Генерация функции специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

е с индексом по имени итерируемой величины, к которой относится данная бесконечно малая величина, например, е№, еу и т. п.

Для сходящихся алгоритмов первого типа индицирующие итерируемые величины суть машинные нули, которые мы будем обозначать [0]м.

6) Классификация РИА. Они бывают двух типов.

Первый тип характеризуется тем, что для него -------— = 1. Для этих алго-

ритмов один из этапов (формирование д0, д1, ..., дп-1) осуществляется с помощью деления без восстановления остатка (квазиделения).

Условием сходимости таких алгоритмов является представимость частного

п

от деления двух чисел и какой-то константы и в виде ^qj-l • 2-■), где

]=1

qj-1 = signWj-1, W0 = w, = Wj-l - qj-1 • 2-j • и, ^П ® 0 .

w

< 1, так как сумма весов двоичного пред-

и

ставления (2-1+2-2+...+2-п) не может превышать 1. Таким образом, сходимость та-

Сходимость обеспечена, если

зния (2 1 +2 2+. +2 п ких алгоритмов: Wо < и .

Второй тип характеризуется тем, что ---— Ф1. Обычно это равно 2, так

3^-1

как умножение на 2 легко реализуется сдвигом вправо

qj-1 = signWj-1, W0 = w, Wj = 2Wj-1 - qj-1 • и, Wn • 2-п ® 0 .

Условие сходимости остаётся тем же самым.

В первом приближении эти два типа РИА соотносятся между собой так же, как алгоритмы Волдера и алгоритмы Меджита.

Эти формализмы совместно с рекуррентными формулами часто используемых преобразований позволяют составлять математические модели РИА (в виде алгебраических соотношений) для успешного анализа и синтеза РИА.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Оранский А. М. Аппаратные методы в цифровой вычислительной технике. -Минск: Изд-во БГУ, 1977. - 208с.

2. Анишин Н. С. и др. Математические модели разностно-итерационных алгоритмов // Новые информационные технологии: Сборник трудов 7-й Всероссийский научнотехнической конференции. М. 2004. С. 3-5.

С.С Фролов, В.Д. Шевеленко

ГЕНЕРАЦИЯ ФУНКЦИИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

В статье приведены результаты работы над повышением точности аппроксимации функции специального вида

)

Ок-(х)=—. (1)

Графики функции (1) приведены на рис. 1.

-7.85 -6.28 -471 -3.14 -1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85

а б

Рис.1. Графики функции а - при М’=2М+1 (ядра Дирихле); б - при М’=2М

Интерес к функции вызван равномерностью её гармонического спектра [1]

(N-1)/

Бм-(х) =

1 + 2 ^ сов(п • х), при N = 2N +1,

п=1

N

2

I п=1

N/2

¿сов^11) приN' = 2К

(2)

Электрический сигнал с подобными свойствами может быть применён для решения многих задач [2], таких как:

- автоматический анализ и идентификация частотных характеристик линейных объектов в области низших частот;

- восстановление и фильтрация дискретизированных сигналов.

Точность аппроксимации функции при схемотехнической реализации влияет на степень искажения спектра - равномерность амплитудного спектра в рабочей полосе и уровень паразитных гармоник. В настоящей работе предлагается улучшенный, по сравнению с методом, описанным в работе [2], способ аппроксимации. Суть нового метода в следующем: главный лепесток и несколько (к) первых пар полуволн

-2 л (к+1)/

аппроксимируются при помощи выражения

2л(к+1)/

2^к+%■ + 2р < х < 2^к+7№ + 2ль ь е г

(3)

DN.,i(x) = Лш1(х) • сов (^М-^/ )• сов )• К • сов (№(х-2^)

где

Лш1(х) =

г • (2N +1), при х е | ^2р + ;^^ +

ГГ (№х<

П соз| —

ь1=0 V 4 •2

- 2л(1 +1) „ . - 2л1 Л 12л1 . 2л(1 +1) „ .

----- --- + 2т;-------+ 2р |и|-----+ 2т;— ---- + 2р

№ N 0 V N №

0 - на остальных интервалах., 1 = 1...N'-2, х01 - локальный экстремум соответствующей 1-й полуволны;

= {(- 1)ь при N = 2N +1,

г =

И при N = 2N;

(4)

(5)

і - порядок произведения.

Для остальных полуволн, т.е. на интервалах

X є

-р+2р);-2р(к+1)/ + 2р))^(2рк+1)/ + 2р|;р+2р|]

функция (1) аппроксимируется так же, как и в [2]

(6)

БЙ’(х) = Ат2(х) • яп, (7)

где при N’=2^

Ат2(х) =

-г---г, прих є

(хо,і)

р(і +1)

і(і +1) . . рі . Л (рі . р(і +1)

—------- + 2рі;-------------------+ 2рі І и І-+ 2рі;—-- + 2рі

N N 0 1 N N

0, при х

„ . рі . Л (рі . р(і +1)

+ 2рі;-----+ 2рі І и І--+ 2рі;—----- + 2рі

N N 0 1 N N

і = к + 1..^-1, х0і =

= р(2і +1)

4N

при N,=2•N+1

Ат2(х) =

п(хо,і)

при X є

М+1 + 2рі;- + 2фГ Ж + 2рі;^р1^+і) + 2Р

Т при х є

2N +1

„ . -2р^ „ Л ( 2pN „ .

