Газодинамика угольного пласта. Экспериментальное определение диффузионного параметра кинетики десорбции метана из угля Текст научной статьи по специальности «Математика»

---------------------------------- © С.В. Кузнецов, В.А. Трофимов,

2009

УДК 622.411

С.В. Кузнецов, В.А. Трофимов

ГАЗОДИНАМИКА УГОЛЬНОГО ПЛАСТА. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФУЗИОННОГО ПАРАМЕТРА КИНЕТИКИ ДЕСОРБЦИИ МЕТАНА ИЗ УГЛЯ

Рассмотрен метод нахождения параметров, определяющих кинетику десорбции метана из угля, основанный на аппроксимации экспериментальных данных с использованием алгоритма «случайного поиска». Приведен пример обработки и анализа экспериментальных данных.

Ключевые слова: десорбция метана, газовыделения из угольного пласта, сорбированное углем.

1ГЛ инетику десорбции метана из угля принято описывать в -»\ рамках диффузионной модели. Отметим, что речь идет о кинетике газовыделения из угольного вещества, а не о газовыделе-нии из угольного пласта, процессе значительно более сложном, подверженным влиянию многочисленных факторов, таких как строение пласта, его пористость и трещиноватость, горное давление и др. В данном случае речь идет о том, что выделение газа из угольного вещества в фильтрационное пространство, даже при отсутствии фильтрации, является процессом, протекающим во времени и обусловленным отсутствием сорбционного равновесия в каждой точке пространства, занимаемого углем. Состояние и поведение системы уголь-газ описывается набором макропараметров [1], среди которых основными являются давление газа p и количество сорбированного углем газа Q. В условиях сорбционного равновесия между ними существует взаимнооднозначная связь, выражаемая изотермой сорбции. Когда же такое равновесие отсутствует, т.е. происходит сорбция-десорбция газа углем, то этот процесс управляется кинетическими уравнениями [1, 2].

Считается, что газ за счет диффузии с течением времени выходит в фильтрационное пространство из сферической «сорбционной» частицы [3], которая в начальный момент времени равномерно по объему заполнена некоторым количеством этого газа. Его количество в соответствии с сорбционным равновесием соответст-

вует начальному давлению газа в пласте - р0. При этом давление в фильтрационном пространстве рат можно считать постоянным в течение всего процесса десорбции и равным атмосферному, т.е. рат =0.1 МПа.

При постановке экспериментов по определению газокинетических параметров всегда используется достаточно большое количество угля, как правило, в измельченном виде, либо в виде отдельных целых кусков преимущественно шарообразной формы [4,5]. В связи с этим на процесс собственно десорбции накладывается фильтрационный массоперенос, который, вообще говоря, должен быть учтен при интерпретации полученных опытных данных. Отметим, что чем меньше размер такого куска и чем более он нарушен, тем менее значителен вклад фильтрационных процессов. Если в эксперименте участвуют образцы сильно нарушенного угля или угольный порошок, то, измеряя выход газа из угольного образца во времени, можно расчитывать в чистом виде описать кинетику десорбции, поскольку в этих случаях коэффициент фильтрации весьма велик и, следовательно, достигается подобие во всех точках образца. Далее примем это ограничение, и будем рассматривать кинетику десорбции метана не осложненную фильтрационным массо-переносом.

Диффузионный выход газа из шарика в соответствии с принятыми условиями описывается рядом [1 и др.]

■>0 10 ат1 1 6 __( ;„„2 +

1 шшп j vjiuimAivm uiin vuiuuv i сл [ ' ^ L

q(,) = Q0 -0(t) = (q0 -Qam{,-± Y±exp(-kn2t)

I Я n=1n

(1)

QU = ^ , Qат = ---^0^ , к , (2)

1 + Ьр0 1 + ЬРат R2

где D - коэффициент диффузии, Я - радиус «сорбционной частицы», а, Ь - параметры изотермы сорбции Ленгмюра.

