CC BY
29
ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ФОКУСИРОВКИ В ПЛОСКУЮ КРИВУЮ В НЕПАРАКСИАЛЬНОМ СЛУЧАЕ
Антон Юрьевич Дмитриев (стажер-исследователь,в-таИ: [email protected]),
Леонид Леонидович Досколович (ведущий научный сотрудник, e-mail: [email protected]), Сергей Иванович Харитонов (старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]) Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева
Аннотация
Получено общее аналитическое представление для эйконала дифракционного оптического элемента (ДОЭ) для фокусировки в произвольно ориентированную в пространстве плоскую кривую в непараксиальном случае. Эйконал записан в специальных криволинейных координатах. Расчет функции эйконала из условия фокусировки в линию с заданным распределением интенсивности сведен к решению обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Проведен расчет ДОЭ для фокусировки в отрезок. Результаты моделирования показывают высокое качество фокусировки в отрезок.
Ключевые слова: эйконал, дифракционный оптический элемент, криволинейные координаты, интенсивность, световое поле, линейная плотность.
Введение
В работах [1-10] рассмотрен расчет ДОЭ для фокусировки в линию произвольной формы. Расчет ДОЭ производится в приближении геометрической оптики. Задача расчета ДОЭ формулируется как задача расчета эйконала (или фазовой функции) светового поля из условия фокусировки в линию. Ввиду сложности решения обратной задачи фокусировки аналитические решения получены только для фокусировки в параксиальном приближении в простые линии, такие как отрезок, кольцо, дуга окружности и т.п. [1, 2, 4, 8-10]. Требование параксиальности существенно ограничивает области применения ДОЭ.
В общем непараксиальном случае расчет эйконала ДОЭ требует решения нелинейного уравнения для каждой точки апертуры [1, 2, 4-7].
В работах [1, 2] предложено использовать специальную криволинейную систему координат, значительно упрощающую расчет в параксиальном приближении. В работах [11, 12] рассматривается задача фокусировки в кривую, лежащую в плоскости, параллельной плоскости ДОЭ. Предложено использовать другую криволинейную систему координат, позволяющую получить простое аналитическое выражение для функции эйконала в общем, непараксиальном случае.
В данной работе получено общее аналитическое представление для эйконала ДОЭ для фокусировки в произвольно ориентированную в пространстве плоскую кривую в непараксиальном случае. Криволинейные координаты, в которых записан эйконал, являются обобщением координат, предложенных в [11,12]. Функция эйконала зависит от функции а(Х), определяющей углы прихода лучей в точки кривой Х(Х). Функция а(Х) определяет распределение энергии вдоль кривой фокусировки. Расчет функции а(Х) сведен к решению обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. В качест-
ве примера приведен расчет функции эйконала из условия фокусировки в отрезок.
1. Расчет эйконала ДОЭ в декартовой системе координат
Рассмотрим расчет ДОЭ для фокусировки в кривую (рис. 1). ДОЭ расположен в плоскости 2=0 при и е Б , где Б — область апертуры, и = (и, V) - декартовы координаты. Комплексная амплитуда падающего на ДОЭ пучка имеет вид
^0 (и) =7/о(и) ехр(/1Уо (и)) , (1)
где /0(и) — интенсивность пучка, у0(и) - эйконал, к = 2п /1, 1- длина волны. Линия фокусировки задана параметрическим уравнением
Х(Х) = (X (X), г (X), г (X)), (2)
где X е [0, d] — натуральный параметр. Вдоль линии требуется сформировать заданное распределение энергии I(X), Хе [0, d].
Рис. 1. Задача фокусировки в кривую При расчете ДОЭ будем считать выполненным приближение тонкого оптического элемента. Тогда изменение эйконала светового пучка Ду при его прохождении через ДОЭ пропорционально высоте микрорельефа ДОЭ, а амплитуда пучка сохраняется.
В простейшем случае изменение эйконала можно записать в виде:
Ду(и) = (п -1) И (и), (3)
где п - показатель преломления материала ДОЭ.
