Гильбертовы обобщения b-бесселевых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

ГИЛЬБЕРТОВЫ ОБОБЩЕНИЯ b-БЕССЕЛЕВЫХ СИСТЕМ

М. И. Исмайлов

Бакинский государственный университет, кафедра теории функций и функционального анализа E-mail: miqdadismailovl @rambler.ru

В работе дается определение b-бесселевых систем, которое обобщает известное классическое понятие бесселевых систем, а также установлены критерии b-бесселевости систем. Изучены некоторые свойства пространства коэффициентов, соответствующих b-базису, обобщающее классическое понятие базиса Шаудера.

Ключевые слова: b-базис, b-полнота, b-минимальность, b-бесселевы системы.

Hilbert Generalizations b-Bessel Systems M. I. Ismailov

Baku State University,

Chair of Theory of Function and Functional Analysis E-mail: miqdadismailovl @rambler.ru

The notion of b-Bessel systems that generalizes the known classic notion of Bessel systems is introduced, the criteria of Bessel property of the systems are established. Some properties of the space of coefficients corresponding to the b-basis generalizing the classic notion of Schauder basis are studied.

Key words: b-basis, b-completeness, b-minimality, b-Bessel systems.

Отметим, что понятие бесселевых систем в гильбертовом пространстве было введено Н.К. Бари [1]. Пусть {фп(x)} с L2 есть B-система, имеющая биортогональную систему {gn(x)}. Система {^n(x)} называется бесселевой, если для любой f е L2 сходится ряд из квадратов коэффициентов ее биортогонального разложения по

те

{^n(x)}, т.е. если из f е L2 следует ^ (f,gn)2 < +<х>. Существует

п=1

другая терминология бесселевых систем в абстрактных гильбертовых пространствах, а именно система }keN элементов гильбертова пространства H называется бесселевой, если существует число B > 0 такое, что

>|2 < B II / у2, f е H.

k=1

По этой терминологии, в работе I. Schur [2], бесселевы системы в L2 изучаются посредством продолжимых систем. Доказано, что система {фп(х)} с L2 бесселева тогда и только тогда, когда {фп(x)} продолжима. Явная конструкция такого продолжения приводится в работе Е. М. Никишина [3]. В этом направлении известны результаты В. Я. Козлова [4], А.М. Олевского [5], Б. С. Кашина и А. А. Саа-кяна [6], W. Czaja [7], С. Я. Новикова [8] и др. В работах Б. Е. Вейца [9], ZA. Canturija [10], A. Pelczynski, I. Singer [11], Б. Т. Билалова и З. Г. Гусейнова [12] и П. А. Терехина [13] изучаются бесселевы системы в произвольных банаховых пространствах. В работе [12] вве-

дено понятие K-бесселевых систем в банаховых пространствах, получены аналоги всех результатов [1] относительно бесселевых систем. В [13] рассматриваются системы сходимости, системы представления и построены связи этих понятий с бесселевыми системами, а также даются проекционные характеристики бесселевых систем.

В настоящей работе рассматривается KB-пространство, относительно которого введено понятие b-бесселевых систем в гильбертовых пространствах, обобщающее понятие бесселевых систем в смысле [1]. Получены аналоги ряда результатов [1].

1. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пусть Y — нормированное пространство, X и Z — H-пространства с соответствующими скалярными произведениями (■, и (■, . Рассмотрим билинейное (т. е. линейное по каждому из аргументов) отображение b(x, y) : X х Y ^ Z, удовлетворяющее условию

3 m, M > 0 : m||x||x||y||y < ||b(x,y)||z < M||x||x||y||v.

В дальнейшем для краткости полагаем xy = b(x, y), x e X, y e Y.

Пусть M с Y — некоторое множество. Обозначим через Lb(M) — совокупность всевозможных конечных сумм Exjm^, где Xj e X, m^ e M.

Систему {yn}neN С Y назовем b-полной, если Lb({yn}neN) = Z, где Lb({yn}neN) — замыкание множества Lb({yn}neN).

