CC BY
5
2018 Математика и механика № 55
УДК 512.553+512.541 М8С: 19А49, 13Б15, 18Б30
Б01 10.17223/19988621/55/4
Е.А. Тимошенко
ГРУППА ГРОТЕНДИКА К0 ПРОИЗВОЛЬНОГО езр-КОЛЬЦА1
Доказывается критерий конечной порождённости проективного модуля над СБр-кольцом. Также показано, что группа Гротендика К0 всякого СБр-кольца есть свободная группа счётного ранга.
Ключевые слова: езр-колъцо, проективный модуль, группа Гротендика.
Цель настоящей работы - выяснить, как функтор К0 действует на СБр-кольца и на гомоморфизмы между ними. Для этого используются свойства проективных модулей над СБр-кольцами, установленные автором ранее.
Через Z будет обозначаться кольцо целых чисел. Символ ■ обозначает конец доказательства или его отсутствие.
Пусть Ь - некоторое бесконечное множество простых чисел. Для числа р е Ь зафиксируем кольцо Яр, совпадающее либо с кольцом целых р-адических чисел, либо с некоторым кольцом вычетов Z /pkZ (для разных р число к > 0 может быть разным). Обозначим
К = П Яр и Т = 0Яр с К ;
реЬ реЬ
ясно, что Т является идеалом кольца К.
Будем называть сър-колъцом каждое подкольцо Я кольца К, такое, что Т с Я и Я /Т является полем. Заметим, что мощность этого поля не превышает мощности континуума; из результатов статей [1-3] вытекает, что поле Я /Т может оказаться несчётным.
Если Ь совпадает с множеством всех простых чисел и каждое Яр есть кольцо целых р-адических чисел, а Я /Т изоморфно полю рациональных чисел, то соответствующее СБр-кольцо (оно определено однозначно) называют кольцом псевдо-рационалъных чисел. Это кольцо было независимо введено в работах Фомина [4] и Крылова, Пахомовой и Подберезиной [5] для исследования ряда важных классов смешанных абелевых групп (в частности, Бр-групп). Позже Крылов предложил рассматривать СБр-кольца (как обобщение кольца псевдорациональных чисел).
Кольцо Яр и его единичный элемент ер можно естественным образом отождествить с соответствующими идеалом и идемпотентом в кольце Я, в этом случае Яр = Яер. Можно заметить, что кольцо Яр допускает в точности одну модульную структуру как над самим собой, так и над кольцом Я; поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать все Яр как Я-модули, не оговаривая это дополнительно.
Напомним основные понятия, которые понадобятся в дальнейшем.
Определение. Пусть (Ф, +) - коммутативный моноид. Введём на множестве Ф х Ф отношение эквивалентности: положим п) ~ (ц, V) в том и только в том случае, когда + V + ^ = ц + п + С хотя бы для одного ^ е Ф. Далее, будем считать, что суммой класса эквивалентности, содержащего пару (§, п), и того класса экви-
1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России (госзадание № 1.12877.2018/12.1).
валентности, который содержит (ц, V), является класс, содержащий ( + ц, п + V). Относительно указанной операции множество всех классов эквивалентности пар из Ф х Ф образует группу, которая называется группой Гротендика моноида Ф.
Если Я - некоторое кольцо, то через К0(Я) обозначается группа Гротендика моноида классов изоморфных конечно порождённых проективных Я-модулей с операцией взятия прямой суммы (см. [6]).
Для описания группы К0 произвольного СБр-кольца Я нам потребуются некоторые дополнительные сведения. Как отмечено в [7], элемент кольца Я является идемпотентом тогда и только тогда, когда он совпадает с элементом вида
ех = X еР или 1 - еХ = 1 - X еР ,
реХ реХ
где X - конечное (возможно, пустое) подмножество множества Ь. В дальнейшем, используя обозначение еХ , мы будем автоматически полагать, что множество Х является конечным. В работе [7] также показано, что подмножество из Я будет идеалом в Я тогда и только тогда, когда оно совпадает с множеством одного из следующих двух типов:
з = ©зР; (1)
реЬ
3 = (1-ех)Я© (0./р), (2)
реХ
где - произвольные идеалы соответствующих колец Яр.
С помощью матриц и определителей с элементами из СБр-колец автором ранее была доказана
Теорема 1 [8]. Каждый проективный Я-модуль разлагается в прямую сумму подмодулей, изоморфных идеалам кольца Я. ■
Следующий факт для удобства приведём вместе с доказательством.
