Гидродинамическое моделирование обтекания летательного аппарата с истекающими струями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦЛГИ Том XXVIII 19 97 _Т~

№2

УДК 533.6.072.2

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ИСТЕКАЮЩИМИ СТРУЯМИ

В. А. Жохов, С. С. Сидоров, Н. Н. Шелухин

Предлагается способ определения критериев подобия для моделирования на гидродинамическом уровне обтекания летательного аппарата (ЛА) с истекающими из него струями. Способ основан на применении разработанного модифицированного метода теории подобия к уравнению Навье — Стокса для случая стационарного обтекания ЛА со струями потоком вязкого сжимаемого газа. Использование полученных результатов рассмотрено на примере моделирования обтекания ЛА со струями при больших сверхзвуковых скоростях в набегающем потоке. При этом для уточнения вида й количества моделирующих критериев подобия применяется принцип гиперзвуко-вой стабилизации течения. Полученные результаты сравниваются с известными для этого случая методами моделирования.

Известные в настоящее время методы моделирования обтекания летательного аппарата (ЛА) со струями, в частности, при больших сверхзвуковых скоростях в набегающем потоке [1] — [3] приводят к различающимся результатам из-за отсутствия единого подхода к проблеме. В предлагаемом методе моделирования применяются критерии подобия, полученные из уравнения Швье — Стокса с помощью разработанного модифицированного метода теории подобия. Использование этого метода демонстрируется на частном примере обтекания ЛА со струями при больших сверхзвуковых скоростях в набегающем потоке, где к полученным ранее критериям подобия применяется принцип ги-перзвуковой стабилизации (ПГС) течения, позволяющий уточнить вид некоторых критериев и сократить их общее число. Такой подход позволяет выделить главный вклад в искомую величину (в коэффициенты аэродинамических сил). Роль критериев подобия, следующих из других уравнений сохранения, можно учесть введением расчетных поправок.

Этот способ неполного моделирования основан на известной идее приближенного подобия течений, когда моделируются только те их особенности, которые являются определяющими для интересующих исследователя характеристик. В данном случае искомые критерии по-

добин должны обеспечивать моделирование поля течения, а значит, и интегральных силовых нагрузок, действующих на ЛА.

1. Моделирование стационарного обтекания ЛА со струей потоком вязкого сжимаемого газа. Рассмотрим обтекание ЛА с вытекающей из него струей (для простоты рассматривается лишь одна струя). Предполагаем, что в набегающем потоке и в струе течение стационарное, газ вязкий и сжимаемый. Поскольку речь идет о моделировании силового воздействия на ЛА со стороны поля течения, образовавшегося в результате взаимодействия струи и набегающего потока, то определяющую роль играют гидродинамические эффекты, которые описываются уравнением Навье — Стокса. Течение рассматривается в некоторой конечной пространственной области, поэтому в дальнейшем используется уравнение, записанное в интегральном виде и в векторной форме. При этом ориентация ЛА и струи относительно набегающего потока считается произвольной.

Для определения сил, действующих на ЛА, используем метод импульсов, заключающийся в определении сил (давления и трения), скорости и плотности на некоторой воображаемой границе области — контрольной поверхности, окружающей ЛА [4], [5]. Рассмотрим

(см. рисунок) некоторую область Ц?, ограниченную поверхностью ЛА (обозначим ее как Л() и контрольной поверхностью Ак, проходящей через выходной срез сопла, из которого вытекает струя. Поскольку поле течения у тела полностью определяется параметрами набегающего потока и параметрами струи в выходном сечении сопла, то достаточно задать условия в набегающем потоке («условия на бесконечности») и на срезе сопла, а не по всей контрольной поверхности Ак, чтобы действующие на ЛА силы были однозначно определены.

Выделим на контрольной поверхности Ак отдельные участки, на которых задаются условия для набегающего потока и струи. Назовем эти участки контрольными площадками. Контрольные площадки выбираем нормальными к линиям тока. Характерный линейный размер контрольной площадки с заданными условиями для набегающего потока обозначим через Ьт, а характерный линейный размер контрольной площадки для струи — £у. В качестве и обычно* выбирают со-

* Переход от бесконечных размеров контрольной площадки А* к конечным, что необходимо для конкретных вычислений, осуществляется путем известных рассуждений; см., например, вывод формулы реактивной тяги в кн.: Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. Изд. 3-е. — М.: Наука. — 1969.

