CC BY
32
УДК 537.8
ГЕНЕРАЦИЯ ВЫСШИХ ГАРМОНИК В СВЕРХРЕШЕТКЕ НА ОСНОВЕ ГРАФЕНА В ПРИСУТСТВИИ ПОСТОЯННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
С. Ю. Глазов1, Н. Е. Мещерякова2
волгоградский государственный социально-педагогический университет,
Волгоград, Россия 2Волгоградский Институт Бизнеса, Волгоград, Россия
1 [email protected].,[email protected]
Рассмотрена генерация высших гармоник плотности тока сверхрешеткой на основе графена на полосчатой подложке под влиянием постоянного и переменного электрических полей, поляризованных вдоль оси сверхрешетки. Электронная система описана с помощью кинетического уравнения Больцмана в приближении постоянного времени релаксации. Исследована зависимость амплитуды высших гармоник от характеристик приложенных полей. Показана возможность усиления и подавления гармоник плотности тока.
Ключевые слова: сверхрешетка, графен.
1. Введение
В последнее время активно изучаются сверхрешетки (СР) на основе графена [1] -[9], которые могут быть сформированы путем создания в образце дополнительного периодического потенциала. Например, в работе [8] предложена модель СР на основе графе-на, образующаяся за счет периодической модуляции запрещенной зоны. Такая модуляция возможна в графене, осажденном на подложку из периодически чередующихся полосок, например, ЯЮ2 и БгС. Материал ЯЮ2 не влияет на зонную структуру графена, в то время как способствует возникновению запрещенной зоны в спектре графена, т.е. образованию щелевой модификации графена. Слои 8%С расположены таким образом, что его гексагональная кристаллическая решетка располагается под гексагональной решеткой графена. При этом в областях графенового слоя над слоями БгС образуется энергетическая щель в зонной структуре графена, равная 0,26 эВ.
Возможность проявления ряда нелинейных физических эффектов в графене и структурах на его основе связана с непараболичностью и неаддитивностью его энергетического спектра. Например, нелинейный электромагнитный отклик в графене изучен в [10]. Генерация второй гармоники в графене исследована экспериментально [11], [12] и теоретически [13]. В [14],[15] рассмотрена генерация высших гармоник углеродными нанотрубками полупроводникового типа. Генерация второй гармоники в полупроводниковых СР при совместном влиянии постоянного и переменного электрических полей изучена в [16].
Внимание к подобным нелинейным электромагнитным процессам вызвано возможностью их использования при исследовании физических свойств наноструктур, для управления характеристиками электромагнитного излучения, что находит свое применение в оптике и наноэлектронике.
В этой связи представляется актуальным исследовать генерацию высших гармоник сверхрешеткой на основе графена, взаимодействующей с переменным электрическим полем в присутствии постоянного электрического поля. Предполагается, что электрические поля поляризованы вдоль оси графеновой СР.
2. Основные уравнения
Рассмотрим отклик СР на основе графена, образующейся за счет периодической модуляции запрещенной зоны [8], на действие постоянного и переменного электрических полей, приложенных вдоль оси СР. Геометрия задачи приведена на рис. 1.
Рис. 1. Геометрия задачи
Закон дисперсии носителей заряда в СР на основе графена на полосчатой подложке в одноминизонном приближении хорошо описывается следующим выражением [9]:
s(p) = А (V + у/fi + /| 0pyd/h)2 + /|(1- cos (pxd/h))^ , (1)
где А — полуширина запрещённой зоны щелевой модификации графена, рх, ру — компоненты квазиимпульса электрона, d = d1 + d2 — период СР, d1 и d2 — ширины полосок бесщелевого и щелевого графена, а коэффициенты fi подбираются численно на основе непосредственного решения дисперсионного соотношения из [8]. Спектр (1) периодичен по рх и сохраняет неаддитивность, присущую спектру графена.
