Гиперзвуковое пространственное обтекание крыла малого удлинения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 1

УДК 533.6.011.5

ГИПЕРЗВУКОВОЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

А. И. Голубинский, В. В. Иегода

Рассматривается пространственное обтекание тонкого крыла гиперзвуковым потоком невязкого газа с присоединенным скачком уплотнения. Удлинение крыла предполагается малым (по порядку величины таким же, как и угол Маха в сжатом слое). Изучаются крылья, форма которых (передняя кромка, толщина) описывается гладкими функциями. Получено решение для формы скачка, а также для других газодинамических величин в виде степенных рядов по параметру, характеризующему геометрию передней кромки. Исследована сходимость рядов для функции тока на поверхности крыла и функций, определяющих точки пересечения линий тока со скачком.

Для изучения пространственного обтекания тел гиперзвуковым потоком газа развита асимптотическая теория ударного (сжатого) слоя, в которой малым параметром является отношение плотностей на ударной волне (см., например, [1, 2]). Для тонких крыльев малого удлинения, равного по порядку величины углу Маха в возмущенном потоке, уравнения сжатого слоя выведены в [3, 4]. Эти уравнения анализировались в ряде работ. Наиболее полно изучены конические течения как с отошедшим [4, 5], так и с присоединенным [6—9] скачком уплотнения. Возможность аналитического исследования уравнений [4] в общем трехмерном случае обоснована в работе [10], в которой доказано свойство сохранения поточного компонента вектора завихренности вдоль линий тока. Согласно [10] задача сводится к решению интегро-функцио-нальной системы уравнений для формы скачка и завихренности, после чего другие неизвестные функции находятся из соответствующих квадратур. В [11] для конечных участков крыла, передняя кромка которого мало отличается от прямолинейной (например, для консолей стреловидного крыла), была проведена линеаризация уравнений [10] по малому параметру 8, характеризующему это отличие. В данной работе интегро-функциональная система приведена к более простому виду, не содержащему завихренности. Это дает возможность выразить решение системы в виде степей* ных рядов по 8, выписав общие члены этих рядов. Для некоторых рядов получена оценка радиуса сходимости.

1. Пусть гиперзвуковой поток невязкого газа обтекает крыло малого удлинения (см. рисунок), установленное под углом атаки а = 0(1). Характерный размер крыла в направлении потока примем за единицу. Введем прямоугольную декартову систему координат Ол:^^ с началом в вершине крыла —точке О (см. рисунок) так,

чтобы вектор скорости набегающего потока К» был расположен

в плоскости Oxiyi. Форму' нижней поверхности крыла зададим уравнением У1=у?(х1г г,), а форму скачка — уравнением 3'1=X(xi’-

Z\). Газодинамические величины в сжатом слое представим в виде асимптотических рядов по малому параметру е, равному отношению плотности газа в набегающем потоке роо к плотности ps непосредственно за скачком уплотнения. Предельные переходы s О и Моо со, где Мм — число М в набегающем потоке, осуществляются при условии [4] .

Толщина сжатого слоя у нижней поверхности крыла у^— Примем, что толщина крыла имеет тот же порядок, а удлинение крыла по порядку величины совпадает с углом Маха р. — ■^/stga в возмущенном течении.

Введем безразмерные координаты, имеющие в сжатом слое-порядок 0(1):

Х = Хй _У = У,/^а; 2 = 2,/е1/^ а.

В новых координатах форма скачка уплотнения и поверхности крыла описывается функциями _у5(х, г) и у‘ю(х, г) соответственно.'

Система уравнений и граничных условий для безразмерных возмущений скорости и давления первого порядка по е получена впервые в [4]; Общий метод решения этой системы предложен в работе [10]; в его основе лежит доказанное там же свойство сохранения поточного компонента вихря вдоль линий тока. В [10] показано, что форма скачка' уплотнения определяется системой из интегрального и функционального уравнений

sMOTSin2a = 0 (1).

(1.1)

г (- У*г, г + xyl) = [yl (х, z) yszz (х, г) - у%г (х, z)] },

JO

КЯР

где ф = чю — поперечный^ (т. е. направленный по оси г) компонент скорости, являющийся функцией тока в сжатом слое; Ц® (х, г) — значение функции тока •]> на поверхности крыла; Г(ф, г — —

функция, представляющая собой величину, обратную поточному компоненту вихря.

Неизвестными в (1.1) являются функции у5 и Г. Посредством у*, у*г, у8хг обозначены соответствующие производные функции у*(х, г).

