CC BY
36
РАЗДЕЛ III
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
УДК 515.2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫХ СЕТЕЙ
В. Я. Волков, К. А. Куспеков
Аннотация. В статье рассматривается методика построения оптимальной конфигурации кратчайшего дерева для пяти точек плоскости с ортогональной метрикой. К каждой точке приложен вес - коэффициент, учитывающий экономические показатели инженерной сети.
Ключевые слова: кратчайшее дерево, кратчайшие линии, вес точки.
Введение
Проектирования инженерных сетей машиностроительного производства является сложной и многовариантной задачей, т.к. одновременно разрабатывают и решаются экономические, технические и организационные задачи, обуславливающие технико-экономический эффект выполняемого проекта. В заводах [1] инженерную сеть (ИС) могут составит конвейерные линии, при расстановке которых возникают следующее проблемы: разработка оптимальных конфигурации транспортно-технологической схемы производственного процесса; оптимальное расстояние станков ;расстановка транспортных установок; предусмотреть кратчайшие пути движения каждой детали в процессе обработки согласно технологической схеме; оптимальный подвод других видов ИС, таких как линии электропередач, трубопроводов газа, пара, сжатого воздуха, воды и другие задачи, отвечающие наперед заданным условиям.
При решении этой задачи предполагается расположение инженерных сетей параллельно осям прямоугольной системы координат пространства.
Постановка задачи. Оптимизация заключается в том, чтобы для некоторого заданного количества фиксированных пунктов определить количество и наилучшее расположение дополнительных пунктов и определить кратчайший путь, соединяющий эти вершины, с учетом веса в этих вершинах. В процессе проектирования пункты геометрический моделируются точками, транспортные средства, соединяющие эти пункты - линиями.
В такой постановке решение проблемы сводится к решению геометрической задачи Штейнера в пространствах с ортогональной метрикой [2] - построение кратчайших связывающих линий для заданного множества точек с введением дополнительных точек, оптимизирующих ее решение.
Геометрическое моделирование топологии инженерных сетей
Установим необходимые условия существования и построения кратчайшего связывающего дерева для компланарного множества точек с ортогональной метрикой [1]:
1. Кратчайшее связывающее дерево состоит из совокупности прямолинейных отрезков, соединяющих между собой некоторые из точек М^ М2, . . . ,Мт, N Ы2, — Ып.
2. Пусть в является кратчайшим связывающим деревом для множества из т исходных вершин. Если в содержит к(<т) вершин и является связным подграфом графа в, то в является кратчайшим деревом для этих к точек.
3. Если для заданного множества точек т,которые должны быть соединены между собой кратчайшей линией, построено КД, то каждая его узловая вершина соединена в нем по крайней мере с тремя другими точками. Допустим, что узловая вершина 0 соединена только с двумя исходными точками. Удалим эту вершину 0 и обе соединенные с ней дуги графа. Соединим исходные две точки, соединенные с узловой точкой 0 непосредственно. Тогда полученный граф по прежнему является кратчайшим деревом, так как расстояние между двумя вершинами не превосходит суммы расстояний от них до третьей вершины.
4. Если точка Мi является вершиной кратчайшего дерева, то в ней сходятся не более четырех отрезков прямых (дуг дерева). Действительно, через любую вершину Mi кратчайшего дерева можно провести только две взаимно-перпендикулярных прямых, параллельных соответствующим координатным осям. Отрезки, которые сходятся в точке Mi, могут располагаться только на этих прямых. Поэтому в точке Mi сходятся не более четырех ребер КД (рис. 1.).
Рис. 1. Кратчайшее соединение для 4-х точек с точкой схода
5. Пусть дано кратчайшее дерево, соединяющее точки M1, М2,.... Мm плоскости. Пусть 0 узловая точка, соединенная только с тремя вершинами М1,М2, М3. Тогда, во-первых, точка 0 находится внутри прямоугольника, определяемого точками M1, М2, М3, и, во-вторых, эта узловая точка 0 - единственная.
