Групповое ранжирование на основе медианы Кемени с метрическими свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.816

ГРУППОВОЕ РАНЖИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МЕДИАНЫ КЕМЕНИ С МЕТРИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

С. Д. Двоенко, Д.О. Пшеничный, А.В. Попов

Разработана процедура коррекции матрицы штрафов для построения метрической медианы Кемени, совпадающей со средним элементом данного множества ранжирований.

Ключевые слова: метрика, ранжирование, медиана, парадокс Кондорсе, парадокс Эрроу, правило большинства.

При согласовании экспертных мнений строится ранжирование, наименее отличающееся от экспертных ранжирований и имеющее смысл группового мнения. Широко известным способом согласования является медиана Кемени. Медиана Кемени является эквивалентом среднего в порядковых шкалах и не имеет ряда недостатков других известных методов согласования мнений (парадоксы Кондорсе, Эрроу).

Известный локально-оптимальный алгоритм построения медианы Кемени основан на представлении ранжирований бинарными матрицами отношений, вычислении расстояний между ними и вычислении матрицы штрафов. Ранжирования, представленные парными расстояниями, оказываются погруженными в метрическое пространство, что позволяет вычислить их центр как среднее арифметическое. Такой элемент также является ранжированием, но не представлен явно, как медиана.

1. Задача группового ранжирования

Задача выбора заключается в определении элементов множества альтернатив, которые оказываются наилучшими в некотором смысле. Как известно, наилучший выбор часто трудно обосновать. Поэтому на практике привлекают экспертов для оценки альтернатив и опираются на их индивидуальные мнения. Если эксперт успешно определили наилучшую альтернативу, то он обычно может также определить наилучшую из оставшихся и т.д. Результатом является упорядочение альтернатив по степени предпочтения данного эксперта, т.е. ранжирование.

Пусть A = {^1,...а^} - множество альтернатив, перенумерованное после упорядочения их экспертом. Следовательно, множество А представлено строгим Р = а^у ...у а^г или нестрогим Р= а^ > aN ранжированиями. В последнем случае эксперт не различает строго некоторые альтернативы, допуская в общем случае, что он одинаково предпочитает некоторые из них.

Ранжирование означает, что для всех пар может быть указано, какая альтернатива не хуже другой в паре. Важно отметить, что обратное в общем случае неверно. Восстановление ранжирования на основе парных сравнений является отдельной задачей, которая здесь не рассматривается.

11

Ранжирование P обычно удобно представить матрицей отношений

mj

1, üj f aj 0, üj = üj

-1, а^ Р ау .

Расстояние между двумя ранжированиями Ри и Ру, представленными матрицами отношений Мр и Мр , в предположении, что элементы из А в них проиндексированы одинаково, вычисляется [1, 2] как

1 N N

d(Pu, Pv) =1 EEimU _ mjj |. (1)

2 j=1j=1

Пусть дано n индивидуальных ранжирований Pi,... Pn. Нужно построить групповое ранжирование P, согласованное с ними. Известно, что существуют различные принципы согласования. Если нет ограничений, то может быть применен любой принцип.

Наиболее известным принципом является правило большинства [3]. Пусть для всякой пары альтернатив известно предпочтение üj f üj. Тогда

величина n(i, j) = Xn=l(mj/ = 1) определяет число ранжирований, где эксперты высказали такое предпочтение. Известная формулировка правила большинства имеет вид: если n(i, j) > n( j, i), то üj f üj в групповом ранжировании. Для строгих предпочтений правило большинства имеет вид n(j, j) > n / 2. В общем случае отношение предпочтения по правилу большинства оказывается нетранзитивным, даже если все индивидуальные предпочтения транзитивны. Медианой P * является ранжирование, наименее удаленное от всех остальных ранжирований

n

P* = arg min X d(P, Pu). (2)

P u=1

Можно показать, что транзитивное бинарное отношение большинства (или приведенное к такому виду) является медианой, в частности, медианой Кемени для ранжирований.

