Граф-многообразия рода 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф. Г. КОРАБЛЕВ

ГРАФ-МНОГООБРАЗИЯ РОДА 21

Доказывается одно необходимое условие для полностью ориентируемых граф-многообразий рода 2. Описывается такое множество графов, что любое полностью ориентируемое граф-многообразие рода 2 построено на одном из этих графов.

Ключевые слова: граф-многообразие, разбиение Хегора.

Введение

Цель этой работы заключается в доказательстве одного необходимого условия для полностью ориентируемых граф-многообразий рода 2. Основным результатом является следующая

Теорема 1. Если полностью ориентируемое граф-многообразие имеет род 2, то соответствующий ему граф является графом одного из следующих восьми типов (рис. 1).

Замечание 1. Каждому указанному типу, кроме двух, соответствует бесконечная серия графов, так как в каждой группе вершин, показанных через многоточие, может быть любое неотрицательное число вершин.

Работа основана на результате статьи [1], который состоит в следующем:

Теорема 2. Пусть М — полностью ориентируемое граф-многообразие. Если М = V и^ Ш — сильно неприводимое разбиение Хегора, то Б изотопна поверхности, пересекающей каждое вершинное многообразие М,и либо по горизонтальной, либо по вертикальной, либо по псевдогоризонтальной, либо по псевдовер-

1Работа поддержана РФФИ (грант 06-01-72014-МНТИ) и интеграционным проектом УрО

Рис. 1. Графические типы граф-многообразий рода 2

и СО РАН.

тикальной поверхности, а каждое реберное многообразие Ме = Т2 х I — одним из следующих способов:

1) по совокупности несжимаемых колец или поверхности, полученной из них 1-перестройкой вдоль дуг, которые изотопны дугам, лежащим в дМе;

2) либо V П Ме, либо Ш П Ме изотопно окрестности N ((с х {0}) и (р х I) и (с' х {1})), где с и с' — это замкнутые кривые на торе Т2, пересекающиеся в одной точке р € Т2.

Замечание 2. Поверхность второго типа в реберном многообразии будем называть тэнглом.

Идея доказательства теоремы 1 такова. Сопоставим каждому вершинному многообразию его тип в зависимости от того, как его пересекает поверхность разбиения. Другими словами, каждое вершинное многообразие может быть либо вертикальным, либо псевдовертикальным, либо горизонтальным, либо псев-догоризонтальным. Затем опишем многообразия Зейферта всех четырех типов. Оказывается, что многообразий вертикального и псевдовертикального типа бесконечно много, а многообразий оставшихся двух типов конечное число. Далее рассмотрим все возможные комбинации склеек вершинных многообразий. При этом число вариантов склеек оказывается конечным.

1. Основные определения

Определение 1. Полностью ориентируемое граф-многообразие — это ориентируемое трехмерное многообразие М, сопоставленное конечному графу Г следующим образом:

1) каждой вершине V графа Г сопоставлено многообразие Зейферта с ориентируемой базой, обозначаемое М^ и называемое вершинным многообразием;

2) каждому ребру е графа Г сопоставлено многообразие Т2 х I, где Т2 — двумерный тор, обозначаемое Ме и называемое реберным многообразием;

3) если вершина V и ребро е инцидентны, то соответствующие вершинные и реберные многообразия склеиваются по некоторому гомеоморфизму компонент их краев.

Замечание 3. Любое многообразие Зейферта с базой В и параметрами особых слоев (р1, 51),..., (рП, дП) можно получить следующим образом. Пусть поверх-

П

ность В' = В — ( У Д2) получена из поверхности В удалением п непересекающих-

г=1

ся дисков. Обозначим компоненты края поверхности В' через с1;..., с&, где к ^ п. Рассмотрим многообразие М' = В' х Б1. На всех компонентах края многообразия М' существует естественная система координат, где в качестве меридиана выбирается кривая ^ = с х {*}, а в качестве пераллели — кривая А^ = {*} х Б1. Направления на кривых ^, А^ выбираются так, чтобы пары (^,А^) индуцировали одну и ту же ориентацию многообразия М'. Тогда многообразие Зейферта М = (В; (р1; д1),... , (рП, дп)) получено из многообразия М' приклеиванием п полных торов к компонентам края с х Б1 по гомеоморфизмам, переводящим меридиан полного тора в кривую типа (р^, д). Возникающая при таком построении

многообразия Зейферта система координат на компонентах края многообразия М называется стандартной.

