Гиперзвуковое автомодельное обтекание конуса, движущегося по степенному закону Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И 1970

№ 3

УДК 533.6.013.2.011.55

ГИПЕРЗВУКОВОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ КОНУСА, ДВИЖУЩЕГОСЯ ПО СТЕПЕННОМУ ЗАКОНУ

С. К. Бетяев

Для медленно ускоряемого тела или для осциллирующего с малой частотой гиперзвукового течения справедлива поршневая аналогия Хейза. В работе на примере гиперзвукового осесимметричного обтекания кругового конуса (и клина), движущегося с переменной скоростью, рассмотрено существенно нестационарное течение, когда скорость газа, индуцированная ускорением тела, значительна, и поршневая аналогия неприменима. Характерно, что рассматриваемое гиперзвуковое течение содержит между гиперболическими областями эллиптическую зону изотропного распространения слабых возмущений с энтропийной особенностью.

Задача решена методом внешних и внутренних асимптотических разложений. Численные результаты в рамках гиперзвуковой теории малых возмущений получены методом характеристик.

Развитая теория автомодельного движения применена к вычислению зависимости коэффициента волнового сопротивления сх от времени для конуса конечных размеров. Показано, что при степенном ускорении конуса сх может увеличиться максимум в два раза.

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть покоящийся при / 0 (/ — время) конус или клин в момент

времени £ == 0 начинает двигаться в идеальном совершенном газе по закону х0 = —Ып , где Ь — положительная размерная постоянная, хй — продольная координата вершины тела. Течение будет автомодельным, если пренебречь давлением невозмущенного газа*. Такое течение имеет место в окрестности острой вершины произвольного плоского или осесимметричного тела, двигающегося с ускорением по степенному закону в зависимости от времени.

Отнесем плотность газа к плотности невозмущенного газа, составляющие скорости по осям х' и у', связанным с вершиной тела (ось х' совпадает с направлением набегающего потока, ось у'—перпендикулярна к ней), —к скорости движения тела \ай\ = п Ь1п~\ а давление —

* С учетом давления невозмущенного газа течение будет автомодельным лишь при Ь > /0> если тело двигается с ускорением, и при Ь < А>* если движение

а0

тела замедляется. /а = \ у —характерное время, а0 — скорость звука в невозмущенном газе. При /1=1 возможен учет давления невозмущенного газа.

к плотности невозмущенного газа, умноженной на «о. Тогда уравнения движения, неразрывности и притока тепла можно записать в виде

(и — а) иа + (V — Р) Ир + т. (м — 1) + у- рл = 0;

(и —а) + (« — P)®p + wi> + —/»р = 0;

v

(1.1)

(й — а) ра -|- (v —■ Р) рр + ри« + р1»р + vp

(и - а) Sa + (v — р) Sp + 2mS = О

Здесь р, р, и, г> — безразмерные давление, плотность и составляющие скорости по осям х' и у'; v = 0 для плоского течения, v = 1 — для осесимметричного;

х' „ V' п— 1 . ,

S — pp-c, а=—; р=^—; т=--------------< 1

’ btn btn »

(^ — показатель адиабаты).

Пусть с — безразмерная скорость распространения ударной волны, р = рj(а) — форма ударной волны, 5 — полуугол при вершине конуса или клина. Краевыми условиями будут условия на ударной

волне: .

. Q. , 2с sin о 2с cos а

и («, р,) — 1 —..*>(а. Pi) = ■

р{*> Pi) =

т + 1

2с2

Р(а> Pi) =

Т+1

Т+ 1 .

(1.2)

-+1, гч-, г./-т_Г

С =Р1С08а-(-(1 — с^эШа; з = рь

и условия на теле:

V (а, р0) = и (а, р0) tg 8; р0 = а tg 8.

Величина с равна расстоянию от точки (1.0) до касательной к ударной волне в точке (а, $1).

При т = 0 возможен учет давления невозмущенного газа; в линейной постановке такая задача была рассмотрена, например, в работах

[1], И- л

Прежде чем переходить к исследованию гиперзвукового обтекания, рассмотрим некоторые свойства течения в общем случае. В потоке имеется эллиптическая область, где

д2 = (и — а)2 + (V — Р)2 < ч -у- = а2-

На границе этой области расположена характерная для автомодельных течений энтропийная особенность. Так как тангенс угла накло-

V — Р «г

на траектории * в плоскости ар к оси а равен _________, то особая точка

расположена на теле и имеет координаты а0 = и, р0 = V, соответствук> щие положению «меченой» частицы газа — частицы, расположенной при КО в начале координат.