Существуют различные алгоритмы построения медианы Кемени. Задача нахождения медианы в общем случае является задачей дискретной оптимизации. Известный локально-оптимальный алгоритм построения медианы Кемени [2] основан на вычислении матрицы штрафов Q( N, N) для N альтернатив. Пусть некоторое ранжирование P и ранжирования экспертов P1,...Pn представлены матрицами отношений Mp и Mp^,...Mp . Определим суммарное расстояние от P до остальных ранжирований n 1 n N N 1 NN n

Xd(p,Pu)=— x X Ximj-mji= -X X Xdj(p,Pu),

u =1 2 u =1j =1 j=1 2 j=1 j=1u =1

12

где частичные расстояния при условии mij = 1 определены как

dlJ (Р, Pu ) =

Ч

О, ти = 1

и

1, тЧч=о (3)

2, тиг] =-1.

Элемент qiJ матрицы штрафов определяет общие потери на несовпадение предпочтения щ ^ а4 в неизвестном ранжировании Р по сравнению с

предпочтениями в ранжированиях Р1,... Рп:

п

= I dlJ (Р, Ри). (4)

и=1

Алгоритм построения медианы Кемени находит упорядочение альтернатив с минимальной суммой элементов над главной диагональю матрицы штрафов Q .

2. Погружение ранжирований в метрическое пространство

Подсчитав расстояния (1) и представив их матрицей 0(п, п), мы

погружаем ранжирования Р1,...Рп как неупорядоченное множество элементов (точек) в некоторое метрическое пространство. Если в конфигурации точек нет нарушений, то известно, скалярные произведения векторов точек данного множества относительно какого-нибудь начала координат образуют положительно определенную матрицу 5(п, п). Т.к. расположение начала координат не имеет значения, то, в соответствии с методом главных проекций Торгерсона [4], удобно поместить начало координат в центр данного множества. Обозначим его как элемент Ро и представим своими расстояниями до остальных элементов множества

2 2 1 п 2 1 п п 2

d2(Ро, Р) = do2i = - I d}p--- I I d2pq, I = 1,... п . (5)

пр=1 2п р=1q=1

Можно показать, что выражение (5) представляет среднее арифметическое множества элементов в евклидовом пространстве на основе парных расстояний между элементами данного множества. Это выражение эффективно применяется для разработки новых алгоритмов кластер-анализа на основе матриц расстояний или близостей [5].

Легко увидеть, что второе слагаемое в выражении (5) является дисперсией множества

2 1 п 2 1 п а2 = 11 d 2( РО, Рг) = 11

п I=1 п I=1

/

1 п 2 1 п п 2

_ 1 dlp 2 1 1 dpq ч пр=1 2п р=1q=1 у

1 п п 2

Т 1 1 dpq

2п р=1 q=1

С другой стороны, можно заметить, что частичные расстояния (3) достаточно искусственны. Поэтому применение расстояний (5) по отношению к ранжированиям обычно приводит к нарушениям конфигурации

13

множества ранжирований в метрическом пространстве. Из-за этого расстояния (5) в общем случае не могут быть вычислены, т.к. второе слагаемое в (5) может превысить первое слагаемое. Это приводит к появлению комплексных расстояний. Методы устранения метрических нарушений разработаны в [6, 7].

3. Коррекция частичных расстояний в матрицах отношений

По свойству среднего арифметического центральный элемент P0,

как и медиана Р *, наименее удален от остальных элементов данного множества и должен удовлетворять (2), являясь ранжированием. Тем не менее, медиана P * представлена своими расстояниями (1) и ранжированием, но центральный элемент P0 представлен только расстояниями (5), а как ранжирование не существует. Но тогда такие ранжирования должны совпадать P* = Po. Если P* = Ро, то мы можем разрабатывать математически корректные алгоритмы кластер анализа и машинного обучения (machine learning) для порядковых шкал на основе парных сравнений [5].