Плотность тока jx, текущего вдоль оси СР определяется по формуле
^ = I vАр) f(p)(i2& (2)
(2жп) J
где е — заряд электрона, f (р)- неравновесная функция распределения носителей, vx — скорость движения электронов вдоль оси СР. Для нахождения функции распределения носителей рассмотрим классическое уравнение Больцмана в приближении постоянного времени релаксации
® + = (3)
где Е = (Е1 + Е0 cos ut, 0) — суммарная напряженность электрического поля, Е1 — модуль напряженности постоянного электрического поля, Е0 и ш — амплитуда и частота переменного электрического поля, v — обратное время релаксации, определяемое всеми процессами, /о (р) — фермиевская равновесная функция распределения
ш = с [l + eW(s(p)/kbTГ1, (4)
где кь — постоянная Больцмана, Т — температура, С — нормировочная константа.
Разложим скорость носителей ух(р) в ряд Фурье. Решая (3) методом характеристик, подставляя результат и ух(р) в (2), после преобразований, получим выражение для плотности тока
Jx — J0
¡0^2 Bt sin ipnJn (l^f) cos (
I n=—x> \ / \
eE0d
I—- Sin Ojt — nujt — tp>,
nw
(5)
где ]0 = епАсЬ^/жН, п — концентрация электронов в зоне проводимости, ,1п(х) — функция Бесселя 1-го рода п-го порядка
Bi = -
1
А
sin(z) sin(lz)dz
Vfi + ftV2 + П (1 - cos(z))
X
X
cos(lx)dxdy
I 1 + exp (s {/l + V/l + ZsV + tf [!-«*(*)]})
A
' — ж J —<x
1 + expOH/x + ^/I + /3V + /|[1 - cos(x)]})
— i
dxdy,
S = A/kbT, П = еЕ^/П, sin tpn = 1Д/1 + (IQ/u + nw)2,
COS (fin = {IQ/v + nw)/л/ 1 + (Ш/и + nw)2, W = Ujjv. Разложим функцию плотности тока (5) в ряд Фурье:
где
j (t) — а0 + (ак cos kwt + bk sin кш t) ,
k=1
ao
l n=—<x 4 '
sin tpn cos tpn,
(6)
(7)
a>k = jo^jBii^J0 Jk (sin № cos </?fc + (-l)fcsin(/?_fccos(/?_fc) +
ny -Jo ' eE0 dl
v-^ feEodl\ Г feEodl\ , 2 fc_2ra . 2 \ feEo
+JL J ) (sm " (-1) sm v-whJk+m {-j—)
x
X (sin2 pk+2n - (-1)^'" sin" V—(k+2n)
\k+2n ■ 2
J Г
)jJ hw J hw J
X
X (sin(/?fc+2rl-iCOS(/?fc+2„-l - (-l)^2™'1 sm^-^zn^ COS 1)) - Jk-2n+l
X
X (sin pk—2n+1 cos pk—2n+1 - (-1)k 2n+1 sin ^—(k—2n+1) COs ^—(k—2n+1
(8)
ж oo
ж
Ж f oo
х
X
<4-2™. ( eE°dl ) fsill (/?fc_2ra COS (/?fc_2„ + (~l)fc 2ílSÍn(/?_(fc_2íl) COS(/?_(fc_2„))-J,
hw
>
X
X (sin ^fc+2„ cos ^k+2n + ( — 1)k+2n sin ^-(k+2n) COS ^_(k+2n)) eE0dl
-(k + ^2n-1
Jk-
k+2n
eE0dl hw
eE0 dl
(eE0dl\ \ hw J
X
X
2n+1
X
X (sin2 Pk+2n-1 + (-1)fc+2ra 1 sin2 p-(k+2n-1
(9)
Непосредственно из анализа формул (8) и (9) следует, что амплитуды четных гармоник тока \J n'l | 1>1, при /г 2.1.... в случае отсутствия постоянного поля !С\ / 0 равны нулю, поскольку При ЭТОМ sin Ifik = ¿W^2 + COS Ifik = кш/л/и2 + fc2u;2, и выполняются
равенства вида: sin cos ^ + sin cos = 0 и sin2 — sin2 tp_k = 0. При этом нечетные гармоники тока присутствуют. Аналогичный вывод о генерации нечетных гармоник в углеродных нанотрубках под воздействием переменного электрического поля приведен в работе [15].
Дальнейший анализ формул (8), (9) в силу их сложности производился численно.
