CC BY
26
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2 (19). — С. 17—28
УДК 517.956.37
ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ В ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Д. К. Дурдиев
Бухарский государственный университет, 705018 Узбекистан, Бухара, ул. М. Икбала, 11.
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача об определении двух коэффициентов, один из которых находится под знаком интеграла в гиперболическом уравнении и представляет память среды, другой определяет регулярную часть импульсного источника. В качестве дополнительной информации задается образ Фурье следа решения прямой задачи на гиперплоскости у = 0 для двух различных значений параметра преобразования. Установлены глобальная 'разрешимость решения рассматриваемой обратной задачи и оценка условной устойчивости.
Ключевые слова: обратная задача, интегро-дифференциальное уравнение, гиперболическое уравнение, условие согласования, единственность, устойчивость.
Введение. Задача восстановления свойств среды по данным, полученным в результате измерения свойств рассеянного излучения на границе, возникает во многих разделах естественной науки. В последнее время наблюдается повышенный интерес к задачам определения предыстории среды, в которой протекает тот или иной волновой процесс. Такие задачи получили название задач с памятью. Обратные задачи определения функции памяти среды, входящей в гиперболическое уравнение сосредоточенными в точке источниками возмущения типа импульса, исследованы в работах [1, 2]. В работе [1] рассмотрена задача нахождения памяти, входящей в интегро-дифференциальное волновое уравнение с дельта-функцией в правой части. Далее, в [2] эта задача исследована для случая гиперболического уравнения второго порядка с постоянной главной частью и переменными коэффициентами при младших производных. Подобные задачи с распределёнными источниками возмущения рассмотрены в работах [3, 4]. Для поставленных в этих работах задач доказаны теоремы единственности, существования в малом и получены оценки устойчивости. Вопросы глобальной разрешимости для схожих задач в пространстве с экспоненциальным весом исследованы в [5]. В данной работе исследуется глобальная разрешимость одной задачи определения памяти и регулярной части импульсного источника в классе непрерывных функций.
Рассмотрим начально-краевую задачу
Щг - иуу- Ди - [ к(т)Ди(х,у,г - т)йт = 0, (х,г) € Мга+1, у> 0, (1) Jo
u\t<0 = 0, Uy \y=o = s'(t)s(x) + f (t)0(t)S(x), (2)
Дурдимурат Каландарович Дурдиев (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. дифференциальных уравнений.
в которой х = (Х1,Х2,...,Хп); △ = ЕП=1(д2/дж|); в(Ь) = 1, Ь ^ 0; в(Ь) = 0, ь < 0; б(х) = (</<х)в(х), 5'(г) = (й2/<и2)в1г).
При заданных функциях к(Ь), f (Ь) задачу нахождения функции и(х,у,Ь), удовлетворяющей равенствам (1), (2), назовём прямой задачей. Граничные условия (2) моделирует мгновенный источник возбуждения волн, расположенный в точке х = 0, у = 0.
Из теории гиперболических уравнений следует, что функция и(х, у, Ь) как решение задачи (1), (2) обладает компактным носителем при любом конечном Ь> 0. Поэтому к соотношениям (1), (2) применимо преобразование Фурье по переменной х.
Обозначим через ■ш(Х, у, Ь), где Л = (А^ Х2,..., Лп), образ Фурье функции и(х,у,Ь) :
и}(\,у,1) =—=1= [ и(х,у,1)ег<уХ'х\1х, (\,х) = Х\Х\ + \2Х2 + ■ ■ ■ + \пхп-\ (2п)п Jж
1
у/Щ
Тогда задача (1), (2) преобразуется к виду
- Ыуу + |А|2ад +1Л |2 [ к(г)и)(Л,у,Ь - т)йт = 0, (Л,Ь) € Мп+1, у> 0, (3) ■> о
Ч<0 = 0, ^у|у=о = 6'(Ь) + f(г)в(г), (4)
где |Л|2 = Л1 + А2 + ••• + АП.
