Геометрия сингулярных кривых для одного класса задач быстродействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 3

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.58

В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, П. Д. Лебедев

ГЕОМЕТРИЯ СИНГУЛЯРНЫХ КРИВЫХ

ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

Постановка задачи. Пусть управляемая система [1] на плоскости М2 имеет динамику

(1)

X = VI,

У = V2,

где управление г/ = (г/1, г/г) стеснено ограничением ||г/|| = ПЩ ^ 1.

Рассмотрим задачу о приведении системы (1) на замкнутое целевое множество М С М2 с границей Г = дМ за кратчайшее время [2]. Функция оптимального результата и(х,у) в данной задаче совпадает с евклидовым расстоянием р(х) = шт{||х — у||: у € М} от точки х = (х,у) € М2 до М. Кроме того, функция и(х,у) совпадает с минимаксным решением задачи Дирихле [3] для дифференциального уравнения Айзекса-Беллмана [4] системы (1) на множестве С = М2 \ М:

ди ди

ПШ1 г/1— +г/21Г +1 = 0, 2

V: |^||<1 \ дх ду)

и|г =0. (3)

Условие (3) определено на границе Г = дМ целевого множества М С М2. Границу Г = дМ считаем непрерывной склейкой дважды гладких кривых без точек самопересечения. Решение задачи (2), (3) определено на дополнении С = М2 \ М, но его

Ушаков Владимир Николаевич — член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, 620990, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург; e-mail: [email protected].

Успенский Александр Александрович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, 620990, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург; e-mail: [email protected].

Лебедев Павел Дмитриевич — кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, 620990, Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург; e-mail: [email protected].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31247 мол_а «Управление и сингулярности в дифференциальных играх»), Программы президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при финансовой поддержке Уральского отделения РАН (проект № 12-П-1-1002), Программы президиума РАН «Математические модели и алгоритмы в управляемых системах с нелинейной динамикой» при финансовой поддержке Уральского отделения РАН (проект № 12-П-1-1012) и проекта молодых ученых и аспирантов Уральского отделения РАН «Оптимальные конструкции и аппроксимации в динамических игровых задачах».

(¡5 В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, 2013

)

можно непрерывно продолжить на множество М, приняв его там равным нулю. С задачей (2), (3) тесно связано изучаемое в геометрической оптике [5] уравнение эйконала

ди\ 2

ау)

(4)

с краевым условием

и | г = 0.

(5)

Эйконал и = и(х) в плоском случае - функция от двух переменных х = (х,у), линии уровня которой совпадают с волновыми фронтами. С. Н. Кружковым введено так называемое фундаментальное решение краевой задачи для уравнения эйконала [6]. Для задачи (4), (5) оно совпадает с функцией расстояния до множества М, взятой с противоположным знаком: и(х) = -р(х,М). Это согласуется с представлениями геометрической оптики о распространении лучей в однородной среде.

В настоящей работе изучаются свойства сингулярных кривых в задаче быстродействия, на которых функция и(х) = р(х, М) теряет гладкость. Выводится уравнение касательной к ним в их регулярных точках. Изучаются дифференциальные свойства функции оптимального результата в этих точках, устанавливается направление ее наибольшего роста.

Биссектриса множества. Задача быстродействия для системы (1) изучалась ранее с применением методов дифференциальной геометрии [7], выпуклого анализа [8] и теории особенностей [9]. Была выявлена структура линий негладкости решения и предложены алгоритмы их построения.

Определение 1. Биссектрисой Ь(М) замкнутого непустого множества М С М2 назовем [10-15] множество всех точек из его дополнения до М2, которые имеют не менее двух проекций на множество М:

Здесь и далее под множеством 0.м (х) проекций точки х на множество М понимаем набор всех точек у € М, ближайших в евклидовой метрике к х.

На биссектрисе Ь(М) функция оптимального результата в задаче (1) теряет гладкость [16]. В исследовании по негладкому анализу [17] показано, что функция и(х) = р(х, М) во всех точках О = М2 \ М, за исключением точек биссектрисы. На множестве Ь(М) она супердифференцируема, и ее супердифференциал имеет вид

То есть все точки супердифференциала Б+и(х) лежат в круге единичного радиуса с центром в начале координат. При этом минимум две точки расположены на его границе.

