CC BY
18
УДК 514.76
ГЛАДКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ДОПУСТИМОЙ ГИПЕРКОМПЛЕКСНОЙ ПСЕВДОЭРМИТОВОЙ СТРУКТУРОЙ
© С. В. Галаев
Саратовский государственный университет Россия, 410012 г. Саратов, ул. Астраханская, 83.
Тел./факс: + 7 (8452) 27 85 29.
Email: [email protected]
На многообразии с почти контактной структурой определяются внутренняя, продолженная и ассоциированная связности. Ассоциированная связность используется при определении почти контактных кэлеровых многообразий с метрикой Нордена. Вводится понятие допустимой почти гиперкомплексной псевдоэрмитовой структуры. На распределении D почти контактной структуры (М, ^,'Ц,<р, g,D) с метрикой Нордена с помощью продолженной связности VN задается допустимая почти гиперкомплексная псевдоэрмитова структура (D,]1,]2,]3,u,X = у ° n.t,g,D). Доказывается, что если исходная почти контактная структура с метрикой Нордена является допустимой кэлеровой структурой с метрикой Нордена и нулевым тензором кривизны Схоутена, то индуцируемая на распределении D допустимая почти гиперкомплексная псевдоэрмитова структура интегрируема.
Ключевые слова: почти контактная кэлерова структура с метрикой Нордена, допустимая гиперкомплексная псевдоэрмитова структура, распределение нулевой кривизны.
Введение
В работе впервые вводится понятие почти контактного почти гиперкомплексного псевдоэрмитова многообразия как многообразия, несущего на себе допустимую почти гиперкомплексную псевдоэрмитову структуру. Допустимая почти гиперкомплексная псевдоэрмитова структура является нечетномерным аналогом почти гиперкомплексной псевдоэрмитовой структуры [1, 2]. В качестве основного примера почти гиперкомплексной псевдоэрмитовой структуры в работах [1, 2] рассматривается структура, естественным образом возникающая на касательном расслоении почти комплексного многообразия с метрикой Нордена. В настоящей работе исследуется почти гиперкомплексная псевдоэрмитова структура (И,]1,]2,]3,и,Х = ц ° п^,д,В), определяемая на распределении И почти контактной структуры с метрикой Нордена (М, I, ц, (р, д, Б) [3]. В работе решается задача нахождения условий интегрируемости структуры (р,]1,]2,]3,й,Л =-ц д,В). Понятие интегрируемости допустимой структуры, заданной на почти контактном многообразии, введено в работах [4, 5].
Работа построена следующим образом. Во втором разделе для случая почти контактного многообразия определяются внутренняя, продолженная и ассоциированная (с внутренней связностью) связности. Вводится понятие почти контактного кэлерова многообразия с метрикой Нордена. В третьем разделе на распределении О почти контактной структуры с метрикой Нордена (М,%,ц,ф,д,0) как на тотальном пространстве векторного расслоения (В,п,М) определяется допустимая почти гиперкомплексная псевдоэрмитова структура (0,]1,]2,]3,и,Х = ц оп^,д,о). Находятся условия, при которых полученная структура интегрируема.
Почти контактные кэлеровы многообразия с метрикой Нордена
Пусть М - гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1,т > 1 с заданной на нем почти контактной структурой (М ,^,~ц,<р,0), где ф -тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, ^ и ц - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, такие, что
92 = -1 + л®^,л0) = 1. (1)
Мы требуем, чтобы % Е кегш, где ш = йц. Почти контактная структура называется контактной, если гкш = 2т. Многообразие, наделенное (почти) контактной структурой, будем называть (почти) контактным многообразием. Гладкое распределение О = кегц называется распределением почти контактной структуры. Эндоморфизм ф в работе будет называться допустимой почти комплексной структурой. Если почти контактная структура (М, ц, <р, О) согласована с псевдоримановой метрикой д таким образом, что
д(фх,уу) = -д(х,у) + ц(х)ц(у), (2) где х,у Е Г(ТМ), Г(ТМ) - модуль векторных полей на многообразии М, то структура (М,^,-ц,ф,д,В) называется почти контактной структурой с метрикой Нордена, а многообразие М - почти контактным многообразием с метрикой Нордена. Из (1) и (2) следует, что ^ = 0,ц о ф = 0,ц(х) = д(х,^),д(^х,у) = д(х,фу) .
