CC BY
13
Гидродинамические решения обобщенного уравнения Больцмана-Энскога
Н. Г. Иноземцева1,а, И. И. Масленников2,6
1 Университет «Дубна». Россия, 141198, Московская обл., г. Дубна, ул. Университетская, д. 19. 2 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: а [email protected], ь [email protected] Статья поступила 24.01.2013, подписана в печать 31.01.2013.
Для систем частиц с бинарным взаимодействием, содержащим «твердый кор» и дальнодействую-щую компоненту, рассмотрены свойства кинетического уравнения. Изучены решения, соответствующие периодическим малым возмущениям функции распределения.
Ключевые слова: кинетические уравнения, уравнения гидродинамики, модель твердых сфер, уравнение Больцмана-Энскога.
УДК: 533.7. PACS: 51.10.+у; 05.20.-у; 05.20.Dd.
Введение
нарным взаимодеиствием
Построение приближенных кинетических уравнений является одной из важных проблем современной статистической теории.
В последние годы на основе функциональной гипотезы H.H. Боголюбова [1] и кластерных разложений в иерархии ББГКИ [2] получен ряд важных результатов относительно описания процесса приближения систем к состоянию статистического равновесия. В частности, получены веские указания на аномалии в уравнениях гидродинамики в высших порядках по плотности [3]. Было объяснено «аномальное», с точки зрения стандартных представлений, степенное убывание автокорреляционных функций, открытое в модельных машинных экспериментах [4] с системами «упругих шаров». Тот факт, что степенное убывание можно получить при рассмотрении нелинейных эффектов в обычном уравнении Больцмана, оказался во многом неожиданным [5]. Более того, позволяют успешно описать экспериментальные данные для весьма плотных систем, поправки по плотности, рассчитанные по теории Энскога [6]. Впервые на возможное объяснение этого явления указал H.H. Боголюбов [7], доказавший, что уравнения Больцмана-Энскога имеют помимо обычно рассматривавшихся точные микроскопические решения, т. е. обладают решениями уравнения Луивилля. Класс кинетических уравнений с подобным свойством, как было указано в работе [7], значительно шире, чем полагалось ранее. Так, все уравнения типа
. д . — f(t,ruVl) + Vi—f(t,ruüi) =
■■ па
п
+ —
т
tau • ri - °Г)/С. п +аст> VD -
— f(t, r\,V\)f{t, ri—aa, u2)}dcrdu2 + ^{%^p(t,r2)dr2l-f(t,rl,Vl) (1)
имеют микроскопические решения, соответствующие полному динамическому описанию систем частиц с би-
1/(Г!-Г2) =
ОО,
Фо(И -г2\),
И
и
• r21 < а, ■ г2\ > а.
(2)
Уравнение (1) естественно называть обобщенным уравнением Больцмана-Энскога; в нем а — единичный ВеКТОр, 02,1 = Щ ~ , = 01 + сг(02,1 • с), и* = г>2-<ф2,г0"), рЬ,г2) = ¡f{t,r2,v2)^1и2, а — диаметр области «твердого кора».
Применимость уравнения (1) для описания процессов в реальных системах обеспечивает дальнодейству-ющая компонента бинарного потенциала Ф0(IП - г2\).
Рассмотрим некоторые свойства решений (1), соответствующих малым отклонениям функции распределения г, о) от равновесной. Следует отметить, что структура подобных решений для уравнения Больц-мана-Энскога (Ф0 = 0) была изучена в работах [8]. Однако учет дальнодействующей компоненты приводит к новым существенным особенностям решений (1), анализ которых является необходимым для исследования асимптотики автокорреляционных функций в модели с потенциалом (2).
1. Приближение первого порядка по параметру однородности
Состояние системы, которая описывается уравнением (1) вблизи равновесия, характеризуется параметром
V/
С = г0
/
(3)
где го — масштаб убывания Фо(|п — Г2\), го»а. Мы будем рассматривать гидродинамические возмущения. В этом случае £ <с 1. Поэтому естественно искать решение в виде разложения по степеням Предположим, что амплитуда возмущения мала, и представим функцию распределения f{t, г, и) в виде
¡ = ф0(1 + ф),
3/2
ехр
тгг '"20
(4)
Из (1) следует, что ф удовлетворяет линейному уравнению
дф ~dt
дф дг
1 _L
т ф0
^Фо(1+Ф)
дг
(v')iP(t, г', о')Фо(|г - r'\) dr' dv' - пкф = О, (5)
где А — оператор Больцмана-Энскога,
АФ = а2 ((г»' -у)а) [Ф(г,г,®*) + Ф(*,г+а<т,®'*)-
((г>'-г>)<т)> О
- г, V) - Ф(*, г - асг, Аа. (6)
Заметим, что для наших целей достаточно рассмотреть случай г03>а, т.е. допустимо пренебречь в (6) различием пространственных аргументов слагаемых. Используем представление
Ф(t,r, v) =
eikr^kz{v)^ztàtàk.
