Гомологические методы в теории хаусдорфовых спектров Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Donaldson S.K., Kronheimer P.B. The geometry of four-manifolds. Oxford Univ. Press, 1990.

2. Feehan P.M.N. Geometry of the ends of the moduli space of anti-self-dual connections. J.Diff.G. 42, No.3 (1995), 465-553.

3. Kirwan F. Partial desingularisations of quotients of nonsingular varieties and their Betti numbers. Ann of Math. 122 (1985), 41-85.

4. Maruyama M. Singularities of the curves of jumping lines of a vector bundle of rank 2 on P2.

5. Algebraic Geometry, Proc.of Japan-France Conf., Tokyo and Kyoto, 1982, Lect. Notes in Math., 1016, Springer, 1983, 370-411.

6. Maruyama M. Moduli of stable sheaves I,II J. Math. Kyoto Univ. 17 (1977), 91-126, 18 (1978), 557614. Mumford D., Fogarty J. Geometric Invariant Theory. 2nd edition, Springer, 1982.

7. Okonek C., Schneider M., Spindler H. Vector Bundles on Complex Projective Spaces. Birkhauser, 1980.

8. Nagaraj D., Seshadri C. Degenerations of the moduli spaces of vector bundles on curves Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 107, No. 2 (1997), 101-137, 109, No. 2 (1999), 165-201.

9. Taubes C.H. A framework for Morse theory for the Yang-Mills functional. Invent. math. 94 (1988), 327-402.

10. Шафаревич, И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1988.

Е.И.Смирнов

ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ХАУСДОРФОВЫХ СПЕКТРОВ

Введение

Изучение i ipoи п ;< j, и i ы х фу f i к гори i |роекти иного предела, , км'н"i f ;у км i i.e-

го из категории счетных обратных спектров со значениями в категории локально выпуклых пространств, проведенное в [1 2], позволило универсальным образом решать вопросы о гомоморфности данного отображения посредством точности некоторого комплекса в абелевой категории вектор-пых пространств. Позднее в работе [3] было введено широкое обобщение понятий прямого и обратного спектров объектов а^^тивной полуабелевой категории Q — понятие хаусдорфова спектра, аналогичное Ss — операции н дескриптивной теории множеств. Эта идея характерна еще для алгебраической топологии, общей алгебры, теории категорий, теории обобщенных функций. Построение хаусдорфовых спектров X — { 7К „ . IF. h„>„ { достигается последовательным стандартным расширением малой категории индексов £2. Категория 7~L хаусдорфовых спектров оказывается при подходящем определении отображения спектров аддитивной и полуабелевой. В частности, 'hi содержит категорию В. П. Паламодова [1J счетных обратных спектров со значениями в категории TLC локально выпуклых пространств, 11 — предел хаусдорфова, спектра в категории ТLC обобщает понятия проективного и индивидуального пределов и определяется действием функтора Hans : T~L -> TLC. Действие функтора Hans на счетные хаусдор-

фовы спектры над категорией банаховых пространств определяет класс Н-пространств, для объектов которого справедлива теорема о замкнутом графике и который содержит категорию пространств Фреттте, пространств Де Вильде [Т], просгранс гв Д.А.Райкова [5], пространств Суслина [6]. Н-предел хаусдорфова спектра ii-прострапств является ii-простраиством. В настоящей работе показано, что в категории имеется много инъективных объектов и определены правые производные Наш ' (г = 1,2, ...), а "алгебраический "функтор Hans : 7~i(L) -s> L над абелевой категорией L векторных

пространств (над Ii или С) имеет инъективный тип, то есть если

О -► X -► З-7 -► Z

точная последовательность отображений хаусдорфовых спектров со значениями в L, то предельная последовательность

О -Hans (X) -Hans (У) -> Hans (Z)

точна или ациклична в терминах В.П.Паламодова [2]. В частности, регулярность хаусдорфова спектра X неотделимостей J' обеспечивает точность функтора Haus : 7í(TLC) —» TLC и условие обращения в нуль Haus1 (Я") = 0. Классические результаты Мальгранжа и Эренпрайса о разрешимости неоднородного уравнения p(D)D' = D', где p(D) - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами в R", D' = D'(S) - пространство обобщенных функций в выпуклой области S С R", распространяется на случай не обязательно открытых или замкнутых множеств S. Пространство основных функций на таких множествах S С R" является Я -11 ро стран с т во м (вообще говоря, с неметризуемой топологией), то есть

DW = ¿¿t (!)

F(ES s(EF

где { П Ts}f(zjr образуют фундаментальную систему бикомпактных под-

s&F

множеств из S, D(TS) - пространства Фреше основных функций с носителями в замкнутых множествах Ts С R", где S = U П T«. Гомологиче-

FefseF

скими методами устанавливается критерий обращения в нуль Haus1 (X) — 0 для функтора Haus хаусдорфова предела, ассоциированного с представлением (1), где X - хаусдорфов спектр ядер операторов p(D) : D'(TS) —> D'(TS) (s £ \J~\). Условие Haus1 (X) = 0 эквивалентно эпиморфизму оператора p(D) : D'{S) —> D'(S).

Аналогичные теоремы для пространств Фреше впервые доказаны В.II.Палам одовым [1-2].

1. Напомним некоторые определения и теоремы, используемые в этой работе и введенные в рассмотрение в [3-6], [12].