3. Основные результаты численного анализа
При условии равенства ширин полос щелевой и бесщелевой модификаций графена (й1 = а также в отсутствие сдвига между серединой запрещённой зоны щелевой моди-
фикации и дираковской точкой бесщелевой модификации были подобраны коэффициенты
для закона дисперсии (1): ¡х = -0.007479, ¡2 = 0.428302, Д = 0.251077, Д = 0.327737.
Относительная ошибка в расчете спектра (1) составляет не более 1%. Одноминизонным
приближением можно пользоваться при выполнении условия 4hvf ^ Ad, где Vf & 108 см/с- скорость Ферми в графене. Оно накладывает ограничения на температуру Т, частоту переменного и напряженность постоянного электрического поля: кьТ — ед, Ни — £д, еЕ— £д. Ширина запрещенной зоны между первой и второй минизонами ед & 0.6Д.
Энергетическая щель между самой нижней минизоной для электронов и самой верхней ми-низоной для дырок равна £д0 & 0.9Д. С учетом этого были выбраны следующие параметры:
Т ~ 70°К, п ~ 1010 см"2, V ~ 1011 с"1, й ~ 10"6 см, 2Д & 0.26еУ(БгС), ]0 & 40 мА/см. Численный анализ показал, что коэффициенты В1 быстро убывают с ростом номера I.
На рис. 2 представлены графики зависимости амплитуды первой гармоники тока л/а2 + Ъ\ от обезразмеренной величины амплитуды переменного поля с 1^,(1/}иу для разных значений постоянного поля Е]_. Из графиков видно, что амплитуда первой гармоники тока с ростом амплитуды переменного поля испытывает сложные убывающие осцилляции. Это дает возможность в широком интервале значений управлять амплитудой данной гармоники с помощью переменного электрического поля. Особенно перспективным в плане практического приложения представляется начальная область полей, поскольку именно здесь амплитуда осцилляций максимальна. С увеличением напряженности постоянного поля хорошо виден сдвиг главного максимума амплитуды в сторону больших значений амплитуды
РИС. 2. Зависимость первой гармоники плотности тока от амплитуды переменного электрического поля: а) еЕ^/Ни = 1, Ь) еЕ\¿/Ни = 5, с) еЕ\¿/Ни = 10; ш/и = 0.5
переменного электрического поля. Увеличение частоты приложенного поля ш также приводит к растяжению графика вдоль оси Х, и как следствие, смещению максимумов амплитуды гармоники в сторону больших амплитуд напряженности приложенного поля.
0 2 4 6 8
су/Г
РИС. 3. Зависимость первой гармоники плотности тока от частоты переменного электрического поля: еЕ\¿/Ни = 1; а) еЕ0¿/Ни = 1, Ь) еЕ0¿/Ни = 5, с) аеЕ0/Ни = 10
Амплитуда первой гармоники тока от величины обезразмеренной напряженности постоянного поля также испытывает сложные убывающие осцилляции. Несмотря на сложный, осциллирующий характер зависимостей можно отметить, что наложение на систему постоянного и переменного электрического поля приводит к ослаблению первой гармоники.
Зависимость амплитуды первой гармоники тока от частоты переменного электрического поля для разных значений амплитуды переменного поля еЕ0¿/Ни приведена на рис. 3.
Ь
] о
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
О 2 4 6 8 Ю 12 ы
Ну
Рис. 4. Зависимость амплитуды первой (а), второй (Ь), третьей (с) и четвертой (ф гармоник от постоянного электрического поля: еЕ0й/Ни = 5, ш/и = 2
Из графиков видно, что амплитуда первой гармоники тока с ростом частоты переменного поля испытывает сложные осцилляции.
Меняя характеристики приложенных полей Е1, Е0 и ш, можно добиться существенного подавления или усиления соответствующей гармоники. На рис. 4 хорошо видно усиление второй гармоники (кривая Ь) при подавлении остальных при еЕ1 ¿/Ни = 2.5 и небольшое преобладание четвертой гармоники (кривая ф при еЕ^/Ни > 8.
В отличие от полупроводниковых СР [16], в СР на основе графена описанные выше осцилляции гармоник плотности тока должны наблюдаться при значительно меньших электрических полях.