Таким образом, эйконал непосредственно после ДОЭ можно записать в виде
у(и) = Уо (и) + Ду(и) . (4)
Распространение светового пучка после прохождения через ДОЭ определяется эйконалом этого пучка в плоскости 2=0. Таким образом, расчет функции высоты микрорельефа ДОЭ сводится к расчету функции эйконала у(и), и є Б из условия фокусировки пучка с интенсивностью /0(и) в линию (2) с распределением энергии I(X) [1-10].
Согласно общему уравнению эйконала единичный вектор луча, выходящего с апертуры, определяется производными эйконала в виде [13]:
Р (и) = (Рх (и), Ру (и) , Р' (и)) =
Эм
Эу
Эм
Эу
(5)
Так как при фокусировке все лучи с апертуры приходят на кривую (2), первые два компонента вектора Р (и) можно записать в виде [1, 2]:
ЭУ(и)
Эм
= Рх (и ) =
(х (х(и))-м)
^( х(х(и))-м )2 + (у(х(и))-V )2 + г2 (х(и))
Эу(и)
(6)
Эу
= Ру (и) =
(У (Х(и))-у )
(
1(Х(x(u))-и) + (¥(x(u))-v) + (x(u))
Функция X(u) определяет лучевое соответствие между точками на апертуре и точками на кривой (2). Функция X(u) = X0 определяет линию Г^о) в плоскости 2 = 0 , лучи из точек которой приходят в точку кривой Х^о) (рис.1). Линию Г^о) принято называть слоем [1-10].
Прямым дифференцированием легко показать, что функция эйконала, удовлетворяющая уравнениям (6), может быть записана в виде:
у(и, V ) =
= -^(м - х (х(и )))2 +(у - у (Х(и )))2 + г 2 (Х(и)) + (7) +У (Х(и ^
, , ,,-х(X) , , (X) -г(X)
(м -х (Х))-^2+(у - у (х))-^2 - г(Х)- ы
- х
- х
- х
д/(м - х (х))2 + (у - у (х))2 + г2 (х(^ у))
(8)
=с(Х),
где у,(Х) = -|с(ґ) —, с(X) определяет распределе-
X
(9)
ние энергии вдоль линии фокусировки. Уравнение (8) определяет функцию лучевого соответствия X = X(u,V). На слое Г^о) уравнение (7) принимает вид:
у(и, V ) = —/(и - X (Xо ))2 + ^ - ¥ (Xо ))2 + г2 (^) +
+У; (Xо).
Уравнение (9) является эйконалом (в плоскости 2=0) сходящегося сферического пучка с фокусом в точке X ). Константа
V; (^ ) = у(и v ) +
Г,---------^^--------------------- (Ю)
^(и - X (Xо)) +(V - ¥ ^0)) + г2 ^0) равна оптической длине пути лучей, приходящих в точку X (Xо) и определяющих эйконал в точке
х (^).
Определим тип линий, которые образуют слои. Слой является пересечением плоскости 2=0 и кругового конуса
, , (X) / , ,^¥ (X) dz (X)
(и -X (X))~-^+(V - ¥ (X))~-^ - г(X)
7(м - х (X))2 +(V - у (X))2 + г 2Й)
(11)
=С(x),
где С (X) - косинус угла при вершине конической поверхности [1, 2, 5, 7]. Вершиной конуса является точка X (X). Ось конуса совпадает с касательной к
фокальной кривой і =
-х(X) -у(X) -г(X)
. Век-
-X - X -X
тор 1 является единичным, т.к. X — натуральный параметр.
Чтобы получить необходимое распределение интенсивности I (X), Xе [0, -] на кривой фокусировки, необходимо определить функцию С (X) в уравнениях (7), (8) из закона сохранения энергии. Для этого приравняем световой поток, падающий на часть апертуры фокусатора Б(0,X), заключенную между начальным и текущим слоями Г(0) и Г© , к световому потоку, проходящему через часть фокальной кривой, заключенную между точками X (0)
и X (X) (рис. 1):
0
2
Л
Ц 10 (и,V) dudv = 11 (X) -X . (12)
Б(0.x) 0
Функция с(X) входит в (12) неявно, она содержится в границах области интегрирования Б(0,X) (рис.1).
