Граница устойчивости в одном простом классе монодромных ростков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 3. С. 276-284.

УДК 517.9 БОТ: 10.24411/2500-0101-2019-14303

ГРАНИЦА УСТОЙЧИВОСТИ В ОДНОМ ПРОСТОМ КЛАССЕ МОНОДРОМНЫХ РОСТКОВ

Н. Б. Медведева", В. А. Викторова6

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "[email protected], [email protected]

Построено двухпараметрическое семейство векторных полей с монодромной особой точкой и с диаграммой Ньютона, состоящей из одного ребра. Для данного семейства выполняются условия «невырожденности», позволяющие отнести его к классу с простой монодромной особой точкой. Построена асимптотика границы устойчивости в данном семействе, которая содержит члены с логарифмом, откуда следует аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости в замыкании данного класса векторных полей с простой монодромной особой точкой.

Ключевые слова: монодромная особая точка, фокус, центр, преобразование монодромии, диаграмма Ньютона, граница устойчивости, аналитическая разрешимость.

Введение

1. Монодромные особые точки. Известно [1], что вещественно-изолированная особая точка аналитического векторного поля на плоскости либо имеет характеристическую траекторию (входящую в особую точку с определённой касательной), либо монодромна, т. е. каждая траектория в окрестности этой особой точки топологически является либо спиралью, либо окружностью. Для монодромной особой точки определено преобразование монодромии, переводящее некоторую гладкую кривую с началом в особой точке (полутрансверсаль) в себя вдоль траекторий векторного поля. Образ и прообраз при этом отображении лежат на одном отрезке траектории, делающем один оборот вокруг особой точки. Строгое определение монодромной особой точки и преобразования монодромии дано в [1].

Из теоремы о конечности числа предельных циклов [2] следует, что монодромная особая точка аналитического векторного поля на плоскости является либо центром, либо фокусом.

Будем различать «простые» монодромные особые точки и «сложные». Упрощённо говоря, простые монодромные особые точки имеют диаграмму Ньютона, состоящую из одного ребра, а сложные — из многих рёбер.

2. Диаграмма Ньютона. Рассмотрим аналитическое векторное поле V в окрестности изолированной особой точки ноль на вещественной плоскости. Оно определяет динамическую систему

х = X (x,y), у = у (x,y), (1)

где X(0, 0) = 0, У (0, 0) = 0.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 17-01-00739а).

Рассмотрим разложения Тейлора

yX{x,y)= aijxlV3,

i>0,j>l i+j> 2

xY(x,y)= bijxiy

i>l,j>0 i+j> 2

Определения. 1. Векторным коэффициентом точки (г,]) называется вектор (а^, Ъ^). Носителем системы (1), а также векторного поля V называется множество таких пар (г,]), что (а^,Ъ^) = (0,0).

Ку)

2. Рассмотрим множество U(i,j){(i,j) + R+}, где R+ - положительный квадрант, объединение берётся по всем точкам (i,j), принадлежащим носителю. Граница выпуклой оболочки этого множества состоит из двух открытых лучей и ломаной, которая может состоять и из одной точки. Эта ломаная называется диаграммой Ньютона векторного поля V (рисунок). Звенья ломаной называются рёбрами диаграммы Ньютона, а их концы — её вершинами.

3. Показателем ребра диаграммы Ньютона называется положительное

рациональное число, равное тангенсу угла между ребром и осью ординат.

4. Рассмотрим ребро t диаграммы Ньютона системы (1) с показателем а где m/n — несократимая дробь. Члены разложения (2) сгруппируем таким образом,

m/n,

что

где

ух(x,y) = ^2 Xk(x,y), xY(x,y) = Yk(x,y^

k=0

k=0

Xk (x,y)

a ij x i yj ,

Yk (x,y)

^ bi3xiyj

ni+mj=k+ko

Е

т+т]=к+к о

есть квазиоднородные полиномы степени к + к0 с весами п и т переменных х и у соответственно, к0 > 0. Обозначим Ек(х,у) = пУк(х,у) — тХк(х,у), к > 0.

