Графо-аналитический способ предвычисления точности сторон триангуляции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 84 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1956

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПРЕДВЫЧИСЛЕНИЯ ТОЧНОСТИ СТОРОН ТРИАНГУЛЯЦИИ

М. В. ПОСТНИКОВ

(Представлено научным семинаром кафедр маркшейдерского дела и

геодезии).

Для оценки достоинства геометрического построения звеньев триангу-ляций, а также триангуляции, развиваемой по методу геодезических засечек, при проектировании и рекогносцировке, определяют обратный вес

каждой фигуры — ^—, а затем эти величины суммируют по всему звену Рг

триангуляции. Полученная величина характеризует точность определения конечной стороны звена. Такое предвычисление достоинства триангуляции в отношении точности передачи длин сторон носит до известной степени

приближенный характер. Как известно, величина обратного веса--'ка-

Рг

кого-либо элемента триангуляции (дирекционного угла, стороны и т. п.)

строгим способом может быть вычислена из выражения:

\ -[«.<■]■

Однако применение этой формулы сопряжено с значительными вычислениями и на практике при предвычислении точности триангуляции обычно пользуются приближенными формулами. При выборе формул для этой цели большое значение придается их простоте и удобству пользования ими.

Для предвычислении точности проектируемой триангуляции, определяемой по методу засечек, подсчитывается величина (3 по формуле [1]:

3 = 282Л+В + 82Д—28а+в.8Д , (1>

где <3 — величина, обратная весу треугольника;

Ъа+в,8д — приращения логарифмов синусов углов треугольников при изменении этих углов на одну секунду, в единицах 6-го знака логарифмов.

Для определения величины (2 в ЦНИИГАИК под руководством проф. А. И. Дурнееа составлена таблица, опубликованная в „Сборнике статей ГУГК, 1944 г-.

Порядок определения величины (3 по этой таблице следующий:

1, По составленной в результате проектирования (или рекогносцировки) схеме сети измеряются транспортиром углы А и В с точностью до одного градуса (рис. 1).

2. По аргументам А и В для всех треугольников каждой передачи из таблицы двойным интерполированием, получаются значения (3. (Таблицы составлены с двумя входами — углами А и В).

И2

Для правильного отыскания величины следует принять следующее правило обозначения углов А и В.

Обозначим стрелкой направление передачи длины линии (рис. 1). Тогда в треугольнике № 1 задний угол при стороне ходовой линии 5 нужно обозначать Аи передний Вх\ в треугольнике № 2 задний угол соответствует В2, передний— Аи и т.д.

Рис. 1.

В горизонтальной строке таблицы отыскивается значение угла В, в вертикальном столбце берется значение угла Л, в пересечении линий читается величина (3. Затем, как рекомендует А. И. Дурнев [1], для каждой передачи вычисляется среднее арифметическое значение 0_ср' и С}срп из двух треугольников. Одновременно с этим вычисляется вес Р для каждой передачи и для обеих передач. Вес каждой передачи Р и величина С1т вычисляются по формулам:

= ; аеР - , (2)

, (3)

= _100_ _100_

Вычисления величины <3 и веса передачи Р производятся в ведомости следующей формы ( табл. 1):

Указанные правила вычисления С£т и Рт справедливы только при равенстве углов А и В. Если углы А и В резко отличаются между собой, то зычисление величины С} следует производить иначе.

Двойная передача повышает точность (вес) результата, поэтому вес уравненного значения стороны будет равен сумме весов обеих передач, т. е.

или

тогда

где

Р =

1 с?ч<з"

<2' су <3' • <3"

(Г -- <)\ ; сг-д, д.

(¿'■(Г (Г (1

8. Изв. ТПИ, т. 84.

113

Вычисления обратного веса триангуляции Формулы:

Таблица 1.

