CC BY
348
Пазы обоймы, направляющие для шариков, выполнены радиальными, поэтому считаем, что центры шариков движутся по оси пазов. Обозначив У расстояние от центра шарика Ош до центра зубчатого венца жесткого колеса Ов, рис. 2, получаем выражение
Y = aa cos (p + -\JR2 - a2 sin2 p,
(1)
VR = -
cia sinp
x - al sin2 P
V1
\¡R
'X- c2sin2p
Параметрические уравнения профиля зуба X = Y sin P + 0,5DIIT sin | a + P I;
Yn = Y cosP + 0,5Dm cos \a + P I.
X n = tg -Yn.
u
(4)
меньше угла трения. Угол ф0, соответствующий началу зацепления, находится из соотношения (1)
' л '
p0 = arcsin
0fT+72
где ф - текущий угол поворота входного звена.
Соотношение (1) определяет положение центра шарика. Для получения уравнений профиля зубьев жесткого колеса перейдём в систему координат, жестко связанную с вращающимся венцом. Венец вращается в и раз медленнее генератора, где и - число зубьев венца и передаточное число передачи (если 2 - число шариков, то и=2+1), и переход осуществляется поворотом системы координат на угол ф/и. В новой системе координат центр шарика Ош опишет центровой профиль. Профиль зуба опишет точка К на шарике. Отрезок ОшК перпендикулярен касательной к профилю зуба, и угол а является углом передачи движения профилю. Чтобы его определить, учтём, что скорость движения центра шарика V относительно венца имеет две составляющие: радиальную Vе, определить которую можно, продифференцировав (1) по ф с учётом того, что её производная по времени есть постоянная угловая скорость а вращения входного звена
где / - приведённый коэффициент трения.
Значение аа в [4] рекомендуется принимать равным 0,25^ш, что принимается и для данных передач. Для зубчатого венца жесткого колеса диаметр выступов ¿в (рис. 1) определится из уравнений (2) и (3), при ф=ф1. Диаметр окружности впадин находим из простого соотношения
А = Аг + 2(аш + Аш).
Диаметры обоймы (Д - наружный и й0- внутренний), выбираются из условия обеспечения контакта генератора с шариками в начале и в конце зацепления, соответственно:
Do > 2^1 Y2(po) + 0,25D0; do < 2,¡Y2(p) + 0,25D0.
При этом должны быть выполнены условия, чтобы наружный диаметр обоймы был меньше диаметра выступов зубчатого венца жесткого колеса, а наружный диаметр эксцентрика не касался внутреннего диаметра обоймы, т. е.
D < dB
d0 > D„ + 2c„
и тангенциальная составляющая VT, возникающая из-за вращения венца жесткого колеса и равная Ya/и. Поскольку скорость шарика направлена по касательной к профилю, то a определится следующим выражением
VR ua sinp
tga = — = - a r
(2)
(3)
Важным кинематическим параметром передачи является коэффициент перекрытия, длина рабочего участка линии зацепления. Зацепление шарика с профилем кончается в точке пересечения его с соседним профилем. Координаты точки пересечения двух соседних профилей определяются из трансцендентного уравнения
Полученные выше соотношения относятся к идеальной ВППТК. Далее рассмотрим изменения в работе передачи, обусловленные отклонениями параметров от идеально точных. При реальном проектировании механизма необходимо точно знать круг параметров, значения которых могут отклоняться от заданных, диапазоны этих отклонений, возможность управлять ими, а также определить чувствительность выходной функции к отклонениям, входящих в неё параметров.
В линейной постановке задача определения чувствительности обобщенной выходной функции У(Х1,...,Хп) решается с помощью известной [5] зависимости
Y (X, + ДХ,,..., Хп +АХМ) =
= Y (Xj,..., XN) + Х
dY (X»..., Xn)
AX.. •
где Х1,...,Х„ - значения параметров; ДХ1,..., ДХ„ - отклонения параметров.
Выходной функцией передачи является функция У, определяемая из (1). Чувствительность У к отклонениям аа и Ее определим как частные производные по этим параметрам
Угол ф1 соответствует концу линии зацепления и определяется из уравнения (4). Начало зацепления определяется из известного условия - движение не передается, если угол передачи движения
dY
da.