Граничные условия в случае присоединенного к передней кромке скачка уплотнения имеют вид:

у'[*, ге(х)\ = уг[х, ге(х)\, 1

— у;[х, гв{х)] = у[х, ге(х)\=юе(х), }

(х)Т-у {2е(*)-Уг (*» *е) — 2е)]2-4}, (1.3)

где ге(х) — функция, задающая переднюю кромку; чае(х) — значение компонента скорости ив на кромке; формула для тюе выведена в [41.

2. Преобразуем для дальнейшего систему уравнений (1.1) так, чтобы исключить из нее функцию Г(ф, г—^х). Пусть значение у ищется в некоторой точке А0{х, у*(х, г), г}. Согласно [10] для линии тока, проходящей в сжатом слое через точку А \х, у, г} и пересекающей скачок в точке А3{4, у*(£, С), С}, имеем:

Ф = ТЯ& С); г'-Чх = 1 + У2$, С), (2.1)

откуда с учетом (1.1) находим

Г(ф, г-)х) = [у1£, С)^,(Е, С)-у', (5, С)]-1. (2.2)

Так как в общем случае I и С представляют собой однозначные функции х, ф, г: £ — Цх, Ф, г) и С —С(х, '■]>, г), то интегрирование по в (1.1) эквивалентно вычислению интеграла вдоль некоторой спрямляемой кривой, лежащей на скачке уплотнения. В качестве переменной интегрирования удобно взять I. Дифференцируя (2.1) при фиксированных х и г:

4=-^, 9 Л-у», <5, 0Л,

<К=-У1 (6, С) йг-УЬ(I, С) (I - X) &, - у^г(£, С) (I - X)Л, и исключая из этих равенств получаем с учетом (2.2):

Г (Л г — Фх) йь = —------——------.

' Т ’ Г 1 +(е-х)/гг(?,С)

Равенства (2.1) определяют С как функцию х, г и I; выразив частную производную Сг(лг, I, г), убедимся, что Гйф можнб записать в виде I

Г (ф, г — <1>х) = Сг (х, I, г) (II. (2.3)

В (1.1) интегрирование по переменной ф ведется в пределах от ф“’(х, г) до ф#(х, г) = — у1(х, г). Новые пределы интегрирования по \ будут хе(х, г) и х, где хе — координата точки пересечения линии тока на поверхности крыла со скачком.

Учитывая соотношение (2.3), можно заменить (1.1) эквивалент

ной системой уравнений

*

у*(х, г)=у™(х, 2)+ / С2(*, Ь

Хе(х, г)

С(х, ?, 2) = 2 + (Х — %)У*Л\, С).

(2.4)

Система (2.4) во многих случаях оказывается более удобной, чем (1.1).

3. Построим решение системы (2.4) в виде степенных рядов по малому параметру, характеризующему геометрию исследуемого крыла. Возьмем вначале в качестве базового крыла пластину с прямолинейной передней кромкой, имеющую в общем случае некоторый угол стреловидности у = я/2—где 2 — параметр подобия [4]. Для любого конечного участка базового крыла, передняя кромка и поверхность которого заданы функциями

2й0(л:) = 2х; у%(х, г) = О,

решение задачи обтекания в области влияния этого участка имеет вид

у*(х, г) = 7(2* — 2); ф«(х, г) = Г=-°~-^а2~4 . (3.1)

Непосредственной подстановкой (3.1) в (2.4) можно убедиться, что уравнения (2.4) обращаются в тождества. Отметим ([4]), что для участка пластины с прямой передней кромкой (х = 0) следует полагать 2 = оо, 7 = 0, 72= 1.

Рассмотрим теперь некоторый участок крыла (например, консоль), несколько отличающийся от соответствующего участка базового крыла формой передней кромки и наличием ненулевой толщины, причем это отличие будем характеризовать параметром о > 0 — достаточно малым, но конечным (при г 0), что не нарушает справедливости асимптотического решения. Переднюю кромку и профиль рассматриваемого участка крыла зададим уравнениями

ге(х) = &х-\-bZix), х^х-^х,, (3.2)

у™(х, г) = 8К(х, г), х!<х<х2, 2!<2<,г2, (3.3)

причем функция Z(x) предполагается аналитической (т. е. разложимой в сходящийся ряд Тейлора) на отрезке [х,, х2], а функция У(х, г) — аналитической по каждой из своих переменных в области

Х!-<Х<Х2, 2^ <2 <22.