-г

г . Л"

о _ <укас, --

100

Ъср

Первая передача

Вторая передача

№№ треугольников А В Оср , 100 ^ ср №№ передач 1 №№ треугольников А В о; 100 р"~------ Чср

39^ Перед. № 7 38' ! 1 \

26 65 25 30 :

114° 99°

49 2,00 <Зт = 33,5 18 5,6

94э 55"

28 33 Рт = 3,0 27 6

51э 1 I 57°

О' П" п' О"

Отсюда легко доказать, что---—-—!__>._

<г'+(2" ^ 2

Заметим, что такой прием нахождения обратного веса передачи не является совершенно строгим, так как

1 О' О"

РР 1 <3'+<7

Однако это правило определения обратного веса будет давать результаты, более близкие к значениям, вычисленным по строгой формуле.

Ниже приводится порядок вычисления С1т и Р.

1. Из значений <3, определенных для каждого треугольника передачи, находятся величины и С1"

<7 = <2/4-<2/; =

(5)

2. По найденным и С}" вычисляется вес неуравненного значения стороны 59

= ■ (6)

0; к }

3. Вычисляется вес уравненного значения стороны Рт и ()т

Ргп = Р'+Р". (7)

Рт - ч+о?- (8)

Вычисление величины Q и веса Р производится в схеме следующей формы:

Таблица 2

Вычисления обратного веса стороны триангуляции

Формулы:

<?'= Q'i + Q 2 Q" = Q"i +

100 ICO

P' =_— P" =__

Q' Q"

Pm = P' + P"

_ 1 _ Q'.Q"

Qm ' " Q'-l Q" Первая передача Вторая передача

№№ треугольников

В

Q' \Р'

100

Q

№№ передач

№№ треугольников

В

QÍ

q:

1¿o

•28

; 39°

| 114

i I

; 94°

i

Í

51°

65

33

98

1,02

Передача № 6

Рт = 3,80 <1/11=26,3

25

27

38a

991

553 57э

30

36

Чтобы ускорить и упростить получение величин (3, можно измерять в треугольниках триангуляции не углы А и В} а длины проекций а и Ь, прилежащих к этим углам (рис. 2) при определенном значении высоты треугольника (например: Л = 40 мм), а затем по аргументам а и Ь определять величины по особой таблице.

с

Теоретическая основа этого способа заключается в следующем: в треугольнике ABC (рис. 2) опустим перпендикуляр h — CD из вершины Сна сторону АВ} который разделит сторону АВ на отрезки AD = a и DB = b.

Очевидно, отношение — будет выражать котангенс угла А, а отноше-

Л

Ъ п ние----контангенс угла В.

к

Проведем линию АГВГ параллельно стороне АВ на расстоянии от вершины треугольника С, равном заданной величине СО' = 1г\ тогда:

= А = Л . (9)

Л п

V К

ctg В.

(10)

Формулу (1) можно представить в ином виде, переходя от о к котангенсам углов:

/ 10Gu V-

Q = [ctg2Л + 2ctg2(i4 + В)-2 ctg (А + В). ctg А]. J . (11)

Выражая котангенсы углов через элементы треугольника а, & и А, формула (11) напишется так:

а \2

+ 2

- а • --О h 2 ~ а b

/г — 2 h h

а ЛГ +1 _ {h) а h ^ h

106[А

(12)

или после соответствующих преобразований;

q = t(ab-h*)* + (a* + h*Y]

h\a + Vf

\оу V

Р

(13)

Для измерения отрезков а и ¿?, при постоянной величине к, можно построить палетку на прозрачной основе (рис. 3).

Палетка

для определения отрезкод а и $

8 ?

ттт]г7;г,7пn:|/!■ ¡j.. i|ir [п 8 J 6 S

'Ч-!< |1 'Т'Ч!. •";.........

PIGI23U567S

pinirii!jfiH!i'il|"l:![mT''H:r!:iti:i.:iii ¡„кцм'.п1"-------у—"---

to 8 s 7 6 b А . j 2 / ü

e

ттн.7ттп|1.и;»тпирг

тртттрт

-тгт-1

3^ 5 6 7 8 9 /0

.......iJl,l-

'2 л Ш 9 Я 7 V 5 и з г / О I 2 3 Ь 5 6 7 В 8 !0 ;/

Рис. 3.

