Газовые постоянные и их физический смысл Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

«Ы. 2002г.

39

УДК 536:621.1

ГАЗОВЫЕ ПОСТОЯННЫЕ И ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

В.В. Рындин

Павлодарский государственный университет им. С.Торайгырова

Газ гщрщтыларыныц тацдап алган заттыц yjt'c/не байланыспы мсттелуг кеттр'шгеп. Газ турщтыларыныц, сонымен oip?e Болъцмаг шурацтысыныц дамолекулальщ магынасы бершдг.

в= Приводится классификация газовых постоянных в зависимости от

чыбранной порции вещества. Даётся молекулярный смысл глювых постоянных, в том числе и постоянной Больцмана.

The classification of gas constants is resulted depending on the chosen portion of substance. The molecular sense of gas constants, including Bohzmann constant, is given.

Одной из главных задач пре-шшивания физики вообще и термолиз-: амики в частности следует считать формирование представления основах единой научной картавы мира, базирующейся на достиже-мкях современной науки. Между тем именно эти вопросы не находят пока „»сажного отражения в существующие. учебниках. Естественное объяснение этого противоречия состоит в том. что целостная физическая картина мира создаётся буквально в пази дни, поэтому работы, в кото-рях происходит обобщение отдельных разделов физики, можно рассматривать как необходимое допол-

нение к вузовским руководствам. В этой связи изложение различных газовых постоянных на основе единой концепции актуально.

В настоящее время в учебниках физики чаще всего используется молярная (универсальная) газовая постоянная, обозначаемая R, Дж / (моль-К). Например, в учебнике И. В. Савельева [1, с. 215] отмечается:

«Опытным путём установлено, что при обычных условиях (г. е. при комнатной температуре и атмосферном давлении) параметры состояния таких газов, как кислород и азот довольно хорошо подчиняют-

ся уравнению

где Ь — константа, пропорциональная массе газа.

Согласно закону Авогадро при нормальных условиях объём любого газа постоянен. Отсюда следует, что в случае, когда количество газа равно одному молю, константа Ь в (1) будет одинаковой для всех газов. Обозначим константу Ь для одного моля буквой Я. Константа Я называется молярной газовой постоянной или просто газовой постоянной». Другие газовые постоянные в учебнике не приводятся.

В термодинамике же в качестве основной газовой постоянной используется удельная газовая постоянная, обозначаемая тем же символом, что и молярная газовая постоянная в физике, Я, Дж/ (кг-К), что отнюдь не способствует преемственности между этими дисциплинами. Например, в [2, с. 419] отмечается:

«Уравнение состояния идеального газа имеет вид

ри = ЯТ,

где газовая постоянная Я равна универсальной газовой постоянной, делённой на молекулярную массу» (правильно молярную массу),

В этих же учебниках приводится также и отношение молярной

газовой постоянной к постоянной Авогадро, именуемое постоянной Больцмана к. Постоянная Больцма-на является одной из фундаментальных физических констант. Открытие этих констант следует считать одним из выдающихся достижений физической науки, поскольку они дают нам информацию о наиболее фундаментальных, основополагающих свойствах материи. В то же время физические постоянные представляют собой одну из крупнейших нерешённых проблем современной науки, так как, измеренные экспериментально с высокой степенью точности, они не имеют пока сколь-либо убедительной теоретической интерпретации. В этой связи раскрытие физического смысла газовых постоянных, включающих в себя и постоянную Больцмана, представляет несомненный научный интерес.

Ниже изложен новый метод введения газовых постоянных, основанный на аналогии с методом введения различных видов теплоёмкости (теплоёмкости тела, удельной, молярной и молекулярной).

Путём объединения (обобщения) газовых законов Гей-Люссака и Бойля-М ариетта можно получить следующее соотношение

рУ/Т = согЫ = (2)

из которого следует, что для

№1,2002:.