Представим основные величины в виде разложений по степеням параметра 8 ([11]), принимая в качестве нулевого приближения решение (3.1):

со

у* (х, 2) = 7 (2х - 2) + 2 Уп (*. 2), (3.4)

П=1

хе (х, 2) = 2 Х„(х, г),

(3.6)

п=О

Ц-Х, I,,*).= £ 8лСл(х, Е, г).

(3.7)

л = 0

Подстановка разложений (3.4) —(3.7) в систему (2.4) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях 8 дают, как будет показано далее, рекуррентную систему уравнений для функций уп(х, г). Предварительно нужно найти и Хп, а также выразить С„ через уп.

Воспользуемся очевидными в случае присоединенного скачка соотношениями

Ф® {х, г) = (хе, ге) == те (хе), г — ф® (х, г) х = ге — 6® (хе, Xе) Xе,

(3.8)

где Xе (х, 2) = 2е\хе(х, г)].

Сначала получим разложение по 8 для <ше. Подстановка (3.2) и (3.3) в (1.3) дает

те (х) = Т +

. I' (х) - ¥г(х, ге) V, (-1)'п+1 (2т— 3)!!

2 2 2^ 2т

п—1

, -Ат(х),

(3.9)

Ь{х) = -^—№Ч?(х)+¥г(х, *\2'(х) + ¥г(х, гМ-

— 4

Здесь обозначено ^(х) = -^-(х) и Уг(х, ге) = д~ (х, ге).

Заменим в (3.9) согласно (3.2) ге на Qx + ЪZ(x) и разложим функцию У в ряд Тейлора по переменной 2 в окрестности точки ,(х, 2л:). Значение производной дпУ/д2" в этой точке обозначим Уге- В результате для Д(х) получаем следующее разложение:

п=1

Д1=20(92-4 )-1[г'(х) + Уге],

Д2 = 2 (22 - 4)-1 (х) Уг2е + ± [Г (X) + УгеЦ ,

Д„ =

2гп-2 ’х)

п 22-4

л-1

у(п)

$2 (х)

(п - 1)!

+

к = 1

у(п—к) у(1г)

1 ге ге

^ -(я — А— 1)! (*— 1)1

у(я-1)

+ гг(х) —ге---------------ь

(п — 2)!

, 3.

(3.10)

В (3.9) и далее необходимо возводить степенные ряды вида 2 8"^ в натуральную степень. Приведем сводку формул и рекур-

рентных соотношений для коэффициентов/ получающегося при этом нового ряда;

чл = 1

т оо

і; Яп{с] — сп, «> 1;

/г—/714-1

#?И = 0, я<я»; [с] = 2 сіії3[с\, п>т+ 1

г=і

(3.11)

Буква с в квадратных скобках указывает на то, что соответствующие коэффициенты вычислены для ряда 2 ^сп-

П

Коэффициенты разложения

оо

®.(*) = 7’ + 2»"Иг«(*)

П= 1

с помощью могут быть записаны в виде

г, (х) = 4- (г1 (х) - гге] - Д[ и,

у(я) уП—\ (у\

ш ґл:ї = — - — -_^ —

"гЛ*) 2 (л—1)!

^02^^ (_1)т+! (2т — 3) !! птгл1

—2~~2і—^^— " 1 Ь ^ /71=1

(3.12)

Из (3.8) для ряда (3.6) Xе = Ё 8” Хп и ряда (3.5) = Т +

П

+ 2 Фп имеем:

" і

Х0=Т(г-Тх), |

«-1 П-1 Л ( (3.13)

хп=т\{хо - х) ф„ + 2*к-* - Ё 2(т)та и>ч'

/»= 1 /п=0 ' І

/г—1 п—т

фп = (*0) + И* Ё ^ та ^[- ■ (3-14)

т = 1 4=1

Значок * указывает, что при п — 1 соответствующие суммы в (3.13) и (3.14) отсутствуют.

Формулы (3.13) и (3.14) позволяют последовательно находить Х0, фь Хх, фа, Х2, фз и т. д. Действительно, из (3.11) вытекает, что наибольший номер г слагаемого с, в [с] равен п — /га + 1. Если еще принять во внимание вторую строку в (3.11), то видно, что

правые части (3.13) и (3.14) содержат лишь Хи ..., Хп_х. Следовательно, Хп выражается через функции Хи . . ., Хп-1, а также <!>!, . . ., ф„. Но функция ф, в свою очередь выражается через Хг, ..., Хп-\, ф1( . . ., фл_1, т. е. равенства (3.13) и (3.14) представляют собой рекуррентную систему соотношений. Связь между £„ и уп находим, подставляя ряды (3.4) и (3.7) во второе из уравнений (2.4):

С0 {х, I, г) = 2 — Т (х — $),

С„(х, ?, г) = (х - *)упг$, С0) + гп{х, %, г),

п-1 л-яг й «

ГЯ(Х, 6, *)-(*-?) 2*£^+1)^, Со)-^—я> 1.