Как известно, строгие и нестрогие ранжирования являются измерениями в шкалах порядка. Для шкал данного типа допустимым являются монотонные преобразования, когда альтернативы перемещаются вдоль числовой оси, не изменяя общей упорядоченности всего множества на ней. В данном случае центр Ро и ранжирование Р * представлены каждый своими расстояниями до остальных элементов Pi,... Pn. Если это одно и то же ранжирование P* = Po, то можно подобрать такое монотонное преобразование, что расстояния до остальных элементов окажутся одинаковыми. Применим для этого алгоритм Кемени.

Пусть даны ранжирования Pu,P*,Po. Определим величину различия 5 = d(Po, Pu) - d(P*, Pu) Ф 0. Пусть 5> 0. Чтобы компенсировать это различие, необходимо равномерно распределить 5 > 0 между всеми ненулевыми элементами матрицы отношений Mp и вычислить новую матрицу

отношений с элементами

u ту

+1 + 25 / k, a f Oj

0, Oj = Oj -1 - 25 / k, Oj P Oj ,

2

где к = N - N - N0 - общее число ненулевых элементов без главной диагонали, N0 - число нулевых недиагональных элементов ту = 0. Очевидно,

что новая матрица отношений не изменит ранжирования эксперта Ри (мы не имеем права его изменять). Для коррекции берется удвоенная величина 25 / к, т.к. в (1) все различия вычисляются дважды. Корректируются только ненулевые элементы матрицы отношений, т.к. нулевой элемент указы-

14

вает на неразличимость экспертом пары альтернатив. В итоге, расстояние между модифицированной медианой и экспертным ранжированием возрастает, компенсируя 5 > О.

В этом случае для элемента ту = 1 предпочтение аг у а4 в неизвестном ранжировании Р штрафуется экспертным ранжированием Ри с формированием новых частичных расстояний

dlJ (Р, Ри ) =

25 / к, ти =+1 + 25 / к 1, ти = О 2 + 25/к, ти =-1 -25/к.

Пусть 5 < О. Чтобы компенсировать это различие, нужно также равномерно распределить величину 5 < О между ненулевыми элементами матрицы отношений Мр . Число таких элементов к'= к -Ак уменьшено

А 7 и *

на величину Ак, которое определено числом совпадающих ту = ту элементов в матрицах отношений экспертного ранжирования и медианы. Действительно, в этом случае частичное расстояние dlj (Р*, Ри) = О и не может

быть уменьшено, т.к. ту < О только увеличит расстояние между Ри и Р *.

Пусть -1 <25/к<О. Чтобы экспертное ранжирование Ри не изменилось, необходимо вычислить новую матрицу отношений Мр с элементами

+1-1 25 / к' |, аг у аЧ О, а г = ач -1+1 25/ к' |, аг р ач

* и *

тЧ, тч = т у .

Для элемента ту = 1 предпочтение аг у а4 в неизвестном ранжировании Р штрафуется экспертным ранжированием Ри с формированием новых частичных расстояний

о, ти=1

т

и У

diJ (Р, Ри)

1, ™У} = О

2, ти =-1

| 25 / к |, тЧ = +1-125 / к |

2-1 25/ к|, тЧ = -1+1 25/к'|. 15

Очевидно, что в случае 25 / к '<-1 знаки некоторых элементов ту

изменятся на противоположные. Но тогда необходимо изменить экспертное ранжирование Ри. Т.к. мы этого сделать не можем, то придется изменить медиану Р *. Следовательно, элемент Ро как ранжирование отличается от ранжирования Р *. В итоге, нужно определить другую медиану Р *, которая более подходит для представления элемента Ро.

Пусть -2 < 25 / к'<-1. Нужно вычислить новую матрицу отношений Мр* с элементами

+1-1 25 / к' |, ау у ау

т

У

0, щ = а у

-1+1 25/ к' |, щ р а

и и

ту, ту

т

У •

Для элемента ту = 1 предпочтение ау у ау в неизвестном ранжировании Р штрафуется ранжированием Р * с формированием новых частичных расстояний

* 1

йу (Р, Р*) =

Л *

0 ту

*

1, ту -

*

2, ту --

0

1

| 25/к'|, т*у =+1-1 25/к'|

2-1 25 / к' |, т*у = -1+1 25 / к' |.