6. Для трех точек M1(x1,y1), М2(х2,у2) и M3(х3,у3), которые должны быть соединены между собой кратчайшей линией, координаты х0 и у0 узловой точки 0, минимизирующей выражение
Ё * (0, м)
1=1
определяются из условия: х0=х1, если x2<х1<х3 или х3<х1<х2; у0=у2, если у1<у2<у3 или У3<У2<У1 (рис. 2.).
Рис. 2. Кратчайшее соединение для 3-х точек с узловой точкой
Таким образом, абсцисса узловой точки равна абсциссе точки, соединенной с ней и занимающей среднее положение в горизонтальном направлении, а ордината - ординате точки, соединенной с ней и занимающей среднее положение в вертикальном направлении. Длина КД для трех точек M1M2 и М3 определяется из выражения: 3 1 Ё *(0, М{) =1Р , !=1 2 где d(0,Mi), 1=1,2,3 - ортогональное расстояние между точками 0 и М^ р - длина периметра прямоугольника, построенного для точек М1,М2,М3 (как на рис. 2.).
В [3] рассмотрена построения кратчайще-го дерева с весами на плоскости с евклидовой метрикой. Рассмотрим построения кратчайшей связывающей линии для пяти точек плоскости с разными весовыми коэфицента-
ми на плоскости с ортогональной метрикой. Пусть на плоскости заданы точки М1,М2,М3,М4 и М5 с весами ъ1, д2, qъ, д4 и д5.
1 этап построения. Принимаем = Ъ2 = У3 = У4 = Ъ5. Строим топологию
кратчайшего дерева (КД). Из заданного множества точек выбираем пару точек, имеющих кратчайшее расстояние (рис. 3.). Такой парой являются точки M1 и М2, которые могут быть соединены между собой кратчайшей линией M1N1M2 или M1N2M2. На второй ступени должны быть соединены точки М3 и М4 ломаной линией M3N3M4 или M3N4 и М4. На третьей ступени сравниваются расстояния между фрагментами М3=М4, M1=M2 и точкой М5
Рис. 3. Первый этап построения КД для пяти точек
Ближайшим соседом фрагмента М3=М4 оказалась точка М5, которая находится в магистральной зоне. Поэтому она соединяется с ближайшей вершиной Ы3 через точку N 5 или Ы6. После этого точка Ы3 становится узловой точкой От и изменяется зона подвижности (она заштрихована накрест). На четвертой ступени объединяются два фрагмента в одно кратчайшее дерево: (рис. 4.).
Рис. 4. Кратчайшее дерево для пяти точек
Возможны другие варианты соединения заданных точек с одинаковыми весами. Существует несколько кратчайших деревьев одной и той же длины, определяемых наличием зоны подвижности. Это обстоятельство позволяет учитывать при выборе КД, наряду с протяженностью связывающих линий, и другие условия. Вес минимального дерева будет равен сумме:
+Яв/ М5Ы3/.
2-этап построения структурной схемы кратчайшего дерева при различных весах в заданных точках.
Случай 1.
Пусть > Я2>Яз, Я5> Яз>Я4 и Я1 > Яв. (1)
Исходя из принципа наименьшего удлинения с учетом веса (1) строим следующую конфигурацию:
Шаг 1. Вычисляем расстояния между заданными пунктами и узловыми точками ортогональной сети по формуле С(МЬ М2)=|хг Х21+1У1-У21;
Шаг 2. Выбираем две точки имеющие крат-чайщее расстояние с учетом веса. Из равенства (1) строим структурную схему соединения а) и б), которые имеют равные длины:
/ М2
а) М1 - Ы2 М3
\ Оз ^
б) М1 - Ы2
М2
N7
,Мз
Шаг 3. Сравниваем расстояние между структурными схемами кратчайшего дерева а,б и точками М4 и М5. Здесь с учетом неравенства Я1 > Я5 и Я5> Я3>Я4 возможны несколько вариантов соединения. Принимаем следующую структурную схему соединения:
. О,-М4 б)
М5 - N5 Х ,
\О! - М3
г)
д)
М5 - N
М5- N5
М4
/О1-М3
/М4
^N3
Шаг 4. Объединяем структурные схемы а и д в одно дерева:
М1 - N2
М2
О3
М3
N5
^4
^5.