Отметим, что «сорбционная» частица - это некоторая математическая модель, не имеющая к структуре реального угля никакого отношения. Тем не менее, как будет ясно из дальнейшего, соотношение (1) очень хорошо описывает выход газа из угля и, следовательно, параметр к должен иметь вполне реальный физический смысл. Тоже относится и к коэффициенту диффузии D. Таким образом, и параметр Я должен иметь некоторую физическую интерпретацию. Видимо можно считать, что его величина - это среднее

расстояние в угольном веществе, которое преодолевают молекулы метана за счет диффузии, пока они не достигнут ближайшей трещины. Т.е. фактически это среднее расстояние между самыми мелкими трещинами, ответственными за фильтрацию газа в угле. Тем самым в угле устанавливается формальная граница между сорбционным пространством и фильтрационным. Все трещины больше Я относятся к фильтрационному пространству - в нем происходит фильтрация газа типа Дарси. Все дефекты - трещины, поры, размер которых меньше Я - это сорбционное пространство, в котором массоперенос происходит за счет диффузии, либо фильтрации в узких каналах вида кнудсеновской или фольмеровской.

Основная задача состоит в том, чтобы, исходя из экспериментальных данных, определить, вообще говоря, неизвестные параметры а, Ь, к в (1) и (2). Величину Ь можно принять достаточно произвольным в интервале 0.1 ^0.5.

Таким образом, имеется набор экспериментальных точек, описывающих количество вышедшего газа т из угольного образца во времени t, т.е. точечная функция {т} т1 = т([}), I = 1,...,п.

В тоже время выход газа описывается теоретическим соотношением (1). Задача состоит в том, чтобы найти такие значения варьируемых параметров а, к непрерывной функции q(t), при которых она наилучшим образом будет аппроксимировать точечную функцию {т}. Для этого, исходя из (1), сформируем точечную функцию &}, взяв значения д(^ в точках ^, т.е.

), I = 1,...,п.

Степень близости функций д и {т} можно оценить квадратичным функционалом

Варьируя параметры а, к, нужно найти такие их значения, которые доставляют минимум этому функционалу и тем самым определить функцию вида (1), наилучшим образом аппроксимирующую экспериментальные данные.

Опишем подход к поиску минимума функционала, основывающийся на идеологии методов “случайного поиска” суть которых состоит в следующем. Выбирается случайно точка из заданной

(3)

области возможного изменения определяющих параметров. В этой точке вычисляется значение функционала, и если оно меньше текущего минимума, то запоминается эта точка и значение функционала в ней в качестве минимума. Если же этого нет, то точка отбрасывается и выбирается следующая. Несмотря на кажущуюся неопределенность, метод является весьма эффективным при использовании современных РС и предъявляет минимальные требования к гладкости исследуемой функции.

В рамках используемого метода область возможных пробных значений параметров а, к из которой с помощью генератора случайных чисел происходит их выборка, ограничивается некоторыми параметрами Ла,Ак, которые задают подвижное “прямоугольное” окно размерами 2Аа *2Ак с центром в выбранной пробной точке. Значения этих параметров могут задаваться произвольно, а оптимальные их значения получаются в результате численного эксперимента из условий максимальной скорости сходимости многошагового процесса.

В качестве примера использования изложенного подхода рассмотрим десорбцию метана из угля шахты Добропольской [5]. Эксперименты проводились на измельченном угле для разных фракций (от менее 0.075 мм до 1.5 мм) и разных давлений насыщения (от ~10 ат до ~40 ат). На рис. 1 точками показаны экспериментальные данные по выходу газа для фракции угля 0.14^0.16 мм насыщенной метаном при давлении 30.6 ат (навеска угля —100 г) и соответствующая аппроксимирующая кривая вида (1). При этом минимум функционалу (3) доставляют значения варьируемых переменных:

а=10.97 мл/г и к=5.9410-4 с-1, а само значение функционала в точке минимума равно ётп~0.016. При этом коэффициент корреляции г2=0.998. Если принять коэффициент твердотельной диффузии равным 10-13 -^10"14 м2/с, то для величины Я будем иметь оценку 10 - 40 микрон.

В процессе поиска минимума функционала были выполнены расчеты его значений в большом количестве точек (5000 шт.) равномерно случайно распределенных по области 0<а<25 мл/г, 0<к<25*10-4 с-1.

Рис. 1

Полученные массивы данных а, ^ (/—1,..., 5000) дают возможность численно построить зависимость 8(а^), т.е. величину невязки от варьируемых параметров а и k. Изолинии этой функции приведены на рис. 2, а сама поверхность на рис. 3.

Кроме того, на рис. 4 показано сечение этой поверхности плоскостью а = 20 мл/г. Точка, доставляющая минимум (3) для рассматриваемого случая на рис. 2 обозначена крестиком.