Пусть 25 / к' < -2. Тогда 25 / к' + 2 < 0. Сначала распределим между к' ненулевыми элементами, как выше, только величину -2. Следовательно, нужно вычислить новую матрицу отношений М Р* с элементами

*

т* =

+1

2, ау у а у

1 + 2, ау р а у

0 ау

а

у

и

т

У

и* ту, ту = ту.

Можно увидеть, что все предпочтения для ненулевых элементов ±1 изменились на противоположные. Далее распределим отрицательный остаток (25 / к' + 2)к' = 25 + 2к' < 0 между теми же к' ненулевыми элементами матрицы отношений для ранжирования Р * . Пусть -1 < 25 / к + 2 < 0 . В этом случае распределение такого остатка уже не из-

менит нового ранжирования Р *. Следовательно, нужно вычислить новую матрицу отношений Мр* с предпочтениями щ у ау, которые были изменены на противоположные а| р ау (и наоборот) для ненулевых т* ± 1 эле-

ментов

*

т* =

+1-128/ к + 21, щ у а у -1+128/ к + 21, щ р ау

0, аI = аj

и и

ту, ту

т

У

где для элемента ту = 1 предпочтение а| у ау в неизвестном ранжировании Р штрафуется ранжированием Р * с формированием новых частичных расстояний

0 ту =1

1 ту = 0

йу (Р, Р*) =

2, ту =-1

|28 / к + 21, ту =+1-128 / к + 2| 2-128/к + 2 |,ту =-1+128/к + 2|.

Можно заметить, что во всех случаях 28 / к' £-1 коррекции матрицы отношений М Р* само ранжирование Р* изменяется и оказывается уже другой медианой, которая соответствует центру Р0 .

В общем случае 25 / к <-1 С |, где -1 С | -1 < 25 / к <-1 С |. Сначала, как показано выше, определим новую матрицу отношений М Р* с элементами

+1-1 С |, а^ у ау -1+1 С |, а^ р ау

у

тУ =

0, а^ = а у

и и

ту, ту

т

У

потом вычислим новую матрицу отношений М Р* с предпочтениями а^ у ау, которые изменены на противоположные а^ р а у (и наоборот) для

ненулевых ту ± 1 элементов

т

V

-1+1 C | - 28 / V+ | C | ai У aj +1-1 C | + | 28/1 C | ау р aj

0, ау = а j

и и ту , Щу

■ т

У

где для элемента ту = 1 предпочтение ау у aj в неизвестном ранжировании Р штрафуется ранжированием Р * с формированием новых частичных расстояний

аи (р, Р*)

0 ту

1 *

1, т*у

-1 0

2, т*у =-1

2-1 С | +1 28 / £'+|С|| |, щ у ау

|С | -1 28 / £'+|С||, ау р

а

у •

4. Вычисление матрицы штрафов

Согласно (4), для вычисления матрицы штрафов Ы, Ы) необходимо использовать модифицированные матрицы отношений для соответствующих экспертных ранжирований Р1,...Рп или модифицированную матрицу отношений для измененного ранжирования Р * вместо соответствующего неизмененного ранжирования эксперта.

Следует отметить, что неразличимые альтернативы в медиане могут быть естественным следствием дискретного характера матрицы штрафов. Можно уменьшить число неразличимых альтернатив в метрической медиане Кемени, т.к. ее матрица штрафов в общем случае имеет непрерывные значения элементов. Процедура пошаговых преобразований медианы Кемени после коррекций индивидуальных экспертных ранжирований для получения метрической медианы имеет вид:

Шаг 0.

1. Вычислить центральный элемент Ро и медиану Кемени Р * для ранжирований Р1,... Рп.

*

2. Вычислить расстояния d(Р , Ру), г = 1,... п.

3. Вычислить различия 8у = d(Ро, Р) - d(Р*, Р), г = 1,... п.

4. и = 1.

Шаг и. Коррекция индивидуальных экспертных ранжирований.

1. Модифицировать индивидуальную матрицу отношений Мр для

различия 8и. Матрицы отношений Мр, , у = 1,... и уже модифицированы, а Мр, , у = и +1,... п - еще нет.