5. Для любого ненулевого квазиоднородного полинома К(х, у) с весами п и т переменных х и у справедливо разложение

К(х, у) = Ах51 у32 П(уга — Ъгхт)к,

где Ъг — различные ненулевые комплексные числа, кг > 0, ^ > 0,^1 > 0 — целые числа, А = 0. Многочлен вида уп — Ъгхт (при кг > 0) будем называть щостым делителем многочлена К(х,у), кг — его кратностью. Простой делитель называется вещественным, если Ъг Е К.

Ребро I диаграммы Ньютона называется невырожденным, если многочлен ^о(х,у) = пУ0(х,у) — тХ0(х,у) не имеет вещественных простых делителей.

3. Алгебраическая и аналитическая разрешимость локальных задач. Определение. Ростком векторного поля в особой точке называется класс эквивалентности векторных полей, совпадающих в некоторой окрестности особой точки.

Понятие алгебраически разрешимой локальной задачи введено В. И. Арнольдом в [3]. Согласно В.И.Арнольду под задачей понимается разбиение пространства

ростков W0 на непересекающиеся подмножества W0 = (J Si, где i G I, I — некоторое

i

множество индексов. Если, например, рассматривается задача об устойчивости по Ляпунову, то таких подмножеств всего два: Si, состоящее из устойчивых ростков (т.е. ростков, имеющих устойчивую особую точку), и S2, состоящее из неустойчивых ростков.

Алгебраическая разрешимость задачи означает, что ответ в задаче (принадлежность к одному из классов Si) может быть получен с помощью конечного числа арифметических операций над тейлоровскими коэффициентами ростка и решений алгебраических уравнений за исключением ростков из некоторого исключительного множества коразмерности бесконечность.

В случае когда задача не является алгебраически разрешимой, было предложено ввести понятие аналитической разрешимости (В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко [1; 4]). Аналитическая разрешимость задачи означает, что ответ в задаче может быть получен с помощью вычисления конечного числа значений аналитических функций от тейлоровских коэффициентов ростка за исключением ростков из некоторого множества бесконечной коразмерности. Отсутствие аналитической разрешимости может привести, например, к таким патологиям, как накопление бесконечного числа связных компонент различных множеств Si в окрестности одной точки пространства ростков.

4. Проблема различения центра и фокуса и проблема устойчивости на плоскости. Как было доказано в [5], множество всех монодромных ростков (ростков с монодромной особой точкой) представляет собой счётное объединение «простейших монодромных классов», каждый из которых является полуалгебраическим множеством, то есть задаётся конечным числом полиномиальных уравнений и неравенств относительно тейлоровских коэффициентов ростка.

Проблему устойчивости в любом классе монодромных ростков будем, отдавая дань традиции, называть проблемой различения центра и фокуса, хотя в контексте алгебраической и аналитической разрешимости реально имеет место различение между устойчивым и неустойчивым фокусом.

Как было доказано Ю. С. Ильяшенко [6], проблема различения центра и фокуса, а следовательно, и проблема устойчивости не является алгебраически разрешимой.

Теорема 1. [5; 7]. Проблема различения центра и фокуса аналитически разрешима в любом простейшем монодромном классе.

Утверждение этой теоремы означает, что множество ростков, имеющих в нуле особую точку типа центр, имеет коразмерность ж, а наличие фокуса (устойчивого или неустойчивого) может быть установлено путём вычисления конечного числа аналитических функций от тейлоровских коэффициентов ростка.

Теорема 2. [8]. Проблема устойчивости особой точки аналитического векторного поля на плоскости аналитически неразрешима.

Пример семейства, приведённый в статье [8], в котором была обнаружена потеря аналитичности границы устойчивости, относится к классу сложных монодромных особых точек, причём при наличии резонанса в седловой особой точке, полученной в результате раздутия по диаграмме Ньютона. Интересен ответ на вопрос: встречаются ли подобные патологии в классах простых монодромных особых точек? В данной работе даётся положительный ответ на этот вопрос. Более точно: по-

строено двухпараметрическое семейство векторных полей с монодромной особой точкой и с диаграммой Ньютона, состоящей из одного ребра. Для данного семейства выполняется условие невырожденности, позволяющее отнести его к классу с простой монодромной особой точкой. Граница устойчивости задаётся графиком функции а = ^(е) (а и е — параметры семейства) и при е ^ 0 выходит на границу монодромного класса. Построенная асимптотика функции ^(е) при е ^ 0, как и в примере [8], содержит члены с логарифмом, откуда следует аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости в замыкании данного простейшего монодромного класса с простой монодромной особой точкой.