- = cosp-
aa sin P
al sin2 P
dY
dRX
Rx
VR
2 2-2 - aasin P
(5)
(6)
1=1
^ dY кп dY, dY А дYK
Y +-ЛЯЕ +— l +-Aаа< Y +—Ар, (11)
дЯъ д1 даа др
dY
где
аа sin PY
др
a2 sin2 р
а остальные члены
определены в (5)-(7).
шипника или вал генератора касается опоры (рис. 5, штриховые линии). Тогда в контакте будут всего два шарика и выражение (10) составят два уравнения, а I необходимо приравнять к величине зазора. Генератор уравновешивают реакции от двух шариков Л/, Щ и реакция Щ в точке касания генератора опоры. В этом случае (7) следует преобразовать к виду
дТ. д1
R,
Д
а>т2 р
^cos
в + arctg
sin Р
№
a2sin2 р
Рис. 5. Самоустановка генератора в ВППТК. Сплошная линия - на три шарика; штриховая на два шарика и опору генератора
Смысл (10) и (11) состоит в следующем. Их левая часть определяет положение центра шарика, которое задаётся генератором, а правая часть - зубчатым венцом жесткого колеса. При этом (10) выражает требование контакта в трёх произвольных зацеплениях, а (11) - требование зазора во всех остальных. Учитываются обе стороны профиля: «силовая», по которой шарик обкатывается, двигаясь вверх по пазу обоймы, и «кинематическая», по которой он обкатывается, двигаясь вниз по пазу. Для шариков, находящихся в контакте, должно выполняться условие, чтобы их реакции Л1, Л2, Л3 уравновешивали генератор (рис. 5). Отсюда следует, что хотя бы один шарик будет в контакте с «кинематической» стороной профиля зуба.
Отклонение угла поворота выходного звена Ар будет решением (10) и (11). Возможна ситуация, когда решение (10) будет таким, что значение I превысит величину зазора в подшипнике или посадке. Это означает, что коническое кольцо генератора касается под-
Значение угла в определяет положение точки касания, в которой будет приложена реакция опоры.
Заключение
Рассмотрен алгоритм расчёта геометрических и конструктивных соотношений в волновых передачах с промежуточными телами качения, включая передачи с адаптивным, самоустанавливающимся генератором. Для расчёта последних передач была использована линейная методика учёта погрешностей, хотя в процессе анализа выявлены погрешности, имеющие порядок малости выше первого.
Полученный алгоритм расчёта волновых передач с промежуточными телами качения с адаптивным генератором существенно отличается от алгоритма расчёта передач с жестко фиксированным генератором. Адаптивная схема предполагает ряд новых варьируемых параметров для компенсации погрешностей изготовления деталей и монтажа при сборке. При этом не все возможные погрешности были учтены, например, предполагается, что профиль жесткого колеса выполнен без погрешности.
Значительно изменяется распределение усилий в волновых передачах с промежуточными телами качения с адаптивным генератором. Как показал анализ, самоустановка генератора приводит к частичной или даже полной разгрузке его опор. Поскольку, под нагрузкой оказывается «кинематическая» часть профиля, то создаётся дополнительный тормозящий момент. Отклонение угла поворота выходного звена от номинального - кинематическая погрешность передачи определяется по приведённой методике.
Полученные результаты позволят продолжить работы по разработке методик расчёта нагрузок и относительных скоростей шарика в точках контакта его с генератором, обоймой и зубьями жесткого колеса, что должно обеспечить качественную разработку редукторов на стадии расчётов, включая и оценку долговечности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А.с. 212950 СССР. МКИ3 F16H 1/00. Волновая передача / В.С. Янгулов. Заявлено 19.03.1984; Зарегистр. 27.12.1984.
2. А.с. 315418 СССР. МКИ5 F16H 1/00. Волновая передача / В.С. Янгулов и др. Заявлено 20.01.1988; Зарегистр. 3.07.1990.
3. А.с. 317718 СССР. МКИ5 F16H 1/00. Волновая передача / В.С. Янгулов и др. Заявлено 20.01.1988; Зарегистр. 3.09.1990.
4. Беляев А.Е. Механические передачи с промежуточными телами повышенной точности и долговечности. - Томск: ТПИ, 1986. - 60 с.
5. Бахвалов Н.С. Численные методы. Ч. 1. - М.: Наука, 1975. - 631 с.
6. Янгулов В.С. Прецизионный редуктор повышенной долговечности // Известия Томского политехнического университета. - 2007. - Т. 311. - № 2. - С. 18-23.
Поступила 26.12.2006 г.