Согласно теореме Рисса при фиксированных значениях z e Z, y e Y и при произвольном x e X линейно непрерывному функционалу /z>y (x) = (xy,z)z соответствует единственный элемент (z, y) e X такой, что /z,y(x) = (x, (z, y))x и ||/z,y ||x* = ||(z,y)||x. Значит (z,xy)z = ((z,y),x)x. Легко показать, что элемент (z,y) линеен по аргументу z e Z. Более того, из

||(z,y)|x = sup |((z,y),x)x1 = sup |(z,xy)z|< M||zhуууу 11*11 = 1 IMM

следует непрерывность (z, y) по обоим аргументам.

Фиксируя y e Y в выражении (z, y), определим отображение w(y), w(y): Z ^ X, по формуле w(y)(z) = (z,y). Из линейности и непрерывности (z, y) по z e Z следует, что w(y) e L(Z, X).

Системы (yn}neN с Y и {уП}neN с Y назовем b-биортогональными, если для всех k, n e N и x e X справедливо равенство (xyk, уП) = x, где <5nk — символ Кронекера, при этом систему {уП}neN будем называть b-биортогональной к системе {yn}neN.

Систему {yn}n£n с Y назовем b-минимальной, если для всех x e X (x = 0) и k e N выполняется

xyk Lb{{yn}neN, пфк)-

Систему {yn}n£N с Y назовем b-базисом в Z, если для всех z e Z имеет место однозначное представление в виде z = xnyn, xn e X, n e N. Пространство X последовательностей x = {xn }neN,

n=1

те

xn e X, для которых ряд xnyn сходится в Z, назовем пространством коэффициентов по b-

n=1

базису {yn}neN.

Пусть Z и Z1 — B-пространства и T e L(Z, Z1). Рассмотрим оператор Tb : L(Z1, X) ^ L(Z, X), определенный выражением (Tb*/)(z) = /(Tz), / e L(ZbX), z e Z. Очевидно, что Tb* e L(L(ZbX), L(Z, X)). Оператор Tb* назовем b-сопряженным c оператором T.

2. ПРОСТРАНСТВО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Пусть X — B-пространство последовательностей х = {xn}neN, xn e X, в котором линейные операции определены покоординатно и множество iEn = {x = {<5inx}ieN , x e X} является подпространством при любом n e N. Если из сходимости в X следует покоординатная сходимость, а система {i?n}neN образует базис в X и порождает систему проекторов {en}neN: en (x) = {¿inxn }ieN, то пространство X назовем KB-пространством c каноническим базисом

{еп}пе^. В КВ-пространстве X ясно, что для всех х е X, х = {хп}пе^, справедливо:

х —

У^ {¿гкХк }

ге^

к=1

— 0, П — ГО.

X

Пусть система Ф = {<п}пе^ С У образует Ь-базис в Z с пространством коэффициентов ХФ. Пространство ХСф является В-пространством, если нормой элемента Х = {хп}пе^ является число

х|| Хф = йиР

П хк <к к=1

В самом деле, линейность Хф очевидна.

Проверим справедливость аксиом нормы. Если ||Х||хф = 0, то Х = 0. Для всех Л е С имеем

11Лх11хФ =йиР

^(Лхк )<

к=1

= |Л|Бир

У^хк <к

к=1

= |Л||х|

X ф

Далее, для любых последовательностей {хП}пем и {хп}пем е Хф получаем:

БИр п < БИр п + БИр п ХУк' <к

п к=1 п г к=1 п г к=1

Покажем полноту пространства Хф. Пусть {хп}пе^ (хп = {х^}кем) — некоторая фундаментальная последовательность из Хф, т.е.

Хп хт||Хф — 8Ир

г=1 г=1

0 при П, т —>• ГО.

Имеем

х л х Л | | ^^

Т ||(хп хт)< и Т УЕ (хП — хт)<к — Е (хП — хЛ)<к ^

1 ||(хг — хг )<г Иг _ 1 к=1

г —1

£<

к=1

т

|<

г ||У

т

|<

<

г||У

_

|хп хт|хХф

<--г—г- —>• 0 при п, т ^ го.