1. Асимптотика границы устойчивости

Простейшие монодромные классы, описанные в [8], характеризуются определённым ходом процесса раздутия особенностей, связанного с диаграммами Ньютона.

Рассмотрим простейший монодромный класс М1, состоящий из ростков векторных полей, имеющих в особой точке (0, 0) диаграмму Ньютона, состоящую из одного невырожденного ребра с концами (0, 4) и (8,0) (рисунок). Условие невырожденности ребра гарантирует, что в результате раздутия особой точки по диаграмме Ньютона на вклеенной кривой не образуются новые особые точки.

Рассмотрим семейство векторных полей из класса М1

1 3 7 3 2

ж = - 2у - аж + х у , (3)

у = е2ж7 + е2ж3у2 - 2ауж6 + ж3у2 + 2ж2у3,

где е > 0, а € К. В данном семействе многочлен *0(ж,у) = (у2 + ж4)(у2 + е2ж4) не имеет вещественных простых делителей. Предельный переход при е ^ 0 означает выход на границу класса М1, так как при е = 0 диаграмма Ньютона меняется.

Согласно [9; 10] граница устойчивости в семействе (3) задаётся уравнением

те Ш

J Ф1(^)ех^У Ф0(£)^м = 0, (4)

-те о

где

б3 ™2 — а

фо(£) = -^т^, *1М =

2*0(1,6)' 14 ' ¿0(1,™)-Вычисляя первообразную под знаком экспоненты и подставляя в (4), получим уравнение

+те

(™2 — а)^™ с

= 0, 7 = ТТ^—г, с = е2. (5

J (1+ ™2)4 +7(™2 + с)1^ ' 4(1 - с)

0

Уравнение (5) запишем в виде а = ^(е), где ^(е) = К^),

+те

Кга(е) = -5-, п = 0, 2.

У (1 + ™2)4 (™2 + с)1-^ 0

Построим асимптотическое разложение функции ^(е) = при е ^ 0. Сначала рассмотрим интеграл К0(е). Представим К0(е) = 11 + 12, где

1 +те

г [

1 = -Г"-, 12

(1+ ™2) 4 (™2 + с)1-^ У (1+ ™2) 4 +7 (™2 + с)1-7

После замены и = 1 /ш получаем

1 5 1

/и 2 ¿и

-5-= С + с ко (и, с) ¿и,

(1 + и2)5 (1 + си2)1-^ У 1 ' ; '

о о

где 0 < с < с, к0(и, с) — ограниченная функция при и Е [0,1], с ^ 0,

С = / . (6)

У (1 + и2)4 { J

0

Таким образом,

12 = С + 0(е2). (7)

Рассмотрим теперь интеграл /1. Пользуясь разложением

^ = 1 -( ^+^^ >•

получим

11 = 3) — ( 4+ + (8)

где

1 1 1

Г ¿ш Г и}2в>'ш Г ш4д1(ш

3 = У (ш2 + с)1^, 31 = У (ш2 + с)1-^, 3 = У (ш2 + с)1-^ , (9) ооо

д1(ш,7) — ограниченная функция при ш Е [0,1], 7 ^ 0.