Определение 2. Пусть Е — некоторая поверхность в многообразии Зейферта М с базой В, с — дуга в М, которая пересекает Е лишь в своих крайних точках, и при естественной проекции р: М ^ В кривая с проецируется в дугу, вложенную в В. Пусть N (с) — трубчатая окрестность кривой с в М. Край окрестности N (с) состоит из кольца А и двух дисков ^1, Д2 С Е. Операцию замены поверхности Е на поверхность (Е (Д1 и Д2)) и А будем называть 1-перестройкой поверхности Е вдоль дуги с.

Определение 3. Поверхность Б в многообразии Зейферта называется вертикальной, если она состоит из неособых слоев. Поверхность Б называется псев-довертикальной, если существует вертикальная поверхность V и набор дуг Г, пересекающих поверхность V только по своим краевым точкам, такие, что поверхность Б получена из поверхности V 1-перестройкой вдоль дуг Г.

Поверхность Б называется горизонтальной, если она трансверсально пересекает все слои многообразия Зейферта. Поверхность Б называется псевдогори-зонтальной, если она горизонтальна всюду, кроме регулярной окрестности некоторого слоя е, и пересекает эту окрестность слоя е по кольцу.

Замечание 4. Горизонтальные и псевдогоризонтальные поверхности в многообразиях Зейферта имеют очень специальную структуру. Если рассмотреть разветвленное накрытие Б' базы многообразия Зейферта степени d с п точками ветвления индексов Р1,... ,рП, то горизонтальная поверхность состоит из нескольких параллельных копий поверхности Б' (см. [2]). Здесь р1,... ,рП — кратности особых слоев многообразия Зейферта, d = НОК(р1;... ,рП).

Определение 4. Разбиением Хегора замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия М называется его представление М = V и^ Ш в виде объединения двух полных кренделей по общей поверхности Б, которая называется поверхностью разбиения. Род поверхности Б называется родом разбиения. Наименьший род из всех разбиений называется родом многообразия М.

Определение 5. Разбиение Хегора М = V и^ Ш называется сильно неприводимым, если для любого существенного диска Д С V и любого существенного диска Д' С Ш пересечение дД П дД' не пусто.

Известный факт состоит в том, что любое разбиение Хегора рода 2 неприводимого многообразия сильно неприводимо.

Определение 6. Поверхность Б в многообразии Зейферта называется допустимой, если она является либо горизонтальной, либо вертикальной, либо псевдого-ризонтальной, либо псевдовертикальной и х(Б) ^ —2.

2. Допустимые поверхности

В этом разделе мы опишем все возможные допустимые поверхности и многообразия Зейферта, их содержащие. Очевидно, что любое многообразие Зейфер-

та содержит допустимую вертикальную поверхность. Любая такая поверхность состоит из набора вертикальных колец и торов. Точно так же любое многообразие Зейферта содержит псевдовертикальную поверхность, которая получается из вертикальной с помощью одной 1-перестройки.

Все многообразия Зейферта, содержащие горизонтальные или псевдогори-зонтальные допустимые поверхности, можно разбить на конечное число серий. Следующие две леммы описывают все многообразия Зейферта горизонтального типа.

Лемма 1. Если многообразие Зейферта М с краем содержит допустимую горизонтальную поверхность, то оно имеет один из следующих типов:

1. М = (Д2;(2^), (2,д2))- Здесь горизонтальная поверхность — набор, состо-

ящий из четного числа параллельных колец, пересекающих край многообразия М в стандартной системе координат по кривым типа (сі, —с1д1^д2), где й Є N.

2. М = (Д2;(3,5і), (3,д2)). Здесь горизонтальная поверхность — либо пара

параллельных проколотых торов, пересекающих край многообразия М в стандартной системе координат по кривым типа (3, —д1 — q2), либо пара параллельных трижды проколотых сфер, пересекающих край многообразия М в стандартной системе координат по кривым типа (1, — Я1^д2)-

3. М = (Д2;(З^), (2^2)). Здесь горизонтальная поверхность — пара парал-

лельных проколотых торов, пересекающих край многообразия М в стандартной системе координат по кривым типа (6, —2q1 — Зq2).