т ||<г||у

Поэтому последовательность {хП}пе^ фундаментальна в X для любого г е N .В силу полноты X

получаем х" — хг е X. Так как для любого к е N выполняется

Е(хГ — хГ )<г

г=1

0 при

п, т — го, то

те

£(хГ — хг )<г г=1

к

Е(хГ — хг )<г

г=1

0 при п — го. Поэтому ||хп — Х||хф — 0 при п — го. Так как

— 0 при п — го, то из неравенства

к+р к+р к+р

хг <г||г < || ^ (хг — хП)<г ||г + || ^ хП < ||г, Р е N5

г=к+1 г=к+1 г=к+1

следует, что ряд Е хг <г сходится и х = {хп }пе^ е ^ХФ.

г=1

~ те — —

Определим оператор Т : — Z формулой ТХ = Е хп<п, Х = {хп}пе^ е Из линейности

п=1

следует, что оператор Т линеен. Покажем ограниченность Т. Для всех Х е ^Сф имеем ||ТХ|| < ||Х||. Кроме того, поскольку Кег Т = {0}, то Т осуществляет изоморфизм между ^Сф и Z. Оператор Т назовем естественным изоморфизмом между Xф и Z.

Утверждение 1. Пусть У — нормированное пространство, X и Z — Н-пространства, система {<п}пе^ С У образует Ь-базис с пространством коэффициентов Xф и Т-естественный изоморфизм между ^Хф и Z. Тогда:

г

п

г

г

г

—►

7

г

—

г

—

г

г

1) для каждого х = [xn]neN е ХФ имеет место неравенство

2IIT

-1|

|Xn \\x <

IL(Z,X ф)

n\\Y

z\\z ,

n е N,

где Тх = г;

2) существует последовательность {/пС Ь ) такая, что /п (хрк) = дпкх при любых п, к е N и х е X;

3) если и (У) = Ь^,Х), то система {рп}пе^ имеет Ь-биортогональную систему {^>*п}пе^ и существует а> 0 такое, что а < \\^>*п||у ||^п||у для любого п е N.

~ те

Доказательство. Возьмем произвольный х = {хп}пеы е ХФ. Если г = ^ хпфп, то для любого

п=1

п е N

IXn\\x <

1 \\Xn Vn\\Z 1

n n-1

Y Xk Vk - Y Xk Vk k=1 k=1

<

2 \\T-1zIX

2\\T

-1

<

\L(Z,X ф)

z IIz •

т Цфп ||у т ЦфпЦу т ЦфпЦу тЦ^пЦу

Рассмотрим последовательность операторов /п : Z ^ X, определенных выражением /п (г) = хп,

те

где г = ^ хпфп. Линейность оператора /п очевидна. В силу доказанного имеем

п=1

\\Ш\\х <

2\\T

-1

\L(Z,X ф)

mI V

n\\Y

\zIIZ, n е N.

Поэтому /п е Ь^,Х). В то же время из Ь-базисности системы {^п}пеы следует равенство

/п (х^к) = $пкх, х е X.

Далее в силу условия и(У) = Ь^,Х) существует последовательность {р*п}пем С У такая, что /п(г) = {г,<р*п)• Очевидно, что {<р*п}п^ является Ь-биортогональной системой к системе {^п}пе^. Для произвольного х е Х имеем

ЦхЦх = ||{х^п,У*п)Цх < М^'ЦупЦуЦ^пЦу||х|х•

Отсюда а < Ц^пНу Цфп||у, где а = 1/М2.

Нам в дальнейшем понадобится следующий критерий Ь-базисности систем.

Утверждение 2. Пусть У — нормированное пространство, Х и Z — Н-пространства, система {^п}пеи С У. Для того чтобы {^п}пеи была Ь-базисом в Z, достаточно, а в случае и (У) = Ь^,Х) и необходимо, выполнение условий:

a) последовательность {рп}пе^ Ь-полна;

b) последовательность {^п}пеи имеет Ь-биортогональную систему {^*п}пеш;

c) для всех т е N и г е Z справедливо неравенство

J2iz,vk )vk

k=1

< M IIz IIz ,

где М — некоторая постоянная.