* Траекториями в плоскости “Р будем называть характеристики, по которым распространяются энтропийные возмущения.

Влияние вершины тела на течение газа локализовано. Область влияния отделена от области, не подверженной влиянию вершины,, слабым разрывом. В плоском случае в области, где не сказывается влияние вершины, искомые функции будут зависеть от одной координаты у = |Jcos6— a sin б, течение будет таким же, как за плоским поршнем, расширяющимся по закону у — const [3], [4]. В осесимметричном случае решение задачи в области, не подверженной влиянию вершины конуса, в явной форме неизвестно, его необходимо находить каким-либо численным методом (например, методом характеристик) или с помощью разложения в ряды в окрестности точки а=оо, где различие с плоским случаем исчезает.

Так же как в стационарном случае, если угол 8(. больше критического, ударная волна отсоединена от вершины тела, в окрестности которой расположена эллиптическая область.

Для решения задачи нам понадобятся еще уравнения в координатах, одна из которых совпадает с поверхностью тела, а другая — перпендикулярна к ней. Пусть х = р sin б -f-l a cos б, у = р cos б — а sin б.

Система уравнений (1.1) в координатах х, у имеет вид

(и — х) их -f- (v — у) vy + т(и — cos 8) + — рх = 0;

Р

(и — x)vx 4- (v — y)vy + m(v + sin8) + -yPy =

и sin 8 4- v cos 8

(и - x) px + (v-y)py + ?ux + pvy + vP —

V, - r~, I r-y . 'Г x sin g _|_ j; cos 8

(и — л) Sx + (v — y) Sy 4- 2mS = 0.

= 0:

(1.3)

Условия на ударной волне \у —у! (-«)] и на теле (.у = 0) примут следующий вид:

и(х, >'i) = cos8 -

2с Уг т + 1

^г; P(x,yi) ‘

Т - 1 ’ 2 с2

Т + 1 yi -±у;2 2с 1

v(x, у,) — — sins + ^ +y.!;P'x,y,)=T+1;

■ Ji + sino — (х — cos 8)^'

1/Г+у2

v (х, 0) = 0.

(1.4)

(1.5)

Если угол б меньше критического, то ударная волна присоединена к телу, и к вершине будет примыкать гиперболическая область. В окрестности вершины устанавливается стационарное коническое течение,

ОС

все безразмерные величины зависят от отношения-р-. Если т = 0, то

зависимость справедлива вплоть до предельной характеристики, за которой расположены трансзвуковая и далее эллиптическая зоны. Эллиптическая зона, заключенная между гиперболическими областями, имеет различную форму для ускоренного (т>0), замедленного (т < 0) и равномерного (т = 0) движения (фиг. 1, а, б, в). Энтропийная осо-

2— Ученые записки № 3

17

бенность в точке х0 показана на фиг. 1 звездочкой, предельные характеристики — пунктирными линиями. Для ускоренного течения скорость звука на теле за точкой х0 равна нулю, поэтому информация о потоке за нее не проникает. Линия слабого разрыва, являющаяся предельной характеристикой, проходит через особую точку (см. фиг. 1 , а). В случае ускоренного движения клина х0 = cos 6. Для замедленного движения скорость звука тела за «меченой» частицей бесконечно велика, возмущения распространяются моментально по всей поверхности, линия слабого разрыва и линия параболичности асимптотически приближаются к телу при а -»оо (см. фиг. 1, б).