41

данного количества (данной массы) разрежённого газа отношение произведения давления на объём к термодинамической температуре есть величина постоянная. Эту постоянную величину, поскольку она относится ко всему телу (системе), назовём газовой постоянной тела (газообразного тела) и обозначим Я ■

Отношение газовой постоянной тела к массе газа называется удельной газовой постоянной (величины, получаемые от деления на массу, называются удельными) Я, Дж / (кг-К)

Я-Я //и, (3)

тела 4 '

Отношение газовой постоянной тела к количеству вещества газа называется молярной газовой постоянной (величины, получаемые от деления на количество вещества, называются молярными) Дж / (моль- К)

(4)

М- тела ' ^ '

Решая совместно уравнения (2) и (4), можно выразить молярную газовую постоянную через параметры состояния и вычислить её значение по соответствующим значения« этих параметров, например, для значений параметров состояния при нормальных физических условиях:

Го= 273,15 К (0°С) и /?о = 101325 Па = 760 ммрт. ст; ^ - /Л, Ко / Г = 101 325-22,414М0-3/273,15 = 8,314 51 Дж/(моль-К),

где Уую = У0 /у = 22,414М0-з м3 / моль = 22,4141 л / моль — молярный объем при нормапльных физических условиях [3].

Поскольку молярный объём при нормальных физических условиях для всех разрежённых газов имеет одинаковое значение, то и молярная газовая постоянная для всех газов также имеет одинаковое значение. Это дало основание называть эту газовую постоянную универсальной газовой постоянной. Однако этот термин не соответствует уравнению связи (4) для молярной

газовой постоянной и поэтому считается устаревшим.

Решая совместно уравнения (3) и (4) , можно установить связь между удельной газовой постоянной и молярной газовой постоянной

(5)

где М = т / V — молярная масса вещества, кг / моль.

Отношение газовой постоянной тела к числу молекул газа можно назвать молекулярной газовой постоянной ЯЬ1, Дж / К

ЯЫ=Я (6)

N тела \ '

Молекулярная газовая постоянная определяет "долю" газовой постоянной тела, приходящуюся на одну молекулу.

Связь между молярной и молекулярной газовыми постоянными можно установить путём совместного решения уравнений связи (4) и (6):

я = я /м= к у т= К т .=

А тела И ИД

=к= 1,380658-10 -23Дж/К, (7)

где ЫА = N -=6,0221367-1023 моль-1 — постоянная Авогадро [3].

Следовательно, в соответствии с выражением (7) постоянная Больцмана' к есть не что иное, как молекулярная газовая постоянная, определяемая отношением газовой постоянной тела к числу молекул газа.

Таким образом, предложенный метод, классифицирующий газовые постоянные в зависимости от выбранных порций вещества, предопределяет постоянную Больцмана в качестве газовой постоянной, определяемой для порции вещества в одну молекулу.

С учётом введённых газовых постоянных уравнение состояния (2)

можно записать для различных порций вещества в следующих видах:

- через газовую постоянную тела Я —рУ = К Т\ (8)

тела < тела V /

- через удельную газовую постоянную Я:

для газа объёмом У (массой ш) — рУ~ тК Т; (9)

для удельного объёма п— риъЯТ\ (10)

для плотности Р -

(11)

- через молярную газовую постоянную Я, :

для газа массой т

рУ^т^Т- (12)

для количества вещества V — рУ = V Г; (13)

для молярного объёма У^ — рУр - (14)

- через молекулярную газовую постоянную Ку, или через постоянную Больцмана к:

для числа молекул N — рУ = = МТ] (15)

для концентрации частиц N. =Л7 V- -р =.¥. ЛК7 '= N¡А''/(16)

На практике наиболее часто используется уравнение состояния (11) для расчёта плотности газа в сосуде, трубе, комнате и т. п. по известным значениям давления и температуры. В термодинамике наи-

1 Эту постоянную ввёл Планк в соотношение Больцмана £ = к !п И % устанавливающее пропорциональность между энтропией 51 н вероятностью состояния системы IV, Планк также предложил постоянную к назвать в честь Больцмана постоянной Больцмана. Соотношение Больцмана выгравировано на его памятнике в Вене.

", 2002г.

с плыдее применение находят урав-:ния состояния в виде (9) и (10), ::держащие удельную газовую попаянную N..