2. Вычислить модифицированную матрицу штрафов Qu.

3. Вычислить медиану Pu и расстояния d(Pu , P\), i = 1,... n.

4. Вычислить различия di = d(Pq , Pi) - d(Pu , Pi), i = 1,... n.

5. Если u < n, то продолжить u = u +1, иначе: стоп, Pq = P*- мет-

*

рическая медиана Кемени, Pq = Pq .

5. Эксперименты

Исходные данные. Известные экспертные организации, такие как Consumer Reports, J.D.Power, Auto Express, TUV Rheinland и др. публикуют ежегодные обзоры и результаты тестирования различной продукции, например легковых автомобилей. Обычно это - частично пересекающиеся списки различных моделей автомобилей. В данной работе представлен сборный список автомобилей премиум-класса (Табл.1), которые присутствовали одновременно в 2015-16 годах в списках организаций, указанных выше. В табл.1 для номеров альтернатив используется код из двух цифр, чтобы отличать их от позиций в ранжировании.

Таким образом, рейтинг автомобилей в данном списке не является абсолютным. Например, первое место здесь не обязательно соответствует такому же месту в соответствующем исходном списке, т.к. другие автомобили из него здесь не представлены. Второе место также не обязательно является вторым в соответствующем исходном списке и т.д. Наконец, эксперты (указанные выше организации) перечислены в табл.1 в произвольном порядке. Медиана Кемени построена на основе матрицы штрафов

0 1 02

03

04

05

06

07

08

09

10 11 12

0 4 6 6 8 8 8 8 8 8 8 8

4 0 6 6 4 6 4 8 6 8 8 8

2 2 0 4 6 6 6 8 6 8 8 8

2 2 4 0 4 6 4 8 6 8 8 8

0 4 2 4 0 6 4 6 6 6 8 8

0 2 2 2 2 0 4 6 6 8 8 6

0 4 2 4 4 4 0 4 2 4 4 4

0 0 0 0 2 2 4 0 6 4 6 8

0 2 2 2 2 2 6 2 0 4 4 4

0 0 0 0 2 0 4 4 4 0 4 6

0 0 0 0 0 0 4 2 4 4 0 4

0 0 0 0 0 2 4 0 4 2 4 0

и представлена в табл.1 как ранжирование Р * . В этом ранжировании первая группа неразличимых альтернатив 09 и 10 занимает одну позицию и имеет стандартный ранг 8.5. Вторая группа неразличимых альтернатив 07, 11 и 12 занимает позицию 11 и имеет стандартный ранг 11.

19

Таблица 1

Рейтинги автомобилей

Код Модель Ранжирования экспертов p * P0* P* P* P* P4*

01 Porsche 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1

02 Lexus 1 1 6 6 2 2 2 2 2 2

03 Toyota 4 3 2 7 3 3 3 3 3 3

04 Buick 3 2 5 8 4 4 4 4 4 4

05 Chevrolet 6 7 4 4 5 5 5 5 5 5

06 Linkoln 8 5 7 5 6 6 6 6 6 6

07 BMW 12 12 3 3 11 12 11 11 12 12

08 GMC 5 8 8 11 7 7 7 7 7 7

09 Infiniti 11 11 9 2 8.5 9 8 8 9 8

10 M-Benz 10 6 11 9 8.5 8 9 9 8 9

11 Audi 9 10 10 10 11 11 11 11 11 11

12 Acura 7 9 12 12 11 10 11 11 10 10

Построение медианы Кемени. Экспертные ранжирования как точки, помещенные в евклидово пространство, образуют правильную конфигурацию, т.к. матрица парных расстояний между ранжированиями не имеет метрических нарушений. Парные расстояния между экспертными ранжированиями, медианой Кемени и центральным элементом образуют матрицу (6), где расстояние между медианой и центральным элементом не вычислялось

(6)

1 f 0 20 46 68 22 29.228 ^

2 20 0 50 64 22 28.605

3 46 50 0 34 28 22.633

4 68 64 34 0 46 39.221

p * 22 22 28 46 0 -

P0 v 29.228 28.605 22.633 39.221 - 0 J

Различия 5 в расстояниях между каждым экспертным ранжированием Ри и центральным элементом Р0 и между каждым экспертным ранжированием и медианой Р * показаны в табл. 2.