В общем случае расчет функции с (X) из уравнения сохранения энергии (12) и функции X(u) из
уравнения слоя (8) являются сложными вычислительными задачами, состоящими в решении нелинейных уравнений. При этом расчет функции X(u) требует решения нелинейного уравнения слоя для каждой точки апертуры ДОЭ.
2. Расчет эйконала ДОЭ в криволинейной системе координат
Расчет ДОЭ может быть существенно упрощен введением специально выбранных криволинейных координат.
Будем рассматривать задачу фокусировки в плоскую кривую
х® = ( X (X), ¥ (X), г (X (X), ¥ (X))), (13)
лежащую в плоскости с вектором нормали Ь = (Ьх, Ьу, Ьг) и проходящую через точку
Хо = (0,0, /) .
Так как кривая (13) является плоской, г(Х) зависит от X(X) и ¥(Х).
Уравнение плоскости фокусировки запишем в виде:
ЬхХ + Ьуу + Ьх (г - /) = 0, (14)
Подставив кривую (13) в (14), получим выражение для г(Х):
b X(X) + b Y (X)
Z (X (X), Y (X)) = - * , y ^ + f,
dz (X).
b
z
dX(X) + dY (X) * dX y dX
(15)
(16)
dX bz
Вектор нормали к кривой в плоскости фокусировки может быть представлен векторным произведением нормали к плоскости b и касательной к кривой t:
n = b х t = ( Nx (X), Ny, (X), Nz (X)) =
=f -bdrn+bdZ(X). bdX(X) - bdZ(X) - (!7) f z dX y dX z dX * d X
- b xx)+b dm)
y dX * dX J.
Разложим вектор образующей конуса (11) q по векторам t, n и b:
q = t cos w+ n sin w sin y- b sin w cos y, (18)
где ю - угол при вершине конической поверхности, у - угол, определяющий положение луча на обра-
зующей конуса. Угол у отсчитывается от плоскости n=0.
Найдем пересечение образующей конуса с плоскостью ДОЭ:
u(X) = X(X) - q • l. (19)
Из уравнений (17), (18) и (19) получим:
u (X) = X (X) - f d (X) cos w+
I dX (20.1)
+N*(X)sinwsiny-bx sin wcosy)- l,
v(X) = Y (X) - f cos w+
I dX (20.2)
+ Ny(X)sinwsiny-by sinwcosy)-1,
z(X) = Z (X) - f dZ (X) cos w+
f dX . (20.3)
+ Nz (X)sinwsiny-bz sin wcosy)-1 = 0
Из (20.3) найдем параметр l:
z (X)
l =
dZ (X) d X
cosw+ Nz(X)sinwsiny-bz sinwcosy
. (21)
Подставив (21) в (20.1) и (20.2), нетрудно получить:
u (X) = X (X) -
Z (X)f dX§L ctg w— + N* (X)tg y-b* 1 (991) ^ dX cosy J (22.1)
dZ(X) 1 ,
—^ctg w-----------+ Nz (X)tg y-bz
dX cos y
v(X) = Y (X) -
Z (X) f ctg w— + Ny (X)tg y-b (222)
^ dX cosy y yJ (22.2)
dZ(X) 1 ,
—^ctg w-----------+ Nz (X) tg y-bz
dX cos y
Введем следующие переменные:
c(X)
h = f tgy , a(X) = ctg w =
V1 - c 2(X)
(23.1)
тогда
4f2 +h2 =f = K (h). (23.2)
cos y
Подставив (23) в (22), получим криволинейные координаты в плоскости задания эйконала ДОЭ:
u (X, h) = x (X) -
Z (X) f a(XW f2 +h2 + N* (X)h - b j (241)
a(X)4 f2 +h2 + Nz (X)h- A ’
у(Х, л) = У (X) -
z(X){—У—X)a(X'h[fг+h+Жу(Х)я-Ру^ (242)
рa(XWf2 +Л2 + N (Х)Я- Л
Координата X в (24) определяет слой, а координата п - положение точки на слое Г© .