Пусть Í2(s) - малая категория, s - объекты из U. Направленным классом в категории называется подкатегория, обладающая следующими свойства-

i) между любыми двумя объектами определено не более одного мор-физма;

ii) для любых объектов s, s' найдется объект s" такой, что s —> s" и

5' —» S".

Пусть A(s) - некоторая категория. Категорию B(S), где S - подкатегория А, назовем стандартным расширением категории .4(¿>), если вьшолнены следующие условия:

1°. Л(б-) - полная подкатегория B(S);

2°. Морфизм ujss' '■ S' -—* S категории B(S) определен набором мор-физмов iüss' '■ s' —» s (s' —s) категории A(s) таких, что

а) для всякого s' € S' существует s € S такой, что s' —s;

, <-Jss> , Шрр/ s , , S' ,

о) если s —> s, p —> p, s —> p, то существует морфизм s —> p и

коммутативна диаграмма

Р

Ырр!

Пример 1 (стандартное расширение категории Л(а-)) . Пусть С и А (а-) - категории, Т(Е) - категория ковариантных функторов Е : С —> Л с функторным морфизмом Ф : Е\ —> определяемым правилом [2], относящим каждому объекту д € (? морфизм Ф(д) : Е\ (д) —> ^¿(д) категории Л такое, что для любого морфизма и) : д —> /¿ категории С? коммутативна диаграмма

т) ш

Ф (Л)

ад

Ы

Ясно, что каждый объект 6- £ А порождает ковариантный функтор Ея : д £ С I—» б- <Е Л так, что А с Г. Более того, А - полная подкатегория Т.

Покажем, что Т порождает стандартное расширение категории А (посредством категории С). Пусть Е £ Т и 5 С А так, что 51 = и Е(д) и

уес

для € >5 множество морфизмов Нот (з', з) = и Е(си), где си : д —> /г

и;

и бу = б- = Е(Н). Поэтому определена категория В (Я), где ,9 - под-

категория Л, и морфизмы о;: 5' —» 5 категории -£?(£) порождаются набором функторных морфизмов Ф : Е' —> .Р, где Ег £ Т порождает 5', а Е порождает Б указанным выше способом.

Если взять такой функторный морфизм Ф : Е' —> Е, то морфизмы Ф((/) : Е'(д) —» Е(д) категории Л(б-) (д £ (?) образуют набор морфизмов и>8а' : в' —» в (б7 = Е'(д), в = Е(д)) так, что вьшолнено а). Условие Ь) вытекает из рассмотрения определения функторного морфизма.

Таким образом, В (5) - стандартное расширение категории Л (б-). Если (? = Огс1/, где I - линейно упорядоченное множество, то Т = В (Б).

Пример 2 (Паламодов [1]). Категория прямых и обратных спектров над полуабелевой категорией К является стандартным расширением категории К.

Рассмотрение спектров на частично упорядоченных множествах более сложной природы (не обязательно линейно упорядоченных) требует их специальной организации индексации.

Осуществим последовательные стандартные расширения категорий

ОД с В(Т) С <т(Г) —> а°(Е) С 2>(Я, (2)

где Т - направленные классы объектов 5 <Е Г2, Т С 12, Е - базисы фильтров множеств Т £ В, Е С В, Т - направленные классы объектов Е € а дуальной категории <т°, Т С сг, Т Е Такие классы Т будем назьшать допустимыми для П; положим |.Р| = ^и^ Г, ^ = так что |.Р| С 12

и \Т\ С Наиболее характерные построения, связанные с хаусдорфовы-ми спектрами, используют в качестве малой категории 12 = Огс! /, где I -частично упорядоченное множество индексов.

Рисунок, поясняющий характер индексации, приведен ниже.

Рис. 1

Пример 3 (построение допустимого класса для П). Пусть Т - отделимое топологическое пространство, П - счетное множество. Множество А С Т назовем й-множеством, если

,4= и П Ти

где Т± (/■ £ — подмножества Т, К, — семейство подмножеств В множества £2 таких, что

а) для каждого В (- /С множество Т& — П Т^ бикомпактно в Г:

^в

6} множества Тв [В € 1С) образуют фундаментальную систему подмножеств А.

В теоретико-множественном смысле ¿-множества есть результат (^-операции Хаусдор фа-Колмогорова с некоторыми топологическими условиями.

Предложение 1. Всякое сепарабелъное метрическое пространство я вля ется в-множе стп вом.

Доказательство. Пусть А - сепарабельное метрическое пространство с метрикой р. Рассмотрим в А совокупность всевозможных открытых шаров радиуса меньше наперед заданного е > 0. Так как пространство А сепарабельное, то на этой совокупности можно выделить последовательность Ог, (¿1 = 1,2,...) открытых шаров, также покрывающую А. Образуем теперь всевозможные конечные объединения элементов 0;] (¿1 = 1,2, ...). Полученное множество счетно, и его можно занумеровать индексом щ = 1,2.....Пусть это будут множества АП1.