ответственно характерный размер ЛА Ь и диаметр среза сопла Результирующая сила К, действующая на ЛА, выражается через ряд поверхностных интегралов по контрольной поверхности Ак, из которой

выделены контрольные площадки Д» ~ I? и Аі ~ I?.:

00 * у

R = ^[пр + р (nV)v\dA +

Д» Д,1 " J

ь//[ч> + Р(яг)к]л4 ♦ + j*(vhK)]«M + JJ[—]<М.

-4/ AJ As

dA +

(1)

Здесь n — орт внешней нормали к поверхности; символом V обозначен оператор Гамильтона; последний член в уравнении (1) есть сокращенная запись интеграла по части контрольной поверхности As - А/с - А„ - Aj, причем подынтегральная функция имеет тот же вид, что и у остальных слагаемых.

Уравнение (1) записано для случая ц = const. В случае ц * const выражения для вязких членов уравнения существенно усложняются. Но поскольку оценки для этих членов не изменяются, то для дальнейших операций такая запись принципиальной роли не играет.

В соответствии с теорией [6], [7] для подобия исследуемых явлений (модельного и натурного течений) необходимо соблюдение следующих условий:

а) тождественность уравнений, описывающих оба явления;

б) подобие условий однозначности;

в) равенство определяющих критериев подобия.

Условие а соблюдается с точностью до предположений, содержащихся в постановке задачи о приближенном моделировании. Под условиями однозначности б подразумеваются: геометрия ЛА, в том числе угловые размеры характерных его элементов, например угол наклона стенки сопла к его оси в районе плоскости среза; положение ЛА относительно набегающего потока, в том числе ориентация оси струи; существенные для происходящих процессов физические константы потоков, в нашем случае это значения коэффициента вязкости ц и отношения удельных теплоемкостей у для набегающего потока и струи; граничные условия, т. е. значения параметровр, р, Vна контрольных площадках А^ и Aj. Приближенность развиваемого метода в данном пункте состоит в требовании безусловного выполнения лишь геометрического подобия. Остальные условия однозначности будут входить в виде комбинаций в определяющие критерии подобия (условие в), которые и предстоит определить.

Предлагается следующая модификация классического метода теории подобия:

поскольку в создании поля течения возле ЛА участвуют два компонента с независимыми параметрами — набегающий поток и струя,

то присваиваем каждому из них свой индекс: » — набегающий поток, j — струя;

струя и набегающий поток согласно уравнению (1) характеризуются силами инерции, давления и вязкости, определенными соответствующими поверхностными интегралами по введенным контрольным площадкам А] и А^. В качестве базовой силы (масштаба) выбираем,

как обычно принято в аэродинамике, силу инерции набегающего потока Л[р(лГ)фл;

До

искомые критерии подобия получаем нормированием каждой из сил (характеризующих набегающий поток и струю) по выбранной базовой силе. При этом используем модули соответствующих векторов, т. е.

величины вида

\\№Щ

ОА

Приведем пример, процедуры получе-

ния критерия подобия.

Рассмотрим отношение сил инерции в струе и в набегающем потоке. Можно записать с учетом, сделанного замечания следующие оценки для соответствующих интегралов:

Д[р (яг)у]<и

(2)

Аналогично

Д[р(йг)к]<м

До

(3)

Тогда критерий подобия, представляющий собой отношение сил инерции на контрольных площадках А^ и Ая, будет иметь вид после деления (2) на (3):

УШ

До

ал

Рсо VI

Поскольку отношение (^у /^оо)2 выполняется в натурном и модельном течениях в силу геометрического подобия, то впредь в выражениях для критериев подобия его можно опустить.

В итоге получается следующая система критериев подобия:

г2

Ру*7

р-К

Ей

ріУ)

У2 Яе, ’

0 00 і

р«,

РооК

Цоо

Р 00 ^ ^оо

2 =Еи00,

= Ле-

Здесь Ей = -V = —— критерий Эйлера; М — число Маха; р ,•. V,-р V2 уМ2 11

определяются как некоторые средние значения (средние по площади среза сопла или по расходу газа через него). Выбор способа осреднения произволен, единственное условие: он должен быть физически разумным и одинаковым для модельного и натурного объектов.

Систему критериев (4) с учетом связей между первыми тремя критериями можно записать в виде

Еиу, Ей»,, Яе», Яеу, (5)

здесь = литературе часто используются как эмпи-

рические параметры ? иФ, где Ф = А] /А^ .