Для исследования почти контактных пространств нам понадобится внутренняя линейная связность [4]. Внутренней линейной связностью V на многообразии с почти контактной структурой называется отображение
V: Г(О) X Г(О) ^ Г(О),
удовлетворяющее следующим условиям:
1) V Аг+/29= + ,
2) ч^у = (х?)у + у,
3) У^у + г) = Ч^у +
где Г(D) - модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению О).
Внутренняя связность применяется к допустимым тензорным полям [4]. Тензорное поле t типа (р,ф, заданное на почти контактном многообразии, назовем допустимым (к распределению О), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются % или п. В работах [6-8] развита техника, позволяющая перейти от внутренней связности V, осуществляющей параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых многообразия М, к N продолженной связности Vм (связности в векторном расслоении (О, п, М)), и, наконец, к линейной связности , применимой к произвольным тензорным полям на многообразии М, названной в настоящей работе ассоциированной связностью.
Прежде, чем дать описание ^продолженной и ассоциированной связностей, введем понятие адаптированной системы координат. Карту К(ха) (а,р,у = 1,...,п;а,Ь,с = 1, ...,п — 1) многообразия М будем называть адаптированной к распределению D, если дп = £ [4]. Пусть Р: ТМ ^ О - проектор, определяемый разложением ТМ = ОфО1, О1 = Брап(^), и к(ха) - адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = ¿а = да — Гадп, линейно независимые в каждой точке своей области определения, порождают распределение О: О = Брап(ёа). Неголономному полю базисов (еа) = (еа, дп) соответствует поле коба-зисов (йха,-ц = йхп + ГЩйха). Непосредственно проверяется, что [еа,еЬ] = 2шЬадп. Условие ^ Е кегш влечет справедливость равенства дпГП = 0. Пусть к(ха) ик'(ха ) - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:
ха = ха(ха'),хп = хп' + хп(ха').
Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:
í = Са^! ® .■■ ® ч ® <1хЬ1 ® ... ® йхЬЧ.
Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:
а _ ла лЬ^а'
дха
ь=лаа'АЬь1аЬ', где Ааа = —.
Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные дп ^ являются компонентами допустимого тензорного поля. Легко проверить, что обращение в нуль производных дпЬЬа не зависит от выбора адаптированных координат.
В адаптированных координатах коэффициенты ГЬас внутренней связности V определяются равенством V ^аеь = Г£Ьес. Из равенства еа = Ааеа', где
' дха'
Аа = обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов связности:
с а' Ь' с с' с с'
ГаЬ = Аа АЬ Ас'га'ь' + Ас'еаАЬ .
Перейдем к обсуждению понятия N продолженной связности. Задание внутренней связности влечет разложение распределения О = п-г(О), где п: О ^ М - естественная проекция, в прямую сумму вида О = НО ф УО, где УО - вертикальное распределение на тотальном пространстве D. Введем на распределении D структуру гладкого многообразия следующим образом. Поставим в соответствие каждой адаптированной карте К(ха) многообразия М сверхкарту К(ха,хп+а) на распределении D, полагая, что К(х) = (ха,хп+а), где хп+а - координаты допустимого вектора х в базисе еа = да — ГЩдп: х = хп+аеа. Горизонтальное распределение НО порождается векторными полями еа = да — Гпдп — СЬдп+Ь, где Са(ха,хп+а) = Гьас(ха)хп+с: НО = 5рап(еа).
