Граничное поведение преобразования Пуассона для однополостного гиперболоида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: НЕКОММУТАТИВНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

УДК 517.98

ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПУАССОНА ДЛЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

© А.А. Артемов

Ключевые слова: однополостный гиперболоид; преобразование Пуассона; гипергеомет-рическая функция; оператор Лапласа-Бельтрами.

Для произвольной функции на границе однополостного гиперболоида в М” дается асимптотическое разложение ее преобразования Пуассона на бесконечности.

Пусть а Є С , є = 0,1. Преобразование Пуассона Ра,£ сопоставляет бесконечно дифференцируемой функции р(в) на границе Б (сфера) однополостного гиперболоида X в Мп функцию (Р^р) (8) из Сте(Х) . Важным является вопрос о поведении функции (Р^р) (8) при стремлении х к Б. Для К -финитных функций р (т. е. для функций р с конечным рядом Фурье) ответ дается сходящимися рядами. Более трудным является случай произвольной р (не обязательно К -финитной). Здесь мы можем предъявить лишь асимптотическое разложение.

В первом параграфе мы приводим некоторый материал (мы опираемся на [1]) о гармоническом анализе на однополостном гиперболоиде, в частности о преобразовании Пуассона, и даем формулу разложения для К -финитной функции.

Второй параграф является основным, мы рассматриваем произвольные функции р (не обязательно К -финитные) и доказываем теорему об асимптотическом разложении на границе для таких функций.

§ 1. Преобразование Пуассона для однополостного гиперболоида

Возьмем в пространстве Мп , п ^ 4 , билинейную форму

[х, у] = -Х1У1 + Х2У2 + ... + ХпУп-

Мы рассматриваем группу О = Я0о(1,п — 1) , это связная компонента единицы группы линейных преобразований д пространства Мп , сохраняющих форму [х, у] . Мы будем считать, что О действует в Мп справа: х ^ хд, в соответствии с этим мы будем записывать вектор в виде строки.

Пусть Б - сечение конуса [х, х] = 0 плоскостью хі = 1. Оно состоит из точек в = (1,в2,...,вп), в2 +... + вП = 1, так что Б есть сфера в Мп-1 .Пусть - оператор Лапласа-Бельтрами на Б и ^в - евклидова мера на Б. Мера всей сферы Б есть ¿п-1, где

_ = 2пт/2

' ¿т —

Г(т/2)'

1690

Представление То , а Є С, группы О действует на £>(Б) :

Оператор Ао на Р(Б), определенный формулой

(Аор)(в) = I ( - [в,*])2—п—о р(і) ^

¿я

сплетает представления То и Т2—п—о . Он мероморфно зависит от а с (простыми) полюсами в точках а Є (2 — п)/2 + N .

Пусть К - подгруппа в О, сохраняющая координату х1 . Эта подгруппа есть максимальная компактная подгруппа группы О, она изоморфна Я0(п — 1) . Ограничение представления То на К есть представление р подгруппы К вращениями в Р(Б) . Оно разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений пг, действующих в пространствах Н , І Є N. Пространство Н состоит из ограничений на Б однородных гармонических многочленов от х2,...,хп степени І. Оно является собственным пространством для оператора Лапласа-Бельтрами Дя и оператора Ао с собственными значениями соответственно

№ = І(3 — п — І), (1.1)

а(а, І) = (—1)г2—оп(п-2)/2 Г (—а — (п — 2)/2,) Г (3 — п — а). (1.2)

1,7 17 Г(3 — п — а — І) Г (—а + І) У 7

Для проекций рг функции р Є Р(Б) на Н (компонент Фурье) справедлива оценка

|рг(в)|2 < • ||р||2. (1.3)

¿п-1

Представление То неприводимо для всех а, кроме а Є N и а Є 2 — п — N. Если То неприводимо, то То эквивалентно Т2—п—о (с помощью Ао или его вычета). Представление То и оператор Ао могут быть продолжены на Р'(Б) .