Зафиксируем произвольно номер п 1 и покроем Апл открытыми шарами радиуса меньше целиком лежащими в АП1 (А,Т1 - открытое множество). Тогда в силу сепарайельностн метрического пространства АП1 в индотированной топологии найдегсн последовательность 0П1¿.2 (íч = 1| 2, ...) открытых шаров, также покрывающая АП1. Образуем всевозможные конечные объединения элементов 0П] (¿2 = 1,2,...). Пусть это будут множества АП1П2 ■

Таким образом, по индукции получаем счетное семейство открытых множеств АП1П211Пк (щ, к — 1,2, ...), причем справедливы включения АП] О АП1П2 Э и каждое множество А~х1П.£._.Пк является конечным обьединением открытых шаров радиуса меньше Е N1,

Пусть теперь К - бикомпактное подмножество пространства А. Легко видеть, что К С (к — 1,2,...) для некоторой последовательности (■»!, п^,...), причем без ограничения общности можно считать, что К имеет непустое пересечение с каждым из оставшихся множеств открытых шаров радиуса меньше (А; — 1,2,...). Поэтому

если х € П А

*=1

гг ] 1г г... гг.^

, то справедливо р(х, Л') < фй для всех т = 1, 2,...,

следовательно, ¿с Е К. Таким образом, К — П Ап 1

«2- ■ ■

Положим П — {(^1, П2} ..., '1*) : А.г — 1,2,...} и рассмотрим семей-

ство К всех подмножеств В С П таких, что П ^ ф 0 - бикомпактное

подмножество в А. Ясно, что

А= и П Аг век 1ев

и А является ¿»-множеством.

Предложение 2. Пусть А — е «хжечмлллермлм прэ-

странстве К". Тогда А является ^-множеством и, более того,

,4 = и П Г(, (ей

где Т{ - бикам'гшктные подмножества Н™.

Доказательство. В самом деле, в силу предложения 1 и сепарабельности любого подмножества;конечномерного пространства в индуцированной топологии множество А имеет вид

,4= и П А* век *ев

и являете а-множеством. Но каждое множество А± {1 Е П) ограничено

в Я", поэтому если обозначить соответствующие замыкания в Я" через

Т^, то П = П Т( для кажд01'0 В Е /С и, следовательно, имеет место ьев ьев

равенство (2), где каждое множество Т± (( € [1) бикомпактно.

Таким образом, й-множесгва являются обобщением, с одной стороны, бикомпактных пространств (и локально бикомпактных пространств, счетных на бесконечности), а с другой стороны, сепарабельных метрических пространств. Нам, однако, з-множества будут интересны в связи с возможностью построения ассоциированного функтора простого хаусдорфова. спектра на допустимом классе Т для й. Пусть А - некоторое ¿¡-множество, то есть

А— и П Тк век, ¿ев

где % С Г, В С П. Вез Ограничения общности можно считать, что семейство подмножеств Т^ (/. Е П) замкнуто относительно конечных пересечений и объединений (то есть существуют Сюръекщш ФЯ)Фа :,(2(П) -> П

соответственно, й(О) - множество конечных подмножеств П).

Множество П будет частично упорядоченным, если положить И < /, когда Т± С 'Т^; пусть 0 = Огг] (I). Более того, можно считать, что каждое множество В € 1С направлено в (П, <).

Пусть 1 - фактормножество всевозможных комплексов в — [1\} /-2,..,, 1п\, где Е = рГ1$ (г = 1,2,..., п, п Е Г^) по соотношению эквивалент-

ности во множестве упорядоченных п-ок элементов из \1С\ : (¿1,12,..., 1п) ™ О тогда и только тогда, когда {¿1,г2, = ■■■.О' Мно" жество 1 становится частично упорядоченным, если положить з' < з, где ь = [¿1, ¿2,..., ¿„], в' = [¿1, ¿2,..., ¿т] I когда для каждою найдется I'- такой, что / у < 1{\ пусть П = Ог(11.

Продолжая далее построение согласно методу (2) трансформации индексов, построим допустимый класс Т для П. Для каждого ь = [¿1, ¿2, ¿и] £

определяется подмножество = и причем если я' < а, то Я3 С

1=1 1

Яцг. Тем самым определяется контравариантный функтор И (Л) : \3Г\ —» £, причем

А= и Л (3)

Существенным моментом является то, что I - счетное множество и семейство {П представляет собой фундаментальную систему непустых

бикомпактных подмножеств Л. Этим завершается рассмотение примера 3.

Пусть £ - некоторая категория. К о вариантный функтор Пт ' О —> 0 назовем функтором хаусдорфова спектра, если П = \Т\ для некоторого допустимого класса Т Е V. Если Т — то Ит есть функтор прямого спектра, а если Т = } (то есть Т состоит из одного элемента = 1^*1), то Пт есть функтор обратного спектра,

—* д

|—> хв

р) I—>

инъективен на объектах и морфизмах (в теоретико-множественном смысле), то существует направленный класс ^(¡рЕ^Е.Е'е? направленных в дуальной категории Ср классов (ХЯ1 кягя)я- удовлетворяющих следующим условиям:

1°. М орфизм Хц ^ХдГ выбран и зафиксирован в том и только в том

случае, когда выбран морфизм в' —^ з, тогда кцг3 : Х3 --+ Хц> — единственный м орфизм;

>1 ь

{ К

2и. Диаграмма

X,

h-s's \

"Я" * -—>

Х3г

X,

УК

í>

коммутативна для всех в

3°. Если (AV)S'e|/-"'|, то для всякого Asr (&' Е |F'|) су-

ществует единственный морфизм hsrs : Xs » Xsr (s Е |F|). Набор мор-физмов hsrs (s' е |F'|) определяет морфизм qFiF так, что будем писать — (hs's)y>F. Каждое множество F Е Т является базисом фильтра подмножеств Т С \F\, причем для каждого Т Е F класс (Анаправлен в категорий

Определение 1. Класс (As, hs's)sj удовлетворяющий условиям 1° — 3(J, назовем хаусдорфовым спектром над категорией Q и будем обозначать {Astf,hsib}.

