k=1

W^ ni ham Furye koeffitsientlari bo'yicha yoysak, u holda

S(u (lnr)«"1 Ea^(-2k(lnr)a) + fk(lnr)aEa^a+1(-Ak(hnr)a))vk = ^Wkvk k=1 k=1

U (lnr)a-1 Ea,a(-^k (lnr)a) + fk (lnr)a Ea^^ 0^) = { ga ega bo'ldik. Bundan fk ni topamiz.

fk =-

Wk

U (lnr)a-1 Ea,a(-2A (lnr)a)

(ln^)a Eaa 1 (-2, (lnr)a) (lnr)a E„,„+1 (-2, (lnr)a) Qulaylik uchun ba'zi belgilashlarni kiritamiz

{ U (lnrf-1 Ea,a (lnr)a)

f =_jk_- f =--a-.

kl (lnr)aEa,a+1 (-2k(lnr)a) 2 (^^+1 (-\ (lnr)a)

Bu tengliklardan quyidagi tenglikka ega bo'lamiz:

Wk__U (lnT)a-1 Ea,a (-2k On')") (2.9)

k (lnr)a Eaa+1 (-2, (lnr)a) (lnr)a Eaa+1 (-2, (lnr)a) k1 +k2 f funksiyaning Furye koeffetsientlari (2.9) tenglik bilan aniqlangani uchun va j

sistemaning to'laligidan f noma'lum funksiya uchun (2.8) formal yechimga ega bo'lamiz:

U (lnr)a_1 Eaa(-2k (lnr)a)~

f = S k=1

Wk

(lnr)aEaa+1 {-2k(lnr)a) (lnr)aE^+1 {-¿k(lnr)a)

S [ + fk2

V =

(2.8) qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ko'rsataylik. Buning uchun (2.8) qatorning qismiy yig'indisini Fn bilan belgilaylik.

U (lnr)a-1 Ea,a(-2 (lnrf)

K = S

k=1

Wk

(ln r)a Eaa+1 (-2k (ln r)a ) (ln r)a Eaa+1 (-2k (ln r)a )

(2.10)

U holda Parseval tengligini qo'llab, quyidagi baholashga ega bo'lamiz

2 n r ~\2 n _ n

n

~n 2 n n

\Fn\ | = Sf + fk2 ] < C S fk2 + C S fk2 = CMlB + CM 2, n (2.11)

k=1 k=1 k=1 Bu yerda C > 0. Endi (2.11) baholashdagi har bir qo'shiluvchini baholab chiqaylik.

M1, n < S

\Wk\

k=1

(lnr)aEa,a+1 (-2k (lnr)a)

2 '

Endi Mittag - Leffler funksiyasining (2.2) asimptotik bahosidan foydalanamiz.

i2

M1, n < S

\Wk\

k=1

(lnr)aE„:„+1 (-2k (lnr)a)

< C S

k=1

\Wk\

(lnr)a

(2k (lnr)a)-1 +o(2k (lnr)a)-

T2 I |2

2k \Wk\ k=1 f1 + o(2k (lnr)a)-1

< C S 2k \Wk |2 =C|\Wk||2

k=1

2

n

Endi M ni ham baholaylik buning uchun yuqorida ta'kidlagan baholashlarimizdan foydalanamiz.

M2, n < Е k=1

P (lnr)a-1 Ea

(lnr)a)

<E: k=1

(lnr)aEa,a+1 (-h (lnr)a) \p |2(lnr)2(a-1) Ea,a(-h (lnr)a)

<

(lnr)

2a

Ea,a+1 (-hk (lnr)a)

k |2(lnr)2(a-1)

<E-k=1 ,

1

1 + hk (ln r)°

<

(lnr)2a ((hk (lnr)a)-1 + О h (lnr)a)- 2

I |2 n \2a-2

\Pk\ (lnr)

n

-i- V

*=!(lnr)2a(hk (lnr)a)

hk2(lnr)2a

C

- 2

1 + О (h (lnr)a)-11 (lnr)2 k=1

Epk |2-

Bundan ko'rinib turibdiki (2.10) qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqdi. Demak, /funksiyaning mavjudligini isbotladik. Shunday qilib /noma'lum funksiya (2.8) qator bilan aniqlanishini topdik.

Endi yechimning yagonaligini ko'rsatamiz. Buning uchu standart usuldan foydalanamiz. Ya'ni yechimni ikkita deb faraz qilamiz: (t), f J va (t ), f J

Yechimning yagonaligini ko'rsatish uchun u(t) = щ (t) - u2 (t) = О va f = f - f = О

ekanligini ko'rsatish yetarli bo'ladi. Qaralayotgan masaladagi teorema va chegaraviy

shartlar chiziqli bo'lgani uchun u (t) va f larni aniqlashda quyidagi masalaga

kelamiz:

Dfu(t) + Au(t) = f, lim Ia1u(t) = О

t ^+О

t>1

(2.12) (2.13)

u(r) = О. (2.14)

Endi quyidagicha belgilash kiritamiz: u¿ (t) = |u(t),v¿ J va A operatorning o'z-o'ziga qo'shmaligidan quyidagi tenglik hosil bo'ladi:

Dauk (t ) = Da (u(t ), Vk ) = -( Au(t ), Vk ) + (f, Vk ) = -(u (t ), Avk ) + (f, v, )

— i

(u(t),hkvk ) + fk =-hk (u(tXvk ) + fk =-hkuk (t) + fk - (2.15)

(2.13) shartdan Koshi masalasiga kelamiz,

Dauk (t) + hkuk (t) = fk, t > 1, u (t) = О. Bu masalaning yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

uk (t) = fk (ln(r))aEa,a+1(-hk (ln(r))a) .