Предложение 2 [8]. Модуль МЯ проективен тогда и только тогда, когда
м = (©м.) © (©^), (3)
1е1 реЬ
где ¥р - некоторые свободные Яр-модули, а все Mi - некоторые идеалы кольца Я вида (1 - еХ)Я (множество X, вообще говоря, зависит от индекса . ).
Доказательство. Пусть М - проективный Я-модуль, тогда в силу теоремы 1 этот модуль будет изоморфен прямой сумме идеалов кольца Я, которые, как мы знаем, имеют вид (1) или (2). Ясно, что все входящие в прямое разложение проективного модуля идеалы тоже должны быть проективными. Если Яр есть кольцо целых р-адических чисел, то всякий ненулевой идеал 3р с Яр как Я-модуль будет изоморфен Яр. Если же Яр = Z /pkZ, то из всех идеалов кольца Яр проективными как Я-модули будут лишь 0 и Яр (поскольку только эти идеалы являются проективными Яр-модулями). Это означает, что любой проективный идеал кольца Я обязательно изоморфен как Я-модуль идеалу 3 вида (1) или (2), такому, что для всякого р идеал совпадает либо с 0, либо с Яр. Группируя прямые слагаемые вида Яр, получаем, что имеет место изоморфизм (3).
Обратно, любой Я-модуль вида (3) является проективным, так как он изоморфен прямой сумме семейства идеалов, каждый из которых служит для кольца Я прямым слагаемым. ■
Для всякого модуля MR размерность r(M) фактор-модуля M/MT как пространства над полем R /Т назовём псевдорангом модуля M. Очевидно, что псевдоранг прямой суммы всякого семейства R-модулей равняется сумме псевдорангов этих модулей. Идеалы вида (1) и (2) имеют псевдоранги, равные соответственно 0 и 1; отсюда, в частности, следует, что для модуля вида (3) выполнено r(M ) = | I |.
Пусть для R-модуля M имеет место изоморфизм (3). Тогда для любых i е I и p е L идеал Mt ep либо совпадает с Rp, либо равен 0. Это означает, что при любом p е L модуль Mep является свободным Rp-модулем; ранг этого свободного модуля (определяемый однозначно) далее будем обозначать через rp(M ). Таким образом, всякому проективному модулю MR можно сопоставить кардинальные числа r(M) и {rp(M)}peL. Полученный набор кардиналов мы назовём системой инвариантов проективного модуля M (в статье [9] было впервые предложено использовать эту систему инвариантов для описания проективных модулей).
Предложение 3 [8]. Пусть A и M - проективные R-модули, причём модуль A вкладывается в M. Тогда r(A) < r(M) и rp(A) < rp(M) при всех p е L. ■
В статьях [8, 10] был доказан ряд важных структурных теорем о проективных модулях над csp-кольцами.
Теорема 4 [8, 10]. Два проективных R-модуля изоморфны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковые системы инвариантов. ■
Следующий результат показывает, какие условия должны быть наложены на набор кардинальных чисел, чтобы он служил системой инвариантов некоторого проективного R-модуля.
Теорема 5 [8, 10]. Пусть X и {Xp}psL - произвольные кардинальные числа, и пусть W = {p е L | Xp < X}. Проективный R-модуль M, одновременно удовлетворяющий всем равенствам r(M ) = X и rp(M ) = Xp, существует в том и только в том случае, когда
(A) множество W конечно
или
(B) множество W счётно и последовательность {Xp}pgW сходится к X. ■
При помощи приведённых результатов можно получить критерий конечной порождённости проективного R-модуля.
Теорема 6. Для проективного R-модуля M равносильны следующие условия:
1) модуль M конечно порождён;
2) все кардинальные инварианты модуля M конечны и rp(M ) = r(M ) почти для всех p е L.
Доказательство. Обозначим X = r(M) и Xp = rp(M).
2) ^ 1). Из условия 2) вытекает, что множество W = {p е L | Xp < X} конечно, т.е. выполнено условие (A) теоремы 5. Проективный модуль A зададим условием
= (0(1 - eW) R) © (0Fp )
A = 1
W
X pеL
где Fp - это свободный Rp-модуль ранга
X , если p е W,
Гр(Рр) \Хр-X, если р е Ь \ W.