Подставим координаты (24) в уравнения (9) и получим функцию эйконала в криволинейных координатах:
у(м (X, Я), v(X, Я)) =
= -((м(X, л) - х (X))2 + (у(Х, л) - У (X))2 + (25)
((
г 2 (х (X), У (X)))05 +у (X),
где
у, (х) = -}
а (ґ)
•^1 + а (ґ)
-ґ .
3. Формирование заданной линейной плотности энергии вдоль кривой фокусировки
Эйконал (25) зависит от функции а^), задающей углы раствора конусов лучей, приходящих на линию фокусировки. Рассмотрим расчет а^) из
условия формирования заданного распределения энергии вдоль кривой фокусировки. Световой поток, заключенный между слоями Г^), Г(X + ЛX), имеет вид
^2 (X)
ЛФ = ^ | 1о (X, ЯУ (X,Я)-Я, (26)
Я1Ю
где
J (X, я) =
= -а (X)
Эм(Х,Я) Эv(X,Я) Эм(X,Я) Эv(X, Я)
- X
ЭX Эя ЯД, я) + ^2 (X, я)
Эя ЭX
(27)
- якобиан преобразования координат, где
^(Х, я) = г (X)* (я) х Эу(Х, я) я&2 (X) + А у (Х) -_ Эя й2(Х,я)
Эм(X, я) яб3(Х) - А* (Х)
(28)
- я
01 (X, я)
^(Х, Я) = ^УЭяЯ) х
Эя
~ я 62 (X) - АУ (X) + шх, я) +
(-2х(X) ,х^, , Эж* (X)
г (X) І „І а(Х)*(я)+я х
- X2
ЭX
Й(Х, я)
г (X) І --р а (X)* (я)+яж* (X) - А
-2 г (X)
- X2
Й2(Х, я)
-Ж (X)
a(X) * (Я) + Я
- X
Эм(X, Я)
Эя
62(Х, я)
-яQз(X)+А* (X) . Й(Х, я)
-2¥(X) ^ ЭЖУ (X)
г (X) І ,,2 а (X)* (я)+я у
- X2
ЭX
Й(Х, я)
г (X) І --X а (X)* (я)+яЖу (X) - Д
-2 г (X)
- X2
б2(Х, я)
-х (X)
а(Х) * (Я) + Я
- х
е2(Х, я)
01 (X, Я) = -г(Х) а(Х)* (Я) + N (Х)Я - Л
- х
02 (X) = --N (X) + -^ ых (X),
- х
- х
(29)
03 (X, ) =---X ^ (X) + --Р Ху (X).
Пределы интегрирования ^1 (X), Яг© в (26) определяют точки пересечения слоя Г© с границей апертуры ДОЭ. В частности, для круглой апертуры радиуса Я функции ^1 (X), Яг© в (7) находятся из уравнения
и'(X, я) + v2(X, Я) = Я2. (30)
По построению элемента световой поток ЛФ, заключенный между слоями Г©, Г^ + ЛX), переходит в элемент кривой длины ЛX, заключенный между точками X©, X(X + ЛX). Соответственно, световой поток, приходящийся на единицу длины кривой фокусировки, имеет вид
+
х
х
0
х
х
ЛФ
I(X) = = I ^©яУ(X,я)-я. (31)
^ ^ Я1 (X)
Функцию (31) будем называть линейной плотностью энергии вдоль кривой [1, 2, 4-7]. Уравнение (31) позволяет определить функцию а© из условия
формирования заданной линейной плотности I(X). Действительно, подставив (27) в (31), получим для а^ следующее дифференциальное уравнение:
hz®
hz(X)
da (X) d X
I (X) - j I>(X, h)S2(X, h)dh
h1 (X)
h2(X)
(32)
j I,(X, h)S1(X, h)dh
h1 (X)
Таким образом, задача фокусировки в кривую с
заданной линейной плотностью I(X) сведена к
решению дифференциального уравнения первого порядка (32), разрешенного относительно производной. Для решения уравнения (32) могут быть использованы стандартные численные методы типа метода Рунге-Кутта.