Таблица 2

_Коррекция матриц отношений для ранжирований экспертов_

P

*

P

о

Различие 5

Число изменяемых элементов к

Среднее 25 / к

22 22 28 46

29.228 28.605 22.633 39.221

+7.228 +6.605 -5.367 -6.779

132 132 32 50

+0.10951 +0.10008 -0.33544 -0.27118

Согласно табл. 2 все коррекции ненулевых элементов в матрицах

отношений не изменят их знак и, следовательно, не изменят ранжирований

*

экспертов. После коррекций метрическая медиана Кемени (Ро в табл. 1) вычисляется на основе модифицированной матрицы штрафов

01 Г 0 4 .21 2 .21 2 .21 0 .21 0 .21 0 .21 0 .21 0 .21 0 .21 0 .21 0 .21

02 4 .21 0 1. 87 1. 87 3 .60 1 94 3 .60 0 .21 1 94 0 .21 0 .21 0 .21

03 6 .21 6 55 0 4 .21 1 94 1 94 1 .94 0 .21 1 94 0 .21 0 .21 0 .21

04 6 .21 6 .55 4 .21 0 3 .60 1 94 3 .60 0 .21 1 94 0 .21 0 .21 0 .21

05 8 .21 4 82 6 .48 4 82 0 2 .21 3 .60 2 .21 1 94 2 .21 0 .21 0 .21

06 8 .21 6 .48 6 .48 6 .48 6 .21 0 3 .60 2 .21 1 94 0 .21 0 .21 2 .21

07 8 .21 4 82 6 .48 4 82 4 .82 4 .82 0 4 .82 6 .55 4 .82 4 .82 4 .82

08 8 .21 8 21 8 .21 8 21 6 .21 6 .21 3 .60 0 1 94 3 .94 1. 94 0 .21

09 8 .21 6 .48 6 .48 6 .48 6 .48 6 .48 1 .87 6 .48 0 4 .82 4 .22 4 .21

10 8 .21 8 21 8 .21 8 21 6 .21 8 .21 3 .60 4 .48 3 .60 0 3 .87 2 .21

11 8 .21 8 21 8 .21 8 21 8 .21 8 .21 3 .60 6 .48 4 .21 4 .55 0 4 .82

12 V 8 .21 8 21 8 .21 8 21 8 .21 6 .21 3 .60 8 .21 4 .21 6 .21 3 .60 0

Результаты. Как оказалось, в построенной метрической медиане

*

Кемени (Ро в табл. 1) все альтернативы различимы. Как отмечено выше, матрица штрафов для метрической медианы не имеет дискретного характера. В данном случае метрическая медиана не изменяет классическую медиану Р *, но делает данное бинарное отношение более выраженным

*

(табл. 3), формально оказываясь другим бинарным отношением Р0 . Следовательно, это ранжирование представляет центральный элемент Ро = Ро .

Рассмотрим пошаговые преобразования медианы Кемени Р *, чтобы показать изменения между Р * и Р*. В соответствии с процедурой, описанной выше, для устранения различия 81 относительно ранжирования первого эксперта (табл.2) вычисляется матрица штрафов О:

01 Г 0 4 .11 2 .1 1 2 .11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 .11 0 11 0 1 1 0 111