4. М = (Д2;(2^), (2^2), (2^з)). Здесь горизонтальная поверхность — пара

параллельных проколотых торов, пересекающих край многообразия М в стандартной системе координат по кривым типа (2, —q1 — q2 — q3).

5. М = (Д2;(4^), (2^2)). Здесь горизонтальная поверхность — пара парал-

лельных проколотых торов, пересекающих край многообразия М в стандартной системе координат по кривым типа (4, —q1 — 2q2).

6. М = (Ж2;). Здесь поверхность N2 — диск с двумя дырками. Горизонталь-

ной поверхностью является пара экземпляров N2, пересекающих каждую компоненту края дМ. Ее край состоит из кривых типа (1,/1), (1,12) и (1, —/1 — /2) соответственно в стандартных системах координат на каждой компоненте края дМ.

7. М = (Т2 \ Д2;). Здесь горизонтальной поверхностью является пара па-

раллельных проколотых торов. Край горизонтальной поверхности — это кривые типа (1, 0) в стандартной системе координат.

Доказательство. Пусть многообразие Зейферта М задано в виде (В; (р1, q1),... , (рп^га)). Так как горизонтальная поверхность — это поверхность разветвленного накрытия, то можно найти ее характеристику Эйлера по

формуле Римана — Гурвица:

Х(я-) = к . НОК(Р1,... ,р„) (т - (1 - I) - ... - (1 - 1)) ,

где Б' — поверхность разветвленного накрытия, т = х(В). Из анализа этой формулы и того, что допустимая горизонтальная поверхность состоит из нескольких экземпляров поверхности Б', сразу же получаем, что п = 0,1, 2, 3. Рассмотрев каждый из этих случаев, непосредственно находим, что многообразие М имеет либо один из указанных в формулировке леммы типов, либо тип (А2; (2, ^1)).

Типы кривых, по которым горизонтальная поверхность выходит на край многообразия, находятся с использованием того известного факта, что кривые, на которые можно натянуть поверхность, гомологичны нулю в многообразии. □

Следующая лемма описывает все многообразия Зейферта псевдогоризон-тального типа.

Лемма 2. Если многообразие Зейферта с краем содержит допустимую псев-дого'ризонтальную поверхность, то оно имеет тип (А2; (р1, д1)); причем псев-догоризонтальная поверхность — это диск с тремя дырками, две компоненты края которой лежат на одной компоненте края многообразия М и имеют тип (1,/1) в стандартной системе координат, а две другие — на другой компоненте края и имеют тип (1,12) в стандартной системе координат.

Доказательство. Доказательство этой леммы полностью проводится по схеме доказательства леммы 1. □

3. Комбинации склейки допустимых поверхностей

В этом разделе мы рассмотрим все возможные склейки допустимых поверхностей и содержащих их многообразий Зейферта. Все графы получающихся граф-многообразий и дадут искомый набор графов из теоремы 1.

Определение 7. Несжимаемое кольцо в реберном многообразии называется сквозным, если оно пересекает обе компоненты края реберного многообразия. В противном случае кольцо называется односторонним.

Лемма 3. Пусть М = V Ш — разбиение Хегора полностью ориентируемого граф-многообразия М. Пусть вершинное многообразие М1 = (Д2, (2,д1), (2,д2)) пересекается с поверхностью разбиения Б по поверхности, горизонтальной в М1. Тогда поверхность разбиения Б можно изменить с помощью изотопии так, что ее пересечение с реберным многообразием, примыкающим к многообразию М1, не содержит односторонних колец.

Доказательство. Доказательство практически очевидно. Если какая-то пара колец А1 и А2 в горизонтальной поверхности склеивается посредством одностороннего кольца, то с помощью изотопии горизонтальную поверхность можно изменить так, что кольца А1 и А2 уже не будут лежать в вершинном многообразии. Проделав такую операцию для всех пар колец, соединяющихся односторонним кольцом, получим требуемое. □

Доказательство теоремы 1. Пусть М — полностью ориентируемое граф-многообразие и Б — поверхность разбиения Хегора многообразия М. Будем считать, что с помощью изотопии поверхность Б приведена в положение, при котором пересечение с минимальной системой торов, разбивающих многообразие М на многообразия Зейферта, минимально.