Из этих равенств при фиксированном значении Л следует, что и = 0, Ь < у, у > 0. Функция и)(Л,у,Ь) как решение задачи (3), (4) имеет в окрестности характеристической прямой Ь = у следующую структуру:
w(Л, у, Ь) = -6(Ь - у)+ в(Ь - у)у(Л, у, Ь), (5)
где у(Л,у,Ь) —регулярная функция. Поставим обратную задачу: определить функции к(Ь), f (Ь), входящие в уравнения (3), (4) по информации о регулярной части образа Фурье решения прямой задачи в точке у = 0 для двух различных значений параметра преобразования:
у(Л*, 0,Ь) = Ь(Л*,Ь), Ь > 0, г = 1,2. (6)
Определение. Решением обратной задачи (3)-(6) будем называть такую пару функций (к(Ь), f (Ь)), что соответствующее ей решение задачи (3)-(5) удовлетворяет равенствам (6).
1. Глобальная разрешимость обратной задачи. Основным результатом на стоящего раздела является следующая теорема
1, 2, Ьо
- Ь1(Л2,Ь) € С1 [0, Т] и выполнены условия согласования
Теорема 1. Пусть Ь(Л*,Ь) € С 1[0,Т], г = 1, 2, Ьо(Л1,Л2,Ь) = Ь(Л1 ,Ь) -
Ь(Л*, 0)=0, г = 1,2, Л1 = Л2.
Тогда обратная задача (3)-(6) имеет единственное решение (¡'(Ь),к(Ь)) € С[0,Т], Т> 0.
Доказательство. Подставляя функцию (5) в уравнения (3), (4) и используя метод выделения особенностей [5, с. 616], находим, что функция ■и(А, у, *) при фиксированном Л в области * > у > 0 удовлетворяет уравне-
ниям
гг-у
Vгг - Ууу + |А|2v - |А|2й(* - у) + |А|2 / Л(тМА,у,* - т)^т = 0, (7)
J0
|А|2
1г=у+0
Vy I у=0
= / (*).
(8) (9)
Так как метод исследования позволяет одновременно находить функции V, vt, й, /, то прямую и обратную задачи удобно трактовать как задача определения функций V, vt, й, / из уравнений (6)-(9).
Лемма. При выполнении условий теоремы задача (6)-(9) для А = Аг = = (А1,А2,...,АП), г = 1,2 и (у,*) € , = _((у,£)|0 < у < £ < Т - у) эквивалентна задаче нахождения функций v(Аг, у,*), vг(Аг, у,*), й(*), /(*), г = 1, 2 из следующей системы уравнений:
иг |2 г г
у(Хг,у,1) = 1-^-у+ / уг(Х\у,т)с1т, г = 1,2,
(10)
г 12
у, *) = 4 - у) + - у) +
+
т 2
г|2 г (у+г)/2
х v(А^{,í + у - е - т)^т /•г-у-2? 0
/•г+у-2?
*(* + у - 20 - v(А^e,í + у - О - й(т)х
0
| Аг |2 Г г-у)/2
9 ,
20
й(тмАг,е,* - у - е - т)^т
г г-у
^ -
- у - 20 - v(Аг,е,í - у - е)-| Аг |2 Г у
2
0
+ / й(тма*,е,* - у+е - т)^т 0
v(А^е,í - у+е)+
г = 1,2, (11)
|А112 - |А212
4
|Аl|2vг(Аl, е, * - е)-|А2|2vг (А2,е,* - е)+
4
2 2 2
г2 хУо ^-^+|Л1|2-|а2|2I
/•г-2? .