Доказательство. Достаточность. Покажем, что при выполнении условий а)-с) система {^п}пеы образует Ь-базис в Z .В силу Ь-полноты {'^п}пеи для произвольных е > 0 и г е Z существует Я е Ьъ({рк}кеи) такое, что ||г — ЯЦг < е. Тогда при достаточно больших п, используя условие с), получим

z -J2iz,vk )vk

k=1

< \\z - R\\z +

- R vk )vk

k=1

<£ + M\\z - R\\z < (1+ M)e.

Таким образом, z = Y {z,v*n)vn• Единственность представления очевидна.

n=1

Z

Z

Z

Z

Необходимость. Пусть {^П}Пе^ — Ь-базис в Z. Проверим справедливость условий а)-с). Условие а) следует из определения Ь-базиса . Существование Ь-биортогональной системы {^П}Пе^ к системе {^П}П^ вытекает из утверждения 1.

Далее, рассмотрим последовательность операторов Рт:

т

Ртг = ^(г, ^, г е Z. к=1

Так как — Ь-базис, то последовательность {Ртг} сходится для всех г е Z .По теореме

о равномерной ограниченности ||Рт|| < М. Следовательно, ||Ртг||^ < М||г, г е Z.

3. ПРОСТРАНСТВО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Пусть У — нормированное пространство, X и Z — Н-пространства, система {уП} С У имеет фиксированную Ь-биортогональную систему {уП}Пе^. Пусть XX — КВ-пространство последовательностей элементов X с каноническим базисом {еП}Пе^.

Пару {уП; уП }Пе^ назовем Ьх-бесселевой в Z, если {(г, уП>}Пе^ е XX при любом г е Z .В случае, когда система {уп}пе^ также и Ь-полна, назовем {уПС У просто Ь^-бесселевой системой в Z. Установим критерии Ьх-бесселевости систем.

Теорема 1. Пусть У — нормированное пространство, X и Z — Н-пространства, X — КВ-пространство последовательностей х = {хП , хП е X, с каноническим базисом {еп{уп}пе^ С У имеет Ь-биортогональную систему {уП}Пе^. Тогда, для того чтобы пара {уП; была Ьх-бесселевой в Z, необходимо, а в случае Ь-полноты системы {уп}пе^ и достаточно, существование оператора Т е XX) : Т(хуП) = {¿гПх}ге^ для всех х е X, п е N.

Доказательство. Необходимость. Пусть {уП; уП}Пе^ — Ьх-бесселева пара в Z. Рассмотрим последовательность операторов Тт е ¿(^ X):

т

Ттг = ^ ек ({(г,у*>}ге^) для всех т е N. к=1

Так как {еП}Пе^ — канонический базис, то Нш Ттг существует, и тем самым последовательность

т^те

{Ттг}П£^ ограничена для каждого г е Z .Из принципа равномерной ограниченности следует, что последовательность {||Тт||} ограничена.

Пусть Т — оператор, заданный формулой Тг = Нш Ттг. Очевидно, что Т е X), причем

т^те

те те

Т(хуп) = ^ ек ({(хуп, У*>}ге^) = ^ ек ({¿гпх}^^) = еп ({¿гП) = {¿гП к=1 к=1

для всех х е X и п е N.

Достаточность. Пусть система {уп}п^м Ь-полна и существует оператор Т е ¿(^ X): Т(хуП) = = {¿гпдля всех х е X, п е N. Для каждого п е N рассмотрим оператор еП : XX ^ X, заданный формулой еП({хк) = хп. Линейность оператора еП очевидна, а ограниченность следует из покоординатной сходимости в пространстве XX. Тогда для каждого х е X имеем

¿пкх = еП({¿гк) = еП(Т(хук)) = (Ть*еП)(хук), к, п е N,

где Ть — Ь-сопряженный оператор к Т .В силу Ь-полноты системы {уП}пе^ получаем, что <^(уП) = = Ть еП. Тогда для всех г е Z и п е N имеет место

(г, уП> = "(уП)(*) = (Ть*еП)(г) = еП(Тг) е X.