Построение биссектрисы связано с геометрией волновых фронтов и конструкциями множеств симметрии [18, 19]. В работах научной школы В. И. Арнольда [20, 21] выделяется так называемое медиальное множество, пересечение которого с М2 \М совпадает с Ь(М). В работах Л. М. Местецкого [22] по идентификации плоских фигур рассматривается так называемый скелет 8(М) множества М С М2. По определению скелет есть геометрическое место центров кругов 0(х,г) произвольного радиуса г € [0, для

которых выполняются следующие включения:

Ь(М) = {х € М2 \ М: 3у1 € Пм(х), Зу2 € Пм(х)(у1 = У2)} .

(6)

1) O(x,r) С M;

2) Уе > 0: O(x, r + e) £ M.

Из определения скелета вытекает равенство

S(M) = clL(cl(R2 \ M)),

связывающее его с биссектрисой множества. Здесь и далее cl X означает замыкание множества X.

Построение линий уровня функции расстояния до множества применяется, в частности, при конструировании решений дифференциальных игр. Множества со сложной геометрией регуляризуются с помощью дискриминантных преобразований границы, использующих функцию расстояния [23]. Граница регуляризованного множества может иметь негладкие особенности, для выявления которых требуется построение биссектрисы множества.

Ключевые элементы ее построения - симметричные точки и псевдовершины.

Определение 2. Несовпадающие точки yi и y2 границы dM множества M, являющиеся проекциями точки x G L(M) на это множество, называются «-симметричными точками [10]. При этом x называется точкой, порожденной парой (yi, У2).

Определение 3. Будем называть точку yo G dM псевдовершиной [10] множества M, если существует последовательность {(yn, yn)}£=i пар «-симметричных точек, сходящаяся к (yo, yo):

lim (y„, y„) = (yo, yo).

n—

Определение 4. Пусть yo - псевдовершина множества M с биссектрисой L(M). Будем говорить, что точка X есть крайняя точка биссектрисы [11], соответствующая псевдовершине yo, если существуют последовательности {(yn, yn )}^=1 С dM и {xn}^=i С L(M), для которых выполняются условия

1) lim (Уп, Уп) = (yo, yo);

n—

2) lim Xn = X;

n—

3) Уп G N (Уп, Уп) с Üm (Xn).

Подробнее о нахождении псевдовершин и крайних точек см. в [12-15].

Свойства биссектрисы L(M). Ранее в работах авторов разрабатывались алгоритмы построения рассеивающих линий в задаче (1). В частности, были выведены формулы их крайних точек [12, 13] и изучено строение биссектрисы в их окрестности [14]. Найдены достаточные условия существования асимптот [10].

Исследовались свойства гладкости биссектрисы. В работе [15] были получены достаточные условия у биссектрисы, которые содержали довольно жесткие требования к границе целевого множества M. Они включали существование во всех точках его границы Г касательной и соприкасающейся окружности, т. е. гладкость второго порядка кривой Г. Однако в теории управления часто приходится иметь дело с множествами, граница которых содержит точки негладкости, например с многоугольниками или фигурами, ограниченными дугами окружностей. В этом случае требуется дополнительное рассмотрение свойств биссектрисы. Применение выпуклого и негладкого анализа позволяет сделать важное обобщение относительно существования касательной к L(M).

Теорема 1. Пусть M - односвязное множество с кусочно-гладкой границей Г

и биссектрисой L(M). Если множество проекций точки x* G L(M) состоит ровно из двух элементов Ом(x*) = {yi, y2}, то к L(M) в x* определена касательная П, совпадающая с биссектрисой угла Zy1x*y2:

П = {p G R2 : p = x* + A(2x* - yi - y2), Л G (-<x, (7)

Доказательство. Прежде всего заметим, что x* лежит на некоторой ветви биссектрисы, а не является изолированной особой точкой. При исследовании топологии множеств симметрии в [18, 19] показано, что линии на плоскости - это замыкания биссектрисы, гладкие в окрестности точек, имеющих ровно две проекции. У особых точек кривой cl L(M) имеют или одну проекцию (либо точки прекращения, либо лежащие на dM), или три и более (обычно точки ветвления L(M), но если граница содержит дуги окружностей, то могут быть точки прекращения и изолированные особые точки). Поэтому в некоторой окрестности x* биссектриса представляет собой гладкую кривую.