+ ^ й(т) (|А1|2Vг(А1, е, * - е - т) - |А2|Ч(А2, е, * - е - т))^т
¿е, (12)
- 2е) - v(Аl,е,í - е)-
v
у
2
у
2
Г
/ к(т)у(Л1 ,С,Ь - С - т)йт
о
<%. (13)
Доказательство леммы. Замечая, что справедливы равенства
Уи ~ Ууу = " + Уу) = + (** " %)>
интегрированием (7) вдоль соответствующих характеристик дифференциальных операторов первого порядка для (у, г) € Вт из (6)-(8) получим
(у+*)/2
к(Ь + у - 2С)-
- у(Л,С,Ь + у - С) - к(т)у(Л,С,Ь + у - С - т)йт
о
<С, (14)
,(*-у)/2
{Уг - уу){\, у, *) = + |Л|2Щ - у)у - |Л|2 ^
- у(Л,С,1 - у - С) - к(т)у(Л,С,Ь - у - С - т)йт
■)о
гу Г с*-у
-Л2 у (Л, С,Ь - у + С) + к(т )у(Л, С,Ь - у + С - т )< оо
к(Ь - у - 2С)-йС-
йС. (15)
При получении равенства (15) использованы соотношения
Уг(\, 0,Ь)= Ь (Л, г),
| \ 12 !■ г/2
уу( А,о,;) = ^-^(А,;) + |А|2У0
к(Ь - 2С) - у(Л, С, г - С)-
у(Л,С,г - С - т)<т
<С, (16)
которые следуют из (6), (14). Рассматривая уравнение (16) для Л = Л1, Л = Л2, составим разность уу(Л1, 0,Ь) - уу(Л2, 0,Ь). Учытивая равенство (9), получим
|Л1|2 -|Л2|2 , ^ ^ , |Л1|2 -|Л2|2 ^
+ Ь(Л2,г) - Ьг(Л1 ,Ь) + (■г/2
2о 1 2 1 2 2 2
к(т)<т -
^^(Л1,^ - С) -^ГугХЛ2,^ - С)+
Гг-2£
+ к(тШ^уг(Л1, С, г - С - т) - ^уг(Л2, С, Ь - С - т))йт
о
<С = 0. (17)
о
2
о
Дифференцируя последнее соотношение по Ь, после несложных выкладок приходим к (12). Заметим, что в уравнения (10)—(12) неизвестная функция / (Ь) не входит. После нахождения неизвестных функций V, к функция / (Ь) согласно равенству (16) вычисляется по формуле (13). В формуле (13) Л = Л1 или Л = Л2 результат вычисления не должен зависеть от выбора параметра Л. Для определенности в этой формуле положено Л = Л1. Очевидное равенство (10) приведено для замыкания системы уравнений (11), (12).
Нетрудно убедиться, что обратные преобразования тоже имеют место. В первом интеграле правой части (12) совершим замену переменной т на т' по формуле т' = (Ь — т)/2. Затем в правой и левой частях этого уравнения, заменяя Ь на Ь — 2£, умножим обе части на и интегрируем по £ в пределах от 0 до Ь/2. В повторных интегралах получающегося равенства изменим порядок интегрирования. Используя условия теоремы, после несложных выкладок получим (17). Приравнивая в этом уравнении функции, зависящие только от Л1 и Л2, приходим к (16) для Л = Лг, г = 1, 2. Уравнение (16) получено после подстановки у = 0 в равенстве для уу(Л, у,Ь), следующем из (14), (15). Из этих же равенств получено уравнение (11). Ясно, что после применения дифференциальных операторов (д/дЬ — д/ду), (д/дЬ + д/ду) к соотношениям (14), (15) приходим к уравнениям (6)—(8). □
Продолжая доказательства теоремы 1, запишем систему уравнений (10)-(12) в виде операторного уравнения
ф = Аф,
(18)
где
ф = [фн(у,Ь); ф2г(у,Ь); фз(Ь)]Т =
= ^Лг,у,Ь); и4(Л*,у,Ь) —
2
к(Ь — у); к(Ь)
— векторная функция, г = 1, 2, Т —знак транспонирования, а оператор А определен на множестве функций ф € С [^у] и в соответствии с равенствами (10)-(12) имеет вид А = (Ан, А2,, Аз), г = 1,2:
А1гф = Щ~У + [
1Л'|2 у
^т;
г|2 Г (у+*)/2
фз(Ь + у — 2£) —
у
— фи(£, Ь + у — £) — фз(т)ф1г(£, Ь + у — £ — т)^т
■)о
г(*-у)/2г гг-у—2£,
/ фз (Ь—у—2£)— фи (£,Ь—у—£ )— / фз (т )фи(£, Ь—у—£—т )йт
./0 I -/о
г-у-2£
^—
|Лг|2 ^ 0
2
/•у Г Г^-у
/ ф1г(£,Ь — у + £)+/ фз (т )ф1г(£,Ь — у + £ — т )йт 00
¿£; (19)
X
=
Fot (A1,A2,i)+
|А!|2 - |А2|2
|А1|2 + |А2|2 | А112 + | А21
V 2 12 rt
0з(т )(t —T )dr+
+
2
rt/2
+
1А112 — |А212 J0 |A2J2C 2
|А1|2е
|\2 |2e ft-2£
2
—2{—т)) — |А2|2(^22(е, t—e—т) +
jm 2
^s(t—2e—т)))
dTd£.