Однополостный гиперболоид X в Мп задается уравнением [х, х] = 1. Группа О действует на X транзитивно. Стационарная подгруппа Н точки х0 = (0,..., 0,1) изоморфна ЯО0(1, п — 2) . Введем полярные координаты (і, в) на X , где іЄМ , в = (1, в2,..., вп) Є Б , а именно:

х = (вЬі, сЬі • в2,..., сЬі • вп).

В полярных координатах і, в оператор Лапласа-Бельтрами Дх дается формулой

. д2 д 1

Дх = да + (п—2),^і' ді— Сь2*Дя■

Пространство инвариантных относительно Н элементов в представлении То имеет размерность 2. Для а общего положения базис в этом пространстве состоит из двух обобщенных функций (є = 0,1):

0о,в = [х0,в]О’£ = вп>£.

Оператор Ао переводит 0о,є в 02-п-о>є с множителем:

Ао ^о,є — є) ^2—п—о,^

1691

где

Ка, е) = 2-- п(п-4)/2 Г(а+1) Г (-а - (п - 2)/2) х

х [(- 1)е8т(ст + п/2) п — 8ш(п/2)п] . (1.4)

Функция порождает преобразование Пуассона Р-)£, действующее из ^(5) в Сте(Х) :

(Р-,£р)(ж) = [ [ж, «]ст,е р(з)

Js

Преобразование Пуассона мероморфно зависит от а .С оператором преобразование Р-)£ взаимодействует так:

Р<Г,£А<Т ----------- j (а) е)Р2-П-<Г,£ •

Для функции ее преобразование Пуассона распадается в произведение функции р

на функцию, зависящую только от £ :

(Р-,£р)(ж) - й-,£,г(£) р(«), (1.5)

где ж€Х имеет полярные координаты £ , § , ¿€М, . Радиальная часть Я-)£)г(£) имеет

четность е + I.

Функции и из образа преобразования Пуассона Р-)£ имеют четность е и удовлетворяют уравнению Пуассона

Дхи — а(а + п — 2) ■ и.

Разделяя переменные в уравнении Пуассона с помощью (1.5), мы получим для радиальной части уравнение, сводящееся к гипергеометрическому. Запишем радиальную часть с помощью гипергеометрических функций Гаусса Т(а, Ь; с; г) , см. [2], гл. 2, от переменной

Ь — (еМ)-2.

В силу условия четности достаточно это сделать для £ > 0. Для а ф (2 — п)/2 + Z мы имеем

Я-,е,г(£) = Ь-о/2 (-1)£ а(2 - п - а, I) ^-„--ДЬ) +

+ Ь(о+га-2)/2 (-1)£ ¿(а,е) Т-ДЬ), (1.6)

где

г/гл т? ( а + п - 2 + 1 а + 1 - 1 1ПгЛ /1 7\

^ (Ь) — -2-а +2; Ь)' (1Т)

а(а, I) и j(а) - множители (1.2) и (1.4). Коэффициенты (а, I) гипергеометрического ряда

Т-,г(Ь) оказываются многочленами от ^ — 1(3 - п - I) (см. (1.1)):

1 к-1

дк(а, I) — |22к к! (а + п/2)[к] | П [^г + (а + п - 2 + 2т)(а + 1 + 2т),

где мы использовали обозначение — £(£ + 1) ... (£ + к - 1) .

Введем следующие операторы Со,к и на £>(£). На подпространствах Н они

являются умножениями на числа а(2 - п - а, I) ■ д^(2 - п - а, I) и дд.(а, I) соответственно. Операторы Со,к и определены и непрерывны на всем пространстве £>(£) . Операторы

к — многочлены от оператора Лапласа-Бельтрами Дs .

1692

Теорема 1.1. Пусть а ф (2 - п)/2 + Z . Для К -финитной функции р из Р(£) ее преобразование Пуассона (Р<г,е р) (ж) в области ж1 > 0 имеет место следующее разложение по степеням Ь:

ГО

(Р-.е р)(ж) — Ь-о/2 (-1)^ (С-,кр)(в) ■ Ьк +

к=0

го

+ ь(°+п-2)/2 (-1)- j(а,е) ^ (^р) (в) ■ Ьк, (1.8)

к=0

где ж имеет полярные координаты (¿,8), £ > 0 .