На линии СО откладываются равные отрезки по 20 мм и через их концы проводятся перпендикулярно к СО прямые А' В\ А" В" и А" Вт у на которых наносятся шкалы с делениями в один миллиметр. Для правильной установки какой-либо шкалы с миллиметровыми делениями параллельно-основанию треугольника, между прямыми АГВ\ АиВ" и А"'В"' и параллельно-им проводятся вспомогательные пунктирные линии.

Пб

Порядок определения величины Q при помощи линейных отрёзков ■будет следующий :

1. На схеме построенной сети триангуляции накладывается прозрачная палетка, точка S совмещается с вершиной С треугольника АБС (рис. 1), а одна из шкал устанавливается параллельно основанию АВ треугольника.

При измерении линейных отрезков а и b следует принять такое правило: отрезок а всегда будет внешним отрезком каждого пучка засечек, а отрезок b прилежащим к средней (связующей) стороне.

Отрезки а. и b измеряются с точностью до одного миллиметра.

2. По аргументам а и b из таблицы выбирается значение Q.

Иногда один из связующих углов в треугольнике может быть тупым,

т. е. превышать 90° (рис. 4).

В этом случае отрезки а и b, определяющие значения углов А и В, измеряются в одном направлении от вертикальной линии CD, а отрезок, определяющий тупой угол, будет отрицательным. Так, для случая (а) на рие. 4 линия D'A' = a, D'B' — — b для случая (б), D'A' ~ — b и D'A' = a;

Таблица для определения величин Q по линейным отрезкам должна иметь два входа. В горизонтальной строке аргумента подписываются отрезки b, а в вертикальном столбце — отрезки а. В пересечении горизонтальной и вертикальной линий получается значение Q. Таблицу величин Q рекомендуется составить при Л —40 мм, что соответствует среднему треугольнику триангуляции IV класса, нанесенному на чертеж в масштабе 1:25000.

В этом случае при определении отрезков а и b на палетке следует пользоваться средней шкалой.

При составлении таблицы значений Q длины отрезков а и b необходимо устанавливать с различными интервалами, с учетом обеспечения точности определения величин Q в 2 — 3% (т. е. без интерполирования).

Составленная таким образом таблица практически не будет требовать интерполяции при определении Q.

При постоянной высоте треугольника h необходимая точность измерения отрезков а и b определяется скоростью изменения величины Q. Чтобы получить по линейным отрезкам величину Q с точностью до единицы шестого знака логарифма, отрезки а я b при углах А и В более 90° следует измерять с погрешностью не более 1 мм\ при углах А от 40 до 105° и углах В от 20 до 40° величина Q изменяется очень медленно и здесь отрезки а и b могут быть измерены с погрешностью до 3—4 мм.

Таблица для вычисления величины Q по линейным отрезкам приводится в приложении № 1. Для ее составления была использована таблица значений Q, составленная в ЦНИИГАИК, но вместо входов А° и В0 были вычислены новые входы а мм и b мм при h = 40 мм.

Эта таблица не имеет соответствующих целых интервалов для величин а и b и не может полностью выявить преимущество нового способа определения Q.

Если треугольник очень мал, то измерение отрезков следует производить по верхней шкале (при h = 20 мм), но для получения величины Q измеренные отрезки нужно удвоить. При значительном размере треугольника измерение отрезков производится по нижней шкале (при h = 60 мм).

Для получения величины Q в этом случае измеренные отрезки а и b необходимо умножить на 2/3.

Рис. 4.

Пример 1.

Дано: а = 63 мм\ & = 55 мм, найти С1; шкала средняя ответ: С1~7.

Чтобы избежать вычислений, связанных с переводом отсчетов, сделанных по верхней или нижней шкалам к средней шкале, для которой составлена таблица значений величин (3, можно изготовить палетку с радиальными лучами (рис. 5).