02 4 .1 1 0 2 .1 1 2 .11 4 11 2 .11 4 11 0 11 2 .11 0 11 0 1 1 0 11

03 6.11 6 .11 0 4 .11 2 11 2 .11 2 11 0 11 2 .11 0 11 0 1 1 0 11

04 6.11 6 11 4 .1 1 0 4 11 2 .11 4 11 0 11 2 .11 0 11 0 .1 1 0 11

05 8.11 4 .11 6 11 4 .11 0 2 .11 4 11 2 .11 2 .11 2 11 0 1 1 0 11

06 8.11 6 .11 6 11 6 11 6 11 0 4 11 2 .11 2 .11 0 11 0 1 1 2 11

07 8.11 4 .11 6 11 4 .11 4 11 4 .11 0 4 .11 6 .11 4 11 4 .11 4 11

08 8.11 8 11 8 11 8 11 6 11 6 11 4 11 0 2 .11 4 11 2 .11 0 11

09 8.11 6 .11 6 11 6 11 6 11 6 11 2 11 6 11 0 4 11 4 .11 4 11

10 8.11 8 11 8 11 8 11 6 11 8 11 4 11 4 .11 4 .11 0 4 .11 2 11

11 8.11 8 11 8 11 8 11 8 11 8 11 4 11 6 11 4 .11 4 11 0 4 11

12 ч 8.11 8 11 8 11 8 11 8 11 6 11 4 11 8 11 4 .11 6 11 4 .11 0 ,

Другие матрицы штрафов 0и для устранения различий 8и относительно других экспертных ранжирований Ри вычисляются аналогично. Наконец, последняя матрица штрафов 0п является матрицей штрафов для метрической медианы Кемени 0 = 0п. Все ранжирования показаны в табл. 3.

Л

Таблица 3

Ранжирования автомобилей

рвнжиХ. |РИИ:М|]|Н Ч 1 2 3 4 ;> 6 7 8 9 10 11 12

Г* 01 02 03 04 05 > 06 У 08 У 09 10 >- 07 ."V 11 12

4 01 02 03 04 £ 05 06 У 03 У 10 У 00 у 12 >- и 07

р* 01 02 03 >- 04 05 >- 06 У 08 V 09 У 10 У 07 Л/ 11 12

01 02 03 04 05 > 06 У 08 У 09 У 10 У 07 ."V 11 12

Ря 01 >■ 02 > 03 ь 04 - 05 > 06 у 08 10 У 09 у 12 п 07

й 01 У 02 У 03 04 05 06 >- 08 У 10 У 09 У 12 11 У 07

р 02 у 01 >- 04 У 03 08 V 05 12 У 06 11 У 10 ¡¡_ 09 ¡¡_ 07

Р2 02 у 04 У 03 У 01 06 У 10 05 У 03 12 У И 09 07

Р 01 у 03 У 07 у 05 04 02 у 06 у ОБ 09 У 11 >- 10 У 12

Р4 01 у 09 У С 7 05 06 02 03 04 У 10 11 08 12

Рассмотрим табл. 1 и 3. После модификации матрицы отношений первого эксперта (напомним, что ранжирование эксперта при этом не ме-

'К

няется) альтернативы 09 и 10 уже различаются медианой р , т.к. 09 ^ 10,

но альтернативы 07, 11 и 12 - еще нет. После модификации матриц отно-

*

шений первого и второго экспертов медиана р пока еще не отличается от

*

предыдущей р . Но после модификации матриц отношений трех экспер-

'К

тов медианой Р3 различаются все альтернативы, причем 10 ^ 09 .

Таким образом, все варианты модифицированной медианы Кемени

'К

с окончательным вариантом Р4 не изменяют ранжирования, которое определено классической медианой Кемени Р * (альтернативы не изменяют взаимного расположения в упорядочении). Все варианты лишь уточняют положение некоторых альтернатив, которые занимают соседние места. Но, конечно, полученные бинарные отношения формально отличаются.

В общем случае можно показать, что классическая и метрическая медианы Кемени не отличаются, если в классической медиане нет неразличимых альтернатив.

Рассмотрим экспертные ранжирования р,... Р4 (табл. 3). Можно заметить, что они распадаются на две группы: р, Р2 и Р3, Р4. В первой группе 10 ^ 09, и альтернатива 07 находится на последней позиции, т.е. 09 ^ 07 и 10 ^ 07 . Во второй группе представлено противоположное пред-

почтение 09 f 10, а альтернатива 07 находится в начале упорядочения на третьей позиции, т.е. 07 f 09 и 07 f 10. В итоге, в матрице расстояний (6) ранжирования в группах менее удалены друг от друга, чем ранжирования из разных групп.