Тогда критерии (5) можно записать:

Ф, Ей у, Еив, Яе*,, Иеу. (6)

Если провести нормализацию уравнения (1) до конца, то получим еще один критерий подобия

с*- И/(р.»М.). (7)

который представляет собой искомый коэффициент полной аэродинамической силы. Критерий Ск, называемый также критерием Ньютона N6 [7], [8], является функцией определяющих критериев (5) или (6) и называется поэтому неопределяющим, так как в его состав входит неизвестная величина Ж . В отличие от него критерии (5), (6) получили

свое название потому, что содержат только величины, входящие в условия однозначности. Итак,

С я =/(ф, Еиу, Еию, Яе„, Яеу). (8)

Полученный результат можно сформулировать также следующим образом: в случае стационарных течений вязкого сжимаемого газа моделирование на гидродинамическом уровне взаимодействия струи с набегающим потоком соблюдается при геометрическом подобии явлений и при равенстве определяющих критериев (5) или (6). Эти критерии подобия можно использовать для моделирования обтекания ЛА со струями во всем диапазоне параметров течения, где справедливо уравнение Навье — Стокса.

Сравним полученный результат с результатами работы [9], где рассмотрена задача о взаимодействии струи с потоком вязкого термодинамически совершенного газа и на основе анализа размерностей установлены законы подобия для областей, в которых размером начального сечения струи можно пренебречь (dj/Lя0 -» о). В [9] получена следующая система критериев:

Ми, Яе», Ки М,-, У^У*, К2. (9)

Здесь = Ь„/1ь, где I* — некоторый характерный линейный масштаб, описываемый соотношением I* - dj^pQjJp^ (/>0у — величина полного давления в струе на срезе сопла), К2 = Яеу ^р^[ро]. Сравнение критериев (9) и (5) показывает, что такие параметры, как М„, Му, Яе*,, Яву, V]/Ух из состава (9), входят в состав (5) в виде обычно применяемых в аэродинамике критериев подобия Ей, Яе, а также полученного критерия д и, кроме того, на критерии (5) не наложено ограничение dу -> 0. Если в задаче известны уравнения сохранения

и условия однозначности, то обычно предпочтительнее применять теорию подобия, а не анализ размерностей из-за простоты процедуры получения критериев подобия и вследствие общности и физической ясности получаемых результатов [7].

2. Моделирование обтекания ЛА со струей при больших сверхзвуковых скоростях полета. Критерии подобия (5) или (6), как упоминалось выше, пригодны во всем диапазоне изменения параметров р, р и V, где справедливо уравнение Навье — Стокса. В реальных случаях обтекания ЛА со струями некоторые из них могут терять смысл определяющих критериев подобия, и тогда общее число критериев и их вид могут изменяться. В данной работе рассматривается лишь один частный пример стационарного обтекания ЛА со струей при больших значениях М».

Предполагаем, что выполняются условия Мю » 1, Му>1 и справедлив принцип гиперзвуковой стабилизации (ПГС) в набегающем потоке, когда течение у тела определяется параметрами р*, и Ут, но не

зависит от М„, рт, Тх [10], [11]. Тогда в силу требований ПГС критерий Еи,,,, необходимо исключить из рассмотрения. Критерии д и Ф удовлетворяют требованиям ПГС и должны учитываться. В то же время критерий Ле^ = РеУж Ао/Иоо, где принимается

(Ю)

также должен быть исключен из рассмотрения в силу требований ПГС либо необходимо выбрать в качестве характерного другое значение температуры. Поскольку рассматривается набегающий поток с большими значениями полной энтальпии Н0ао и скорости Ух « УтЯу ~ ,

то единственной физически разумной альтернативой статической температуре Т„ является температура адиабатического торможения набегающего потока Т0„ (здесь Утах — максимальная скорость). Таким образом, вместо следует рассматривать величину

Ле0оо = РооК, Ао/ио> где ц0 3 Ц^Ооо ~ Следовательно, в отсутствие

струи можно считать, что сила, действующая на ЛА, полностью характеризуется критерием Ке0оо (в гидродинамическом приближении). Впервые внимание на это было обращено в работе [12], где этот результат был получен с помощью анализа размерностей и ПГС.

В связи с появлением критерия Кеос возникает вопрос об определении значений цо> соответствующих высоким значениям Мда и Т0со. В условиях, когда справедливы ПГС и соотношение (10), можно записать

Ц0О.) - Цо = И~(Т0„/Т„)" * цф -1)м2/2]“ . (11)

Если для воздуха, считая его термодинамически совершенным газом, принять в зависимости (11) показатель со = 0,75 (газ Кармана), то можно получить простое соотношение для определения ц0 при больших сверхзвуковых скоростях:

цо=0,299ц.М^5. (12)

Рассчитанные с помощью формулы (12) значения числа Ке0оо близки к значениям того же параметра, полученным с использованием зависимости, рекомендуемой в работе [13] в диапазоне скоростей Мда =20 ...30 и высот Н = 70 ...100 км. При расчетах использовалась условная модель стандартной атмосферы [14].