Разложим подынтегральную функцию в 32 по теореме Лагранжа: 32 = С0 + К1с,

где

1 1 /1 5 \ 1

С0 = ш2д1(ш, 0)dw = ш-2 -5 — 1 + -ш2 I ¿ш, Я1 = к(ш, с)¿ш, (10)

У У 1(1 + ш2)5 4 / ' У 1 ' ; ' v 7

0 0 0

ш2к1 (ш,с) ш4к2(ш, с) 1п(ш2 + с) ш4к3(ш,с) к(ш,с) = (ш2 + с )1-^ + (ш2 + с )1-^ + (ш2 + с)2-^,

0 < с < с, 0 <7<7, кг(ш, с), г = 1, 2, 3, ограничены при ш Е [0,1], с ^ 0. Отсюда следует ограниченность Я1 при с ^ 0 и, следовательно,

32 = С0 + 0(£2). (11)

Исследуем интеграл 30 из (9). После замены ш = еу получаем 30 = е-1+27300,

где

1

£

т С ¿у 300 =

0

(1 + у2)1-^'

Раскладывая подынтегральную функцию в 300 по 7, получаем

1 1

£ £

I ¿у /'1п(1+у2)^ п 2ч

300 Чт+у? + Ч (1 + у2).-- =2 — е + 0(е '■

00

Отсюда

(1+ ™2) 4+7(™2 + с)1-^ У (1+ ™2) 4 +7(™2 + с)1-7

Аналогично (7) получаем

где

1 1

Из разложения

2) 4 +7

12)

^о = е-1 (е27/оо) = е-1 (П - е + Пе21п(е) + 0(е2)) . Согласно [8]

П

= 1 - пе + 0(е2). (13)

Из формул (7), (8), (11)-(13) получаем

Ко(е) = 11 + 12 = е-1 (2 + + С - 0 е + Пе21п(е) + 0(е2)^ . (14) Исследуем теперь интеграл К2(е) = Н1 + Н2, где

1 +те

[ [

Н1 = ' -в , „ , „-П-, н2 = —-—5

+те 1

Н2 = [-^-= С2 + 0(е2), (15)

У (1+ и2) 4 (1 + см2)1-^ ' " ' '

62 = / . (16) У (1 + и2)4 ' ;

1 1+ ™2 д2(™,с)

(1 + ™2) 4 получаем, что Н1 = + Н11, где

1

н = [ ™4^2(™,7

11 У (™2 + с)1-^ . 0

Аналогично получаем Н11 = С3 + 0(е2), где

С3 = / ™2д2(™, 0)^ = /( --Ц-в - 1 ) (17)

7 7 \ (1 + ™2) 2

00

С учётом (13), (15)

П

К2(е) = 1 + С2 + С3 - ^е + 0(е2). (18)

Разделив (18) на (14), получаем асимптотику а = ^(е) :

а = Ае + Ве2 + С 1п(е)е3 + 0(е3),

где А = П(1 + С2 + С3), В = -1 - 4(1 + С2 + С3) (С0 + С - 9), С = -1 (1 + С2 + С3). Вычисляя приближённо интегралы (6), (10), (16), (17), получим приближённые значения коэффициентов: А ^ 0.7627, В ^ -0.1273, С ^ -0.3814. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Граница устойчивости а = в классе Ы\ имеет асимптотическое разложение вида а = Ае + Be2 + Cln(e)e3 + O(e3), где C = 0.

Следствие 1. Проблема устойчивости в замыкании класса Ы\ аналитически неразрешима.

Следствие 2. Проблема устойчивости особой точки аналитического векторного поля на плоскости аналитически неразрешима.

Список литературы

1. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения — 1 / В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы математики. Фундамент. направления. — 1985. — Т. 1. — C. 7-149.

2. Il'yashenko, Yu. S. Finiteness Theorems for Limit Cycles / Yu. S. Il'yashenko. — Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1991. — 289 p.

3. Арнольд, В. И. О локальных задачах анализа / В. И. Арнольд // Вестн. Моск. унта. Сер. 1. Математика. Механика. — 1970. — № 2. — C. 52-56.

4. Ильяшенко, Ю. С. Алгебраически и аналитически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. С. Ильяшенко // Тр. семинара им. И.П.Петровского. — 1987. — № 12. — C. 118-136.

5. Медведева, Н. Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса / Н.Б.Медведева // Тр. Ин-та математики им. В. А. Стеклова. — 2006. — № 254. — C. 11-100.