В физике и химии чаще применяют уравнения (12) — (14), содержащие молярную газовую постоянную , остальные уравнения состояния в большинстве учебников по "тим дисциплинам не приводятся. В ггзультате в физике чаще всего ог-г м шчиваются рассмотрением толь-о одной молярной газовой постоянной (что обедняет физику), кото-гая обозначается тем же символом Р.. что и удельная газовая постоянная в термодинамике, а это приво-. нт к несогласованности учебников но термодинамике и физике. Учитывая выше изложенную классификацию газовых постоянных, каждая из которых находит самостоятельное применение, а также принятое обозначение молярных величин Х^2, :ледует и молярную (именно молярную, а не универсальную — - после-ппюю можно обозначать любым символом) газовую постоянную

_ 43

обозначать -символом Я, .

Остановимся кратко на эволюции уравнения состояния идеального газа, которое обычно связывает- ■ ся с именами Клапейрона и Менделеева.

Зарождение термодинамики связано с именем Карно3, издавшего самостоятельно (помимо редакции, которая холодно отнеслась к этой работе) в 1824 году свою работу (мемуар, как тогда говорили) «Размышления о движущей сале огня и о машинах, способных развивать эту силу». В своём мемуаре Кар-но впервые объединяет в одно уравнение законы Ьойля Мариотта и Гей-Люссака, которое он записывает в виде [4]

р = Щ° + 267) / V, (17)

или в современном написании 273.15),

где Л' — «постоянная величина, зависящая от веса пара и выбранных единиц»;

■ Применяемое в настоящее время обозначение молярных величин символом Л' 1 (где индекс означает первую букву латинского слова "молярный") нельзя признать рациональном, .к. такое обозначение совпадает с обозначением величин, получаемых от деления оыов--»й величины X на массу вещества т.

КАРНО Никола Леонард Сади (1796 — 1832) — французский физик и инженер, один из «вдателей термодинамики. Карно умер от холеры. По законам того времени всёзго имущество, в том числе и рукописи, было сожжено. Предложил цикл (цикл Карно), соторый меет наибольший коэффициент полезного действия среди всех возможных циклад. осуще-. гвляемых в одном и том же температурном интервале.

" КЛАПЕЙРОН Бенуа Поль Эмиль (1799 — 1864) — французский физик и инженер, член

Парижской АН. В 1820—30 работал в Петербурге. В знак признания научных заслуг был лзбран членом-корреспондентом Петербургской АН, награждён орденами.

Г — температура Цельсия;

267 — число, обратное коэффициенту объёмного расширения газов 1 / 267 (по данным на то время).

Карно умер, так и не услышав никакого отклика па свою работу. Печальный, но не единственный в истории науки факт. В 1834 году Клапейрон4 переработал труд Карно и почти под тем же названием («Мемуар о движущей силе огня») издал в сборнике Политехнической школы в Париже.

Клапейрон использовал в своём изложении, которое носило более строгий математический характер, графическое представление тепловых процессов в диаграмме У-р. Популярные сейчас кривые — изотермы и адиабаты — ведут свою историю от работ Клапейрона. Мемуар Карно в своё время был отклонён редакцией журнала «Анналы» Поггендорфа (крупнейшего физического журнала того времени). Мемуар же Клапейрона произвёл на редактора журнала Поггендорфа столь сильное впечатление, что он сам перевёл его на немецкий язык и напечатал в своём журнале в 1843 году.

В своём мемуаре Клапейрон записывает объединённое уравнение в виде

рУ - А(1° + 267), (18)

где А — константа для данной массы газа. Это уравнение он называет «уравнением состояния Гей-Люссака-Мариотта» и широко использует его в данной работе.

Очевидно, что уравнение Клапейрона (18) тождественно уравнению Карно (17). Занимаясь в своём сочинении теорией Карно, Клапейрон нигде не говорит, что автором первого объединённого уравнения является именно Карно, правда, и себе он его не приписывает. Книга Карно быстро стала библиографической редкостью, и с ней мало кто был знаком. Поэтому неудивительно, что уравнение объединённого закона Бойля-Мариотта-Гей-Люсса-ка стали приписывать Клапейрону. Правильнее было бы уравнение состояния идеального газа, записываемое через газовую постоянную тела, называть уравнением Карно-Клапейрона,

В 1862 году Клаузиус ввёл в уравнение состояния (17) термодинамическую температуру Т. и оно приняло вид (8). Неудобство использования этого уравнения заключается в том, что в каждом конкретном случае в зависимости от массы тела необходимо заново вычислять газовую константу по формуле ^тыи ~ РсУУ Т, В 1862 году русский инженер И. П . Алымов, занимающийся изучением свойств газов, предложил пользоваться универсальной газовой постоянной. Рабо-

>э 1,2002г.