4. Фокусировка в отрезок Рассмотрим фокусировку в отрезок
X(X) = f0,X-1,Z(Y(X))j , Xe[0,d]
(33)
с постоянной линейной плотностью I (X) = I , расположенный в плоскости с вектором нормали b = (0,sin a,cosa) и проходящей через точку x0 = (0,0, f). Апертуру будем считать эллипсом с полуосями l1 = R , l2 = R/cosa, а интенсивность падающего пучка - постоянной I0 (X, h) = I0. Уравнение плоскости можно представить в виде:
y sin a + zcos a = f cos a. (34)
Из (34) получим выражения для Z (X) :
Z(X) = -Y(X)tga + f. (35)
dZ (X)
d X
= - tg a.
(36)
Для отрезка (33) криволинейные координаты (24) имеют вид:
u(X,h) =----------------ЗЙ+22------, (37.1)
tg aa(X)^ f + h2 + f cos a
v(X, h) = Y (X) +
Z(X)(a(X)Vf2 +h2 -fsin a) (37.2)
+ tg aa(X)\j f2 +h2 + f cos a . Дифференциальное уравнение (31) для отрезка принимает вид:
da
d X
^ h h tg a du(X h) f h2(X) ^^h tg a dh f
- j ^______________________________________________ dh
h1 (X) a(X) tg ('Ц f2 +h2 + f cos a
j Z(XWf2 +h2 х
V h1(X)
dv(X, h) dh
(38)
9u(X, h)
h tg a--------f— f
dh
V1
(a(X) tg af +h2 + f cos a)
dh
Пределы интегрирования h1(X),h2(X) в (38) находятся из уравнения:
u2(X, h) + v (X,h) = R2.
(39)
cos a
На основе формул (25), (38) был проведен расчет эйконала для фокусировки в отрезок (33) при следующих параметрах: a = п/4, d = 45X, R = 50X,
f = 40X, длина волны X = 1 мкм. Полученная функция эйконала в декартовых координатах, взятая по модулю X, приведена на рис. 2.
Рис. 2. Функция эйконала для фокусировки в отрезок
Для проверки качества фокусировки в отрезок был произведен расчет освещенности, получаемой в плоскости фокусировки при рассчитанном эйконале, в рамках геометрической оптики. В работах [14-16] предложено использовать усредненное интегральное представление для освещенности в плоскости фокусировки, справедливое в приближении геометрической оптики. Указанное представление имеет вид:
Е(х) = Л !о(и е )50 (х-х(и. ))-и е, (40)
х
х
D
где Б - область апертуры фокусатора, ие = (ие, ve) -декартовы координаты в плоскости эйконала, dJ(x) - аппроксимация 5-функции в виде гауссовой функции
1 I x2 + y2 °Л x, y) =-------2 exp1
(41)
ка ^ а
Функция x(ue) в (7) определяет координаты точек прихода лучей в плоскость фокусировки
x(u е) = и, +Уу(и е ) X / - V, а
і- tg a+71 -(v-(u e))2
(42)
lv
где Уу(ие) - градиент эйконала. Выражение (40) ориентировано на расчет освещенности с использованием метода трассировки лучей [17]. В этом случае формула (40) дает усредненное значение освещенности по окрестности, определяемой «эффективной» шириной функции ^^. Величина этой окрестности обычно определяется шагом дискретизации в области наблюдения.
На рис. 3 представлена расчетная функция освещенности вдоль отрезка фокусировки.
Рис. 3. Нормированная освещенность вдоль отрезка фокусировки Рис. 3 показывает, что рассчитанный эйконал обеспечивают хорошее качество фокусировки в отрезок.