Возвращаясь к вопросу о системе критериев подобия, позволяющих на гидродинамическом уровне осуществить моделирование обтекания ЛА со струей при Мв »1, можно полученную ранее систему критериев (5) и (6) записать в виде

д, Ей у, Яву, Ке0во (13)

или

Ф, Еиу, Леу, Иео». (14)

Таким образом, интегральные силовые нагрузки, действующие на ЛА со струей в условиях гиперзвуковой стабилизации потока, являются функцией указанных критериев подобия, т.е. Сд=/(ф, Еиу, Неу,

К®0оо)*

Критерии (13) и (14) получены из уравнения Навье — Стокса и пдтому пригодны в области течений сплошной среды. Но для полета ЛА баллистического типа в конце активного участка траектории или для воздушно-космических самолетов при входе в плотные слои атмосферы представляет интерес диапазон высот 70... 100 км и скоростей, соответствующих Мю =20... 30. Указанные условия соответствуют переходной области режимов обтекания ЛА между сплошносредными и свободномолекулярными пределами. При этом естественно рассматривать такие режимы обтекания, как течения вблизи границы применимости механики сплошной среды. Для разреженных газов основным параметром, характеризующим меру разреженности или степень отличия течения в ударном слое у поверхности аппарата от течения сплошной среды, является число Кнудсена. Так, для анализа течения вблизи критической точки затупленного тела следует использовать определение числа Кнудсена, данное в работах [11], [15]:

Кп = Х3/А » Хп/В^, (15)

где Х3 — длина свободного пробега молекул за скачком, А — отход скачка от носка осесимметричного тела, В^ — радиус затупления носка, Хт — длина свободного пробега в набегающем потоке.

Возьмём дВе характерные точки на траектории ЛА, соответствующие, например, высотам 75 и 92 км. Согласно (15) значения числа Кнудсена равны 0,004 и 0,068 (значение Хю определялось по данным [14], Лх =0,5 м). Это значит, что течение у поверхности ЛА, по крайней мере в окрестности критической точки носового затупления, можно считать сплошносредным. Поэтому следует ожидать, что использование критериев Ф и Ке0оо из состава (14) возможно и в переходной области режимов обтекания тел, примыкающей к области течений сплошной среды. Рассмотрим аргументы, достаточные для такого утверждения. •

В ряде работ, выполненных в ЦАГИ, даны расчетное и экспериментальное обоснования положения, что число К.е0оо является единственным критерием подобия при обтекании тел в переходной области в условиях гиперзвуковой стабилизации потока [18], [19]. Сопоставление результатов численного решения уравнения Больцмана и уравнений Навье — Стокса показало [19], [20], что область применимости по-

следних значительно шире, чем это следует из строгого асимптотического анализа. Сказанное позволяет сделать вывод о том, что использование критериев Ф и Ле0<в вполне допустимо и в области переходного режима обтекания. Влияние критериев подобия, которые получаются из других уравнений сохранения, кроме уравнений Навье — Стокса, можно учесть введением расчетных поправок, как это сделано, например, в работе [21].

За рубежом при моделировании гиперзвукового обтекания ЛА со струями используется следующий набор критериев подобия [2], [3]:

Ф, т. (16)

Здесь Ую = М.» — пшерзвуковой параметр вязкого взаимодей-

ствия, С = (|д.*/7’*)(Т'00/|а.00), индекс * обозначает некоторые характерные значения ц и Т, причем Тт < Г, <, Г0оо; параметр m=(pjУjAj)/ /(Роо^ооД»)- Параметр У„ - М^Д/Ке* , но, используя соотношение

(у-1 ~\л -(10), можно записать Кеда «Ке0оо1 ...............I . Тогда получаем У„ ~

М^Г" С 2 М

00

ч

, . . Так как параметр У„ оказывается функцией числа у» -1;

М„, то вследствие ПГС он не может быть критерием подобия. Лишь в случае Г* = Г0во имеем Уж = у^Ду*, -1)/Ке0оо • Таким образом, моделирование по Ул в этом случае сводится к моделированию по Ке0во (но при условии равенства значений Ус на модели и в натурном течении). Параметр Ф, как было показано выше, следует из уравнения Навье — Стокса. Зная из [17] процедуру получения параметров (16), можно сказать, что это эмпирический набор параметров.