45

:а Алымова была опубликована в малоизвестном среди физиков и химиков издании («Морской сборник») и не обратила на себя внимание.

В 1874 году на заседании Русского химического общества Д. И. -Менделеев5 доложил своё обобщение уравнения Клапейрона в виде [4]

М(С + г°)

У =;

рУА

где М — масса газа; Г° — температура Цельсия; р — давление (в мм рт.ст); V— объём (в л); А молекулярный вес газа; С — постоянная величина, близкая к 273.

В современном написании это уравнение имеет следующий вид:

у=\ =тТ/(рУМ), (19)

масса;

- 1 /Я

М

где т — пая масса; У - 1 , пая, введённая Менделеевым ииме-

— моляр-постоян-

ющая одинаковое значение для всех газов (близкое к 16000).

Если вместо 7 в уравнение (19) подставить обратную ей величину то получим уравнение (12). В связи с этим уравнение состояния идеального газа (12), содержащее молярную газовую постоянную /с , принято называть уравнением Клапейрона-Менделеева.

Молекулярный смысл температуры и газовых постоянных. Согласно основному уравнению кинетической теории газов6

(20)

давление молекул идеального газа численно равно двум третям средней кинетической энергии (КЭ) поступательного движения молекул, содержащихся в единице объёма.

Связь между средней КЭ поступательного движения молекул и температурой можно установить

' МЕНДЕЛЕЕВ Дмитрии Иванович (1834 — 1907) — русский учёный, открыл в 1869 г. периодический закон химических элементов и на его основе создал периодическую таблицу химических элементов, написал более 400 работ, имел 130 дипломов и почётных званий различных обществ и академий, в том числе был членом Берлинской, Парижской, Лондонской

¡1 др. академий, а в России отказали быть академиком. И дело здесь не в симпатиях к ¡-ево-люцнонно настроенному студенчеству и произволе царизма, как это иногда утверждгггея, а в зависти и интригах действительных академиков, забаллотировавших его кандидатуру в Академию наук по химии в 1880 году.

Л вот физики и художники, чьи научные интересы не так остро пересекались с интересами

Менделеева, избрали его членом-корреспондентом своих академий. Однако действительным академиком Менделеев так и не был избран в России. Аналогичная ситуация прои ош-ла и в наши дни, когда не были избраны в ряды действительных академиков медицшы учёные мировой известности: Н. Амосов. Г. Илизаров и С. Фёдоров. Эта формула впервые была получена в 1845 г. Ватерстоном (Уотерстоном), и её вывод сыл представлен в английскую академию наук. Рецензент отклонил эту статью, назвав её «&с-смысленной, непригодной даже для чтения перед обществом». Заново эта формула бы/,а открыта Максвеллом лишь в 1859 году.

лутём совместного решения уравнений (16) и (20):.

£*„«*,= !¿Т=ккТ, (21)

где кК - Ёк пост/ Т - / 1 К = (•^¿о-ет)т=1К^ ' ^ = ¿''/¿•пост / 1 К = -к

=2,070987- 10~23Дж/К — (22) новая газовая постоянная, численно равная средней КЭ поступательного движения отдельной молекулы при единичной температуре —

^ — ^к пост I ~ ^к пост ! (^ктюст

Откуда можно дать такой физический (молекулярный) смысл температуры (применительно к идеальному газу — газу, ддя которого выполняется линейная связь между давлением и температурой): числовое значение температуры показывает во сколько раз средняя КЭ поступательного движения молекул в данном состоянии отличается от кинетической энергии поступательного движения молекул при единичной температуре (Т= 1 К), или от 1 / 273,16 части КЭ поступательного движения молекул идеального газа, находящегося в термодинамическом равновесии с водой в тройной точке (в состоянии, когда жидкая, твёрдая и паровая фазы воды находятся в равновесии).