Палетка для определения отрезков а и Ъ

8

Рис. 5.

На рис. 5 изображена палетка с пучком линий, расходящихся из вершины палетки. Надписи 10; 20; 30... 80 у концов линий выражают собой отрезки а и Ь в мм, приведенные к средней шкале, для которой составлена таблица. При пользовании указанной на рис. 5 паглеткой измерение отрезков а и Ь следует производить по основанию треугольника.

Графоаналитический способ предвычисления точности сети может быть применен и для триангуляции, построенной из сплошных треугольников.

При проектировании и рекогносцировке рядов триангуляции обычно производится оценка достоинства их геометрического построения путем подсчета для каждой фигуры ряда обратного веса и суммирования этих величин по всему ряду.

Для определения обратного веса фигуры, вычисляется величина /? по формуле:

/? = (8л2+8в1 + 8д.8в), (14>

где и ов—приращения логарифмов синусов связующих углов при изменениях этих углов на одну секунду (в единицах 6-го знака логарифмов).

Формулу (34) можно представить в ином виде, переходя от 3 к котангенсам углов

Я = (с + В + с 1цА. с\ёВ) - (15)

Выражая котангенсы углов через элементы треугольника ауЬ и к (рис. 2), формулу (15) напишем так:

Отрезки а и Ь измеряются палеткой (рис. 3 и 5) в том же порядке как было указано выше.

Для получения величины /? по линейным отрезкам может быть составлена таблица, аналогично таблице значений <3, для чего в имеющиеся таблицы

вместо входов Ас и В° должны быть вычислены два новых входа а мм и Ь мм через соответствующие целые интервалы (приложение № 2). Для получения величины Я по линейным отрезкам можно построить номограммы [3] (приложения № 3 и 4). Если значение меньше 20 единиц 6-го знака логарифма, то оно получается по номограмме 2.

Пользование номограммами состоит в следующем:

1. При помощи палетки измеряются отрезки а и Ъ с точностью до 1 мм.

2. По кривой аЬ номограммы находят две точки, соответствующие измеренным отрезкам а и Ь и соединяют их прямой линией до пересечения ее со шкалой /?, на которой читается ответ. Если значения отрезков а и Ь одинаковы, то в соответствующей точке кривой аЬ проводят касательную до пересечения со шкалой.

Пример 2.

Дано а = 110,6 мм, Ь=\А,Ъ мм. Найти

Решение. Задача решается с помощью номограммы № 1.

Ответ:

= 39,0 единиц шестого знака логарифма.

Пример 3.

Дано: а = Ь — 72 мм. Найти /?.

Задачу решаем по номограмме № 1. Проводим касательную к кривой аЬ в точке номограммы 72 мм. В пересечении касательной со шкалой находим ответ /? = 43.

Следует заметить, что по величине /? можно судить о сравнительных достоинствах отдельных треугольников.

Пренебрегая ошибкой исходной стороны, для ряда, состоящего из п треугольников, среднюю квадратическую ошибку логарифма связующей стороны п треугольника, можно выразить так:

или

/ 9 п

m\gan=m"Y _A_v (оА'г - ов24-&д.8в (17)

m'iga„ = m"* J . (18)

Я,

где

т" — средняя квадратическая ошибка измеренного угла;

1 1

---сумма величин--, вычисленных для каждого треугольника по

Рап Р

формуле: _L = -2- [ЪА* 4. -f ZA. SB) . (19)

/ 3

Формула (19), как известно, совершенно строга при уравнивании цепи триангуляции по углам за условия фигур.