Предположим, что среди всех вершинных многообразий многообразия М хотя бы одно имеет псевдогоризонтальный тип. Это вершинное многообразие, которое обозначим N, имеет вид (А2; (р1,^1)) и пересекается с поверхностью Б по четырежды проколотой сфере. Тогда пересечение поверхности разбиения Б со всеми остальными вершинными и реберными многообразиями состоит из колец. Единственные многообразия Зейферта, содержащие в качестве допустимых поверхностей кольца, — это либо вертикальные многообразия, либо горизонтальные многообразия вида (Д2; (2, д1), (2, д2)). В силу выбора поверхности Б и леммы 3 к многообразию N могут приклеиваться только два вертикальных вершинных многообразия V! и ^. Эти вершинные многообразия не могут склеиваться сами с собой или с другими вертикальными вершинными многообразиями, так как в противном случае система разбивающих торов была бы не минимальной. Поэтому остается единственная возможность, когда к каждому вертикальному вершинному многообразию приклеивается несколько экземпляров горизонтальных вершинных многообразий вида (Д2; (2, д1), (2, д2)). В этом случае граф-многообразию М соответствует следующий граф (рис. 2).

Рис. 2. Схема граф-многообразия, содержащего псевдогоризонтальное вершинное

многообразие

Теперь предположим, что среди всех вершинных многообразий многообразия М нет многообразий псевдогоризонтального типа, но существует хотя бы одно горизонтального типа. Тогда по лемме 1 это вершинное многообразие, которое обозначим N, имеет один из пяти видов. Пусть оно имеет вид (Д2; (3, ^1), (2, д2)) и поверхность Б пересекает это вершинное многообразие по паре параллельных проколотых торов. Тогда пересечение поверхности разбиения Б со всеми остальными вершинными и реберными многообразиями состоит из колец. Аналогично предыдущему случаю, единственные многообразия Зейферта, содержащие в качестве допустимых поверхностей кольца, — это либо вертикальные многообразия, либо горизонтальные многообразия вида (Д2; (2,д1), (2,д2)). В силу выбора поверхности Б и леммы 3 многообразие N может склеиваться только с вертикальным вершинным многообразием, которое обозначим V. В свою очередь к этому вертикальному вершинному многообразию не может приклеиваться другое вертикальное вершинное многообразие, так как тогда гомеоморфизм склейки должен быть послойным, а это противоречит тому, что система разбивающих торов минимальна. Остается единственная возможность, когда к вертикальному мно-

гообразию приклеивается несколько экземпляров горизонтального многообразия вида (Д2; (2, 51), (2,52))- В этом случае граф-многообразию М соответствует следующий граф (рис. 3)-

■>?

N

Рис. 3. Одна из схем граф-многообразия, содержащего горизонтальное вершинное

многообразие

Аналогично можно рассмотреть случаи, когда выбранное горизонтальное вершинное многообразие имеет один из оставшихся четырех видов. В итоге получим, что если многообразие M содержит хотя бы одно вершинное многообразие горизонтального или псевдогоризонтального типа, то соответствующий ему граф имеет один из шести типов, изображенных на рис. 1, кроме отрезка и петли.

Далее предположим, что среди вершинных многообразий многообразия M нет многообразий горизонтального и псевдогоризонтального типа. Тогда, так как вертикальные и псевдовертикальные вершинные многообразия не могут склеиваться по послойному гомеоморфизму, то пересечение поверхности разбиения S и соответствующего реберного многообразия не содержит сквозных колец. Также оно не содержит и односторонних колец в силу выбора поверхности S. Остается единственная возможность, когда склейка происходит посредством тэнгла. При этом возможно, что либо вертикальное вершинное многообразие склеивается само с собой и тогда граф многообразия M — петля, либо склеиваются два вертикальных вершинных многообразия и тогда граф многообразия M — отрезок.

Таким образом, рассмотрев все возможные комбинации склеек допустимых поверхностей, мы нашли все графы, которые могут соответствовать полностью ориентируемому граф-многообразию М рода 2. □

Список литературы

1. Schultens, J. Heegaard splittings of graph manifolds / J. Schultens // Geometry and Topology.- 2005.- Vol. 8.- P. 831-876.

2. Schultens, J. On the Geometric and Algebraic Rank of Graph Manifolds / J. Schultens, R. Weidmann.— Davis, 2004. (Preprint).

3. Sharlemann, M. Thin position for 3-manifolds / M. Sharlemann, A. Thompson // AMS Contemporary Math.— 1994.— Vol. 164.— P. 231—238.