Частными случаями хаусдорфова спектра являются прямой (достаточно положить Т = \J7\, hsrs — qs's) и обратный (достаточно положить Т — hs's Xs ~+ Asr (sr —> з), qp'F — !'|F| = *LF|) спектр семей-

ства объектов.

Множество хаусдорфовых спектров над Q при надлежащем определении отображения спектров (см. строение категории 'Р(Т)) образуют категорию, которую обозначим Spectt?. Если X — {A"s, Ts /v*}j Q — {Ур, , hp/p] - объекты из SpecttJ, то два отображения хаусдорфовых спектров шух ■ X —> У и : X —* У назовем эквивалентными t если для любого F Е Т существует F* Е F1 такой, что диаграмма

А,

и

Р*

\

р р

/К

коммутативна для любого р* Е \F*\.

Рассмотрим теперь новую категорию 7 {.{Q), объектами которой являются объекты категории Spect G, а множество Пош^(Лт, У) образовано классами эквивалента остей отображений шху ■ А* —■ У- Будем обозначать такие классы 11 U>xy \ \.

Для любых объектов X, У, Z Е 11 закон композиции определяет билинейное отображение Ниш -ц (rV, J-') XНот i¿{y, 2) —» Нот {X¡ Z) (Нот^(Л^, - абелева группа).

Определение 2. Пусть X — hsrs] - хаусдорфов спектр над

категорией <J. Объекте Z категории Q назовем категорным //-пределом ха-усдорфова спектра X над Q, если для любых объектов А, В Е Q и отображений спектров

существует единственная последовательность в Q

a z-LB

такая, что диаграмма

А В

Г0

Z

коммутативна в категории Spect Q.

Частным случаем кате горного //-предела являются понятия проективного и индуктивного пределов над категорией Q. Пусть, например, X — обратный спектр объектов из Q. Тогда, имеет место (Liiti), причем в качестве В Е Q можно взять любой Объект Ха из X с тождественным морфизмом b„ : Xs —> Xs, составляющим отображение спектров bs : X —> Xs

(s Е \F\). Тем самым коммутативна диаграмма

^

й/ \Ь ,-1 X

й\ / & Z

где Ь = (i»s), ¡3 — {$s), (3s : Z —> Xs (s E | , b - тождественный морфизм категории Spect Q. Поэтому коммутативна диаграмма

а/

А Г 3

Z

дли любою объекта A^Q.

Категорный Н-предел хаусдорфова спектра (функтор IIa.ua) существует в любой полуабелевой категории с, с прямыми суммами и произведениями (например, категория векторных пространств /, категория TLG топологических векторных групп, категория. TLC локально выпуклых пространств).

(Lim)

Пусть П - счетное множество в X — {As hsi„ ] - регулярный хау-сдорфов спектр в категории TIC; такой спектр называется счетным. II-

цространством называется непрерывный линейный образ в категории TLC *—

Н-предела lim hsrsXs банаховых пространств Xs (s Е |,F|) счетного хау-

сдорфова спектра X. Класс //-пространств содержит пространства Фреше и выдерживает операции перехода к счетным индуктивным и проективным пределам, замкнутым подпространствам и фактор-пространствам. Кроме того, для if-пространств справедлив усиленный вариант теоремы о замкнутом графике. Класс //-пространств наиболее широкий из всех известных в настоящее время аналогичных классов Райкова, Вильде, Накамуры, Забрей ко-Смирнова. Счетный отделимый //-предел хаусдорфова спектра //-пространств в категорий TLC есть //-пространство [12-14]*

Всюду в этой работе, если не оговорено противное, хаусдорфовы спектры предполагаются счетными.

2. Пусть Наш : 1 {(TLC) —i L - ковариантный аддитивный функтор хаусдорфова предела из иолуабелевой категории 7/(TLC) в абелеву категорию L векторных пространств (над R или С), Напомним [11J. ч'то иньективной резольвентой / объекта X Е 7{.{TLC) называется любая после доват ельн о сть

о т т

и —+ ±Q —>■ i-l —^

образованная инъективными объектами, точная в членах Тк, к > 1, в которой kerío ir X. Любые две инъективные резольвенты одного объекта гомотопны между собой. Так как в категорий 7{(TLC) много инъектив-ных объектов [12], то каждый объект категории 1 {.(TLC) имеет по крайней мере одну инъективную резольвенту. Правые производные функтора хаусдорфова предела Haus определяются формулой

Haus к{Х) - IIk (Ilaus (X)) (к- 0,1,...),

где X Е 7{{TLC), X - любая инъективная резольвента X, Haus (Т) - комплекс морфизмов категории L, полученный применением функтора Haus к каждому морфизму комплекса X, а IIk(Haus (Х))(А,г = 0,1,2,...)- гомологии комплекса Наиа(Х). Всякий морфизм X —> У категории 7Í(TTC) накрывается морфизм ом X —> У инъективных резольвент объектов X и У (см. [ 11|, гл. V, §1). Отсюда вытекает существование морфизмов Haus * -Наинк(Т) так, что объекты Hausк{X) не зависят от выбора инъективной резольвенты. В то же время функтор Haus имеет инъективный тип [12. С. 88J, поэтому имеет место канонический изоморфизм функторов

Haus ^ Haus .