Покажем теперь, что к кривой L(M) определена асимптота, заданная формулой (7). Допустим, что это неверно. Выберем координатные оси так, чтобы выполнялись равенства

x* = (0, 0), yi = (-l,p), y2 = (l,p), p < 0, П = {p G R2 : p = (0, A), A G (-rc,

Рассмотрим последовательность {xi}?=1 = {(xi,yi)}?=1 С L(M) точек биссектрисы, такую, что

lim {(thy)} =(0, 0). (8)

i—

Покажем, что для нее выполняется предельное соотношение

lim (xi/yi) = 0, (9)

i—

из которого и вытекает уравнение асимптоты П.

Отображение x ^ Ом(x) полунепрерывно сверху по включению [8]. При этом любая точка биссектрисы имеет не меньше двух проекций, а точка x* - ровно две. Следовательно, выполняется предельное соотношение

lim Ом(xi) = Ом(x*) = {yi,y2}.

i—

Обозначим проекции точек {(xi,yi)}f=i С L(M) последовательности

Yi, Yi G Ом (xi).

Без ограничения общности полагаем, что они выбраны так, что

lim (yi;yi) = (yi,y2)- (Ю)

i—

Условие наличия ровно двух проекций у x* означает, что круг O(x*, r), r = p(x*, M), и множество M имеют ровно две общие точки yi, y2. При этом

O(x*,r) П M = O(x*,r) П M = {yi,y2}. (11)

В (11) и далее обозначаем окружность O(x*,r) = dO(x*,r).

Для достаточно близких к х* точках х4 отрезок [х4, у4] будет пересекаться с окружностью 0(х*, г) в некоторой точке У4. При этом точка У4 будет единственной, поскольку х4 будет находиться вблизи х*, а значит, внутри круга, а у4 - вне круга (рис. 1). Следовательно, выполняется оценка

11x4-5*11 < 11Х4 У4 11 • (12)

В то же время из определения проекции выполняется оценка

||х4 - У1|| > ||х4 - у4\\. (13)

Из оценок (12) и (13) следует

|х4 - У1|| > ||х - 24 Ц. (14)

Проведем срединный перпендикуляр 2 к отрезку [у1,24]. Геометрическая интерпретация неравенства (14) означает, что точка х4 лежит либо на 2, либо в той полуплоскости, ограниченной 2, в которой находится точка 24, а при достаточно больших г и у2 (в силу предела (10) и того факта, что у2 € 0(х* ,г)). По построению 2 проходит через начало координат х*, поскольку [у1,24] есть хорда окружности 0(х*,г). Из данного геометрического факта вытекает для координат х4 оценка

Xi - Vi tg 7i > 0, (15)

где Yi - угол между вектором x* — (yi + zi)/2 (сонаправленным с прямой S) и положительным направлением оси ординат. По построению

7i = Z(zi — yi, y 2 — yi),

поскольку отрезок [y2 — yi] как хорда окружности O(x*,r) лежит на прямой, перпендикулярной к оси ординат,

Из (15) вытекает оценка для абсциссы точки биссектрисы

Xi > Vi tg7i > —\Vi\\tg7i|. (16)

Аналогичные рассуждения для точек щ пересечения отрезка [х4, у4] с окружностью дают оценку

Xi < УгЧ1г < Ы\Ч1г1 (17)

где

7г = -У2,У1 -У2)-

Из определения zi следует, что она является проекцией точки yi на окружность O(x*,r), содержащую и точку У2. С учетом (12) получаем

lim ||y — У2|| =0.

i—

Длина вектора У2 — yi не зависит от i и отлична от нуля. Соответственно в пределе для углов yi между векторами y2 — yi и zi — yi в пределе выполняется для углов

lim yi = 0. (18)

i—

Аналогично, исходя из (13), выводится соотношение

lim 74 = 0. (19)

i—

Обозначим

1г =тах{74,74}. Из (16) и (17) для абсциссы точек биссектрисы следует

\xi\ < \vi\\tgYi\- (20)

Пределы (18), (19) и неравенство (20) позволяют вывести оценку для координат xi и Vi точек последовательности, для которой выполняется (8):

lim = lim tg 7i = 0,

i—\Vi\ i—

что совпадает с пределом (9).