Пусть V - внутренняя линейная связность, определяющая горизонтальное распределение НО, и Ы О ^ О - поле допустимого тензора типа (1,1). N продолженной связностью [6-8] назовем связность в векторном расслоении (О, п, М), определяемую разложением ТО = НОфУО таким образом, чтобы НО = НО фБрапф), где щ = е — (Иху, е = дп, х Е О, (Ыху - вертикальный лифт. Относительно базиса (еа, дп, дп+а) поле и получает следующее координатное представление: и = дп — Ы£хп+Ь дп+а. До конца работы будем считать, что N = 0. В этом случае НО = НО ф Брап(дп),
Ассоциированную с внутренней связностью V связность VА определим как единственную связность на многообразии М, удовлетворяющую четырем условиям:
Vjу Е Гр), (3)
VAАt = 0, (4)
(5)
(6)
для х Е Г(ТМ); уЛ Е Гф). Корректность определения ассоциированной связности подтверждается следующей теоремой.
Теорема 1. На почти контактном многообразии М с заданной на нем внутренней связностью V, существует и притом единственная связность V¿, удовлетворяющая условиям (3-6).
Доказательство.
1. Единственность. Предположим, что связность VA, удовлетворяющая условиям (3-6), существует. Обозначим ее коэффициенты как ГАрг. Из выполнения условий (3-6) следует, что в адаптированных координатах отличными от нуля коэффициентами ГАрг являются лишь коэффициенты ГА<^с = Г£Ь.
2. Существование. Определяя в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты
vAу = К, у], ^ =
ГАру с помощью равенства ГА<^С = Г£ь, получаем искомую связность. Теорема доказана.
Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле
Б(х,у) = V¿y - V^x - Р[х,у], х,у Е Гф).
Из определения ассоциированной связности следует, что ее кручение определяется той же формулой, но уже для х,у Е Г(ТМ).
Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах имеем следующее равенство:
$аЬ = ГаЬ - ГЬа =
Допустимое тензорное поле, определяемое равенством
Я(Х,у)2 = V¿V9Z - V9V¿Z - -
РШх,у],г],
где Q = I - Р, названо Вагнером [9] тензором кривизны Схоутена. Тензор Схоутена мы иногда будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схо-утена в адаптированных координатах имеет вид:
КаЬс = 2ё[аГЬ]с + 2Г\а\\е\\ГЬ]с.
Тензор кривизны внутренней связности возникает в результате альтернирования вторых ковари-антных производных:
V[aVь]VC = Къе*е + 4шЬадпУс.
Назовем тензор кривизны внутренней связности тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схо-утена, - распределением нулевой кривизны.
Тензор кривизны К ассоциированной связности связан с тензором кривизны Схоутена следующим равенством:
К(х,у)г = Я(х,у)г + ц(х)Р(у,г) -^(у)Р(х,'г).
Здесь Р(х,у) - допустимое тензорное поле с компонентами Р£с = дпГЦс.
Векторные поля (еа = да - Г£дп -ГаСхп+сдп+ь, дп, дп+а) определяют на Б неголоном-ное (адаптированное) поле базисов, а формы (йха,®п = йха + Г£йха, ®п+а = йхп+а + Г£схп+Сйхь) - соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:
= 2шЬа^п + хП+а^°Ьай^п+с,
[га,дп\ = хп+АдпПадп+о
[£а,^п+Ь] = ГаЬ^п+с.
Всякому векторному полю х Е Г(ТМ), заданному на многообразии М, обычным образом соответствует его горизонтальный лифт хн, при этом, хн Е Г(НО) тогда и только тогда, когда х - допустимое векторное поле: х Е Г(Б).
Справедливость следующей теоремы вытекает из полученных выше структурных уравнений.