Обозначим через Ср банахово пространство непрерывных функций, порождённых семейством весовых норм (г = 1, 2)
max< sup
l(y,t)eDT
01i(y,t)e
-p(t-ay)
sup |^s(t)e-pt I
te[Q,T ]
sup
(y,t)eDT
P ^ 0,
02i(y, t)e
-p(t-ay)
а € (0,1) — некоторое фиксированное число.
Очевидно, что при р = 0 это пространство является пространством непрерывных функций с обычной нормой. Эту норму будем обозначать далее ||0||. В силу неравенства
-рт I
<
<
нормы ||0||р и ||0|| эквивалентны для любого фиксированного Т € (0, то). Число р выберем позже. Пусть ^р(0о, К) — шар радиуса К с центром в точке 0о некоторого весового пространства Ср(р ^ 0), где
0о = (0Q 1; 002; 0оз)Т =
|Аг|
i 12
-y-Ft(\\t~y)-
| А112 — | А212
[A1]2 + |A2|2^ 4
Т
, i = 1,2.
Нетрудно заметить, что для 0 € ^р(0о,К) имеет место оценка
<
<
+ R ^ R0, где R0 =
+ R — известное число.
Пусть 0(y,t) € Qp(0q,R). Покажем, что при подходящем выборе р> 0 оператор A переводит шар в шар, т.е. A0 € Qp(0q, R). На самом деле, с помощью равенств (15) составляя норму разностей, для (y,t) € Dt имеем
max ||A1i0 — 0Q1 ||р = max sup (A1i 0 — 0Q 1)e-p(t-CTy)
i= 1,2
i=1,2
(y,t)eDr t
max sup
lE1-2(y,t)eDT
/ 02i(y,T)e-p(T-CTy)e-p(t-T) + y
, .
— y)e-P(T-y) e-P(t-T+(1-CT)y)
dT
<
. ............ Tтах(|А1|2, |А212)..... \ 1 1
< ( max(||021||p, ||02i||P) +-V'4' ' ' l03||Pj - < «1-,
2
4
4
Q
р
р
2
2
р
тах 11 А2^ф — ф0 2 ||р = тах вир
®=1'2 г^1,2 (у,4)еДТ
^ о,»х(|ЛТ.|А'|') тах 5цр
2 г=1,2(у,*)еДт
(А2гф — ф02)в-р(4-сту)
(*+у)/2
<
фз(Ь+у—2£)в-Р(4+у-2«)в-Р(2«-(1+ст)у) +
Г*+У-2?
+ ф1г(£, Ь + у — £)е-р(*+у-(1+ст)« е-р(1+ст)(«-у) —
фз(т )е-рт ф1г(£, Ь + у — £ — т )е-р(4+у-(1+ст)«-т) е-р(1+ст)(«-у) ¿т (4-у)/2 (
фз(Ь — у — 2£)е-р(4-у-2?) е-р(2«+(1-ст)у) +
Г*-У-2?
+ ф1г(£, Ь — у — £)е-^-у-(1+-Ю е-Р((1+ст)?+(1-ст)у) —
фз(т )е-рт ф1г(£,Ь—у—£—т )е-р(4-у-(1+ст)«-т) е-р((1+ст)«+(1-ст)у) ^т г у Г
— ф1г(£,Ь — у + £)е-р(4-у+(1-ст)« + 0
/т-у
+ / фз(т )е-рт ф1г(£,Ь — у + £ — т)е-р(4-у-т+(1-ст)?) ^т Jо
^ тах(|Л1|2, |Л2|2)
-р(1-ст)(у-.
+
+
Т
+
3Т
1 + а 1 + а
+
<
1 — а
+
1 — а
тах(||фи ||р,ф12||р)
11 - ^ СК2—, Р Р
||Азф — фоз||р = вир |(Азф — фоз)е-р1 =
= вир ге[о,т ]
|р
ге[о,т ] |Л1|2 + |Л2|2 гг
4
/ фз(т)е-рт(Ь — т)е-р(4-т)^т + Jо
|Л1|2 — |Л2|2
2
- |Л2|2(^22(е, * - Ое-^-^Юе"^)« + _ 2£)е-^-2«е"2^) +
Г *-2?