Так как Тг е XX, то {(г, уП>}Пе^ е XX. Теорема доказана. □

Следствие 1. Пусть У — нормированное пространство, X и Z — Н-пространства, XX — КВ-пространство последовательностей х = {хП}П(Е^, хП е X, с каноническим базисом {еП}П(Е^, система {уП}Пе^ Ь-полна и имеет Ь-биортогональную систему. Система {уП}Пе^ является

-бесселевой в Z тогда и только тогда, когда для любой конечной последовательности {xn} из X имеет место соотношение

||{xn}||X < M Уг

где M — некоторая постоянная.

Пусть Y1 — нормированное пространство, Zi — H-пространство, bL(x, y) : Yl ^ Zi — билинейное отображение:

3 mi, Mi > 0 : mi||x||x||y||Yi < ||x ■ y||z < Mi||x||x||y||Yi

для всех x e X и y e Yl. Здесь x ■ y = bL(x, y).

Обозначим через ¿5(y), y e Yl, оператор, определенный формулой ¿¿(y)(z) = (z, y), z e Zi. Ясно, что ¿(y) e L(Zi,X), y e Yi.

Теорема 2. Пусть Y, Yl — нормированные пространства, X, Z и Zl — H-пространства, система {yn}neN С Y имеет b-биортогональную систему {уг}neN, система {^n}neN С Yl образует Ь1-базис в Zl с пространством коэффициентов ХФ и имеет Ь1-биортогональную систему • Для того чтобы пара {yn; y* }neN была Ьхф-бесселевой в Z, необходимо, а в случае b-полноты системы {yn}neN и достаточно, существование оператора T e L(Z, Zl) : T(xyn) = = x ■ для всех x e X, n e N.

Доказательство. Необходимость. Пусть {yn; уг}neN — Ьхф -бесселева пара в Z. Для каждого

m

m e N рассмотрим оператор Tm e L(Z, Zl), заданный формулой Tmz = (z, y*) ■ .

k=1

те

В силу Ь1-базисности }neN ясно, что существует lim Tmz = (z, yí) ■ и, значит,

те

{||Tm||}meN ограничена. Пусть T : Tz = lim Tmz. Тогда T e L(Z,Zi) и Tz = £ (z,yí) ■ ^k.

т^те k=i

Для всех x e X и n e N получаем

T(xyn) = (xyn' y*) ■ ^k = x ■ ^r

k=1

Достаточность. Пусть существует оператор Т е такой, что Т(хуп) = х ■ для всех

х е X, п е N. Тогда для любых х е X и п, к е N имеем

х = (х^> = (Т(хУк> = )(Т(хУк)) = (тЪ*и(^П^ (хУк)-

В силу Ь-полноты {уп}пе^ из последнего соотношения заключаем, что Тъ*из(^П) = и(уП) для всех п е N. Наконец, из

(г,уП> = и(уП)(г) = (Тъ*£(^))(*) = ^)(Тг) = (Тг,<^> е X, г е п е N.

следует, что {(г, уП>}пе^ е Теорема доказана. □

Теорема 3. Пусть Y — нормированное пространство, X и ^ — Н-пространства, система {уп}пе^ С Y Ь-полна в Z и имеет Ь-биортогональную систему {уП, система Ф = = {^п}пе^ С Y образует Ь-базис в Z, с пространством коэффициентов ^Сф и имеет Ь-биорто-гональную систему {^П}пе^• Тогда для того чтобы система {уп}пе^ была -бесселевой в Z, необходимо и достаточно, чтобы оператор А^ : Xф ^ Xф, определенный выражением А^х =

= \ (хп,уПН , х = {хп}П£И, был ограниченным в Xф.