Заключение Расчет функции эйконала из условия фокусировки в произвольно ориентированную в пространстве плоскую кривую в непараксиальном случае сведен к решению обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Проведен расчет эйконала из условия фокусировки в отрезок для случая равномерного освещающего пучка. Показано, что рассчитанный эйконал обеспечивает хорошее качество фокусировки в отрезок.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке фонда «Фундаментальные исследования и высшее образование» (PG08-014-1), грантов РФФИ № 08-07-99005, 09-0712147, 09-07-92421, 07-07-00210, Фонда содействия отечественной науке и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-3086.2008.9).
Литература
1. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements. Edited by Victor A. Soifer // A Wiley Interscience Publication, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2002, 764 p.
2. Дифракционная компьютерная оптика / под ред. В.А. Сойфера - М.: Физмалит, 2007. - Глава 3.
3. Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Soifer V.A., Kharitonov S.I., Perlo P. A DOE to form a line-shaped directivity diagram // Journal of Modern Optics, 2004, Vol. 51, № 13, pp. 1999-2005.
4. V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation // Tay-lor&Francis LTD, 1997, 244 p.
5. Данилов В.А. Теория когерентных фокусаторов / Б.Е.Кинбер, А.Е. Шилов // Компьютерная оптика. - М.: МЦНТИ, 1987. - Вып. 1. - С.40-52.
6. Гончарский А.В. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую /
A.В. Гончарский, В.А. Данилов, В.В. Попов, А.М. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, В.В. Степанов // Доклады АН СССР, 1983, Т.273, № 3. - С.605-608.
7. Гончарский А.В. Плоские фокусирующие элементы видимого диапазона / А.В. Гончарский, В.А. Данилов,
B.В. Попов, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, В.В. Степанов // Квантовая электроника, -1986. -Т.13. -№ 3. -
C.660-662.
8. Soifer V.A., Golub M.A. Diffractive micro-optical elements with non-point response // Proceedings SPIE. -1992. - Vol.1751. - P.140-154.
9. Doskolovich L.L. Comparative analysis of different focu-sators into segment / L.L. Doskolovich N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer // Optics and Laser Technology. - 1995. -Vol.27, №4. - P.207-213.
10. Гончарский А.В. Математические модели в задачах синтеза плоских оптических элементов // Компьютерная оптика. - М.: МЦНТИ, 1987. - Вып.1. - С. 19-31.
11. Дмитриев А.Ю. Геометрооптический расчет фокуса-тора в линию в непараксиальном случае / А.Ю. Дмитриев, Л. Л. Досколович, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. - 2008. - Т.32, №4. - С. 343-347.
12. Дмитриев А.Ю. Геометрооптический расчет оптических элементов для фокусировки в линию в непараксиальном случае / А.Ю. Дмитриев, Л. Л. Досколович, С.И. Харитонов, М. А. Моисеев // Компьютерная оптика, -Т. 33. -№ 2. -2009. -С. 122-128.
13. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф - М.: Наука, 1973.
14. Белоусов А.А. Градиентный метод решения задачи фокусировки в двумерную область при протяженном источнике / А. А. Белоусов, Л.Л. Досколович // Компьютерная оптика, -2007. -Т. 31. -№3. -С. 20-26.
15. Belousov A. A. A gradient method of designing optical elements for forming a specified irradiance on a curved surface / A. A. Belousov, L. L. Doskolovich, and S. I. Kharitonov // Journal of Optical Technology, Vol. 75, Issue 3, 2008, pp. 161-165
16. Белоусов А.А. Градиентный метод расчет эйконала для фокусировки в заданную область / А.А. Белоусов, Л.Л. Досколович, С.И. Харитонов // Автометрия, -2007. -Т. 43. -№1. -С. 98-106.
17. Young C., Wells D. Ray Tracing Creations, 2d Ed. London. Waite Group Press, 1994.
References
1. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements. Edited by Victor A. Soifer // A Wiley Interscience Publication, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2002, 764 p.
2. Diffractive Computer Optics / edited by V.A. Soifer - Moscow: Fizmatlit, 2007. Chapter 3. - (in Russian)
3. Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Soifer V.A., Kharitonov S.I., Perlo P. A DOE to form a line-shaped directivity diagram // Journal of Modern Optics, 2004, Vol. 51, №
13, pp. 1999-2005.