Когда ряд состоит не из треугольников, а из четырехугольников и центральных систем, обратный вес этих фигур будет вычисляться уже по приближенной формуле:

-р = V (rV + v + Зд ЬвУ (20)

Формулы (19) и (20), служащие для подсчета обратного веса последней стороны ряда, могут быть объединены в одну:

п

-¿— = Ь У (ол2 + ОВ- + ОаГОв), (21)

* (I п ^ИИ

где для треугольников к = 2/3; для геодезических четырехугольников и центральных систем к— —

Если под т!' понимать среднюю квадратическую ошибку измеренного направления, то величины коэффициентов в формуле (21) будут другие.

Для треугольников величина к — для геодезического четырехуголь-

3

ника и центральной системы к = 1,0.

Формулой (21) можно пользоваться и тогда, когда звено состоит из различных фигур; в этом случае надлежит вычислять значение обратного веса для каждой фигуры и образовать затем сумму этих весов для всех фигур, составляющих звено.

Выводы

При проектировании триангуляции рядами или по методу геодезических засечек, графоаналитический способ определения величин <2 и /? ускоряет и упрощает процесс работы.

Опыт показывает, что определение с помощью палетки линейных отрезков а и Ь, по которым находятся величина <3 или /?, производится быстрее примерно в два раза, чем измерение транспортиром углов А° и В°

Пользование таблицей значений /?, составленной Береговой и Геодезической службой США для определения Я, требует интерполяции по обоим входам А° и В°. Таблица же, составленная по линейным отрезкам с интервалами, указанными выше, исключает это неудобство

Предлагаемые автором номограммы для определения величин по отрезкам а и Ь решают также задачу получения практически без интерполирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дурнев А. И. Новые системы построения геодезических сетей. Геодезиздат, 1952.

2. К р а с о в с к и й Ф. Н. и Д а и и л о и В. В. Руководство по высшей геодезии. Часть 1, выпуск 1, Геодезиздат, 1939.

3. Модринский Н.. И. Номограммы для геодезических вычислений. ОНТИ, 1937.

4. Магницкий В. А. К вопросу об оценке достоинства геометрического построения триангуляции. Сборник статей ГУГК, выпуск XVIII. Геодезиздат, 1948.

5. Павлов Ф. Ф. Предвычисление точности засечек в маркшейдерских триангуляциях, Углетехиздат, 1951.

ТАБЛИЦА ВЕЛИЧИН О

(в единицах 6 знака логарифма)

Составлена по двум аргументам: 1. Значения углов А и В 2. Длины отрезков а и Ь 1

Приложение 1

мм при Л = 40 мм

Катет Ь в мм .

I I I I ' I I I I I I I 109,9 99,089,885,882,0.75.269,364,059,3 57,1 55,Г51,247,744.4

__I I 1 I I 1 I I I I I I I

! I 1 1 1 I 1 ! I

41,4 40,0,38,б 36,0 3:5,Г>28.0 23.1 1Я.7 1!,6 10,7, 7,1

1 I I I I I I I I

1 : I 3.5 0 -

I I !

3.5 |-7,1

Катит а в мм В' 20° 22" 245 25° 26" 28° 30' 32° 35' 36° 38° 40° 42° 4, 45' 46" 48° 50' оо 60 65-' -

109,9 20 17 17! 18 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 24 24 24 25 26 28 29 31 33

«5,8 25 10 10 11 11 11 11 . 11 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 15 16 17 19 20 22

69,3 30 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 10 ю ! ю 11 12 13 15 16

57.1 35 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 9 9 10 12 13

47,1 40" 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 8 10 И

40,0 45 2 2 9 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 4 5 (5 7 9 10

33,6 50 2 2 2 2 2 2 2 ■} 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 6 7 8 10

28.0 55 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ■') 3 3 3 3 4 4 4 4 4 6 9 11

23,1 60 1 1 1 1 1 1 1 -2 2 2 2 3 3 3 4 4 1 4 6 7 9 12

18,7 65 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6 N 11 11

14,6 70 1 1 . 1 1 1 1 ■) 2 2 3 3 3 4 ■1 4 5 5 7 10 18 17

10,7 75 1 1 1 1 1 1 2 2 ^ 2 3 3 4 4 5 5 6 6 9 12 16

7.1 80 1 1 1 1 1 2 2 ■> 3 3 3 3 4 5 5 6 6 7 К И 15 20 29

3.5 «5 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 ■1 4 5 6 6 7 7 8 10 14 19 28 42