4. Заключение
В заключении сформулируем основные выводы из данной работы:
(1) Получено и численно проанализировано выражение для амплитуд высших гармоник плотности тока в СР на основе графена под воздействием постоянного и переменного электрических полей, поляризованных вдоль ее оси.
(2) Наложение на систему постоянного поля приводит к возникновению четных гармоник плотности тока, в то время как первая гармоника ослабляется.
(3) Зависимости амплитуд высших гармоник плотности тока от характеристик приложенных к системе полей имеет немонотонный, осциллирующий характер. Это дает возможность в широком интервале значений управлять амплитудой гармоники.
(4) При определенных соотношениях величин Е1, Е0, ш и и возможно усиление одних гармоник и подавление других.
Работа поддержана грантом РФФИ №10-02-97001-р_поволжье_а. Литература
[1] Чернозатонский Л.А., Сорокин П.Б., Белова Е.Э. и др. Сверхрешетки металл - полупроводник (полуметалл) на графитовом листе с вакансиями // Письма в ЖЭТФ. — 2006. — 84(3). — С. 141-145.
[2] Чернозатонский Л.А., Сорокин П.Б., Белова Е.Э. и др. Сверхрешетки, состоящие из "линий" адсорбированных пар атомов водорода на графене // Письма в ЖЭТФ. — 2007. — 85(1). — С. 84-89.
[3] Sevincli H., Topsakal M., Ciraci S. Superlattice structures of graphene-based nanoribbons // Phys. Rev. B. — 2008. — 78. — P. 245402-245409.
[4] Isacsson A., Jonsson L.M., Kinaret J.M. et al. Electronic superlattices in corrugated graphene // Phys. Rev. B. — 2008. — 77. — P. 035423-135428.
[5] Крючков С.В., Кухарь Е.И., Яковенко В.А. Взаимное выпрямление двух синусоидальных волн с ортогональными плоскостями поляризации в сверхрешетке на основе графена // Известия РАН. Серия физическая. — 2010. — 74(12). — C. 1749-1751.
[6] Barbier M., Vasilopoulos P., Peeters F.M. Single-layer and bilayer graphene superlattices: collimation, additional Dirac points and Dirac lines // Phil. Trans. R. Soc. A. — 2010. — 368. — P. 5499-5524.
[7] Bolmatov D., Chung-Yu Mou Graphene-based modulation-doped superlattice structures // ЖЭТФ. — 2011. — 139(1).— P. 119-125.
[8] Ратников П. В. Сверхрешетка на основе графена на полосчатой подложке // Письма в ЖЭТФ. — 2009. — 90(6). — C. 515-520.
[9] Завьялов Д.В., Конченков В.И., Крючков С.В. Выпрямление поперечного тока в сверхрешетке на основе графена // ФТП, — 2012. — 46(1). — С. 113-120.
[10] Mikhailov S.A. Non-linear electromagnetic response of graphene // Europhys. Lett. — 2007. — 79. — P. 27002-27008.
[11] Dean J.J., van Driel H.M. Second harmonic generation from graphene and graphitic films // Appl. Phys. Lett. — 2009. — 95. — P. 261910-261912.
[12] Dean J.J., van Driel H.M. Graphene and few-layer graphite probed by second-harmonic generation: Theory and experiment // Phys. Rev. B. — 2010. — 82. — P. 125411-125421.
[13] Glazov M.M. Second harmonic generation in graphene // Письма в ЖЭТФ, — 2011. — 93(7). — С. 403-413.
[14] Белоненко М.Б., Глазов С.Ю., Мещерякова Н.Е. Нелинейная проводимость однослойных углеродных нанотрубок типа "зигзаг" // Известия РАН. Серия физическая. — 2009. — 73(12). — С. 1709-1712.
[15] Белоненко М.Б., Глазов С.Ю., Мещерякова Н.Е. Влияние постоянного электрического поля на процесс генерации высших гармоник в углеродных нанотрубках полупроводникового типа // Оптика и спектроскопия. — 2010. — 108(5). — С. 818-823.
[16] Shmelev G.M., Valgutskova E.N., Epshtein E.M. On the second harmonic generation in superlattices // arXiv:cond-mat/0410246. — 2004.