Предложение Для всякого свободного хаусдорфова спектра € Е U{L)

Hausl(£) = G (¿ = 1,2,...).

Для доказательства нам потребуется вспомогательное утверждение о строении свободных хаусдорфовых спектров.

Лемма 1. Пусть TLC ~ категория локально вщпусклщх пространств. Всякий свободный хаусдорфов спектр над TLC с инъективными образующими является инъективньш объектом категории 1 {{TLC ).

Доказательство. Пусть X = {Д, G, ia/a) - свободный хаусдорфов спектр над категорией TLC с инъективными образующими Ia (а Е |G|). Согласно методу трансформации индексов построение свободного хаусдорфова спектра X из данного хаусдорова спектра X = {/",(5, га'а}, составленного из инъективных обьектов категории TLC, предполагает следующие конструкции.

Сначала для каждого F Е С определяются прямыё произведения T.¡. [ Ia (VX Е F) так, что для ujff, : Т' —> Г морфизм ПIa —* есть

otET Т Т'

канонический морфизм произведения на сомножитель. Затем для любого конечного II С G определяются пространства ís = Ia х fj/cv х ... х

Ti f2

Таким образом, для s' = (fiT...,í>|JÍ|Tíj^|rfl.....T\Hl |) и Ну D II, is>s : Is ->

Lst есть естественный мономорфизм слагаемого в сумму, С определяется всесозможными конечными II С G.

Пусть теперь Q = hprp} - произвольный хаусдорфов спектр над.

TLC и £ -подспектр спектра Q так, что С. — (Zp, f ,hргр}, где Zp С Ур (p E |T' I) - Пусть далее uigc : С. —» Q - отображение хаусдорфовых спектров так, что íjJgc =и>{<р,Ф,х), где Ф; X кофинальны в своих областях значений. Очевидно, для доказательства достаточно продолжить морфизмы :

zx(s) —> h ДО морфизмов u*x{s) : Ух(я) —+ Is (s = (Ti,..., T\H\)1 H С

G), Но объект Ia (а принадлежит Т* - свободному объединению T¿, i = 1,2.....|//1) является инъективным в категории TLC, поэтому существует

продолжение : —> Iа морфизмов тгп ош^^, где тг^ : 1Я

- каноническая проекция. Положим ш* ^ч — так, что ш*

к

/я; ясно, что диаграмма

ях(я)

ш

'x(í)

i

Jx(s)

коммутативна и морфизм искомый. Тем самым, существует продолжение ихд : 0-> I. Лемма доказана.

Доказательство предложения Пусть £ — {£",.«, О, — свободный хаусдорфов спектр над категорией Ь с образующими Е3. Для каждого з построим инъективную резольвенту для Е3

0 —>Е3 ——>Ц —» ...

п образуем свободные хаусдорфовы спектры То, Т\,... соответственно с инъ-

ективными образующими II.....Все хаусдорфовы спектры Т\), Т\. ... в

силу предложений 3.5 [3] являются инъективными объектами категории ?{{ТЬС), поэтому последовательность отображений хаусдорфовых спектров

0 —* £ —> Тц —> Х\ —> ...

является точной в категории 'И{Ь). Тем самым, последняя последовательность является точной инъективной резольвентой для хаусдорфова. спектра £. Отсюда следует точность в категории Ь последовательности

0 —* Наий(£') —* Наш (То) —» Наия{21) —» ... .

Тем самым, Наив1{£) — 0 (г — 1,2,...). Предложение доказано.

Вычислим теперь производные функторы Наиа1 (£ > 1) следующим образом (ср. [2], [10]). Пусть А' — Е, /¿^Л - произвольный хаусдорфов спектр, £ - свободный хаусдорфов спектр с образующими (в Е рассмотрим последовательность отображений хаусдорфовых спектров

(П)

в которой компоненты отображения (т.е. набор > гДе £

Т - единственный максимальный по направлению элемент в Т) действуют по формуле

а отображение хаусдорфовых спектров : £ —> £ образовано морфиз-мами (Т„ — кофинальная фильтрующая справа последовательность)

ДЛЯ любого Т\ Тп € Е € Г, То = 0, Т„_1 С Г С Т„т зт„ <£ Т* (п = 1,2,...).

Теперь ясно, что последовательность (О) точна; следуя В.ППаламодову [2], будем называть последовательность (О) канонической резольвентой хаусдорфова спектра

Применив функтор Haus к канонической резольвенте (D), получим по еле до ват ел ьность локально выпуклых пространств

которая ациклична и, более того, точна слева, где ф YI~ прямая сумма

? F

произведений Xs (s Е |jF|) б естественной топологии индуктивного предела Предложение 4. Пусть Haua : 'H(TLC) —> L и

0 —(ü>)

- точная последовательность хаусдорфовых спектров. Тогда в категории L определена точная связующая последовательность

0 —> Haus (X) —» Haus (У) —» Haus(Z) —> Haus1 {X)

—* ... —Haua1 (Z) ^-i Haua1 (X)^ Haus ^'Hausl(Z| Д ... .

где öl (i = 1, 2,...) - связующие морфизмы.

Так как в силу предложения 1 получим Haus1 {£) = 0 для г > I, то, очевидно, имеют место изоморфизмы векторных пространств

Hausi(ЛГ) = 0 (i > 2), Haus 1 {X) = Coker üEЕ.