Тогда г(А) = X г((1 - е№)К) = X; далее, если р е W, то
гр(Л) = X гр((1 - ew)Я) + гр(^р) = 0 + Хр = Х„ а если выполнено р е Ь \ W, то справедливы равенства
Гр(А) = X • гр((1 - е^)Я) + Гр(^р) = X + (Хр - X) = Яр, т.е. все инварианты модулей Ми А совпадают. Так как строение проективного модуля МК однозначно определяется его системой инвариантов, получаем, что М=А. Все кардиналы Хр конечны, поэтому все свободные Яр-модули ¥р имеют конечный ранг и, значит, являются конечно порождёнными Я-модулями. Из 2) следует, что множество тех р е Ь, для которых ¥р ф 0, конечно; отсюда получаем, что М - конечно порождённый Я-модуль.
1) ^ 2). Пусть МЯ обладает конечной системой образующих, которая состоит из 5 элементов. В силу проективности модуля М можно считать, что М - прямое слагаемое свободного модуля Я5; пусть Я5 = М©А. Ввиду предложения 3 инварианты модулей М и А не могут оказаться больше соответствующих инвариантов модуля Я5, т.е. они не превышают числа 5. Из X < К0 следует, что условие (В) из теоремы 5 не выполнено, а значит, выполнено условие (А). Таким образом, почти для всех р е Ь имеем гр(М) > г(М). Применяя аналогичные рассуждения к проективному модулю А, получаем, что при почти всех р е Ь справедливы неравенства гр(М) > г(М) и гр(А) > г(А). Для всех таких р выполнено
5 = г(Я5) = г(М) + г (А) < гр(М) + гр(А) = гр(Я5) = 5, откуда, в частности, следует равенство гр(М ) = г(М ). ■
Через Ф обозначим множество всех функций §: Ь ^ Z, имеющих неотрицательные значения и таких, что §( р) равно одному и тому же числу почти для всех р е Ь. Очевидно, что Ф будет коммутативным моноидом относительно операции поточечного сложения.
Для всякого конечно порождённого проективного модуля МЯ и всякого р е Ь положим §М( р) = гр(М ), тогда ввиду теоремы 6 выполнено §М е Ф. Очевидно, что §М©А = §М + §А и что из М=А всегда следует §М = §А. Обратно, если §М = §А, то по теореме 6 будет справедливо равенство г(М) = г(А), а значит (в силу теоремы 4), выполнено М=А.
Зафиксируем функцию ц е Ф. Для всякого р е Ь положим Хр = ц(р); через X обозначим то неотрицательное число, которое совпадает со значением ц(р) при почти всех р е Ь. Кардинальные числа X и {Xp}pеL удовлетворяют условию (А) теоремы 5, поэтому из теорем 5 и 6 следует, что ц = §М для некоторого конечно порождённого проективного Я-модуля М. Таким образом, Ф есть моноид классов изоморфных конечно порождённых проективных Я-модулей.
Теорема 7. Для всякого СБр-кольца Я группа Гротендика К0(Я) представляет собой свободную группу счётного ранга.
Доказательство. Определим отображение Н из Ф х Ф в группу ZL всех функций Ь ^ Z, полагая Н(§, п) = § - п (вычитание осуществляется поточечно). Так как в Ф справедлив закон сокращения, то для произвольных §, п, ц, V е Ф следующие три условия будут равносильны:
1) § + V + ^ = ц + п + С для некоторого ^ е Ф;
2) § + V = ц + п;
3) Н(§, п) = Н(ц, V).
Если задать на Ф х Ф операцию покоординатного сложения, получим
Н((§, п) + (ц, V)) = Н(§ + ц, п + V) = § + ц - п - V = Н(§, п) + Н(ц, V) для произвольных §, п, ц, V е Ф. С учётом равносильности условий 1) и 3) отсюда можно заключить, что образ Н(Ф х Ф) отображения Н служит группой Гротендика моноида Ф. Остаётся лишь показать, что этот образ представляет собой прямую сумму счётного числа копий группы Z.
В самом деле, рассмотрим множество функций Л = {ц0}и (ц | р е Ь} с ,
где ц0(р) = цр(р) = 1 для любого р е Ь и цр^) = 0 для любых различных р, q е Ь. Для всякого р е Ь и {0} имеем цр е Ф и, следовательно, цр = , 0) е ^Ф х Ф). Ясно также, что входящие в множество Л функции являются линейно независимыми и порождают свободную группу. Заметим, что для произвольной функции ц е ^Ф х Ф) значение ц(р) при почти всех р е Ь равно одному и тому же числу m е Z, т.е. множество Y = {р е Ь | ц(р) Ф m} конечно. Тогда
ц = m -ц0 + X (Ц(р) - т)цр .
pеY
Таким образом, h(Ф х Ф) есть свободная группа с базисом Л. ■
Мы показали, что группу К0(Я) можно отождествить с подгруппой ^Ф х Ф) группы ZL. Известно (см. [6, 11]), что всякому кольцевому гомоморфизму Я ^ соответствует гомоморфизм абелевых групп К0(Я) ^ К0(5 ), индуцируемый функтором - ®Я 5: mod-Я ^ mod-5 (последний, как легко видеть, переводит конечно порождённые проективные модули категории mod-Я в модули, которые конечно порождены и являются проективными в mod-5). Выясним, как этот гомоморфизм групп действует в случае, когда Я и 5 - СБр-кольца.