1п=1 )

Доказательство. Необходимость. Пусть {уп— Ьхф -бесселева система в Z. Тогда в силу теоремы 2 существует оператор А е ) такой, что А(хуп) = х^п для всех х е X, п е N. Для любых х е X, п, к е N имеем

¿пкх = (х^п, > = )(А(хуп)) = (аъ* ))(хуп),

где Аь — оператор, Ь-сопряженный к оператору А. Отсюда в силу Ь-полноты {уп}п^ получаем, что

Аь*"«) = "(у*), п е N. _ _

Рассмотрим оператор Аж: ХФ ^ ХФ, заданный формулой

те

Axx = \ ^Xn<n, vi) f x = (xn jngN. ln=i J teN

Корректность этого определения следует из b-базисности {<n}neN.

Пусть T : Z ^ Хф — естественный изоморфизм. Возьмем любое 5 G X и обозначим через z = T-15. Тогда

Ax5 = ] XVi) f = {(z, Vi)}fcGN = {(A^))(z)}teN = ln=1 J keN

= M<)(Az)}teN = {(Az, )}teN = T(Az) = T(AT-1x) = (TAT-1)X.

Из последнего соотношения получаем, что A^ = TAT 1. Значит, A^ G ¿(Хф).

( те

Достаточность. Пусть оператор A^, определенный равенством A^x = < Е (xn<n, Vi)

ж = {жп, линеен и ограничен в ХФ. Обозначим через А = Т-1АхТ. Очевидно, что оператор А е ¿(я).

Далее, для любого ж е X и п е N имеем

А(жуп) = (Т-1 АххТ)(жуп) = (Т-1 Ахх)({(жуп, ^) =

= Т-1({(жуп, у*)}ке^) = Т-1({4п) = ж^п.

Остается применить теорему 2. Теорема доказана. □

Теорема 4. Пусть У, У — нормированные пространства, X, Я и — Н-пространства. Для того чтобы имел Ь1 -базис Ф = {^пС У1 с Ь1-биортогональной системой {^П}пе^ и пространством коэффициентов ХФ таким, что Ь-полная система {уп}п^м С У с Ь-биортогональной системой {у* была Ь^ф -бесселевой в Я, необходимо и достаточно, чтобы существовали операторы Т е Я1) и А : У1 ^ У1, удовлетворяющие условиям:

1) КегТ* = {0}, Ть*"(А^п) = "(уП), Т(жуп) = ж ■ для всех п е N и ж е X;

2)

< M||z||Zl для всех z G Z1, где M — некоторая постоянная и

Zi

ET ((z, A<t )vt) k=1

T* G ¿(Z* ,Z*).

Доказательство. Необходимость. Пусть {<n}neN — b1 -базис в Z1, {yn}neN — b-биортогональная и b-полная b XX ф -бесселевая система в Z .В силу теоремы 2 существует оператор T g L(Z, Z1) такой, что T(xyn) = x ■ <n для всех x G X, n G N. Поэтому для каждого ж G X имеем

x = (x ■ , ) = (T(xyt), <П) = ¿(<П)(T(xyk)) = (Tb*£(<;))(xyk).

Поскольку система {yn}neN b-полна, то из последнего соотношения вытекает, что Tb ¿5(<П) = ¿(v*) для всех n G N .Из b-биортогональности ситемы {<n}neN в Z следует, что система {<n }neN b-минимальна в Z. На самом деле, если существует G N и для каждого x G X (x = 0) х ■ (fk0 G Lb({<pn}nejv,n#fco). T0 ' fko^ko) = °> чт0 противоречит равенству (x ■ <Pko,<Pko) = x. Так как ||x ■ - x ■ ||z < M1 ||x||x ||< - <k0 i|y, то {<n}neN минимальна в Y, ибо система {<n}neN не b-минимальна в Z.

Пусть A : Y1 ^ Y1 — оператор, определенный на L({<n}neN) по линейности выражением A<n = <П для любого n G N. Корректность определения оператора A следует из минимальности

системы {(pn}n£N- Тогда Ть*й(А(рп) =ш(у*). _

Поскольку {f~pn}neN образует bi-базис и Т(хуп) = х ■ ipn для всех х g X, п g N, то R(T) = Z. Следовательно, R(T= {0}. Значит, KerT* = {0}.