т-1 к—\

(3.15)

Подставим теперь (3.3), (3.4), (3.7) и (3.13) в (2.4) и учтем (3.15). В первое из уравнений (2.4) ряды по 8 входят как под знаком интеграла, так и в нижнем пределе интегрирования. Интегрируя почленно ряд для производя его переразложение по степеням 8 с учетом ряда (3.13) для хе и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8, получаем рекуррентную систему интегро-дифференциальных уравнений для у„:

(3.16)

у,{х, 2) = У(х, 2) + /(х — 6) С0)сК — Х1 (х, г),

Хо

X ■

У„(Х, 2) = /[{х-1)упгг{%, Со) + Г„(х, 1,2)]С& + ФП(Х, 2), Д>2,

1 Л-1Я . Ъ \ г у-1

<М*. *) = - £ 2(^=г)(*> *о, г)'- , й>1.(3.17)

яг=0 й=1

С помощью (3.11) можно убедиться в том, что выражения (3.15) и (3.17) для гп и Ф„ содержат только у„ . . ., Уд..!- Систему (3.16) можно свести к системе уравнений в частных производных гиперболического типа, если к каждому из уравнений (3.16) применить

д д

два раза оператор ВГ — -^ + и учесть, что йт Х0= От С0 = 0:

ВтУп (х, *) - упгг{х, 2) = О* £„'(*, *). ^(Х, 2)=У(х, 2) — Хх (х, 2),

лг

£„(х, г)= /г„2(х, I, 2)^ + Ф„(х, 2), л >2.

(3.18)

Начальные условия для системы (3.18) следуют из требования о присоединении скачка к передней кромке крыла (соотношения (1.2)]:

2х)=у'Г‘\х,

т=1

Упг (X) =Ут (X, Щ = - Шп (х) - £ У1-ш’ (*> Й*) -

т= 1

(319)

дту.

где обозначено (х, 2х) = д— (х, 2х).

Решение задачи Коши (3.18) и (3.19) имеет вид:

У„ (*, z) = у* [k+ (z - Тх -j- х)] - -~=Уеп [k~ (Z - Тх - х)\ -

k+ (г-Тх+х)

- S ^W^ + 4- Я \P\SnW, О + Гг) do.*, (3.20)

ft- (г-Тх+х) D {x'z}

где £* = 77(1 + 7).

Во втором интеграле в (3.20) D{x, zj — область, лежащая внутри характеристического треугольника с вершиной в точке (л, z); она ограничена двумя характеристиками z—ТхЧ^х — const и линией z = Qx, на которой заданы начальные условия. Таким образом,

х г—Тх+х-~. ft+ (г—7"лг+лг) t1T -

I I •••+ I I •

ft+ (z-Tx+x) 2-TX-X+-. k-[z_Tx_x) z- Tx—x+z

4. Перейдем к исследованию сходимости некоторых из полученных выше рядов, а именно (3.5), (3.6), (3.9), (3.10).

Пусть Ц, — область влияния заданного участка передней кромки крыла, ограниченная линией z = ze(x), — оо < < со

и двумя характеристиками г — Тх + х = ze(xи2)—Тхi,2 + -*i,2’. Функции Z (х) и Y (х, z) по предположению (см. п. 3) аналитичны соответственно на отрезке [*!, Хо] и в замкнутой области Da. Отсюда сразу же вытекает сходимость ряда (3.10) для функции Д(х) на отрезке [Xj, х2]. Ряд по степеням Ь(х) в (3.9) сходится, если | Д(х)|< 1. Отсюда получаем ограничение на параметр

5 < 5i = min |~ Q + ^а2 ~ 4, } . (4.1)

где В= шах | Z’ (х) + Уг [х, ze(x)]\.

\х,, Xа]

Радиус сходимости по Д {х) ряда (3.9) равен единице. Так как ряд (3.10) для Д(х) сходится для всех х из отрезка [л^, х2], причем |Д(л:)|<1 при 0<8<81, то по теореме [12] о подстановке степенных рядов друг в друга ряд по степеням 3 (3.12) сходится равномерно по х при „г, <1 х <■ х2, 0 < 8 < Sj, а его сумма we(x) есть аналитическая функция х на отрезке [хи х,\.