Пусть, помимо СБр-кольца Я, задано ещё одно СБр-кольцо 5, причём
и = 05 р с 5 сП 5р = Н
pеZ pеZ
(7. - некоторое бесконечное множество простых чисел). Обозначим через /р, где р е 7, идемпотент кольца 5, лежащий в 5р.
Как обычно, мы считаем, что кольцевой гомоморфизм обязательно переводит единичный элемент кольца в единичный элемент.
Предложение 8. Пусть ф: Я ^ 5 - некоторый кольцевой гомоморфизм. Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) 7 с Ь;
(б) при любом р е 7 существует единственный сюръективный гомоморфизм колец ф р: Яр ^ 5р;
(в) для всякого элемента х = (хр)реЬ е Я выполнено ф(х) = (фр(хр))ре7;
(г) поле Я /Т вкладывается в 5 /и в качестве подполя.
Доказательство. (а) Пусть р е 7. Тогда элемент 15 = ф (1Я) не делится на р, из чего вытекает, что и 1Я не делится на число р. С другой стороны, аддитивная группа Я+ кольца Я является р-делимой при всех р г Ь. Таким образом, 7 с Ь.
(б) Зафиксируем число р е 7. Если Яр - кольцо целых р-адических чисел, то требуемое утверждение очевидно. Допустим теперь, что Яр = Z /ркХ. Из того, что 15 = ф(1Я), следует, что 15 есть сумма идемпотентов ф(ер) и ф(1Я - ер); при этом ввиду равенства ркф (ер) = 0 идемпотент ф (ер) совпадает с 0 или с /р. Идемпотент ф (1Я - ер) не может совпадать с 15, так как 1Я - е р делится на р в кольце Я, но 15 не делится на р в кольце 5. Таким образом, имеем ф (ер) = /р. Из равенства рк/р = 0 легко вывести, что существует единственный сюръективный гомоморфизм колец Яр ^ 5р.
(в) Зададим аддитивный гомоморфизм у: Я ^ Н, полагая у (х) = (ф р( х р))р е7 для всех х = (хр)реЬ е Я. Тогда ф - у е Hom(Я, Н), причём порождённая единичным элементом 1Я кольца Я циклическая группа (1Я) лежит в ядре гомоморфизма ф - у. Легко убедиться, что группа Я /(1Я) делима, а Н - редуцированная группа. Поэтому Hom(Я /(1Я), Н ) = 0, а значит, ф = у, что и требовалось.
(г) Из пункта (в), в частности, вытекает, что ф (T) = U. Тогда гомоморфизм ф индуцирует вложение R /T ^ S/U. Предложение доказано. ■
В ситуации, описанной в предложении 8, обозначим через а тот гомоморфизм ZL ^ Zz, который сопоставляет всякой функции L ^ Z её ограничение на множество Z. Ясно, что R ®R S = S; кроме того, Rp ®R S = Sp, если p e Z, и Rp ®R S = 0, если p e L \ Z. Пусть {50} u (5p | p e Z} с ZZ есть базис свободной группы K0(S ),
построенный так же, как строился базис группы K0(R). Нетрудно убедиться, что проективному модулю R соответствует функция |0, а проективным модулям Rp, где p e L, - функции |p; аналогичные утверждения справедливы и для проективных S-модулей S и Sp. Заметим, что а(|0) = 50, а функция a(|p) равна 5p, когда p e Z, и равна 0, когда p e L \ Z. Поэтому из изоморфизмов, приведённых выше, следует, что групповой гомоморфизм K0(R) ^ K0(S ), индуцируемый кольцевым гомоморфизмом ф, представляет собой ограничение отображения a: ZL ^ ZZ на подгруппу K0(R) группы ZL.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко Е.А. О базовых полях csp-колец // Алгебра и логика. 2010. Т. 49. № 4. С. 555-565.
2. Тимошенко Е.А. Чисто трансцендентные расширения поля рациональных чисел как базовые поля csp-колец // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2013. № 5(25). С. 30-39.