Причудливая форма области влияния вершины и наличие энтропийной особенности приводят к определенным математическим трудностям при численном интегрировании уравнений автомодельного движения. В условия задачи входят три параметра: 8, т и 7. Воспользовавшись методом внешних и внутренних асимптотических разложений [5], рассмотрим теорию малых возмущений (8г С 1), тео-

Перейдем к рассмотрению гиперзвукового обтекания. Пусть угол 8 достаточно мал, ударная волна присоединена к телу. Положив 8<^1, р>0, в соответствии с теорией малых возмущений [6] представим решение системы (1.1) в виде

У т=0

Фиг. 1

§ 2. ТЕОРИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

и= 1 + 0(8=); 81/(a, Yj)+ 0(82);

p = VP(%, ті) +0(8»);

(2.1)

р = R(a, п) + 0 (8); yj =

. о

Подставляя эти значения в уравнения (1.1) и пренебрегая малыми величинами второго порядка, получим следующую систему уравнений для определения функций V, Р и /?:

(1 — <*) + (V — ?}) Я-Г1 + /? 1Л)

= 0;

(1-а)Ра + (1/-7!) Рп + 2тР + 1Р[ Уч+„^-| = 0.

V

(2.2)

Граничные условия (1.2) и условие на теле преобразуются к виду

Ъ) = ; . Ж«. Ъ) = %) = ;

С = ТЦ (*) + (! — «КО*); К(а,в)=1.

(2.3)

Область влияния вершины тела простирается до линии а=1. На этой линии искомое решение соответствует решению задачи об автомодельном движении плоского или цилиндрического поршня.

1. Система уравнений (2.2) всюду гиперболична. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задачи или для нахождения начальных данных, необходимых для численного интегрирования системы, метод разложения в ряды. Рассмотрим сначала приближенное решение плоской задачи в области а *£ 1. Представим функции в виде ряда по степеням т, ограничившись двумя членами разложения:

V = 1 + т Уг + 0 (/га2); Р= ^ + тРх + 0 (/га2);

Я = 1^-|- + ш/?! + 0 (/га2); 7|, = 1^-1 а 4- тах (а) + 0 (т2).

(2.4)

Искомое решение представляется в виде сходящихся рядов:

оо 1 ' 1—/г

Л(<*> 71)=(Т+1)^1пПй к (* — + — а)*

1 = 1

*2-1 1А

1 — а

И-'

■Ай

7+1

-*+ *:

1

К — 1

1 + 2к[

<4 (1 — «)2

А1='(т —1)^; *« =

а I „—^Г- ; й (т) =

2Л—1 . , Т + 1 3-т

_!_^\2

2 1-1]

> —

2к + 1 ’ "'3 1 — &

К =

1 + л ‘

(2.5)

В случае к = 2 ряды обрываются: ^«3111(1+в-т1); 0-1 (я) = 3 ~~7г~ 1п ■

а).

При малых значениях а разложение (2.4) дает асимптотически точное решение. Поэтому погрешность разложения следует оценивать при а = 1. Имеем:

М1- ч):

-1п

1-й»

А3

1

к.

А + 1

Л 1+1 2 1 ( ’ 2

1-1

кх

1—/г

«1(1) =

Значения Р1(1, •»)) и а1(1) совпадают с соответствующим решением линеаризованной по параметру т одномерной задачи о расширении плоского поршня, точность решения которой удовлетворительна для достаточно малых значений \т\. Так, при 7 — 1

т1 = ■

(т = 0,435; 0,441; 0,461; 1,95 соответственно для:

2а,(1)

7 = 4/3, 7/5, 5/3 и оо) т)](1)<1, и решение теряет физический смысл; при т<С — 0,5, как известно, решение задачи вообще не имеет физического смысла [7].

2. Рассмотрим решение осесимметричной задачи в области: а\>1. На большом расстоянии от вершины (а -* оо) течение газа будет таким же, как за плоским поршнем. Приближенное решение можно получить, разложив искомые функции в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд по отрицательным степеням т). Ограничимся наиболее простым случаем равномерного движения конуса. Пусть

1 + -Ч~‘ V, (ч - «); Р=+ Т-' р1 (Ч - «):

V-

Я:

т+ 1

= тг-1

а =

(2.6>

Знак суммирования по индексу г (/=1, 2, 3,...) опущен. Подставив разложение (2.6) в уравнения (2.2) и в краевые условия (2.3> и отобрав члены с одинаковой степенью % получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций и Р1 с соответствующими граничными условиями. Из этой системы уравнений и граничных условий, которые для краткости здесь не выписаны, функции У1г /?г, Ри а также постоянные доопределяются последовательно. Для первых трех членов разложения (2.6) имеем:

_ 7+17-1 _ (у+1)(Т—I)2 1773 + 2572— 157 + 1

а 1 _ 7 - • « -

2Т—1

&•>

48

~'1~1

(7Т-5) (2т-1/

1 1373 - 2872 +257 — 6

! (7Т-5) (27-1)’

4Т+1

2Т— 1

Т-1 (7у-5)(27-1)

(7) - «)*

Точность метода можно оценить по значениям функций при а= 1. Так, при у — 1,405 т)1 (1) равно 1,2025 в первом приближении, 1,121 — во втором и 1,081—в третьем; значение Р (1.1) соответственно равно 1,2025,. 0,825 и 1,038 [точное значение г)1(1) равно 1,094, точное значение Р (1.1) — 1,045].

Такой же метод приближенного решения осесимметричной задачи в области, не подверженной влиянию вершины, можно применить и при т — 0, однако вычисления в этом случае оказываются более трудоемкими, так как задача о неравномерном движении плоского поршня, вообще говоря, не имеет квадратурного решения. Для оценки распределения давления в области а^1 в инженерных расчетах можно положить

Я (а, а)^Р0,+Ро2~ Ро1 ■ (2.7)

Здесь Р01 — давление на плоском поршне, Р02— на цилиндрическом. Аналогично можно определить зависимость у, (а) и др.

3. Для дальнейших целей удобно использовать координаты Мизеса а и ф (ф — функция тока). Из уравнений (2.2) находим

, (1 — а)2+ч п _ /1

"Ь ^ — v

(1— в) У.-Н

(1 _а)і+чРФ— тУ>

Р= і 1

1 — а

Р^

(2.8)

где /(ф) — некоторая неизвестная функция своего аргумента, ^ (а) — произвольная линия в плоскости ф, а. Пусть на поверх-

ности тела Ф = 0, а на ударной волне ф == ф1 (а). Тогда граничные условия (2.3) примут следующий вид:

= р(а> : Жа’^)=7^гт

•ч1+’(«, Фі) — (1 + *41 -а)1+чФі; с = (х ^ ;

(2.9)

(2.10)

У(а, 0) = 1; 7) (а, 0) = а.

Условие ДЛЯ Т) (а, ф,) является следствием последнего уравнения системы (2.8) и условий на ударной волне.

В окрестности вершины тела представим решение в виде ряда по степеням а:

УьЫ + аУЛЧ-

Р = Ро(М + аР1(Х) + ...;

0 V'/ I ~ г 1 V'/ I • • • Ї - * и V*/ I 1 V'/ I ■ * * » 1(2 1 1 \

Р = Р„(Х) + аРі (М + • ■ •; "п = а?]о00 + а27]і(а) + • • •; х = фа-1~’,.|

Подставив разложение (2.11) в уравнения (2.8) и собрав члены с одинаковой степенью а, можно получить систему уравнений для последовательного определения членов ряда (2.11). Оказывается, что система уравнений для первых членов разложения У0, Р0, Яо и т)о описывает (в переменных Лангранжа) течение за плоским или цилиндрическим

поршнем, движущимся с постоянной скоростью. Как известно из гипер-звуковой теории малых возмущений, такое же течение реализуется при стационарном гиперзвуковом обтекании конуса или клина.

Для клина легко найти последующие члены разложения (2.11):

о Т + 1 - 1+12

Р ==*!+!

1 2 2]

1

'V

1++тХ;

Ъ-

1

7+1

3 от

2т-1\т+1

1-1

(2.12)

Вдали от вершины клина решение (2.12) может привести к большей погрешности, чем решение (2.5).

Разложение (2.11) описывает асимптотическое поведение функций в окрестности вершины, оно было использовано для определения начальных данных, необходимых для расчета течения методом характеристик.

4. Система (2.8) имеет два семейства действительных характеристик:

Г р

йа

а =

(1 - а)2+* • " V * Я ’

вдоль которых выполняются дифференциальные условия

(2.13)

йУЛ-

йР

— Яа

тУ + а

2т

1

Линия а == 1 является особой для характеристик; при а —*• 1 тангенс угла наклона характеристик к оси неограниченно возрастает, на линии а= 1 характеристики обоих семейств сливаются.