Теорема 2. Пусть V - внутренняя симметричная связность с тензором кривизны Схоутена
Я(х,у)г. Тогда для всех х,у ЕГф) и р ЕВ имеют место следующие равенства:
[х\ук] = [х,у]к-{И(х,ууУ, [х\^] = {Р(х,руу, [х\Г1= ФхУУ-
Пусть V - связность Леви-Чивита, заданная на многообразии М. Бежанку вводит на почти контактном метрическом многообразии связность V с помощью равенства V£y = У^у - - + (ш + с)(х,у)(, где с = -Ь-^д [10]. Определяемая Бе-жанку связность является ассоциированной связностью для внутренней симметричной метрической связности V: Vg = 0. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формуле:
ГЦС = \даа(еь9са + есдЬа - еЬс).
Назовем почти контактную структуру (М, ц, <р, д, О) с метрикой Нордена почти контактной кэлеровой структурой с метрикой Нордена, если выполняются следующие условия:
= 0,И<р+2(йцоф)^^ = 0,
где УА - связность, ассоциированная с внутренней метрической связностью, М^(х,у) = [фх,фу] + ф2[х,у] - ф[фх,у] - ф[х,фу] - тензор Нейенхейса эндоморфизма ф. Само многообразие М при этом будем называть почти контактным кэлеровым многообразием с метрикой Нордена.
Допустимая почти комплексная структура ф в случае выполнения условия ^¡р +2 (ёц о ф) 0 ^ = 0 называется интегрируемой или почти нормальной структурой. Почти контактная структура (М, ц, <р, О) будет называться интегрируемой, если интегрируема структура
Рассмотрим многообразие Я5, х2 Ф 0, распределение О для которого порождается векторными полями е1 = д1- х2д5, е2 = д2, е3 = д3, е4 = д4. Положим ди = д22 = -дзэ = -944 = 1, 9(^1) = К 9(^2) = ¿4, <Р(ез) = -е1, Ф(в4) = -е2, <р(е5) = 0. Непосредственно проверяется, что определенное выше многообразие с почти контактной структурой (М, ц, <р, О) дает пример почти контактного кэле-рова многообразия с метрикой Нордена.
Многообразия с допустимой
почти гиперкомплексной псевдоэрмитовой структурой
Рассмотрим на гладком многообразии М размерности п = 4т + 1 почти контактную структуру (М, ц, ф1,0), где ф-1 - допустимая почти комплексная структура. Предположим, что на многообразии М заданы еще две такие допустимые почти комплексные структуры <р2 и ф3, что <р1о <р2 = -<р2 о <р1 = ф3. Назовем многообразие М, наделенное структурой (М, ц, ф1,0), I = 1,2,3, почти контактным почти гиперкомплексным многообразием, Если каждая из почти комплексных структур ^ интегрируема (почти
нормальна), т.е., если + 2(йц ° р^) ® \ = 0, то допустимую почти гиперкомплексную структуру (М, %,ц,р1,О) будем называть интегрируемой или допустимой гиперкомплексной структурой, а многообразие М - почти контактным гиперкомплексным многообразием,
Рассмотрим модельный пример почти контактного гиперкомплексного многообразия. Пусть М =
Я5, е1 = д1 — х2д5, е2 = д2, ёз = дз, е4 = д4,$ = д5,ц = йх5 + х2йх1,О = кегц. Определим допустимые к распределению О почти комплексные структуры (I, полагая:
Р1: ё1 ^ ёз, в2 ^ ё4, ёз ^ —ёх ё4 ^ —ё2;
Р2: е1 ^ ё2,ё2 ^ —ё^ёз ^ —ё% ё4 ^ ёз;
е4,ё2 ^ —ёз.ёз ^ё2,ё4^ —ё1.
Непосредственно проверяется, что допустимые почти комплексные структуры (1 являются почти нормальными. При этом, имеют место равенства
Р1°(2= —(2 °Р1 = Рз.
Предположим, что дополнительно на многообразии М с почти контактной структурой (М,^,ц,р1,О) задан метрический тензор д сигнатуры (2т + 1,2т) такой, что имеет место равенство:
д(х,у) = д(р1^,р1;у) = —д(р2х,р2у) =
= — д(Рз^,Рзу), (7)
где х,у Е Г(О).