Следовательно, температура даёт отсчёт КЭ молекулы от КЭ,

(А пост)т=1К ^ к пост ■

В соответствии с (22) /<к является ещё одной молекулярной константой. Её числовое значение может быть вычислено как 1 / 273,16 части средней КЭ поступательного движения молекул многоатомного газа, или просто средней кинетической энергии движения молекул одноатомного газа, при температуре тронной точки воды Т_тв- 273,16 К

Из (22) можно получить уравнение связи для температуры

принятой в качестве базовой (единичной по температуре). Так, температура 1000 К означает, что КЭ одноатомной молекулы в данном состоянии больше базовой КЭ молекулы (в базовом состоянии) в 1000 раз, а Т = 0,001 К означает, что КЭ в данном состоянии в 1000 раз меньше базовой (единичной) энергии; Т = 0 К означает, что КЭ молекулы в таком состоянии меньше базовой (единичной) КЭ в бесконечное число раз. В этой связи очевидна, с одной стороны, недостижимость абсолютного нуля, а с другой стороны. — возможность приближения к нему с любой точностью: бесконечность не может быть охарактеризована одним каким-либо большим числом (всегда найдётся большее число), поэтому нельзя назвать число, при котором Т = 0 К, но можно

2002г.

47

„звать число, при котором темпе-глгура может быть близка к нулю с ..обой степенью точности, например, Т= 10"100 К. Сейчас достигнута гмпература 10~8 К.

Таким образом, как КЭ поступательного движения молекулы, так и температура, являются количественными характеристиками хаотического движения отдельных молекул газа. Однако более удобной величиной является температура, гак как даже при температуре 10 6 К КЭ молекулы остаётся всё еще малой величиной порядка 2410 17 Дж.

Порция (размер) движения, эквивалентная (характеризуемая) единичной (по температуре, т. е. взятая при единичной температуре Т = 1 К) кинетической энергии Е\п«.т = 2,070 987-10 -23 Дж, названа кельвином (К), а физическая величина, характеризующая запас движения в таких порциях, — температурой Т.

Можно провести аналогию между температурой и количеством вещества. Порция (размер) вещества (материи), эквивалентная (характеризуемая) числу частиц, взятому в качестве базового (единичного) N 1 = 6,0221367-1023 (число Авогадро), названа молем (моль), а физическая величина, характеризующая запас вещества (материи) в таких укрупнённых порциях частиц, — количеством вещества

г\ = NIЫА - (Ы / Ы1)Л моль.

Следовательно, числовое значение количества вещества показывает, во сколько раз число частиц в данном теле отличается от единичного (базового) числа частиц ЛР.

Наряду со средней КЭ поступательного движения молекул, определяемой средней квадратичной скоростью молекул, можно ввести наиболее вероятную КЭ молекул, определяемую наиболее вероятной скоростью молекул — наиболее часто встречающейся скоростью молекул (около этой скорости группируются скорости наибольшего числа молекул газа). Этой скорости соответствует максимум кривой распределения Максвелла. Исследуя на максимум функцию распределения Максвелла, в курсах физики получают следующее выражение для наиболее вероятной скорости поступательного движения молекул [1]:

¡2кТ

СЕ«Г _ V1

V

где т — масса молекулы.

м -

Откуда можно найти наиболее вероятную КЭ поступательного движения отдельной молекулы при температуре Т

Е —1)1 с ~ / 2 = кТ, (23)

ьер м вер V '

Разделив обе части этого выражения на температуру Т , полу-

чим

к= Е / Т = £1 /1К, (24)

вер вер ' х ;

ВДе£'вгр-(Еер)т=, к=*(1 К)-= 1,380658-10" 23 Дж — (25)

наиболее вероятная единичная (по температуре, т. е. взятая при единичной температуре

Т = 1 К) кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Из выражения (24) можно дать такой физический смысл постоянной Больцмана I: постоянная Больцмана численно равна наиболее вероятной КЗ поступательного движения одной молекулы при температуре 1 К, или 1 / 273,16 части наиболее вероятной КЭ поступательного движения отдельной молекулы идеального газа, находящегося в термодинамическом равновесии с. водой в тройной точке (короче, постоянная Больцмана численно равна единичной по температуре наиболее вероятной КЭ отдельной молекулы).

Иногда постоянную Больцмана рассматривают как коэффициент, переводящий единицы энергии (Дж) в единицы температуры (К), а температуру — как энергию поступательного движения молекул [51. Здесь следует заметить, что температура и КЭ молекул две различные физические величины, так как имеют различные единицы, для которых переводной коэффициент не является безразмерной величиной.