В области а <С 1 задача решалась на ЭЦВМ методом характеристик. В качестве начальных данных принимались первые члены разложения (2.11). В осесимметричном случае система уравнений для определения этих членов решалась методом Рунге—Кутта с постоянным шагом, равнымЛиния а=ао, несущая начальные данные,

выбиралась из условия, чтобы решение на линии а = 2 ао, полученное методом характеристик, отличалось от решения, соответствующего первым членам ряда ( 2.11), менее чем на 1 %. Число точек в слое сохранялось постоянным и было равно 33. Схема счета для четырех точек в слое показана на фиг. 2. Пунктиром показана характеристика, прохо-

Фиг. 2

дящая через точку, расположенную посредине прямой, соединяющей точку на ударной волне с соседней по слою. При численном счете приходилось решать элементарные задачи о расчете полевой точки, точки

на теле и точки на ударной волне [8]. Расчет полевой точки проводился с одним пересчетом, остальные элементарные задачи решались с двумя пересчетами. При а—► 1 1151—» о*3, поэтому задача решалась до значений а = 0,95 0,98.

На фиг. 3 приведена зависимость давления на клине и плотности от а, а также форма ударной волны т]і(а) —а для различных значений параметра п\ на фиг. 4 показаны те же зависимости для осесимметричной задачи. Расчеты проводились для значения = 1,405. Решение, полученное методом характеристик, сопрягалось с точным решением при а=1. Предполагается, что погрешность в определении давления не

Фиг. 3

превышает 2%, а в определении 111(0) — 1%. Сравнение численного решения задачи при т = 0 с квадратурным показало, что для выбранного на фиг. 3 и 4 масштаба погрешность численного счета пренебрежимо мала вплоть до линии а = 0,99.

Как видно из приведенных на фиг. 3 и 4. графиков, ударная волна в плоском случае выпуклая при 1 и вогнутая при п 1. При п= 0,7 кривые Р (а, а) и г]1 — а резко возрастают вблизи линии а = I [111(1) =2,76, Р(1,1) =3,02]. Для больших значений параметра п зависимость Р (а, а) имеет максимум вблизи слабого разрыва (а=1), а для достаточно малых значений п — минимум. Плотность газа с ростом а стремится к бесконечности для ускоренного течения (п>1) и к нулю— для замедленного (п 1). Случай п -» оо (т = 1) соответствует задаче о движении конуса или клина по экспоненциальному закону в зависимости от времени.

Качественно такой же характер имеют зависимости в осесимметричном случае. При п < 2/3 решения плоской задачи не существует, следовательно, не существует и решения осесимметричной задачи, так как при а -» оо течение газа такое же, как за плоским поршнем. Однако при 1/2 п < 2/3 существует решение задачи об автомодельном проникании тонкого конуса в полупространство сжимаемого газа, так

как в этом случае достаточно получить решение в области а < 1, приняв плоскость х'— Ып (а= 1) за твердую границу. Соответствующее решение при п = 0,55 показано на фиг. 5.

Отметим, что задача об ускоренном проникании клина в полупространство, заполненное покоящимся газом, эквивалентна задаче о ги-перзвуковом обтекании дельтаобразного крыла ромбовидного поперечного сечения с переменной (степенной) стреловидностью.

Вторые члены внешних разложений для скорости и имеют разрыв на особой линии. В действительности такой разрыв не должен иметь место. Следовательно, в окрестности особой линии внешнее разложение, стягивающее всю эллиптическую область в прямую линию, неправильно описывает картину течения. В этой области необходимо использовать внутреннее асимптотическое разложение. При этом ширина эллиптической зоны по ударной волне Ах (см. фиг. 1, в) в случае равномер-

ного движения клина порядка 6 при малых б и г2 при малых е.

Внутреннее разложение представляет собой линейную добавку к решению задачи о расширении одномерного поршня, удовлетворяющую условиям сращивания с внешним разложением при неограниченном возрастании продольной внутренней переменной в обе стороны от особой линии или на линиях слабого разрыва.

Однако для определения в первом приближении суммарной характеристики движения — коэффициента волнового сопротивления (см. разд. 4) — достаточно найти давление на поверхности тела в рамках внешнего разложения, так как разрыв на особой линии более высокого порядка, чем основной член разложения.