+ / фз (т )е-рт Jо
|Л1|2(ф21 (£, Ь — £ — т )е-р(4-т-(1+ст)«) е-р(1+ст)« +
|Л1|2£
+ - 2£ - г)е-^-г-2«е"2^) - |А2|2(^22(£, 1-т- Ое(!+-)«) х
х е
^т
<
|л1|2 + |л2|2тц^||р + 2тах(1л112' 1д112)
|д112 _ |Д212 (1+ГЦ^зУ +
Т
<
+
1
а
тах(|ф211| р, ||ф21 Нр,
11 - ^
РР
о
о
о
1
р
2
р
2
X
где
а! = Ко 1 +
Ттах(|Л1|2,|Л2|2)
а2
_ о тах(|Л1|2,|Л2|2) Г1 2 , ЗТ п , 1 , Т т>
аз = Ко
|Л1|2 + |А2|2
Р^Т + ртр^р (1 + ТПо) тах(|Л1|2,1А1!2) (| + ^ )
Выбирая р ^ ао, где ао = тах(о;1, скз), получим, что А переводит шар ^р(0о,К) в шар ^р(0о,К). Пусть теперь 01, 02 —любые два элемента из ^р(0о,К). Тогда, используя вспомогательные неравенства вида
- 0202|е-р(^у) <
- 02|е-р(^у)
для (у, Ь) € находим
+ |-2|к! - 1 е-р(4-сту) <
< 2Ко ||0! - 02||р , (у,Ь) € ,
тах ||(А0! - А02)н||р = тах вир (А01 - А02)не-р(4-сту)
.= 1,2
.= 1,2
тах вир ^¿(у^еДг
(01 - 02г)(У,т)е-р(т-сту)е-р(4-т) +
+ М^1 - 032)(т -
^т
<
1 --.
^ Пор-
тах ||(А0! - А02)2»||р = тах вир (А01 - А02Ые-р(4-сту)
.= 1,2
.= 1,2
(у,*)€£Т
<
<
тах(|Л!|2, |Л212)
тах эир 1,1
г(*+у)/2
(0! - 02)(Ь + у - 2{)е-р(4+у-2«) х
х е-Р(2«-( !+-)У) + (0 1. - 02.)^ + у - ^)е-Р(4+у-( !е-Р(!+ст)(«-у) -
Г*+У-2?
0!(т)е-рт(0 - 02.)(С, Ь + у - е - т)е-р(4+у-( 1+ст)«-т) +
+ (0! - 0з)(т)е-рт02.(е, ь + у - е - Т)е-р(4+у-(1+ст)«-т)
е-р(!+ст)(5-у)
¿е-
,(*-у)/2
(01 - 02)е-Р(*-у-2«)е-Р(2«+(!--)У) +
+ (01. - 0н)(е, ь - у - е)е-Р(4-У-(!+ст)?)е-Р((!+ст)«+(!-ст)У) -
0з(т)е-рт(01. - 02.)(е, ь - у - е - т)е-р(4-у-(1+ст)«-т) +
4
4
у
2
у
о
о
о
+(^-^2)(т )е-рт ^¿-уЧ-т )е—р(Л—у—(1+^—т)
е-р((1+а)5+(1-а)у)
¿е-
- (^ - ^)(е,* - у+е)е—р(л—у+(1—+ ./0 _
/■Л— у г
+ )е—рт- ^)(е,* - у + е - Т)е—р(Л—у—т+(1—+
0
+ ^(т)е—рт(^ - ^2)(е, * - у + е - Т)е—р(Л—у—т+(1—
Рассуждая анологично, получим
^Т
е—р(1—ст)(у—^
<
< в2 Ц^1 - ^
1
\{Аф1-Аф2)Л = 8пр ЦАф1 - Аф2)3е~рЦ ^/ЗзЦф1-Ф2\\-р *е[о,т] р Р
где
Р1 = 1 + Т тах(|Л1|2,|А2|2)
^ = тах(|Лу,|Л2|2)
1 + ТТ5 + ТТ^^О + Т^ + ГГ^^О
2Т
/% = ^Ц^Т + ^^ (1 + 2ТК0) тах(|Л1|2,1Л1)2) (? + •
Пусть в0 = тах(във2, вз). Как следует из проделанных оценок если число р выбрано из условия р > тах(ао, во), то оператор А является сжимающим на Тогда, согласно принципу Банаха, уравнение (14) имеет и при-
том единственное решение в Л) при любом фиксированном Т > 0.