В работах [1], [13], [18] показано, что в условиях пшерзвуковой стабилизации течения при моделировании обтекания тел необходимо соблюдать равенство критериев

йеооо, Рг» {у/ > У оо > (17)

Здесь Рг — критерий Прандтля, = Т„ /Т0х — температурный фактор, Ту, — температура стенки тела. В [1] указано, что при наличии струи необходимо к критериям (17) добавить следующие критерии:

Му, Ле/, <///£„, Ф, т. (18)

Здесь Фит определяются, как и в (16); отношение */у свидетельствует о геометрическом подобии. Таким образом, для моделирования обтекания тела со струями при соблюдении ПГС необходимо выдерживать критерии (17) и (18), т. е., по существу, предлагается еще один эмпирический набор критериев. * -

Согласно [13], [18] из критериев (17) основным является критерий Re0oo, а вопрос о том, какие критерии из состава (18) считать основными, остается открытым. С этой точки зрения критерии (13) или (14), полученные с помощью теории подобия, составляют теоретически обоснованный набор основных критериев подобия, предназначенных для решения рассматриваемой задачи.

В заключение отметим, что предлагаемый в настоящей работе подход к проблеме моделирования обтекания тел со струями при М„ »1, основанный на последовательном применении модифицированного метода теории подобия и ПГС, как бы синтезирует известные для этого случая способы моделирования [1] — [3], взяв из них наиболее существенное: в состав критериев (14) входят параметры Re0oo, Ф и Re у, а также новый критерий Еиу, ранее для этой цели не использовавшийся.

ЛИТЕРАТУРА

1. G u s е v V. N. Hie investigation of the hypersonic vehicle aerotheimo-dynamic // AIAA Paper. - 1990, N 5271.

2. Rome re P. O. Young J. C. Space Shuttle longitudinal aerodynamic comparisons of flight 2 with preflight predictions // J. of Spacecraft and Rockets. - 1983. V. 20, N 6.

3. Rausch R. J., Roberts В. B. Reaction control system aerodynamic interaction effects on Space Shuttle oibiter // J. of Spacecraft and Rockets. - 1975. V. 12, N 11.

4. Борисенко А. И. Газовая динамика двигателей. — М.: Оборон-гиз. — 1962.

5. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. — М.: Наука. — 1964.

6. Гухкан А. А. Физические основы теплопередачи. Т. 1: Теория подобия и ее приложения. — Л. — М.: Госэнергоиздат. — 1934.

7. Кирпичев М. В. Теория подобия. — М.: Изд. АН СССР. —

1953. '

8. Кунце Х.-И. Методы физических измерений. — М.: Мир. —

1989. w

9. Г у с е в В. Н., М и х а й л о в В. В. О подобии течений с расширяющимися струями // Ученые записки ЦАГИ. — 1970. Т. 1, № 4.

10. Ч е р н ы й Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука. — 1988.

11. Хейз У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория типерзвуковых течений. — М.: Изд. иностр. лит-ры. — 1962.

12. Ж и л и н Ю. Л. Параметры подобия при больших гаперзвуковых скоростях // ПММ. — 1962. Т. XXVI, вып. 2.

13. Г у с е в В. Н. О гиперзвуковом моделировании, обусловленном изменением чисел М и Re // Ученые записки ЦАГИ. — 1979. Т. 10, № 6.

14. Атмосфера стандартная. — ГОСТ 4401—81.

15. Н е й л а н д В. Я., Т у м и н А. М. Аэротермодинамика воздушно-космических самолетов. — Жуковский: МФТИ. — 1991.

16. Черный Т.: Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз. — 1959.

17. К a n i р е D. В. Plume / flowfield jet interaction effects on the Space. Shuttle oibiter during entry // J. Spacecraft — 1983. V. 20, N 4.

18. Г у с e в В. Н., Коган М. Н., П е р е п у х о в В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при ги-перзвуковых скоростях полета // Ученые записки ЦАГИ. — 1970. Т. 1, № 1.

19. Г у с е в В. Н., Е р о ф е е в А. И., Климова Т. В., П е р е -пухов В. А., Р я б о в В. Вч Т о л с т ы х А. И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа // Труды ЦАГИ- — 1977. Вып. 1855.

20. М о л о д ц о в В. К., Р я б о в В. В. О применении уравнений Навье — Стокса для описания сверхзвукового течения разреженного газа около сферы // Ученые записки ЦАГИ. — 1979. Т. 10, № 6.

21. Г а л к и н В. С., Н и к о л а е в В. С. О моделировании вязких гиперзвуховых течений в аэродинамических трубах // Ученые записки ЦАГИ. - 1970. Т. 1, № 4.

Рукопись поступила 3/Х11995