Замечание 1. В том случае, если множество M - подграфик функции y = f (x), то формулу (7) можно записать, используя только абсциссы проекций точки x* = (x*,y*) G L(M). Она примет вид

(2х - x1 - X2)(x2 - x1) + (2у - /(xl) - /(x2))(/(Х2) - /(х^) = 0, (21)

где (х1,/(х1)) ,(х2,/(х2)) е Ом(х*).

Замечание 2. Крайняя точка X биссектрисы в общем случае может не лежать на Ь(Ы), но по определению входит в ее замыкание. Для кривой с1 Ь(Ы) в соответствии с принятой в дифференциальной геометрии классификации X является точкой прекращения [7]. Теорема 1 позволяет указать в ней одностороннюю касательную П*, т. е. предельное положение касательных в точках последовательности {х^}^, сходящейся к X. Подставив точки проекций у^ е Ом(х^) в формулу (7), получим

П* = {р е М2 : р = X + А(Х - уо), Л е (-то, +то)}, (22)

где у0 - псевдовершина, порождающая точку X.

Замечание 3. Касательная П, определенная по формуле (7), связана с супердифференциалом О+и^*) функции расстояния до множества в точке X* е Ь(Ы). Прямая П параллельна срединному перпендикуляру к отрезку

X* - у 1 X* - у2

р(х*,ИУ p(x*,M)\ '

совпадающему с D+u(x*). В случае, если х* £ [yi, y2], направление касательной, сона-правленное вектору

* У1 + У2 х —

2 '

есть направление наибольшего роста функции u(x) в точке х* G L(M). Построение биссектрисы и функции u(x,y).

Пример 1. Рассмотрим задачу управления для системы (1), в которой в качестве целевого множества взят подграфик hyp f функции

f (x) = exp(x — 2) + exp(— x + 3)+ x/8.

На базе конструкций, предложенных в [10-15], можно построить волновые фронты -линии уровня функции оптимального результата. Ключевым элементом для их вычисления является биссектриса множества L(M). В данном случае она состоит из объединения трех одномерных многообразий (гладких ветвей Li, L2 и L3) и одного нульмерного - точки бифуркации хо, в которой они склеиваются. Координаты точки бифуркации хо « (—0.68, 3.78). Две ветви биссектрисы Li и L2 содержат в своем замыкании крайние точки биссектрисы, порожденные двумя псевдовершинами множества M: y1 « (—2.61, 0.36) и y2 « (1.58, 0.87). Третья ветвь L3 не ограничена и появляется в результате слияния первых двух.

Все точки биссектрисы, за исключением хо, имеют ровно две проекции на M. Соответственно в них к кривой L(M) определены касательные, задаваемые уравнением

(21). Также односторонние касательные к биссектрисе определены согласно формуле

(22) в крайних точках биссектрисы.

Кривая Г, линии уровня Ф функции оптимального результата и(х) = р(х, M) c шагом hp = 0.4, рассеивающая линия L и точка бифуркации биссектрисы хо показаны на рис. 2.

Функция u(x,y) в виде аппроксимации на прямоугольной сетке с размером клетки 0.2 х 0.2 представлена на рис. 3. На нем видно, что область недифференцируемости функции u(x,y) совпадает с биссектрисой L(M). При этом характер негладкости

обусловлен формой супердифференциала Б+и(х, у) функции оптимального результата на множестве Ь(Ы) в соответствии с (6). В точках ее гладкости он есть отрезок, а в точке хо это треугольник, вписанный в окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рис. 2. Распространение волновых фронтов и биссектриса в примере 1

Рис. 3. График функции u(x) = p(x, M) в примере 1

Пример 2. Рассмотрим задачу управления для системы (1), в которой в качестве целевого множества взят подграфик hyp f функции

x G (—те, 0], x G (0, +те).

Биссектриса L(M) состоит из двух гладких ветвей Li (в левом верхнем квадранте) и L2 (в правом верхнем квадранте плоскости xOy). Им соответствуют две псевдовершины yi « ( — 1.39, 0.14) и y2 = (0,1). Проекции точек Li лежат на участках гладкости кривой Г, как и в примере 1. В то же время ветвь L2 имеет другое строение: у всех ее точек есть общая проекция - псевдовершина У2. При этом y2 есть точка излома для кривой Г.