Далее, учитывая Ъ^базисность системы {рп}пе^, для всех т е N и г е Z1 имеет место оценка

Y^T ((z,Avk )yk )

k=1

£(z,Avk) ■ Vk

k=1

J2(z,vk) ■ Vk

k=1

< M ||z.

Достаточность. Пусть существуют операторы Т е Z1) и А : У1 ^ У1, удовлетворяющие условиям 1) и 2). Пусть Т(хуп) = х ■ рп, Арп = рп для всех х е X и п е N. Покажем, что система Ф = {рп}пем образует Ь1-базис в а система {уп}пе^ — Ъ^ф-бесселева в Z. Для любых х е X и п, к е N имеем

(x ■ Vk, vn) = (T(xyk), Avn) = a(Avn)(T(xyk)) = (T6*a;(Avn))(xyk) = u(y*n)(xyk) = ¿nkx,

т. е. система {рп}пем имеет Ъ1-биортогональную систему {рп}пе^• Покажем, что {рп}пе^ Ъ1 -полна.

Предположим противное. Тогда существует некоторый ненулевой элемент р* е Z* такой, что для любого п е N имеет место соотношение р* (х ■ рп) = 0. Поэтому 0 = р*(х ■ рп) = р* (Т(хуп)) = = (Т*р*)(хуп). Отсюда и из Ъ-полноты системы {уп}пе^ следует, что Тр* = 0.

Так как по условию теоремы КегТ* = {0}, то р* = 0, что противоречит предположению. Значит, система {рп}п^м Ъ1 -полна.

т

Теперь покажем, что для любого т е N проекторы Рт(г) = ^ (г, } ■ рк равномерно ограничены.

к=1

Имеем

vk) ■ vk

k=1

J](z,Avk) ■ Vk

k=1

¿T ((z,Avk )yk )

k=1

< M||z||Z!.

Таким образом, проекторы равномерно ограничены.

В силу утверждения 2 система {рп}п^м образует Ъ1-базис в Z1• Применяя теорему 2, получим ЪXф -бесселевость системы {уп}пе^ в Z. Теорема доказана. □

Автор выражает благодарность профессору Б. Т. Билалову за постановку задачи и обсуждение полученных результатов.

Библиографический список

1. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Учен. записки МГУ. Математика. 1951. Т. IV, вып. 148. C. 69-107.

2. Schur I. Über endlich Gruppen und Hermitische Formen // Math. Zeit. 1918. Vol. 1. P. 183-207.

3. Никишин Е.М. О сходимости некоторых функциональных рядов // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1967. Т. 31, вып. 1. C. 15-26.

4. Козлов В. Я. О локальной характеристике полной ортогональной нормированной системы функций // Мат. сборник. 1948. Т. 23, вып. 3. C. 441-474.

5. Олевский А.М. О продолжении последовательности функций до полной ортонормированной системы // Мат. заметки. 1969. Т. 6, вып. 6. С. 737-747.

6. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

7. Czaja W. Remark on Naimark's duality // Proc. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 136, № 3. P. 867-871.

8. Новиков С. Я. Бесселевы последовательности как

проекции ортогональных систем // Мат. заметки. 2007. Т. 81, вып. 6. С. 893-903.

9. Вейц Б.Е. Системы Бесселя и Гильберта в пространствах Банаха и вопросы устойчивости // Изв. вузов. Математика. 1965. Т. 2. С. 7-23.

10. Canturija Z.A. On some properties of biorthogonal systems in Banach space and their applications in spectral theory // Soobs. Akad. Nauk Gruz. SSR. 1964. Vol. 2, iss. 34. P. 271-276.

11. Pelczynski A., Singer I. On non-equivalent bases und conditional bases in Banach spaces // Studia Math. 1964. Iss. 25. P. 5-25.

12. Билалов Б. Т., Гусейнов З. Г. K-бесселевы и K-гильбертовы системы. K-базисы // Докл. АН. 2009. Т. 429, № 3. С. 298-300.

13. Терехин П. А. Проекционные характеристики бесселевых систем // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 44-51.

Z

Z

Z

Z

Z

Z