Учитывая линейную связь между газовыми постоянными и числом частиц А/, нетрудно дать молекулярную интерпретацию этих газовых постоянных.

Согласно выражениям (6) и (25) газовая постоянная тела

1К) (26)

тела А; вер 4 7 7

численно равна наиболее вероятной кинетической энергии всех молекул тела при температуре 1 К. Поскольку число частиц N в различных телах различно, то и газовые постоянные для различных тел будут различными.

Если газовую постоянную тела в (26) умножить на температуру Т, то с учётом (24) получим

Я Т=ЫЕ' ,{Т }=МЕ ,(27)

тела вер ' > кер ' 4 '

откуда следует, что произведение газовой постоянной тела на температуру, входящее в правую часть уравнения состояния (8), есть не что иное, как наиболее вероятная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул тела при заданной температуре Т.

Покажем, что и левая часть уравнения состояния (8) также равна этой величине. Давление р, определяемое соотношением (20), в соответствии с выражением (21) может быть представлено и таким известным соотношением:

\ы, 2002г.

49

р = Ну кТ = N к ТI V, (28)

Учитывая соотношение (23) ля наиболее вероятной КЭ моле-нул, получим новое соотношение идя давления

объёма.

Из этого еякп следует, что прокзв идеального газа на

рУ= N Е__ =

решения также 1эшм давления :: ноъём

р -/V,

* V вер вер '

которое, в отличие от известного уравнения (20), не содержит числового коэффициента 2 / 3. В со-: гветствии с этим выражением давление идеального газа численно равно наиболее вероятной кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице

равно наиболзг эег :ятнсй КЭ поступательного движения е:я молекул этого газа, а уранз&ши состояния (8) выражает банан,- наиболее вероятной кинетической с-неогйи всех молекул газа. г-ннсьгвнемнй дая левой и правой частей ".гавкания через различные ы&кгсжта* ческие величины.

Решая совместно >г-31~:гния (4) и (26), получим

К / V =(Л7у>[£ 1 /(1К)]=М Е » /(1К )=№Е О К :

вер

Следовательно, молярная газовая постоянная численно равна наиболее вероятной КЭ поступательного движения совокупности молекул, число которых равно числу Аво-гадро N при единичной температуре газа (Т= 1 К). Поскольку при определении молярной газовой посто-енной дчя любых газов берётся одно ш то же число молекул, равное чис-

лу Авогадро, то и значение молярной газовой постоянной дня всех газов имеет одинаковое значение: отсюда и первоначальное нлгнмгго-вание этой величины — ршв-гр.шль-ная газовая постоянная.

Решая совместно урнвжглгк (3) и (26), получим следуюшйе выражение для удельной газовой постоянной:

Я = П !т = {Н !т)[{Е' /(1 К)] = N Е1 / (1 К),

— тела V / вер V /J т ве^ х '

где / т, кг~1, — удель- постоянная Я численно равна наиоо-

кнп е число молекул, численно равное лее вероятной КЭ поступательного

числу молекул, масса которых рав- движения молекул с общей массой 1

'»•и 1 кг. Отсюда можно дать такой кг при температуре 1 К. Поскольку

молекулярный смысл удельной газо-е:й постоянной: удельная газовая

масса отдельных молекул различных газов различна, то и число мо-

лекул газа массой 1 кг будет разлил- удельные газовые постоянные для иым, а значит будут различными и различных по строению молекул.

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И. В. Курс физики: Учеб.: В 3-х т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1989, —376 с.: ни.

2. Новиков И. И. Термодинамика: Учеб. пособие для студ. теп-лотсхнич., спец. втузов. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 е.: ил.

3. Таблицы стандартных справочных данных. Фундаментальные физические константы. ГСССД 1-

87. — М.: Государственный комитет СССР по стандартам, 1989. — 7 с.

4. Гельфер Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики: Учеб. пособие. Т. 1. М.: Высш. школа, 1969. -475 е.: ил.

5. А. К. Кикоин, И. К. Кикоин. Молекулярная физика: Учеб. пособие. М.; Наука, 1976.— 480 е.: ил.