0 90 1 2 ■> 2 2 3 3 3 4 * ^ 6 7 8 9 10 11 13 18 27 41 67

- 3.5 95 2 ■> 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 9 11 12 13 15 17 25 38 65 91

— 7.1 ИХ) 2 * 3 3 4 5 6 7 7 8 9 И 13 15 16 17 20 24 38 63 118 27 М

— 8.5 102 2 1 4 4 5 6 7 8 8 9 К) 12 14 17 18 20 24 28 45 78 1Г>Н

— 10,0 101 3 3 1 4 5 5 6 8 9 9 10 12 14 16 19 21 23 '>7 33 55 100 224

— 10,7 105 3 4 4 5 5 6 7 8 9 10 11 13 15 1« 21 23 25 30 36 61 115 272

- 11,5 106 3 4 4 5 5 6 7 8 10 11 12 14 16 19 23 25 27 42 39 68 133

— 13.0 108 1 4 5 5 5 7 8 10 11 ¡2 13 16 19 ■>■> 26 29 32 39 48 86 183

— 14.6 110 4 5 6 6 7 8 9 11 13 14 15 18 22 26 31 34 38 47 59 112 267

— 16,2 112 5 6 6 7 8 9 И 13 15 16 18 21 25 31 37 41 46 58 74 152

— 17.8 114 5 К 7 8 9 10 12 14 17 19 21 25 30 37 45 51 57 73 95 215

— 19,4 116 6 7 8 9 10 12 14 17 20 22 24 29 36 45 56 63 72 94 126

— 21,2 118 7 8 10 11 12 14 16 20 24 26 29 35 44 55 71 81 93 125 175

— 23.0 120 8 9 11 12 13 16 19 23 28 31 35 43 5} 70 91 106 124 174 258

- 25,0 122 9 11 13 11 16 19 23 28 34 38 42 53 69 90 122 144 172 255

— 27,0 124 11 13 15 17 18 22 27 33 42 47 52 68 89 121 170 206 253

— 2Я,0 125 11 14 16 18 20 24 30 37 46 52 59 77 102 142 205 252

— 29,1 126 12 15 18 20 22 26 33 41 52 58 66 88 119 168 251

— 31,3 128 14 17 21 23 26 32 40 51 65 75 86 119 166 249

- 33,5 130 17 20 25 28 31 39 50 64 85 99 116 164 246

- 3(5,0 132 20 24 30 34 38 49 63 84 114 135 162 243

'! 85° | 90 95° : 100'

I I

-10,7-14,6 -18,7-23,0 -25,0 -—27,0 —28,0 —29,1 -31

I I ,3 -33,5 - 36,0

I I

105° ,110° I 115° ! 120' ! 122' I 124' 125' 126

128"

130'

132'

38 41 43 47 50 55 60 1 67 75 79 84 85

26 28 31 34 38 43 48 1 56 ! (56 71 77 80

20 25 28 32 38 44 1 53 : 66 74 82 87

17 19 22 26 31 37 45 ! 58 . 77 88 102 Ш

15 18 21 26 31 39 51 *0 ; 102 1 123 151 169

- 15 18 22 28 35 46 64 95 1 : 161 209 285 340

16 19 25 32 13 (Я) 87 154 ; ззо

17 20 25

.33 46

71 126 285

22 I 29 27 ! 37 . 35 ; 51

I 48 | 76 I 74

■129 29! :290 ■

40

53 79

136 290

56 82 140

301

8!)

322 !