Кривая Г, линии уровня Ф функции оптимального результата u(x) = p(x, M) c шагом hp = 0.4 и рассеивающая линия L приведены на рис. 4.

Функция u(x,y) в виде аппроксимации на прямоугольной сетке с размером клетки 0.1 х 0.1 представлена на рис. 5.

Как видно из рассмотренных примеров, график gru функции u(x,y) = р((x,y),M) есть линейчатая поверхность. Она образована лучами, идущими под углом п/4 к плоскости xOy. Два и более таких луча стыкуются в точках (x,y,z) G gru, в которых (x,y) G L(M), z = p((x,y),M).

Литература

1. Красовский Н. Н. Игровые задачи динамики. I // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1969. № 5. С. 3-12.

2. Красовский Н.Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных технологий, 2003. 336 с.

4. Айзекс Р. Дифференциальные игры / пер. с англ. В. И. Аркина, Э. Н. Симаковой; под ред. М.И. Зеликина. М.: Мир, 1967. 479 с. (Isaacs Rufus. Differential Games).

5. Слюсарев Г. Г. Геометрическая оптика. М.: Изд-во АН СССР, 1946. 332 с.

6. Кружков С. Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала // Матем. сб. 1974. Т. 98, вып. 3. С. 450-493.

7. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Едиториал, УРСС, 2003. 432 с.

8. Лейхтвейс К. Выпуклые множества / пер. с нем. В. А. Залгаллера, Т. В. Хачатуровой; под ред.

B. А. Залгаллера. М.: Наука, 1985. 335 с. (Leichtweiss K. von. Konvexe Nengene).

9. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей / пер. с англ. И. Г. Щербак; под ред. В. И. Арнольда. М.: Мир, 1988. 262 с. (Bruce J. W., Gib-lin P. J. Curves and singularities).

10. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Геометрия и асимптотика волновых фронтов // Изв. высших учеб. заведений. Математика. 2008. № 3 (550). С. 27-37.

11. Успенский А. А., Лебедев П. Д. О множестве предельных значений локальных диффеоморфизмов при эволюции волновых фронтов // Труды Ин-та математики и механики. 2010. Т. 16, № 1.

C. 171-186.

12. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Алгоритмы построения сингулярных множеств для одного класса задач быстродействия // Вестн. Удмурд. ун-та. Сер. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 2010. Вып. 3. С. 30-41.

13. Лебедев П. Д., Успенский А. А., Ушаков В.Н. Построение минимаксного решения уравнений типа эйконала// Труды Ин-та математики и механики. 2008. Т. 14, № 2. С. 182-191.

14. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Построение функции оптимального результата в задаче быстродействия на основе множества симметрии // Автоматика и телемеханика. 2009. № 7. С. 50-57.

15. Лебедев П. Д., Успенский А. А. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия // Прикл. математика и информатика: труды факультета ВМК Моск. ун-та. 2007. № 27. С. 65-79.

16. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.

17. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 с.

18. Sedykh V.D. On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in Rk// Advanced Studies in Pure Mathematics Singularity Theory and Its Applications. 2006. Vol. 43. P. 401-419.

19. Sedykh V. D. Some invariants of convex manifolds // Workshop, on Real and Complex Singularities (Sao Carlos 1992). Mat. Contemp. 1993. Vol. 5. P. 187-198.

20. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996. 334 с.

21. Арнольд В. И. Инварианты и перестройки фронтов на плоскости // Труды Матем. ин-та имени В. А. Стеклова. 1995. № 209. С. 14-64.

22. Местецкий Л. М. Непрерывная морфология бинарных изображений: фигуры, скелеты, циркуляры. М.: Физматлит, 2009. 288 с.

23. Ушаков В.Н., Успенский А. А., Малев А. Г. Оценка дефекта стабильности множества позиционного поглощения, подвергнутого дискриминантным преобразованиям // Труды Ин-та математики и механики Урал. отд. РАН. 2011. Т. 17, № 2. С. 209-224.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.