Согласно теории тонкого ударного слоя решение задачи представим в виде

Подставляя эти значения в систему (1.3) и условия (1.4) и пренебрегая малыми второго порядка, получим следующую систему уравнений и граничных условий для определения функций Р, /?, V:

§ 3. ТЕОРИЯ ТОНКОГО УДАРНОГО слоя

и = СОЗ § + 0 (е); V = е V(х, Т]) + 0 (г2); р = Р(х, -ч) + 0(е);

(3.1)

Р09 §

Рп = — /га/? віл 8; (соэ 8 — х)Я + (V— ■/])/?,, + И 1Л| + —— = 0;

✓С

(3.2)

У{х, т1і) = 71і—(х — сое 8)-7]’ — 8;

Р(х, = эт2 а/? (л:, і]!) = 1;

V (х, 0) = 0.

(3.3)

Задача решается в квадратурах:

Р = sin2 о

1

/га (cos 8 — jc)'+v

cos 8

R

x

cosS Ф

/(«

2m

sin2 8

V

= sin8 f [~

J \c°s'

tn (cos 8—x)1+’

X

X

(cos 8 — JC)1+V x~~‘ ( 1 -f-

V cos I

m (cos 8 — x)1+v — ф) + cos 8

cos 8 — x V| db

~R ’

- 2

/«0 =

Фі =

хч

1 + [(1 + v)<|>]»+*

[1 H- (1 -f- v)^]1+v—1 при x > cos 8;

і ( x y+*

1 -f- v ^cos8 — x J

, (л: — 0,5 cos 8)v „

cos 8 —t—-—^„ , ' - при tf^COSo.

при A'<C0s8; при л:> cos 8 при л; < cos 5;

(cos о — x)

l+v

(3.4)

В теории тонкого слоя особой линией, разграничивающей два разных решения, является линия * = cos8. В области, не подверженной влиянию вершины, плотность на теле R (х, 0) равна оо при /га >0; 0 при /га< 0 и 1 при /га —0. В случае /га = 0 давление постоянно: P=sin28. Это обстоятельство наводит на мысль рассмотреть другое внешнее разложение, которое назовем теорией Ньютона. Пусть

U = cos8 + 0(s); V = г V(х, *]) + 0(є2); /7 = sin25 -f sP(x, Yj) + 0(s2); P = 4" + R(x> *l) +0(e); y = erl\ s C l; 0</ra< 1; q — —.

Є s

(3.5)

Решение задачи имеет вид

xtgS

т, cos 8

V= — v —— tj; 7)j

1 -sin ( 1

v cos 8

при x-< cos8;

при a:>cos8;

cos 8 — V

P = sin2 8 -j- q (yjj — 7j) sin 8 — 2v sin 8----------Tjj + v cos2 8----------^—

X X

(3.6)

Р — /? sin S =

/1 \ • П , О J 2 Я COS 8 — x + (2.k)v+1 (irictg8)1+v

(1 — v)sin2S 4- 20 sin2 8 In------------—-—'-z—————

' cos b

sin2 8 + 2 q sin2 8 In

при X COS 8;

2vxT) sin2 8 2xr\ (x — cos 8)2 tg 8 7) ( 2x

sin о cos8-|- j/(x—cos8)2-i-2jCTictgо)

при л: > cos 8.

Особой линией является также линия x = cos6. Особая точка для линий тока х = cos б, у = 0 является узлом. При v = 0 — простой узел, при v = 1 — все кривые, кроме линии X = cos б, входят в особую точку по направлению т] = 0.

В таблице приведены порядки основных величин в теориях малых возмущений (I), тонкого ударного слоя (II) и Ньютона (III).

У и V Р Р

I ~ъ 1 — 8 ~82 ~1

11 ~ £ cos 8 ~ £ ~1 ~ е—1

111 cos 5 sin2 8 £-1

На фиг. 6 приведено для сравнения распределение давления р (х,х) на конусе при 6 = 0,3, 7 = 1,405, п — оо и 0,85, рассчитанное

методом внешних асимптотических разложений по теориям I, II и III. По теории малых возмущений в области, не подверженной влиянию вершины, давление вычислялось по формуле (2.7). При /г = 0,85 кривая III рассчитана формально по формулам (3.5), (3.6). Пунктирной линией показано асимптотическое значение давления при х-*оо. Видно, что даже при таких больших значениях б и предельных значениях параметра п в случае ускоренного движения кривые I и II дают удовлет-

верительное совпадение, а в случае замедленного движения разница в определении давления по теории тонкого слоя и теории малых возмущений больше, чем в случае ускоренного движения. В случае т — 1 теория Ньютона дает лишь качественный результат, так как при больших значениях п она мало пригодна.