§ 2. Асимптотика преобразования Пуассона для произвольной функции р

Пусть р - произвольная функция из £>(£) (необязательно К -финитная). Тогда равенство (1.8) является асимптотическим разложением. Сформулируем точные утверждения. Разложим функцию р € ^(5) в сумму ее проекций

ГО

р — X! рг, рг € Яг,

г=о

и запишем Р-)£ р для ¿>0 в виде

(Р-,е р) (ж) — (-1)еЬ-о/2 (Р+ р) (ж) + (-1)£Ь(о+га-2)/2 (Р- р) (ж),

где

ГО

(Р+е р (ж) — ^ а(2 - п - а, I) ^-„--.г (Ь) рг(в),

г=о

ГО

(Р- р) (ж) — X) Т->г(Ь) рг(8).

г=о

Теорема 2.1. Пусть а - общего положения: а ф п/2 + Z7 а ф -1 - N . Для произвольной функции р € Р(5) ее преобразование Пуассона (Ро,е р) (ж) имеет следующее асимптотическое разложение при £ ^ +то по степеням Ь — (еМ)-2 :

ГО

(Р-,е р)(ж) - Ь-0/2 (-1)е ^ (С-,кр)(в) ■ Ьк +

к=0

ГО

+ ь(-+„-2)/2 (-1)е j(а,е) ^ (Ж-р)(в) ■ Ьк,

к=0

где ж имеет полярные координаты (£, 8), £>0 . Асимптотическое разложение понимается как асимптотические разложения двух функций:

+ ГО

(Р+е р) (ж) - X) (С-,кр (в) Ьк, (2.1)

к=0 + ГО

(Р- р) (ж) р) (8) Ьк, (2.2)

к=0

1693

а именно, для всякого N Є N существует постоянная С > 0 такая, что

N

(Р+ р) (х) — ^ (Со,*р)(в) Ь* < С • ^+1,

*=0

N

,

к=0

для всех в € 5 и всех £ ^ £0 , где £0 > 0 - некоторое число.

Доказательство этой теоремы опирается на ряд лемм (леммы 2.2 - 2.7).

Обозначим

У (а, /; Ь) — а(2 - п - а, I) Т2-„--ДЬ),

где а и Т даются формулами (1.2), (1.7).

Нам будет нужно выражение присутствующей здесь гипергеометрической функции от Ь — (еМ)-2 в виде гипергеометрической функции от (1 - Т)/2 , где Т — , при £ > 0.

Для этого мы используем квадратичное преобразование [2] 2.1(27); мы имеем

^/-а + / 3 - п - а - / 4 - п Л Т —~^-----------------------------а; Ь —

4 — п 1 — Т = Р ( —а + І, 3 — п — а — І; —---а; —-—

Обозначим

/ 4—п 1—Т \

X(а, I; Т) — а(2-п-а, I) ■ -а+/, 3-п-а-/; —2-а; 2 ^. (2.3)

Тогда для £ > 0 (т. е. для Т > 0) мы имеем

У (а, /; Ь) — X (а, /; Т), Ь — 1-Т2,

Лемма 2.2. Функции У и X выражаются через йо-.'.г следующим образом:

У (а, /; Ь) — X (а, /; Т) —

— 1м* + т(+/2;2 1 ь-/2 й«., (о. (2.4)

2 1 8ш(а + п/2)п]

Доказательство. Умножим равенство (1.6) на (- 1)е8ш(а + п/2)п + 8ш(п/2)п и просуммируем по е — 0,1. Тогда слагаемые с Т-,, (Ь) исчезнут. После умножения на Ь-/2 мы получим (2.4). □

Лемма 2.3. Для функции У справедливо следующее рекуррентное соотношение:

2/ + п — 5

У (а, /; Ь) — У (а, / - 2; Ь) + —-У (а + 1, / - 1; Ь). (2.5)

а+1

Точно такое же соотношение справедливо для X .