Таким образом, теорема 1 доказана. □
Замечание. Граничное условие Неймана (2) можно заменить условием иу| =о= ¿(*)£(ж) + /(*)0(*)^(ж). Тогда, рассматривая функцию ад = и как решение прямой задачи и предполагая, что для ф(*) верны равенства ф(0) = 0, Ф'(*) = /(*), приходим к выше исследованной задаче.
2. Оценка условной устойчивости обратной задачи. Обозначим через А(ко) множество пар функций (к(*), /(*)), удовлетворяющих при некотором Т > 0 следующему условию:
тах{||к||с[о,т], ||/||с[о,т]} < ко, ко > 0.
Теорема 2. Пусть (к(1), /(1)) € А(ко), (к(2), /(2)) € А(ко) решения обратной задачи (3)-(6) с данными Т(1)(Лг,*), Т(2)(Лг,*), j = 1, 2, соответственно,
^о(г)(Л1,Л2,*) = ^(г)(Л1,*) - ^(г)(Л2,*), |Л11 = |Л2|. Тогда найдётся положительная постоянная С, зависящая от Л1, Л2, Т, ко, что выполняется оценка
||к(1)-к(2)||с[о,т] + ||/(1)-/(2)||с[о,т] < С(]Т «(Л*,*) - Т(2)(Л^)
г=1
+
Т(1) (Л1,Л2,^ - Т(2) (Л1,Л2,*)
с![о,т ]
+
Сх[о,Т ]
V (20)
р
Доказательство. Предположим, что функции fСО, р(з)(Л.,ь), к(Л (г = 1, 2, ] = 1, 2) такие, как они определены в теореме 2. Решение задачи (3)— (6) при к = , f = f Л = Лг обозначим через ^(ч)(у,ь). Введём следующие обозначения: #(£) = f(1) - f(2), С(Л^) = Р 1(Л^,ь) - Р2(л*,ь), Со(Л1,Л2,ь) = = ^(Л1, Ь) -(Л2, ь), Ь(Ь) = к(1) -к(2), р(.)(у, Ь) = (у, Ь) -^2) (у, ь), г = 1,2. Выпишем для вновь введенных функций соответствующие им интегральные соотношения. Из равенств (10) и (11) следует, что
Р(г)Ы)= / Р(г)(у,т)^;
(21)
р« (у, *) = С{\\ I - у) + - у)+
|Л.|2 г (г+у)/2 г (.)
+ 2 I {^ + у-Ю-Р(гЧи + у-0-
й(аУа) (е, ь + у - е - а) + к(2) (а)р(.) (е, ь + у - е - а) Л2 Г(г-у)/2г (.)
ВД^ (е,ь - у + е - а)+
г*+У-2?
Г*-У-2?
ВД^ (е, ь - у - е - а) + к(2) (а)р« (е, ь - у - е - а)
Л2 /• у с /• г-у
"тГг + + /
+ к(2) (а)р« (е,ь - у + е - а)
^е, г = 1, 2. (22)
Из соотношений (12), (13) находим уравнения для функций $(£), Л,(£) в виде
Ь(*) =
2
| Л112 - | Л212 2
+
ОоЛХ 1, Л2, + |Л1|2 + |Л2'2 I* ьт - №+
'4/2
22
|Л1|2 -|Л212 Уо
4-25
I {|л!|2pС!)(е,ь-е)-|л2|2р(2)(е,ь-е)+
+ 2" [л(т) ( 1л1|Ч(И)(е,ь - е - т) - |л2|Ч(21)(е,ь - е - т)) + +к2(т) (|л1|2р(1)(е, ь - е - т) - |л2 |2р(2)(е, ь - е - т))
^т ^е, (23)
г4/2 С
<?(*) = -с*(л1 , ь) + 1л1- 2е) - р(1)(е, ь - е)-
Г*-2?
д(туп) (е, ь - е - т) + к(2) (т)р(1) (е, ь - е - т)! ^т к. (24)
г
у
о
Пусть
p(t) = max
max >(i)(y,t)| , max ; >(i)(y,t)|, |h(t)|, |g(t)|
0^y^T/2-|t-T/2|
0<y<T/2-|t-T/2|
t e [0,T], i = 1,2.