(2.14) dan foydalansak,

uk (r) = fk (ln(r))a Ea,a+1 ("h (ln(r))a ) = О.

(ln(r))aEa,a+1(-hk (ln(r))a) * О ekanligidan fk = О ekanligi kelib chiqadi barcha k > 1. ,

Shu sababdan biz щ (t) = О ga barcha k larda ega bo'lamiz. J sistemaning to'laligidan f = О va u (t) = О ekanligi kelib chiqdi. Ya'ni щ (t) = u2 (t) va f = f Teorema to'liq isbotlandi.

n

n

2

1

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Gorenflo R., Kilbas A. A., Mainardi F., Rogozin S. V.: Mittag-Leffler functions, related topics and applications, Springer (2014).

2. Anatoly A. Kilbas, Hari M. Srivastava, Juan J. Trujillo: Theory and Applications Fractional Differential Equations, North-Holland (2006).

3. Pskhu A.V.: Fractional partial differential equations, in Russian, M. NAUKA (2005).

4. Kabanikhin S.I.: Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications, De Gruyter (2011).

5. Liu, Y., Li, Z.; Yamamoto, M.; Inverse problems of determining sources of the fractional partial differential equations, Handbook of Fractional Calculus with Applications V. 2, J.A.T. Marchado Ed. DeGruyter, 2019; 411-430.

6. Ashurov R., Fayziev Yu.: Uniqueness and existence for inverse problem of determining an order of time-fractional derivative of subdiffusion equation. Lobachevskii journal of mathematics, V 42, N 3, (2021) 508-516.

7. Ashurov R., Fayziev Yu.: Inverse problem for determining the order of the fractional derivative in the wave equation. Mathematical Notes. 110:6, 2021, 824-836 (in Russian)

8. Zhang Y., Xu.X.: Inverse scource problem for a fractional differential equations //Inverse Prob. (2011). V.27.3.P.31-42.

9. Furati K.M., Iyiola O.S., Kirane M.: An inverse problem for a generalized fractional diffusion. //Applied Mathematics and Computation. (2014). V.249. P.24-31.

© Yu. Fayziev, I. Sulaymonov, M. Xudoyqulova, 2022.

Информация для авторов

Журнал «Ученый XXI века» выходит ежемесячно.

К публикации принимаются статьи студентов и магистрантов, которые желают опубликовать результаты своего исследования и представить их своим коллегам.

В редакцию журнала предоставляются в отдельных файлах по электронной почте следующие материалы:

1. Авторский оригинал статьи (на русском языке) в формате Word (версия 1997-2007).

Текст набирается шрифтом Times New Roman Cyr, кеглем 14 pt, с полуторным междустрочным интервалом. Отступы в начале абзаца - 0, 7 см, абзацы четко обозначены. Поля (в см): слева и сверху - 2, справа и снизу - 1, 5.

Структура текста:

• Сведения об авторе/авторах: имя, отчество, фамилия.

• Название статьи.

• Аннотация статьи (3-5 строчек).

• Ключевые слова по содержанию статьи (6-8 слов) размещаются после аннотации.

• Основной текст статьи.

Страницы не нумеруются!

Объем статьи - не ограничивается.

В названии файла необходимо указать фамилию, инициалы автора (первого соавтора). Например, Иванов И.В. статья.

Статья может содержать любое количество иллюстративного материала. Рисунки предоставляются в тексте статьи и обязательно в отдельном файле в формате TIFF/JPG разрешением не менее 300 dpi.

Под каждым рисунком обязательно должно быть название.

Весь иллюстративный материал выполняется оттенками черного и серого цветов.

Формулы выполняются во встроенном редакторе формул Microsoft

Word.

2. Сведения об авторе (авторах) (заполняются на каждого из авторов и высылаются в одном файле):

• имя, отчество, фамилия (полностью),

• место работы (учебы), занимаемая должность,

• сфера научных интересов,

• адрес (с почтовым индексом), на который можно выслать авторский экземпляр журнала,

• адрес электронной почты,

• контактный телефон,

• название рубрики, в которую необходимо включить публикацию,

• необходимое количество экземпляров журнала.

В названии файла необходимо указать фамилию, инициалы автора (первого соавтора). Например, Иванов И.В. сведения.

Адрес для направления статей и сведений об авторе: [email protected] Мы ждем Ваших статей! Удачи!