4. V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation // Tay-lor&Francis LTD, 1997, 244 p.
5. Danilov V.A. Theory of coherent focusers / B.E. Kinber, A.E. Shilov // Computer optics. - Moscow, 1987. - Vol. 1, №1. - pp. 40-52.
6. Goncharsky A.V. Solving the inverse problem of focusing the laser light into an arbitrary curve / A.V. Goncharsky et al. // Dokl. USSR Acad Sci. 1983. Vol. 273, №3. pp. 605-608. - (in Russian)
7. Goncharsky A.V. Planar focusing elements of visible range / A.V. Goncharsky et al. // J. Quant. Electron, 1986, Vol. 13, № 3. - pp. 660-662. - (in Russian)
8. Soifer V.A., Golub M.A. Diffractive micro-optical elements with non-point response // Proceedings SPIE. -1992. - Vol.1751. - P.140-154.
9. Doskolovich L.L. Comparative analysis of different focu-sators into segment / L.L. Doskolovich N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer // Optics and Laser Technology. - 1995. -Vol.27, №4. - P.207-213.
10. Goncharsky A.V. Mathematical models in the design of flat optics elements // Computer optics - Moscow, 1989. -Vol. 1, №1. - pp. 13-20
11. Dmitriev A.Yu. Geometric-optics design of focusators into a line in noparaxial case / A.Yu. Dmitriev, L.L. Doskolovich, S.I. Kharitonov // Computer optics, 2008, Vol.32, №4, pp. 343-347. - (in Russian)
12. Dmitriev A.Yu. Geometric-optics design of optical elements into a line in noparaxial case / A.Yu. Dmitriev, L.L. Doskolovich, S.I. Kharitonov, M.A. Moiseev // Computer optics, 2009, Vol.33, №2, pp. 122-128. - (in Russian)
13. Born M. Principles of optics / M. Born, E. Wolf -Moscow: Nauka, 1973.
14. Belousov A. A. A gradient method of designing optical elements for forming into 2-D domain in case of distant radiation source / A. A. Belousov, L. L. Doskolovich // Computer optics, 2007, Vol. 31, №3, pp. 20-26. - (in Russian)
15. Belousov A. A. A gradient method of designing optical elements for forming a specified irradiance on a curved surface / A. A. Belousov, L. L. Doskolovich, and S. I. Kharitonov // Journal of Optical Technology, Vol. 75, Issue 3, 2008, pp. 161-165
16. A. A. Belousov Gradient method of calculating the eiko-nal for focusing in a given region / A. A. Belousov, L. L. Doskolovich, and S. I. Kharitonov // Avtometriya Vol. 43, №1, 2007, pp. 98-106 - (in Russian)
17. Young C., Wells D. Ray Tracing Creations, 2d Ed. London. Waite Group Press, 1994.
GEOMETRIC-OPTICS DESIGN OF DIFFRACTIVE OPTICAL ELEMENTS TO FOCUS INTO A PLANE LINE
Anton Yurievich Dmitriev (apprentice researcher, [email protected]),
Leonid Leonidovich Doskolovich (leading researcher, [email protected]),
Sergei Ivanovich Kharitonov (senior researcher [email protected])
Image Processing Systems Institute of the RAS,
S. P. Korolyov Samara State Aerospace University
Abstract
We derive general non-paraxial analytical representation of the eikonal function for design of diffractive optical element (DOE) to focus into a arbitrary oriented plane line. The eikonal is given in special curvilinear coordinates. The calculation of the eikonal on condition of focusing into a line with prescribed intensity distribution is reduced to solving of a first-order differential equation solved for the derivative. We design DOEs to generate a line-segment focus. The simulation data shows that the DOE produces high performance focal lines.
Key words: eikonal, diffractive optical element, curvilinear coordinates, intensity, light field, line density.
Поступила в редакцию 28.10.2009 г.