Далее заметим, что рассматривая уравнение (11) при k(t) e A(k0) как интегральное уравнение относительно vt(Al, y, t) (при этом необходимо подставлять выражение v(A^ y, t) по формуле (10) в уравнение (11)) и составляя процесс последовательных приближений по обычной схеме (см. напр. [6, с. 1213]), что в области Dy функции vt(A^y, t), v(A%y,t) по модули ограничены с некоторой постоянной c0 = c0 (Ai, A2, T, k0), т. е.
max {|v(Ai,y,t)|, |v(V,y,t)|} < co, i = 1,2, (y,t) e Dy.
Проведя оценки, из (22) получим
b«(y,i)| < ||Со(Аг,t)||c[o,T] + — y)\\c[o,t] +
|AfT.
+ 2|Al|
i|2
"(t+y)/2
/0
2
/•t+y-2£
p(C) + c J p(rdr 0
/•t-y
+ 2c0 / p(rdr 0
dC + |Ai|2T
|Ai|
i 12 ¡-y
p(C)+
dC < ||G0(Ai,t)y
+ |Af Q + 6Tc0) J* p(j)d,T, i = 1,2. (25)
Поступая аналогично, из (21), (23), (24) находим
|P(i) (y, t)| < ci t р(т)dr, i = 1, 2,
0
2 f1 1^)1 ^ |A1|2 _ |Л2|2 llG'oi(A1,A2,i)||c[0)T] +c2 J^ p(r)dr,
|g(t)| < ||Gt(A1,t)| + С3 Гр(т)dT,
0
(26)
(27)
(28)
где постоянные Ci, i = 1, 2, 3 зависят только от Ai, A2, T, £0 Из соотношений (25)-(28) следует, что p(t) удовлетворяет интегральному неравенству
p(i) < max { , || Cot (A1, A2, i) ||с[0>т] + ||G'(A1,i)||Cj0>Tj, Цб^А1,^} +
+ C00 / р(т)dr, 0
с некоторой постоянной c00, зависящей от A1, A2, T, k0. Отсюда, используя неравенство Гронуолла, получаем оценку (20). Теорема 2 доказана. □
2
0
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дурдиев Д. К. Обратная задача для трёхмерного волнового уравнения в среде с памятью / В сб.: Дискретная математика и математический анализ. — Новосибирск: НГУ, 1989. — C. 19-26.
2. Дурдиев Д. К. К вопросу о корректности одной обратной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения // Сиб. матем. журн., 1992. — Т. 33, №3. — C. 69-77.
3. Lorenzi A. An identification problem related to a nonlinear hyperbolic integro-differential equation // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 1994. — Vol. 22, No. 1. — P. 297-321.
4. Janno J., Von Welfersdorf L. Inverse Problems for Identification of Memory Kernels in Viscoelasticity // Math. Methods in Appl. Sciences, 1997. — Vol. 20, No. 4. — P. 291-314.
5. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. — 830 с.
6. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. — М.: Научный мир, 2005. — 296 с.
Поступила в редакцию 24/XII/2008; в окончательном варианте — 15/II/2009.
MSC: 35L10
GLOBAL SOLVABILITY OF TWO UNKNOWN VARIABLES IDENTIFICATION PROBLEM IN ONE INVERSE PROBLEM FOR THE INTEGRO-DIFFERENTIAL WAVE EQUATION
D. K. Durdiev
Bukhara State University,
11, M. Ikbol str., Bukhara, 705018, Uzbekistan. E-mail: [email protected]
Identification problem of the two coefficients, one of which is located, under the integral sign in a hyperbolic equation and represents memory of the medium is studied, the other one defines a regular part of an impulse source. As an additional information Fourier image of the solution's trace of a direct problem on the hyperplane y = 0 for two different values of transformation parameters is applied. The global solvability and the estimate of stability of the inverse problem are defined..
Key words: inverse problem, integro-differential wave equation, hyperbolic equation, agreement condition, uniqueness, stability.
Original article submitted 24/XII/2008; revision submitted 15/II/2009.
Durdimurat K. Durdiev (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Differential Equations.