Доказательство. Обозначим через Xk (а, /) коэффициенты функции X (а, /; Т) в разложении по (1 - Т)/2 . Мы имеем:

X (а /) — 2-+„-2 п(„-2)/2 Г(-а + / + к) Г (а - к + (п - 2)/2) к , Г(-а)Г(а + п - 2 + / - к)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что для этих коэффициентов справедливо соотношение, указанное в лемме. □

1694

Лемма 2.4. При И,е а > -1 справедлива оценка

Ь-/2 й-,е,,(£) | < С

для всех / € N и всех £ € М .

Доказательство. Применим разложение (1.5) к зональной сферической функции (многочлену Гегенбауэра):

и возьмем х — (бЬ£, 0,..., 0, еМ) - с полярными координатами £ и в0 — (1, 0,..., 0,1) . Тогда мы получим:

Лемма 2.5. Для всякого а € п/2 + Z , а €-1-N , существуют постоянные С и К (зависящие только от а) такие, что

для всех / € N и £ > 0 .

Доказательство. Сейчас удобнее использовать X (а,/; Т) . Для И,е а > -1 оценка (2.6) с К — 0 сразу следует из лемм 2.2 и 2.4.

Пусть -2 < И,е а ^ -1. Применим к X (а,/; Т) последовательно несколько раз рекуррентное соотношение (2.5), пока мы не дойдем до X(а, 0; Т) или X(а, 1; Т) в зависимости от того, четно или нечетно / :

где й — 0 или й — 1 соответственно для четного или нечетного /, суммирование идет по к — 0,1,..., к ^ (/ -2)/2 . К функциям X(а + 1,...) мы имеем право применить доказанную оценку (2.6), тогда (предполагая а— - 1) мы с помощью (2.7) получаем:

Я-,е,г(£) — (Р-,е ^г) (йН 0,..., 0, еМ)

Обозначим р — И,е а . Поскольку |^, | ^ 1, мы получаем (напомним, что п ^ 4):

-1

1

-1

У (а, /; Ь) | — IX (а, /; Т) | < С ■ (/ + 1)к

(2.6)

X(а, /; Т) — X(а, й; Т) + —Ц- V (2/ - 4к + п - 5) X(а + 1, / - 2к - 1; Т), (2.7)

а + 1

X (а,/; Т)| < IX (а,й; Т)| + С/2.

(2.8)

1695

Каждая из двух (d = 0,1) функций X(a, d; T) ограничена для T € [0,1] , поскольку для таких T аргумент (1-T)/2 гипергеометрической функции пробегает отрезок [0,1/2] . Поэтому из (2.8) мы получаем оценку

|X(a,1; T)| < Ci + Cl2

и отсюда оценку (2.6) с K = 2 :

|X (a,1; T)| < C (1+1)2, -2 < Re a < -1, a = -1.

Аналогично мы поступаем с полосой -3 < Rea ^ -2 с исключенной точкой a=-2 :

опять мы пишем (2.7) и используем для X(a + 1,...) уже доказанную оценку (2.6), в итоге

получаем неравенство

|X(a, 1; T)| < |X(a, d; T)| + Cl4 и затем (2.6) с K = 4 , и т. д. □

Лемма 2.6. Пусть a € (n/2)+ Z , a €-1-N . Тогда для всякого к € N существуют постоянные C и K, зависящие только от a, такие, что

;|) Г(a, 1; b)|< C ■ (l + 1)K, (2.9)

для всех 1€ N и Шо , где t0 > 0 - некоторое число.

Доказательство. Сначала докажем аналогичное утверждение для X (a, 1; T), а именно, при условиях леммы для всякого к € N существуют постоянные C и K, зависящие только от a, такие, что

d \k

—J X(a, 1; T) < C ■ (1 + 1)K, (2.10)

для всех 1 € N и T € [0,1] .

В самом деле, в силу [2] 2.1(7) мы из (2.3) получаем

d \ k

(dT) X(a,1; T)= a(k) X(a-к, 1; T).

Теперь (2.10) следует из леммы 5.8.

Так как Ь — 1 - Т2 , то производные по Ь и по Т связаны некоторым соотношением, см. [3] 0.433(1). Поэтому

(йЬ)‘ У<а.*Ь>— (-2)‘ § — (йТГ X<а.т (»Л«

где

Ск. — (к -1+ 3)!