Поэтому точной последовательности (ТУ ) отвечает точная последовательность векторных пространств

0 —> Haus (Л0 —* Haus {#) —> Haus (Я)

—> Haus1 (ЛГ) —* Haus —» Haus1 (Z) —> 0. (D,f)

2. В работах |1J, [2] В.П.Паламодов установил весьма фундаментальные теоремы 11.1 и 11.2 о необходимых и достаточных условиях обращения в нуль Pro 1 (Л') = 0 для функтора Рти проективного предела счетного семейства локально выпуклых пространств. Мы имеем в виду установить аналогичные условия обращения в нуль Haus = 0 для функтора хау-сдорфова предела и не для обязательно счетного случая.

Напомним, что: в вопросах устойчивости класса //-пространств относительно хаусдорфова предел а, а также в теореме представления //-пространств

посредством банаховых пространств существенным условием было предположение регулярности хаусдорфова спектра. Здесь нам потребуется следующее условие. Пусть X — {Л"а, З7,Ь,я*в}з— хаусдорфов спектр локально выпуклых пространств, Ур С П Хв (Т Е Т),

Ур — — (xs) Е Хв ; xsr = hsfsxs: s, s' E X},

F

каждое из которых наделено проективной топологией относительно прообразов (s £ Г), где 7TS : fjXs -> Xs - каноническая проекция. Соот-

F

ветствующий базис окрестностей нуля проективной топологии порождает

ТВГ (ПХЯ7<?{Т)) [Т е F).

F

Образуем ТВГ (XI^t^(F)) l' базисом окрестностей нуля Vj. (Т Е F).

F

Хаусдорфов спектр X называется регулярным, если (П Xs, С"^)) удовле-

F

творяет условию: из сходимости сети в ТВГ (П Xs,í7(t)) [Т Е F)

F

вытекает сходимость сети (а7) в ТВГ (П Если вое Xs (s Е ¡J7])

F

наделены абсолютно неотделимыми топологиями, то нетрудно видеть, что условие регулярности равносильно полноте (']"} XS,<?ÍF)).

F

Теорема 1. Пусть X - регулярный хаусдорфов спектр неотделимо-стей над категорией TLC. Тогда Паи* 1 (Ж) = 0.

Доказательство. Учитывая (D), достаточно установить, что Coker й) = 0, где

—* фПАз

Т

F

F

и £ - свободный хаусдорфов спектр с образующими Xs ($ Е l^7]). Последнее отображение каждому элементу

х — (...,0,...,¿ti,o¿2,.■.,/?1,...,71,72, ...„■■■,0,...) i-1! F2 F^

ставит в соответствие элемент

у = (...,0, ...,0!! - h

1 з

(1) <l)

, -iQL

1 i

^S (1)S ílj^s (1J 1 —»

'i 2 'a

h ^

Fl

fh - hi* (2) A 11

^---—

(2) i -">71 (m)7i

J1 ' 1 J1

f2

Fm

причем ясно, что П ХЛ плотно в ф Л Х3.

Т р Т р

Покажем, что й££ является эпиморфизмом. Для этого достаточно установить эпиморфизм ]~[ Хя —> П^'з сужения шщ для каждого Г Е Т.

Р Р

Проведем доказательство для случая Наии (Д') = 0 (действительно, если Наий (Л7) ф 0, то для некоторых ¥ Е Т, П Ур р ( П Ур) —

/ £ ^ ^ а "У £

0). Пусть {у5) Е П^; найдем последовательность (о?я) £ Х5 такую, что Р р

- кЗВг^аВТп — уз, где я Ц яТп ; Тх С Т2 С ...: я г, , ,... - кофинальная

последовательность (п = 1,2, ...). Положим для определенности $т0 = 1 и

составим ряд (*)

У*Тл + п Щ)+■■■+ кзТозТ1 У*ТЛ+!)) +—

Гак как полнота ТВГ Ур С П ^ следует из условия регулярности хаусдор-

р

фова спектра X, то полными будут и фильтр-топологии (по В. II. Палам од ову) в пространствах, базис окрестностей нуля которых образуют пространства {/ц^Х^ }, где з' Е я ¡^ з'. Поэтому ряд (*) сходится в пространстве Ах по фильтртопологии; положим

ос

По ряд

У*т± ка^зч^Увщ + --■ + (... 5Гг[+1 Уятл+, )) + ■■■

сходится в пространстве А"зг по фильтртопологии; положим

ос

ОН = Ь'Ъ'Ъ °—°к*Ъ*тя+1)(У*тп+1 )

17=0

так, что — к±зт а.3т = ух (йт0 = 1)- Аналогично, по индукции, используя пол ногу пространства Xпо фильтртопологии, получим равенства а ЯТт[ —

кя-рп ЗГп+^ят- 1 = У*Тп 1 где

ос к=0

(п — 0,1,2,...). Теперь для 8 -< и ¡> Ф< можно положить =

Уз +кззТп<*ВТт1 Е Хв (п = 1,2,...). Тем самым, Ш££({ага)ге^|) = (ув)з£\р\ Щ следовательно, Сикегш^^ — 0 и Наиа ^Л1) =0. Теорема доказана.