Структуру (М, ц, р^ д,О), удовлетворяющую условиям (7), назовем допустимой почти гиперкомплексной псевдоэрмитовой структурой. Если дополнительно структуры р1 интегрируемы, то структура (М, ц, р0 д, О) будет называться интегрируемой или допустимой гиперкомплексной псевдоэрмитовой структурой.
Пусть О - распределение почти контактной структуры (М, ^, ц, р, О) с метрикой Нордена. Благодаря существованию внутренней связности распределение О = п^-1(О), где п: О ^ М - естественная проекция, раскладывается в прямую сумму вида О = НО ф УО, где УО - вертикальное распределение на тотальном пространстве D. Таким образом, используя адаптированные координаты, получаем, что НО = Брап(£а), где 4 = да — Г^дп — в^дп+Ь. Определим на распределении О допустимую почти гиперкомплексную псевдоэрмитову структуру (О,]1,]2,]зи,Х = ц °п*,д,О), полагая, что
и = дп,А(£а) = дп+а,к(дп+а) = —?а, /1(и) = 0
}25Сн = ~(рх')н,}2Х» = (рху,]2<и = Уз = к °к, {¡(:хк,у/к) = д(ху,уу) = д(хс,у/),{](:>ск,у/у) = д(хк,и) = д(х",и) = 0,
х,уЕ Г(О).
Теорема 3. Пусть (М, ц, р, д, О) - контактная структура с метрикой Нордена, заданная на многообразии М размерности п > 5. Допустимая почти гиперкомплексная псевдоэрмитова структура (О,]1,]2,]зи,Х = ц °п*,д,О) интегрируема, если
структура (Мg,D) является контактной кэ-леровой структурой Нордена с распределением нулевой кривизны.
Доказательство. Найдем условия, при которых Nj. = Nj. + 2(dA °Ji)®u = 0. Проводя необходимые вычисления, получаем следующее:
Nj^Ea^b) = Nj^EaJb) + 2dX(dn+a, dn+b) = -хп+с{к(ёа,ёь)ёсу, Nj1(d
n+a' dn+b) = NJ1(dn+a,dn+b) + 2dA(£a,£b) = 2^badn + Kbc^dn+e - 2^ba^n =
Nji(Sa,dn+b) = -Xn+c[R^aJb^c}\ Nlj1(£a,9n) = Nj1(dn+a,dn) = -Xn+cJ>abcdn+b=-Xn+c{P^, .
Nj2(ea,£b) = Nj2(£a,eb) + 2dA(pa)h, pb)h) = {N^a^f +
хn+c{R(ёa,ёb)ёc + R(pёa,ёb)ёc + R(ёa,pёb)ёc -R(pёa,pёb)ёc}v,
Nj2(Sa,dn+b) = {(y$e>ap)Gb) - №p)№b)]v, Nj2(Sa,dn) = {(V£pc)p&}h + Xn+b{p(Ppa^b))-P^b)Y.
Полученные координатные представления для выражения Nj. = Nj. + 2(dA °Ji)®u,i = 1,2, позволяют утверждать, что условия P(X,y) = 0,R(X,y)z =
0. VAp = 0 являются достаточными условиями для интегрируемости структур J1,J2. То же самое оказывается верным для структуры J3. В то же время, при предположениях теоремы, равенство P (X, у) = 0 является следствием равенства R (X, y)z = 0 (см. работу [9]), что и доказывает теорему.
ЛИТЕРАТУРА
1. Manev M. Tangent bundles with Sasaki metric and almost hy-percomplex pseudo-Hermitian structure // Topics in almost Hermitian geometry and related fields. World Sci. Publ., Hackensack, NJ. 2005. P. 170-185
2. Manev M. Tangent bundles with complete lift of the base metric and almost hypercomplex Hermitian-Norden structure // C. R. Acad. Bulgare Sci. 2014, no. 3, P. 313-322.