Легко убедиться, что в медиане Кемени для двух противоположных ранжирований все альтернативы неразличимы. Как бинарное отношение, такое «упорядочение» расположено точно посередине между противоположными ранжированиями. Таким образом, появление неразличимых альтернатив в медиане Кемени говорит о наличии различных групп экспертных ранжирований (кластеров) с сильно отличающимися предпочтениями.

Неразличимые альтернативы в медиане являются результатом взаимных компенсаций расстояний (3) по матрице штрафов Q заметно противоположных по предпочтениям экспертных ранжирований. В итоге, чем больше экспертов, тем актуальнее становится проблема их кластеризации.

Таким образом, метрическая медиана Кемени оказывается корректным базисом, лежащим в основе следующей технологии. Будем применять алгоритм кластеризации, например ^-средних, в специальной математически корректной форме для множества альтернатив, представленных парными сравнениями [5], для разбиения экспертных ранжирований на кластеры. В итоге, получим представление в виде ранжирований их центров и получим представление о характере различий групповых мнений.

Отметим, что проблема кластеризации ранжирований становится актуальной в проблеме big data, когда необходимо согласовать большое число различных индивидуальных мнений, например, в медицинской диагностике и т.д.

Заключение

Центр множества ранжирований как арифметическое среднее данного множества элементов, тем не менее, не представлен собственно как ранжирование. В общем случае центральный элемент множества ранжирований отличается своими расстояниями от соответствующих расстояний классической медианы Кемени до остальных ранжирований.

В работе построена метрическая медиана Кемени, которая совпадает с арифметическим средним данного множества ранжирований. Метрическая медиана, как ранжирование, совпадает с классической медианой, если последняя математически корректна.

Метрическая медиана Кемени является корректным центром множества ранжирований. Поэтому на ее основе предложено исследовать известные проблемы теории принятия решений (групповое ранжирование, согласование экспертных мнений и т.д.) как задачу кластеризации в порядковых шкалах, применяя известный алгоритм ^-средних. Дальнейшие исследования направлены на уточнение окрестностей метрических медиан и границ между кластерами для данных в порядковых шкалах.

Данное исследование поддержано грантом РФФИ 17-07-00319.

Список литературы

1. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. М.: Сов. Радио, 1972. 192 с.

2. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. М.: Радио и связь, 1982. 184 с.

3. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974.

256 с.

4. Torgerson W.S. Theory and methods of scaling. N.Y.: John Wiley, 1958. 460 p.

5. Двоенко С.Д. Кластеризация множества, описанного парными расстояниями и близостями между его элементами // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. Т.12. №1. С.61-73.

6. Двоенко С.Д., Пшеничный Д.О. Устранение метрических нарушений в матрицах парных сравнений // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 2. С.96-104.

7. Двоенко С. Д., Пшеничный Д. О. О локализации отрицательных собственных значений в матрицах парных сравнений // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 2. С. 94-102.

Двоенко Сергей Данилович, д-р физ.-мат. наук, доц., проф., dsdatsu. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Пшеничный Денис Олегович, асп., denispshenichnyayandex.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Попов Александр Валериевич, студент, popov-alex. ruamail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

A GROUP RANKING BASED ON THE METRIC KEMENY'S MEDIAN S.D. Dvoenko, D.O. Pshenichny, A. V. Popov

The special procedure to modify the loss matrix of the Kemeny's median is developed. The new metric Kemeny's median coincides with the arithmetic mean of the given set of rankings.

Key words: metrics, ranking, median, Condorcetparadox, Arrow 's paradox, majority rule, pairwise comparison.

Dvoenko Sergey Danilovich, doctor of physic-mathematical science, docent, professor, dsd@,tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Denis Olegovich Pshenichny, postgraduate, denispshenichnya yandex.com, Russia, Tula, Tula State University,

Popov Aleksandr Valerievich, student, popov-alex. rua mail. ru, Russia, Tula, Tula State University