Если У - регулярный хаусдорфов спектр над TLC и X - хаусдорфов спектр неотделимоетей^ то легко видеть, что X также регулярный спектр. В самом деле, имея в виду замечание перед теоремой, достаточно установить полноту (]~[ А"3, последняя ТВГ вложена в соответствующую F

ТВГ Если (í.í7)tEр фундаментальна в то а1 £ íi70 + Vp

F

(VT G F, 7 У y(T), 7o 7(T)) и в силу замкнутости Vp последней ТВГ получим включение (а* = Jim а7)

а*-а70 £ Vp (VTgF, 70^7СП),

что и означает сходимость («7) к :йр* в Xs,<r^).

F

Таким образом, в формулировке теоремы 1 регулярность хаусдорфова спектра X может быть заменена регулярностью хаусдорфова спектра У.

Теорема 2. Пусть У - регулярный хаусдорфов спектр, X -хаусдорфов спектр неотделимостей У и

0 —+ X —у —+ у/х —» о

точная последовательность хаусдорфовых спектров. Тогда последовательность

0 —» Haus (ЛГ) —» Наш {У) —> Haus (У/Х) —» 0 является точной в категории L.

Продолжим рассмотрение вопроса о точности функтора Haus : 7{{TLC) —> L для произвольной точной последовательности хаусдорфовых спектров

0 —> X —>у —* Z —+ 0.

Из проведенных выше доказательств становится очевидным, что достаточным условием для обращения в нуль Haus1 (Л') = 0 является полнота ТВГ (ЦXs,ДЛЯ каждого F £ Т (ср. предложение 7.1 [3]), где

образована фильтрацией Vp по Т. В то же время каждое пространство

Vp наделено линейной топологией прообраза аиртг^Гв (Г £ F) (образуя

т

одновременно ТВГ (П (7(f)) так, что ТВГ (JJ Xs, &(f))i вообще гово-

F F

ря, немстризуемая. Оказывается, что полнота ТВГ {П является

F

и необходимым условием обращения в нуль Haus 1(Х) —0.

Предложение Пусть X = {A"s hsrs} - счетный хаусдорфов спектр над категорией L. Тогда для того, чтобы Ilaus1 (Л') — 07 необходимо и достаточно, чтобы ТВГ (]~[ Х3гр:/р\) была полной для каждого F £ Т.

Теорема Пусть X — {А"я ка'а] - счетный хаусдорфов спектр над категорией Т. Тогда для- того} чтобы Наиа1{Д^) = 0, необходимо и достаточно, чтобы для каждого Т Е Т и А"3 можно определить квазинорму

р

1-1 — рр У 0 такую, что

г) ассоциированная топологическая группа (^Жд, полная, тр ^

р

гг) р'р непрерывна на А3, (7*^).

Доказательство. Необходимость следует из рассуждений перед теоремой, так как, полагая Тр = <7^ и

ос * = 1

где <1Тк{х) = 0 для х Е Урк и (1Тк{х) = 1 для х Е П \ Ур11 £

получим г им.

Достаточность. Пусть Zp = П Уу~к и фактор! 1 ростр аист во ]~[ Х3/2±

к =1

Р

наделено образами топологий &7р\ и Тр так, что МВГ (П Агде

Р

&р(£) — шГ Цр(х), отделимая и полная, а МВГ (П где с1р(£) —

р

ос

пхГ ^ -~к(1тк является отделимой. Тем самым функционал (1р является счетно-полуаддитивным на МВГ и — шГ Цш

Р —1П—>ОС

^р(^п) = непрерывен на ней. Откуда в силу леммы о счетно-

полу аддитивном функционале [8] получим <1р = <Гр и, следовательно, МВГ

{Y[X;i|Zp,dp) полная,а, значит, полной будет ТВГ (П А3, <тТр\% что дает

р Р

возможность заключить, рассматривая все Т Е У7, что Наиа 1 (X) — 0. 'Георема доказана.

В случае счетного обратного спектра, в частности, получаем 1 часть теоремы 11.1.1 из [1], В случае прямого спектра X топология тр абсолютно неотделимая для каждою одноточечного Т Е Т. Во лее того, знаменитая лемма В.П.Паламодова [1] , составляющая ядро доказательства, является частным случаем леммы о счетно-полуаддитивном функционале [8].

Далее ^ обозначает фил ьтрт опол огию в Х& (з Е I/71!): образованную пространствами А^^} (У Е Отметим, однако, что произведение

топологий (рр (вЕ|/71|)в^[ Х3, вообще говоря, не совпадает с топологией

Bari ее удобные для приложений достаточные условия обращения в нуль Haus 1 ( Д ) = 0 даны в следующем утверждении.

Теорема 4. Пусть X = (As, /¿S'S} — счетный хаусдорфов спектр над категорией L. Для того, чтобы Haus 1 (Л") = 07 достаточно, чтобы для каждого s Е в Xs можно ввести семейство квазинорм {}, задающее полное отделимое псевдотопологическое векторное пространство (Xs,p$s), сохраняющее непрерывность морфизмов íis's и так, что для ЪьС&ОтС дого s Е ji^l, F Е JF выполнено условие.*

А) функционал для некоторого ßs — ßs(P) непрерывен в фильтр-топологии

В частностиj в случае обратного спектра X получим теорему 5.1 из [2], причем наше утверждение являет1 ся б ал ее сильным уже в этом случае.

Теорема 5. Пусть X = (A"s, J-л }is's} - счетный хаусдорфов спектр отделимых II -пространств над категорией TLC. Тогда для того, чтобы Haus1 (А7) = О, необходимо и достаточно, чтобы пространства (As,fp) {s Е |.F|) для каждого F Е Т были полными ТВ Г.