- р + 2р|;-------+ 2р| І и І--------+ 2р|;р + 2р|

2N +1

0 при х

1 = к + 1..^ - 1:

2р(і +1) , . - 2рі „ Л (2рі „ . 2р(і +1) „

— ------- + 2рі;-------+ 2рі і и І------+ 2рі;—-------- + 2рі

N' N' 0 1 N N'

(8)

(9)

= 2л(21 +1)

х0,1 = 2^ +1) .

Выбор порядка произведения i и количества уточнённых полуволн к зависит от требуемой точности аппроксимации. Расчетные эксперименты в MathСade показали, что применение модели (4), (5) при аппроксимации главного лепестка (к=0) с ростом i заметно улучшает точность воспроизведения (графики на рис.2, а), а также улучшает точность и при аппроксимации боковых полуволн вблизи главного лепестка (рис.2, б). Попытка применить улучшенную модель дальше от главного лепестка может ухудшить точность воспроизведения (рис.2, в), так как в районе удалённых полуволн характеры поведения функции (4) и аппроксимируемой функции существенно различаются (рис.3, а).

Расширив область сходства, можно увеличить и количество аппроксимируемых моделью (4), (5) пар полуволн. Для этого необходимо приблизить количество частотных компонент ряда Фурье аппроксимируемой функции и функции (4), а попросту - увеличить порядок произведения i (рис.3,б), что действительно, как показал расчётный эксперимент, привело к ожидаемому эффекту (рис.3,в). Но увеличение порядка произведения ведёт к существенному усложнению устройства, реализующего генератор функции (1), - к росту количества умножителей.

а б

в

Рис. 2. Графики относительного отклонения при применении улучшенной модели (N‘=17): а - только в главном лепестке, б - в главном лепестке и в ближайших боковых полуволнах(к<2), в - в главном лепестке и в более удалённых полуволнах (к<5)

а б

Рис.3.Графики: а - аппроксимируемых полиномов и функций (4) при N=17, ¡=2; б - г=3; в - относительного отклонения при N=17, г=3

Считаем, что модель (4), (5) следует применять с параметрами к<3 и i<2 -тогда получится удовлетворительное соотношение сложность устройства (не более двух умножителей) - погрешность воспроизведения (не более 0,5%).

Для более точного воспроизведения функции (1) и аналогичных ей равноамплитудных полиномов планируется вести поиск новых способов воспроизведения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Двайт. Таблица интегралов. -М.: 1982.

2. Фролов С. С. Способы реализации равноамплитудных полиномов // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Современные информационные технологии в науке, образовании и практике". Оренбург. 2004.

М.И. Ледовской

АЛГОРИТМ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ ОПЕРАЦИИ ДЕЛЕНИЯ ДЛЯ МИКРОКОНТРОЛЛЕРА М8Р 430

Микроконтроллер М8Р 430 не поддерживает аппаратно обработку вещественных переменных (правильных дробей и смешанных чисел). В нем реализуется целочисленный режим вычислений с той особенностью, что команда деления отсутствует, а операция умножения выполняется ускоренно благодаря наличию аппаратного умножителя.

Как показано в [1], целочисленные арифметические операции сложения (вычитания), умножения и деления можно задействовать для выполнения соответствующих операций над вещественными переменными. Однако в микроконтроллере М8Р 430 выполнение операции деления вещественных переменных затрудняется в связи с отсутствием ее целочисленного аналога. Для устранения данного препятствия необходимо разработать специальный алгоритм, обеспечивающий выполнение целочисленной операции деления с помощью имеющихся операций целочисленной арифметики..

С целью разработки указанного алгоритма рассмотрим операцию деления вещественных переменных ъ=х/у, для которой известны диапазоны изменения делимого х, делителя у и частного ъ соответственно | х I тш< I х I < I х I тах,

I у I тт< I у I < I у I тах и I ъ I тт<! ъ !<! ъ I тах. Согласно методике, изложенной в [1], нетрудно получить целочисленную модель данной операции

2-я (2пХ)

Т =^ ^ . (!)

У

Здесь Х, У и Т - целочисленные аналоги вещественных переменных х, у и ъ, причем 0<| Х |<2п-1-1, 0<| У |<2п-1-1 и 0<| Т |<2п-1-1, где п - разрядность целочисленного формата данных (рис.1); 2п-4 = МъМу/МХ - выравнивающий коэффициент, а МХ, Му и Мъ - масштабы вещественных переменных х, у и ъ в виде степеней числа 2.

п-1 п-2 1 0

Зн

Рис.1. Формат целочисленных данных