Систему (3.8) можно свести к одному уравнению

z — we (хе) х — ze (хе) — we (хе) хе. (4.2)

Так как we = 7+ 0(8) и ze = 4- О (о) (сходимость ряда для we

доказана), то при достаточно малом 8, а именно: 8 82 84, в силу

аналитичности функций ze(x) и we(x) уравнение (4.2) имеет единственное решение хе (х, z). При 8 -*• 0 величина стремится к Х0 =

— Т(z — Тх). Поскольку для всех точек (х, z) из области D0 спра-

ведливо неравенство x^Xq^x^, то существует достаточно малое 8 — такое, что для всех точек D0 будет (х, z)<x2. Но

если зафиксировать 8, то это неравенство выполнится, вообще говоря, для некоторой подобласти D, имеющей криволинейные . границы и содержащейся в £>0. Таким образом, область влияния заданного участка крыла в общем случае меньше области D0,

в которой формально определены коэффициенты (3.13), (3.14), (3.20) рядов (3.6), (3.5) и (3.4).

Уравнение (4.2) можно переписать в форме F(xe, 8, х, z) = (Г,-где функция F(s, 8, х, z) аналитична по каждой из переменных, причем сходимость соответствующих рядов — равномерная по остальным переменным (Xj <s<x2, {x,z)£D, 0 < S < о2). Согласно теореме о неявной функции [13], решение уравнения (4.2) хе (х, z, о) есть аналитическая функция х, г, 8 в D при 0-<3<82. Применив теорему [12] о подстановке степенных рядов к первому уравнению в (3.8), можно доказать аналитичность Xе(х, z, 8) в тех же границах.

5. Рассмотрим теперь крыло малого удлинения пространственной формы, которое можно представить конечным числом частей, каждая из которых удовлетворяет указанным достаточным условиям сходимости рядов (аналитичность функций, описывающих переднюю кромку и распределение толщины крыла на данном участке и малость параметра 8, определяющего кривизну передней кромки). Например, функциями, задающими форму в плане и распределение толщин, могут быть полиномы любой степени. Для таких крыльев (на каждом участке) справедливо решение в виде степенных рядов, полученное в п. 3. Ряды для функции тока и функций Xе (х, Z) и ze(х, z), определяющих координаты точки пересечения линий тока со скачком, согласно п. 4, являются сходящимися при указанных ограничениях. Доказать сходимость ряда по степеням 8 для функции ys(x, z), описывающей форму скачка не удается, но можно рассматривать решение (3.20) как асимпто тическое при 8 -> 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. ЧерныйхГ. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М„ Физматгиз, 1959.

2. ХейзУ. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит-ры, 1962.

3. Messiter A. F. A similarity law for the normal force on a delta

wing at hypersonic speeds. JASS, vol. 29, 1959.

4. Месситер А. Ф. Подъемная сила тонких треугольных крыльев по ньютоновской теории. РТК, 1963, № 4.

5. Н i d а К. Thickness effects on the force of slender delta wings in hypersonic flow. „AIAA“ J., vol. 3, N 3, 1965.

6. Г о л у б и н с к и й А. И. Обтекание гиперзвуковым потоком треугольных крыльев определенного класса, установленных под углом атаки, с присоединенным скачком уплотнения. „Изв. АН СССР,

МЖГ“, 1968, № 5.

7. Голубинский А. И., Голубкин В. Н. О треугольном крыле в гиперзвуковом потоке газа. ДАН СССР, т. 226, № 4, 1976.

8. Голубкин В. Н. Обтекание плоского треугольного крыла гиперзвуковым потоком газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VII,

№ 6, 1976.

9. Woods В. A., Me In tosh С. В. G. Hypersonic flow with attached waves over plane delta wings. „J., Fluid Mech.“, vol. 79, N 7, 1977.

10. Голубовский А. И., Голубкин В. H. О пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком газа. ДАН СССР, т. 234, № 5, 1977.

11. Голубкин В. Н. Влияние формы передней кромки в плане на гиперзвуковое обтекание крыла малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IX, № 6, 1978.

12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., Физматгиз, т. 2, 1958.

13. М а р к у ш е в и ч А. И. Теория аналитических функций, т. I,

М., „Наука”, 1967.

Рукопись поступила 29jVII 1980 г-Переработанный вариант поступил 10JX 1982 г.

2—.Ученые записки ЦАГИ" № 1