( ) 2. з! (к - 1 - з)! .

Возьмем некоторое число £0>0 . Обозначим Т0 — 1М0 . Тогда Т0 > 0 . Неравенство (2.9)

для £ ^ £0 получается с помощью соотношения (2.11) и неравенства (2.10), взятого для

£^£0 , т. е. для Т € [Т0,1] . □

1696

Лемма 2.7. Оба ряда

<х

(р+ р)(ж) = Yfo*;b) w(s)> (2-12)

1=0

ro

(p- ^(x) = (b) pi(s) (2-13)

1=0

и все их производные по Ь 'равномерно сходятся при £ ^ £0 > 0 . Следовательно, их можно почленно дифференцировать по Ь и переходить к пределу при Ь ^ 0 .

Доказательство. Рассмотрим сначала формулу (2.12). Из леммы 2.6 и оценки (1.3) для р, следует, что ряд

J2 C (l+l)K-h (2.14)

\K-fe

С (І+-1 1=0

с некоторыми С, К и произвольным Н Є N является мажорантой для к раз продифференцированного по Ь ряда (2.12) на отрезке [0, Ь0] , Ь0 = (еМ0)-2 . Возьмем Н > К + 1, тогда эта мажоранта сходится.

Теперь рассмотрим формулу (2.13). Ее можно переписать так:

~ 1

—п—ст, І; Ь) рь

{Ра <р)(ж) = ^2 a~T)Y(2-n-^>i;b)

a(a,

1=0 v ’

Коэффициент a(a, l)-1 ведет себя при 1 ^ то как const ■ ¿2-n-2cr, поэтому мажорантой для к раз продифференцированного по b ряда (2.13) на [0, b0] будет ряд

ГО

Y C (1 + i)K-h+2-n-2p,

1=0

где р = Re a , с некоторыми C, K и произвольным h € N . Возьмем h > K + 3 — n — 2р, тогда эта мажоранта сходится. □

Доказательство теоремы 2.1. Докажем (2.1). Из леммы 2.7 следует, что многочлен Тейлора

N 1 / , ч к

£ k! У W (x) bk (2Л5)

к=0

функции (P+ р) (x) по степеням b получается суммированием по 1 многочленов Тейлора

функций P+ рг (x). Но последние многочлены — это частичные суммы ряда

Sfc=o (C(j)k рг) (s) bk . Таким образом, многочлен Тейлора (2.15) равен

ГО N

1=0 k=0

Здесь суммирование по І можно переставить с суммированием по к (конечным) и внести под знак оператора - в силу непрерывности последнего. Мы получаем, что многочлен Тейлора (2.15) равен

N

Y (C^k Р) (s) ' bk.

у(7.

k=0

1697

Это частичная сумма ряда из (2.1). По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа разность между функцией (Р+р) (х) и ее многочленом Тейлора есть

где 0 < с < Ь, и мы использовали лемму 2.7. Члены ряда, стоящего в фигурных скобках, уже в сущности были оценены в лемме 2.6. Мажорантой для этого ряда для £ ^ £0 , в € 5 служит ряд (2.14) с К — N + 1, сходящийся при Н > К + 1. Следовательно, упоминавшаяся разность по абсолютной величине не превосходит С ■ Ьм+1 для всех £ ^ £0 , в € 5, что и доказывает (2.1).

Формула (2.2) доказывается аналогично. □

1. Лртемов A.A. Преобразование Пуассона для однополостного гиперболоида // Матем. сб., 2004. Т. 195. № 5. С. 33-58.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-матгиз. 1963.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-00325); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 1.1.2/1474); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349); темплана 1.5.07.

Artemov A. A. Boundary behavior of a Poisson transform for a hyperboloid of one sheet.

For an arbitrary function on the boundary of the hyperboloid of one sheet in Rn, an asymptotic decomposition of its Poisson transform at infinity is given.

Key words: hyperboloid of one sheet; Poisson transform; hypergeometric function; Laplace-Beltrami

N+1 ^

ЛИТЕРАТУРА

Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.

operator.

1698