89 84 92

121 191

95 9-2 106 145

102

102 122

180 351

111 114

144 230

Приложение 2

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН 1*

(в единицах шестого знака логарифма)

Я = ^ + +

Составлена по двум аргументам: I. Длины отрезков „а" и „Ьм в мм

при и — 40 мм 2. Значения связующих углов А° к Ве

Катет Ь в мм 123,1 109,9 99,0 89,8 1 1 1 | I I 1 1 1 1 > 82,0 75,2 69,3 57,1 47,7 40,0 33,6 28,0 23,1 18,7 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 ,14,610,7 1 1 I7'1 3,5

Катет \ вэ 1 1 1

а 18° 20° 22° 24° 26° 28° 30° 1 35* 40э 45е 50° 55° 60° 65° 75° 80° 85е 90е

в мм 1 1 | 70°

109,9 20 113 100 91

99,0 22 103 91 81 74

89,8 24 95 83 74 67 61

82,0 26 89 77 68 61 56 51

75,2 83 23 72 63 57 51 47 43

69,3 30 79 68 59 53 48 43 40 33

57,1 35 71 60 52 46 41 37 33 27 23

47,7 40 65 54 47 41 36 32 29 23 19 16

40,0 45 60 50 43 37 32 28 25 20 16 13 И

33,6 50 57 47 39 34 29 26 23 18 14 И 9 8

28,0 55 54 44 37 32 27 24 21 16 12 10 8 7 5

23,1 60 51 42 35 30 25 22 19 14 11 9 7 5 4 4

18,7 65 49 40 33 28 24 21 18 13 10 7 6 5 4 3 2

14,6 70 48 38 32 27 23 19 17 12 9 7 5 4 3 2 2 1

10,7 75 46 37 30 25 21 18 16 11 8 6 4 3 2 2 1 1 1

7,1 80 45 36 29 24 20 17 15* 10 7 5 4 3 2 1 1 1 0 0

3,5 85 43 34 28 23 19 16 14 10 7 5 3 2 2 1 1 0 0 0

0 90 42 33 27 22 19 16 13 9 6 4 3 2 1 1 1 0 0 0 0

- 3,5 95 41 32 26 22 18 15 13 9 6 4 3 2 1 1 0 0 0 0

- 7,1 100 40 31 25 21 17 14 12 8 6 4 3 2 1 1 0 0 0

— 10,7 105 39 30 25 20 17 14 12 8 5 4 2 2 1 1 0 0

14,6 110 38 30 24 19 16 13 11 7 5 3 2 2 1 1 1

- 18,7 115 37 29 23 19 15 13 11 7 5 3 2 2 1 1

- 23,0 120 36 28 22 18 15 12 10 7 5 3 2 2 1

- 28,0 125 35 27 22 18 14 12 10 7 5 4 3 2

— 33,6 130 34 26 21 17 14 12 10 4 3

- 40,0 135 33 26 21 17 14 12 10 7 5

— 47,7 140 32 25 20 17 14 12 10 8 6

- 57,1 145 32 25 21 17 1 Т 13 11 9

- 69,3 150 32 26 21 18 1 и 16 15 13

- 75,2 152 32 26 22 19 1 7 16

- 82,0 154 33 27 23 21 1 / 1 О

- 89,8 156 34 28 25 22 1У

— 99,0 158 35 30 27

— 109,9 160 38 33

ПриПОЖёние 3

ö -n

S5-

co

50

h5

ЦП

99

Чъ ■1

С £ 38 '

! 37 -

Г.1

Ö 38 J

О ■ i

^ 3J -i

£ '¿i*

b j

^ 33 -j

о

-i

32 4

К

0 ÎT 3! -j

i -1

ä о, 30

ъ I

V5 ] 29 ; \

28 -

21 26 25

2h

23

22

Нотгрото для вычисления Наличии Я по линейным отрезком О и

Qu 6

Ä Схема пользования

а и

}6ет\

дано

\ /

дано

Дано

70 65

Пример

а -//0,5 л у». 6-/& S л лг

OmSt/rr ft.* 39 единиц 6-¿о знопэ льтрир-неб

ftffúMM finite 4

'Лист 2