6. Ильяшенко, Ю. С. Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр — фокус / Ю. С. Ильяшенко // Функц. анализ и его приложения. — 1972. — T. 6, № 3. — С. 30-37.

7. Медведева, Н. Б. Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса / Н.Б.Медведева // Докл. Академии наук. — 2004. — T. 394, № 6. — C. 735-738.

8. Медведева, Н. Б. Об аналитической неразрешимости проблемы устойчивости на плоскости / Н.Б.Медведева // Успехи мат. наук. — 2013. — T. 68, № 5. — C. 147176.

9. Воронин, А. С. Асимптотика преобразования монодромии в некоторых классах монодромных ростков / А.С.Воронин, Н.Б.Медведева // Изв. РАН. Сер. мат. — 2013. — T. 77, № 2. — C. 35-52.

10. Медведева, Н. Б. Асимптотическое разложение преобразования монодромии / Н. Б. Медведева // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 1. — С. 59-72.

Поступила в 'редакцию 23.07.2019 После переработки 09.09.2019

Сведения об авторах

Медведева Наталия Борисовна, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной математики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Викторова Валерия Андреевна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 3. P. 276-284.

DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14303

THE BOUNDARY OF STABILITY

IN A SIMPLE CLASS OF MONODROMIC GERMS

N.B. Medvedeva", V.A. Viktorovab

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "[email protected], [email protected]

A two-parameter family of vector fields is constructed with a monodromic singular point and with a Newton diagram consisting of one edge. For this family, the conditions of "nondegeneracy" are satisfied, allowing it to be assigned to a class with a simple monodromic singular point. The asymptotics of the stability boundary in this family is constructed, which contains terms with a logarithm, which implies the analytical unsolvability of the stability problem in the closure of this class of vector fields with a simple monodromic singular point.

Keywords: monodromic singular point, focus, center, monodromy transformation, Newton diagram, stability boundary, analytic solvability.

References

1. Arnol'dV.I. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya — 1 [Ordinary differential equations — 1]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennye problemy matematiki. Fundamen-tal'nye napravleniya [Results of science and technology. Contemporary problems of mathematics. Fundamental directions], 1985, vol. 1, pp. 7-149. (In Russ.).

2. Il'yashenko Yu.S. Finiteness Theorems for Limit Cycles. Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1991. 289 p.

3. Arnold V.I. O lokal'nykh zadachakh analiza [On local problems of analysis]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics. Mechanics], 1970, vol. 2, pp. 52-56. (In Russ.).

4. Il'yashenko Yu.S. Algebraicheski i analiticheski razreshimye lokal'nye zadachi teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Algebraically and analytically solvable local problems of the theory of ordinary differential equations]. Trudy seminara imeni I.G. Petrovskogo [Proceedings of I.G. Petrovskiy workshop], 1987, no. 12, pp. 118-136. (In Russ.).

5. Medvedeva N.B. On the analytic solvability of the problem of distinguishing between center and focus. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2006, vol. 254, pp. 7-93.

6. Il'yashenko Yu.S. Algebraic nonsolvability and almost algebraic solvability of the center — focus problem. Functional Analysis and Its Applications, 1972, vol. 6, no. 3, pp. 197-202.

7. MedvedevaN.B. On an analytic solvability of the center — focus problem. Doklady Mathematics, 2004, vol. 69, no. 1, pp. 120-122.

8. Medvedeva N.B. On analytic insolubility of the stability problem on the plane. Russian Mathematical Surveys, 2013, vol. 68, no. 5, pp. 923-950.

9. VoroninA.S., MedvedevaN.B. Asymptotics of the monodromy transformation in certain classes of monodromy germs. Izvestiya: Mathematics, 2013, vol. 77, no. 2, pp. 253270.

The work is partially supported by the RFBR (grant 17-01-00739_a).

284

H. B. MegBegeBa, B. A. BuKTopoBa

10. Medvedeva N.B. Asimptoticheskoye razlozheniye preobrazovaniya monodromii [Asymptotic expansion of a monodromy map]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2016, vol. 1, iss. 1, pp. 59-72. (In Russ.).

Accepted article received 23.07.2019 Corrections received 09.09.2019