3. G. Ganchev, V. Mihova, K. Gribachev, Almost contact manifolds with B-metric, Math. Balk. N. S. 7(3-4) (1993), 261-276.
4. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 16-22.
5. Галаев С. В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Изв. Вузов, Математика. 2014. №8.-С. 42-52.
6. Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ, 2015, Вып. 1. С. 25-34.
7. Галаев С. В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2015. Т. 15. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 258-264.
8. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с ф-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214) Вып. 40. 2015. С. 20-24.
9. Вагнер В. В. Геометрия (n-1)-мерного неголономного многообразия в n - мерном пространстве // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
10. Bejancu A. Kahler contact distributions // Journal of Geometry and Physics, 2010. 60, P. 1958-1967.
Поступила в редакцию 05.03.2016 г.
ISSN 1998-4812
BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2016. T. 21. №3
555
SMOOTH DISTRIBUTIONS WITH ADMISSIBLE HYPERCOMPLEX PSEUDO-HERMITIAN STRUCTURE
© S. V. Galaev
Saratov State University 83 Astrakhanskaya St., 410012 Saratov, Russia.
Phone: +7 (8452) 27 85 29.
Email: [email protected]
The notion of an almost contact structure with Norden metric is introduced. Almost contact manifolds with the Norden metric are defined as the odd dimensional analogue of the Norden metric. On a manifold with an almost contact structure, the interior, prolonged and associated connections are defined. The associated connection is used to define almost contact Kahlerian manifolds with the Norden metric. An almost contact Kahlerian structure is characterized by the property that the structure endomorphism corresponding to it is an almost normal, parallel, with respect to the associated connection, admissible tensorial structure. The notion of admissible almost hypercomplex pseudo-Hermitian structure is introduced. On the distribution D of an almost contact structure as on the total space of a vector bundle, a prolonged almost contact structure is defined. Due to the existence of the prolonged connection, the manifold D admits a Riemannian metric induced by the initial metric on the manifold M. On the distribution D of an almost contact structure (M, Ç, y, (p, g, D) with the Norden metric, using the prolonged connection VN, an admissible almost hypercomplex pseudo-Hermitian structure (D,J1,J2,J3, u,X = q°nt, g, D) is defined. It is shown that if the original almost contact structure with the Norden metric is an admissible Kahlerian structure with the Norden metric and zero Schouten curvature tensor, then the admissible almost hypercomplex pseudo-Hermitian structure induced on the distribution D is integrable. In particular, it is shown that if the distribution D is of zero curvature, then the integrable structure (p corresponds with he almost normal structures J1,J2,J3.
Keywords: almost contact Kahlerian structure with the Norden metric, admissible hypercomplex pseudo-Hermitian structure, distribution of zero curvature.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Manev M. Topics in almost Hermitian geometry and related fields. World Sci. Publ., Hackensack, NJ. 2005. Pp. 170-185
2. Manev M. C. R. Acad. Bulgare Sci. 2014, no. 3, Pp. 313-322.
3. G. Ganchev, V. Mihova, K. Gribachev, Almost contact manifolds with B-metric, Math. Balk. N. Pp. 7(3-4) (1993), 261-276.
4. Galaev S. V. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. 2012. Vol. 12. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, vyp. 1. Pp. 16-22.
5. Galaev S. V. Izv. Vuzov, Matematika. 2014. No. 8.-S. 42-52.
6. Galaev S. V. Matematicheskie zametki SVFU, 2015, No. 1. Pp. 25-34.
7. Galaev S. V. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. 2015. Vol. 15. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, vyp. 3. Pp. 258-264.
8. Bukusheva A. V. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Fizika. No. 17(214) No. 40. 2015. Pp. 20-24.
9. Vagner V. V. Tr. Seminara po vektornomu i tenzornomu analizu. Moscow: Izd-vo Mosk. un-ta, 1941. No. 5. Pp. 173-255.
10. Bejancu A. Journal of Geometry and Physics, 2010. 60, Pp. 1958-1967.
Received 05.03.2016.