Доказательство. Необходимость, Пусть Haus 1 (X) = 0. Тогда в силу предложения 3 ТВГ (f] Aj,^) является полной для каждого F Е тем

F

самым полными будут пространства А"3 по своим фильтртопологаям <рр (s Е \F\) как фактор-пространства ТВГ счетного характера.

Достаточность. Пусть F Е J7, я Е |F|. Напомним, что //-пространство (XB,T)t) имеет представление [GJ

xs — и Л XÎ, ра eva tepa

где XI (t Е РЛ наделены полуметризуемой топологией так, что ассоциированная ТВГ Х^р j в Xs является полной MB Г, непрерывно вложенной в (As, rs); пусть ~ соответствующая квазинорма для А|?р Из теоремы

о замкнутом графике для II-пространства следует, что семейство {ру } задаст полное отделимое Псевдотопологическое векторное пространство (Хя, pf* ): непрерывно вложенное в (А31 г3). Покажем выполнение условия А) теоремы 4..

От противного. Предположим, что (pf* j4"" не является непрерывным в фильтртопологии <рр ни для одного Ря Е Vs- Последнее означает, что для Ps Е Vs существует £ = e(Ps) >0и £ Е Q такое, что hss*Xs* V*/p л, где в* У S,

V* = {х Е As : (р?*)*(х) < е}, (Ps Е Щ.

Несмотря на то, что семейство Vs, вообще говоря, континуальное, среди множеств л будет не более чем счетное число различных. Пусть это

будут множества V^, V£*2,.... Из представления Д"-пространства и постро-

и, следовательно, в силу полноты ТВ Г ( A"s , <рр) найдется п0 6 N такое, что V* 2_ ! плотно (в топологии в некотором шаре топологии Однако лебеговы множества V симметричные и замкнутые в топологии поэтому существует € такое, что С V^ — , что противоречит

Теперь достаточнякугь следует па теоремы 4. Предложение доказано.

В случае обратного спектра пространств Фреше теорема 5 обобщает критерий Ф) и Р) следствия 11.4. В. П.Налами до ва. [1], Заметим, что в теореме 5 фактически требуется отделимость псевдотопологии, поэтому Н-пространство, вообще говоря, может быть неотделимым.

Теорема С. Пусть X — {As /is's) - счетный хаусдорфов спектр Н-пр остри н cm é с отделимой ассоциированной псевдотопологией {ря 4 ) * } над ■категорией TLC, сохраняющей непрерывность морфизмов hs*B, Тогда для того, чтобы Haus1 (А*) — 0, необходимо и достаточно, чтобы для каждого s Е существовала квазинорма p^"{F) (s € |-F|) в Xs такая, что Л') {pÇ')* непрерывна в филътртопологии <рр, система {pi"} сохраняет

В частности, из теоремы G получаем теорему Péraxa [9].

Библиографический список

1. Паламодов, В.П. Функтор проективного предела в категории топологических линейных пространств [Текст] // Мат. сб. - 1968. - Т. 75, N 4.C. 567-6G3.

2. Паламодов, В.П. Гомологические методы в теории локально выпуклых пространств [Текст] // Успехи мат. наук. - 1971. - Т. 26, N 1. - C. 3-65.

3. Смирнов, Е.И. Теория хаусдорфовых спектров и ее приложения [Текст] Ярославль, 1988. - 178 с. -Деп. ВИНИТИ 28.12.1988, N 9G81-B88.

4. Смирнов, Е.И. О хаусдорфовом пределе локально выпуклых пространств [Текст] // Сиб. мат. журн. -М., 1986. - Деп. ВИНИТИ 28.12.86, N 25G7-B.

5. Райков, Д.А. Двусторонняя теорема о замкнутом графике для топологических линейных пространств [Текст] // Сиб. мат. журн. - 1966. - Т. 7, N 2. - C. 353-372.

6. Забрейко, П.П., Смирнов, Е.И. К теореме о замкнутом графике [Текст] // Сиб. мат. журн. - 1977. - Т.

18, N 2. - C. 3G5-316.

7. Wilde M. Reseaus dans lrs espaces lineaires a seminormes // Mem. Soc. Roi. Sci. Liege. - 1969. - V. 18, N 2. - P. 1-1G4.

8. Смирнов, Е.И. О непрерывности полуаддитивного функционала [Текст] // Мат. заметки. - 1976. - Т.

19, N 4. - C. 541-548.

9. Ретах, В.С. О сопряженном гомоморфизме локально выпуклых пространств [Текст] // Функц. анализ и его приложения. - 1969. - Т. 3, N 4. - C. 63-71.

1G. Nobeling C. Uber die Derivierten des Inversen und des Directen Limes einer Modulfamilie // Topology I. -1962. - P. 47-61.

11. Картан, А., Эйленберг, С. Гомологическая алгебра [Текст]. - М.: Мир, 196G.

12. Смирнов, Е.И. Хаусдорфовы спектры в функциональном анализе [Текст]. - М., 1994. - 161 c.

13. Smirnov E.I. Hausdorff spectra and the closed graph theorem. Pitman Research Notes in Mathematics Series, Proceedings Volum, Longman, England, 1994, P.37-5G.

14. Smirnov E.I. The theory of Hausdorff spectra in the category of locally convex spaces. Functiones et Aprox-imatio, XXIV, 1996, UAM, Poznan, Poland, P.17-33.