3. Тимошенко Е.А. О базовых полях csp-колец. II // Фундам. и прикл. математика. 2015. Т. 20. № 5. С. 149-156.
4. Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules. Basel et al.: Birkhauser, 1999. P. 87-100. DOI: 10.1007/9783-0348-7591-2.
5. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 47-51.
6. Rosenberg J. Algebraic K-theory and its Applications. New York: Springer, 1994. DOI: 10.1007/978-1-4612-4314-4.
7. Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 46-47.
8. Тимошенко Е.А. Проективные модули над csp-кольцами // Журнал СФУ. Математика и физика. 2012. Т. 5. № 4. С. 581-585.
9. Царев А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Мат. заметки. 2006. Т. 80. № 3. С. 437-448. DOI: 10.4213/mzm2830.
10. Тимошенко Е.А. Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Журнал СФУ. Математика и физика. 2011. Т. 4. № 4. С. 541-550.
11. Bass H. Algebraic K-theory. New York; Amsterdam: W.A. Benjamin, 1968.
Статья поступила 07.06.2018г.
Timoshenko E.A. (2018) THE GROTHENDIECK GROUP K0 OF AN ARBITRARY CSP-RING Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 55. pp. 38-44
DOI 10.17223/19988621/55/4
Keywords: csp-ring, projective module, Grothendieck group.
Fix an infinite set L of primes. For every p e L, let Rp be either the ring of p-adic integers or the residue class ring Z /pkZ (the number k > 0 may depend on p). Define
K = ПRp and T =0Rpс K ;
peL peL
it is clear that T is an ideal of the ring K. By a csp-ring we mean any subring R of the ring K such that T c R and the quotient ring R /T is a field. The symbol K0(R) denotes the Grothendieck group of the monoid of isomorphism classes of finitely generated projective modules over R (with direct sum as the operation).
We find necessary and sufficient conditions for a module over R to be a finitely generated projective module. These conditions enable us to prove the following theorem.
Theorem 7. For every csp-ring R, the Grothendieck group K0(R) is a free group of countable rank.
If we have two csp-rings R and S, then every ring homomorphism R ^ S induces a group homomorphism K0(R) ^ K0(S ). We describe this group homomorphism for arbitrary csp-rings R and S.
AMS Mathematical Subject Classification: 19A49, 13D15, 18F30
TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Timoshenko E.A. (2010) Base fields of csp-rings. Algebra and Logic. 49(4). pp. 378-385. DOI: 10.1007/s10469-010-9102-9.
2. Timoshenko E.A. (2013) Chisto transtsendentnye rasshireniya polya ratsional'nykh chisel kak bazovye polya csp-kolets [Purely transcendental extensions of the field of rational numbers as base fields of csp-rings]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 5(25). pp. 30-39.
3. Timoshenko E.A. (2018) Base fields of csp-rings. II. J. Math. Sci. (New York). 230(3). pp. 451-456. DOI: 10.1007/s10958-018-3753-9.
4. Fomin A.A. (1999) Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers. Abelian Groups and Modules. Basel et al.: Birkhauser. pp. 87-100. DOI: 10.1007/978-3-0348-7591-2.
5. Krylov P.A., Pakhomova E.G., Podberezina E.I. (2000) Ob odnom klasse smeshannykh abelevykh grupp [On a class of mixed abelian groups]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 269. pp. 47-51.
6. Rosenberg J. (1994) Algebraic K-theory and its applications. New York: Springer. DOI: 10.1007/978-1-4612-4314-4.
7. Zinoviev E.G. (2006) Ob odnom obobshchenii kolets psevdoratsional'nykh chisel [On a generalization of rings of pseudorational numbers]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 290. pp. 46-47.
8. Timoshenko E.A. (2012) Proektivnye moduli nad csp-kol'tsami [Projective modules over csp-rings]. Zhurnal Sibirskogo federal'nogo universiteta. Matematika i fizika - Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 5(4). pp. 581-585.
9. Tsarev A.V. (2006) Projective and generating modules over the ring of pseudorational numbers. Math. Notes. 80(3). pp. 417-427. DOI: 10.1007/s11006-006-0155-y.
10. Timoshenko E.A. (2011) Proektivnye moduli nad kol'tsom psevdoratsional'nykh chisel [Pro-jective modules over the ring of pseudorational numbers]. Zhurnal Sibirskogo federal'nogo universiteta. Matematika i fizika - Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 4(4). pp. 541-550 .
11. Bass H. (1968) Algebraic K-theory. New York; Amsterdam: W.A. Benjamin.