Заключение
Применение такого метода поиска кратчайшей сети на плоскости с ортогональной метрикой позволяет выбрать оптимальную конфигурацию с учетом веса в заданных пунктах отвечающим наперед заданным требованиям.
Библиографический список
1. Волков В. Я. Построение топологии кратчайшего дерева минимального веса для пяти точек плоскости с евклидовой метрикой / В. Я Волков, К. А. Куспеков // Омский научный вестник. - Омск, 2012. -№ 1 (107). - С. 11-13.
2.Есмухан Ж. М., Куспеков К. А. Прикладная геометрия инженерных сетей. / Есмухан Ж. М., Куспеков К. А //Монография. - Алматы.: Гылым, 2012г.-132с.
3. Куспеков К. А. Алгоритм построения оптимальной конфигурации транспортной сети заводов / К. А. Куспеков // Доклады Национальной Академии Наук Республики Казахстан. - 2010. - № 3. - С. 97-99.
GEOMETRICAL METHODS OF OPTIMIZATION OF ENGINEERING NETWORKS
V. Y. Volkov, K. A. Kuspekov
In article the technique of construction of an optimum configuration of the shortest tree for five points of a plane with the ortogonal metrics is considered. The weight is enclosed to each point -the factor considering indicators of an engineering network.
Keywords: the shortest tree, the shortest lines, point weight.
Bibliographic list
1. Volkov V. J. Building topology shortest tree of minimum weight for the five points of the plane with the Euclidean metric / Q. I Volkov, KA Kuspekov / / Omsk Scientific Bulletin. - Omsk, 2012. - № 1 (107). -Pp. 11-13.
2.Esmuhan J. M., K. A. Kuspekov Applied Geometry utilities. / Esmuhan J. M. , Kuspekov K. A. / / Monograph. - Almaty.: Gylym, 2012g.-132c.
3. Kuspekov K. A. Algorithm for constructing an optimal configuration of the transport network of factories / K. A. Kuspekov / / Proceedings of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. - 2010. - № 3. - Pp. 97-99.
Волков Владимир Яковлевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» Сибирская государственная автомобильно-дорожная, e-mail: [email protected].
Куспеков Кайырбек Амиргазыулы - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Начертательная геометрия и инженерная гра-фика»Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева, г.Алматы. е-mail: kuspeko v_k@mail. ru
УДК 621.879
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ "ЭКСКАВАТОР - ОПЕРАТОР"
П. А. Корчагин
Аннотация. В статье описывается математическая модель динамической системы "экскаватор - оператор". Представлена расчетная схема одноковшового экскаватора на базе промышленного трактора. Дана методика формирования уравнений геометрических связей и описана методика формирования уравнений динамики для системы "экскаватор - оператор".
Ключевые слова: математическая модель, экскаватор.
Введение
В городском и коммунальном хозяйстве для выполнения небольших объемов земляных работ широко используются экскаваторы на базе промышленного трактора. Доля транспортного режима в сменном цикле работы такого экскаватора довольно высока. Эффективность работы экскаватора напрямую связана с уменьшением времени перебазирования с одного объекта на другой, что в свою очередь влечет стремление оператора к увеличению транспортной скорости. Увеличение транспортной скорости напрямую
влечет за собой повышение динамических нагрузок со стороны дороги. Серийно выпускаемые машины, как правило, обеспечивают безопасные условия труда оператора, предусмотренные санитарными нормами. Однако следует стремиться к более качественным показателям виброзащищенности рабочего места оператора, таким, например, как «комфорт». Для получения научно обоснованных рекомендаций по выбору параметров системы виброзащиты оператора экскаватора от динамических воздействий, возникающих в рабочем и транспортных режимах, на стадии