(7)
(-z+ikv)4>kz(v)-— -}p-ik
m ф0 dv
VkzWfo (v')dv'
Ш-
•пЛо(®)ФА2(®) = 0. (8)
6
1 k
®(v)<j)0(v')dv', (3=-, e= —
обозначим
фф(®) = ev Тогда (8) можно записать в форме
z4>kz(v) = -пАо + ikv - i/3n$(0)kQ I Фа2(®)-
Q+X(v) =
dv' <t>0(v')(ev')x(v').
1
î
(ev);
Ф<о>(у) =
V3ô
^-vÎ!!
(3mv
1/2
(ev);
(f3mv2 - 5);
(12)
v) = (l3m)l/2(ei±-v); </><ii(v) = (l3m)l/4e2±-v);
ei±±e2±-Le. Искомое решение представляется в виде
5 5
(=1
(=1
s, яг^О
Тогда из (5), (6) получаем уравнение для функции
(13)
Для величин Со;, определяющих Ф^г в нулевом приближении, система уравнений может быть записана в форме
Здесь Ф(й) = | Ф0(\я\)е1кч оператор Больц-
мана.
Существенно, что разложение решений по параметру однородности (3) С = го\Щ непосредственно связано с функциональной зависимостью Ф(й) при малых Щ, т. е. поведением медленно убывающей компоненты на больших расстояниях. В дальнейшем мы будем предполагать, что существуют величины Ф(0) = / Фо(|?|) &Я, #1(0) = / Фо(|<у|)<72 Ац. В первых двух порядках по параметру однородности можно положить Ф(й) = Ф(0), поскольку Ф(й) представляется в виде
к2
Ф(к) = Ф(0) - -7-Ф1 (0),
О)
(10)
Заметим, что относительно скалярного произведения (Ф, х) = I эрмитово-сопряженным является
оператор
(П)
Операторы С} и <3+ не коммутируют, поэтому собственные функции оператора, стоящего в правой части (10), вообще говоря, не ортогональны. Естественным базисом для вычисления Фйг(г>), соответствующих гидродинамическим возмущениям г(к.)-¥ 0 при &->• О, является ортонормированный набор [8]
1/2
5
£
/=1
-о
4(ЗпФ(0)Щ
Ф
(/)
ZiSijl =0,
(14)
где Sij — символ Кронекера.
Оператор iev имеет матричные элементы [8]
/ (Ф^.етФ),
(0\ _
1
My+i о,
((3m) 1/2 Уз l'i-1'2'
i У 2, jy 2.
При вычислении тензора Fji = ^Ф^.фФр^ найдем, что отличны от нуля лишь следующие его компоненты:
I i
Fn = F 12 = -Fil = -F22 = 3
20 /Зт'
F13 = F23 = ■
Л/Щт
Величины 21, определяющие частоты в первом порядке по параметру однородности, получим из условия разрешимости системы (14)
(2i)I,2 = ±-
= л/ а2
■ 52,
(15)
(21)3,4,5 = о,
где
а ■
Коэффициенты С0г найдем, используя в (14) значения (15):
С§> = =А\ (а - Л/а2 - ; = О,
С™=А26, С$=А2(а + л/аГ^), С™ = 0; (16)
С$ = 5ц, / = 3,4,5.
В первом порядке по параметру однородности нормированные решения уравнения (1), таким образом, можно представить в форме
Ф^2) =
2 а2т
2ал/ а2
521 Л'2 х
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
27
/ = 3,4,5.
ф{У> = Ф{У>
Вследствие некоммутируемости операторов (2 и (2+ ( <Э, Ф 0) функции Ф^, как и следовало ожидать, не являются ортогональными. Заметим, что решения (16) получены в предположении о достаточно быстром убывании Фо(|п — гг|).
2. Гидродинамическое приближение обобщенного уравнения Больцмана-Энскога
В отличие от обычной теории возмущений, с целью определения поправок второго порядка по параметру однородности, необходимо непосредственно использовать разложение (13). Величины г2, Сц определяет неоднородная система алгебраических уравнений, имеющая вид
о
]ГС1г ((ф<р,/(ет-/3пф(0)$) Ф<р -ziii
i=i
- z2Со/ - - C°i E
x (Фх,1(ео-^ПФ(0)^)ФЦ)) , (17)
г=1
где Фх — собственная функция оператора Больцмана Ао, соответствующая собственным значениям суммирование в правой части (17) проводится по всем я, для которых Ф 0.