§ 4. ДВИЖЕНИЕ КОНУСА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

Обтекание конуса конечных размеров не будет автомодельным. Однако при гиперзвуковом движении конуса в идеальном газе влияние концевого эффекта на распределение давления по его боковой поверхности будег сказываться только в тот промежуток времени, когда эллиптическая зона проходит срез конуса. Поэтому при использовании внешнего асимптотического разложения, стягивающего область эллиптичности в прямую линию, концевым эффектом можно пренебречь. Тогда коэффициент волнового сопротивления, отнесенный к площади основания (без учета донного давления) конуса или клина длины /0

1о

Шп cos S\v+1

btn cos 5

/о

sin2 8

I

p{x, 0)

sin2 8

xv dx.

(4.1)

Вычислим интеграл (4.1), воспользовавшись, например, квадратурным решением из теории тонкого ударного слоя. Согласно формулам (3.4), распределение безразмерного давления по боковой поверхности тела р (х, 0) определяется следующим выражением:

р(х, 0) sin2 8

1 +

т

1 -f- т

v + 1 cos 8 Л v cos 8

' ~ ~2~1Г

V

*i =

Особая линия ,x = cos8

L \1/п *0

при л:< cos 8;

при х^ cos

(4.2)

попадет на срез в момент времени При вся боковая поверхность будет располо-

\Ь соэ28I

жена в области влияния вершины тела. Подставляя решение (4.2) в формулу (4.1) и интегрируя, получим: .

2 /1 2 (~2~ Т

где z -

сх = 2 sin2 8

btn cos2 о

1 -f т 1 +

1

т

2 + v

при t С fj, при t>

(4.3)

Как следует из выражения (4.3), зависимость сх от времени монотонная. При t-*оо с*-»2 sin2 6. При t-* 0 сх->2 т) sin2 б, достигая минимального значения для замедленного движения и максимального— для ускоренного. В момент времени, когда область влияния вершины охватит всю боковую поверхность тела, добавление к значению сх за счет эффекта нестационарное™ уменьшится по абсолютной величине в два раза для клина и в три раза для конуса. Предельное значение сх достигается при ускорении тела по экспоненциальному закону (т — 1) и в начальный момент времени в два раза превосходит соответствующее установившееся значение.

Качественно такие же результаты получаются При применении теории Ньютона к вычислению коэффициента волнового сопротивления с* конечного конуса или клина. Зависимости с* (г) и сх(г) в случае \>=1 (7=1,405) сравниваются на фиг. 7. В случае экспо-

Фиг. 7

ненциального ускорения конуса с* в начальный момент времени превосходит соответствующее установившееся значение в 2,08 раза (в случае экспоненциального ускорения клина —- в 1,86 раза).

Автор признателен А. И. Голубинскому за полезные беседы по теме данной работы.

* *

ЛИТЕРАТУРА

1. Sakurai A. The flow due to impulsive motion of a wedge and

its similarity to the diffraction of shock waves. J. of the Physical Soc. of

Japan, 1955, v. 10, № 3.

2. Sakurai A. The flow due to impulsive motion of a wedge, II.

J. of the Physical Soc. of Japan, 1956, v. 11, № 9.

3. Крашенинникова H. JI. О неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем. Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 8.

4. К о ч и н а Н. Н., Мельникова Н. С. О неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем, без учета противодавления. ПММ, т. XXII, выи. 4, 1958.

5. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.,

«Мир». 1967.

6. Хейз У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений,

М., Изд. иностр. лит., 1962.

7. Lees L., Kubota Т. Inviscid hypersonic flow over blant-nosed slender bodies. JAS, 1957, 24, № 3.

8. Кацкова О. H. и др. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М., ВЦ АН СССР,

1961. _____________

' Рукопись поступила 23,jV 1969 г.