Условие разрешимости системы (17) может быть представлено в виде [8]
Е-
г=1
1 ^ „ ^ (Ф<р,/(ет-/ЗпФ(0)(?)Ф5
Z2C°i ~ й Е Coi Е
г=1
х (фх, 1(ет-/ЗпФ(0)С2)ф1г)
= 0, (18)
где {х;} — решение однородной системы, эрмитово-со-пряженной системе (14). Используя формулу
Е
XT"
-,(0
= (ф^, pi ГрФ,
Еф
представим сумму по {s} в виде
Е
где
Ф^,/(ет-/ЗпФ(0)$)Ф4
ф5,/(ет-/3пф(0)с2)ф£г)>) =
Х2
к А0
(0
(19)
Х\
ф«
i'=i
хЧ (Ф^.лфГ) Ф^, (20)
/'=1
■/ЗпФ(О)с) .
А = i (ev
Поскольку . Х2 ортогональны всем собственным функциям оператора А0 (12), то, учитывая определения (9), (11), найдем, что в (20) можно положить A = iev.
Действительно, действия операторов Q и Q+ на произвольные функции даст, согласно (9), (11), инварианты столкновения const, ev, которые не должны
содержаться в x^i > Х2' ■
Компоненты тензора (19), таким образом, не зависят от Ф(0) и могут быть вычислены в рамках стандартной процедуры для уравнения Больцмана с потенциалом твердых сфер [8].
Решения системы, эрмитово-сопряженной (14), имеют вид
Д1)
jcf" = -i, Х{21) = а - Va2 - 52, xf] = 0, ]> 2,
Д2)
д»)
= -5, xi2> = а + л/а2
= 5И,
2 - S2, х¥> = 0, j> 2, (21)
/ = 3,4,5.
Поправка второго приближения к собственным зна 2
чениям ¿2 , согласно (18), может быть представлена
в форме
4° =
, Y,coiGjiX
i i=i
(0
(22)
/=1
Принимая во внимание соотношения (16), (21), (22) и учитывая свойства симметрии тензора
Gje =
Е
(Ф^.етФЖФ^етФо0)
получим = \Оа, где 011 = в22 = §(£>г + 2Д,), Озз = г]От, О44 = = пОп\ От, Оп — коэффициенты термодиффузии и кинетической вязкости, определяемые уравнением Больцмана.
Таким образом, для достаточно быстро убывающих потенциалов Фо(|п -г2\) величины г^ соответствуют второму порядку по параметру однородности, положительны и не зависят от конкретного вида Ф0. Структура решений уравнения (8) определяется коэффициентами Су (16), содержащими параметр Фо. Отметим, что для
потенциалов, асимптотически убывающих как »
поправки второго порядка по параметру однородности к 2м возникают в первом порядке теории возмущений для оператора (10), поскольку в этом случае разложение Ф(й) имеет вид
Ф(£) = Ф(0) + М>1.
При этом, в отличие от (22), члены, пропорциональные к2, комплексны. Следует также отметить,
что влияние сравнительно медленно убывающей компоненты потенциала становится преобладающим для Фо(|п — г<21) ~ \rx-r2\a' а ^ 2, и требует специального рассмотрения.
Список литературы
1. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.; JL, 1946.
2. Dorfman J.R., Cohen E.G.D. 11 Phys. Rev. A. 1972. 6. P. 776.
3. Emst M.H., Dorfman J.R. 11 Physica. 1972. 61. P. 157.
4. Alder В J., Wainwright Т.Е. // Phys. Rev. A. 1970. 1. P. 18.
5. Ubbink J.T., Hauge E.H. // Physica. 1973. 70. P. 297.
6. Dorfman J.R., Cohen E.G.D. 11 Phys. Rev. A. 1975. 12. P. 292.
7. Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. 11 ТМФ. 1977. 31. С. 260.
8. Боголюбов H.H. 11 ТМФ. 1975. 24. С. 242.
9. Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. // Препринт ИТФ-76-149Р. 1976.
The hydrodynamic solutions of generalized Boltzmann-Enskog equation N.G. Inozemtzeva1,0 , I.I. Maslennikov2b
1 International University «Dubna». Dubna, Moscow Region 141980, Russia.
2 Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
The properties of the kinetic equations for an ensemble of particles with pair interactions including a hard and long range component are considered. Solutions corresponding to small periodical disturbance of distribution function are studied.
Keywords: kinetic equations, model of hard spheres, Boltzmann-Enskog equation. PACS: 51.10,+y; 05.20.-y; 05.20.Dd. Received 24 January 2013.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2013).
Сведения об авторах
1. Иноземцева Наталья Германова — докт. физ.-мат. наук, профессор; e-mail: [email protected].
2. Масленников Илья Игоревич — аспирант; e-mail: [email protected].