Отметим характерную особенность конфигурации построенной поверхности, имеющей вид протяженной «долины», минимум которой лежит в одной из точек дна этой «долины». Легко выписать уравнение, примерно описывающее срединную линию этой «долины»

0.2

k

-2-4

(4)

При этом градиент изменения 8(а^) вдоль оси «долины» весьма мал. При изменении а в пределах от 7.5 до 25 вдоль средин-

t

С

ной линии величина ё остается практически постоянной и равной ~0.025.

Рис. 2

Рис. 3

1.6 -I

Рис. 4

Это может означать в силу неизбежных ошибок в определении исходных экспериментальных данных т, что любую пару значений а и k, а именно: а из указанного интервала и соответствующую ему согласно (4) величину k, можно принять за искомые. Для иллюстрации этого на рис. 5 приведены исходные данные (точки) и функции (1) при: 1 - а=10, k=8.07' 10-4; 2 - а=15, k=3.07' 10-4; 3 - а=20, k=1.53' 10-4. Из рисунка можно заключить, что, вообще говоря, нет веских оснований для предпочтения того или иного варианта и, следовательно, величину а следует определять из отдельного независимого эксперимента. Тогда величина k найдется в соответствии с изложенным подходом.

В качестве альтернативы для ряда (1) рассмотрим степенную функцию вида

g(0 = Ата, (5)

которая в двойных логарифмических координатах изображается прямой линией, у которой угол наклона определяется величиной а, а сдвиг по оси ординат - величиной А.

q, мл/г 10

1

0.1

1 10 100 1000 t, С

Рис. 5

При этом отметим, что в пределах 10-4<т<10-1 зависимость 8 е (г), получаемая из (1) также является практически прямолинейной, что видно из рисунка 6 (сплошная линия). В связи с этим она может быть аппроксимирована на этом интервале функцией вида

(5).

Наилучшая аппроксимация на всем указанном интервале приводит к следующим значениям параметров: а = 0.478, А = 0.943. Отметим, что при сужении интервала аппроксимации значения этих параметров несколько изменяются. Так для интервала 10" 3<т<10"2 они равны а = 0.491, А = 1.006, а для интервала 10-2<т<10-1

- а = 0.470, А = 0.920. Такого рода вариации могут иметь значение при обработке реальных экспериментальных данных.

Более детальный анализ ряда (1) показывает, что угол наклона касательной к графику 2 на рис. 6 изменяется в соответствии с рис. 7, который подтверждает сделанные оценки.

Рис. 6

10 10 10 10 10 10 10

т

X

Таким образом, для фиксированных интервалов изменения т будем иметь при соответствующих значениях параметров а и А

8е (г) = =* Ага

Q0 - Qk

или, переходя к реальному времени ?,

Q" - Q(<) =

Q ° - (/

Ї

V У

(6)

(7)

где ї0 = -

1 R2

~ „2п — л и

в рамках рассмотренной диффузионной модели

Аа

кинетики десорбции.

Параметр О входящий в соотношения (7), может быть определен экспериментальным путем по кривым выхода газа из угля. Тем самым (7) может составлять альтернативную диффузионной макроскопическую модель, описывающую кинетику десорбции.

Отметим, что «область прямолинейности» графика 2 охватывает три порядка по величине т - от 10-4 до 10-1. При заданном значении k это же относится и к интервалу времени V. для k=10"3 ,будет 0.1<>100с; /=10-4 - 1<>1000с; /=10-5 - 10<>10000 с.

В тоже время для проведенных экспериментов характерный интервал времени - 10<>1200 с, который составляет примерно два порядка. А это означает, что, если неизвестно количество газа, сорбированного углём при его насыщении перед экспериментом (или величина а), то нормировки графика на рис. 1 по ^ и q с целью привести его к безразмерному виду типа рис. 6, будут неоднозначными. Это подтверждают проведенные выше оценки и рис. 6.

Если же константа сорбции а известна, то тем самым определяется и доля вышедшего в ходе эксперимента газа. Тогда нормировка графика 1 по ^ будет однозначной, что приведет к конкретному значению /.

Таким образом, можно полагать, что доля вышедшего из угля газа в результате десорбции определяется сравнительно простым соотношением (7) (вместо ряда(1)), а величины ^0 и а являются параметрами кинетики десорбции.

Г0

Шахта <0.075 0.125- 0.14- 0.16- 0.16- 0.35- 0.5- 1.0-

0.14 0.16 0.18 0.35 0.5 0.7 1.5

а

Орд- жони- кидзе 10.9ат 39.8 35.6 10.8 10.8 11.6 11.1 10.0 10.6

Бажа- нова 11.3 10.9 10.9 11.0 10.6

Добро- поль- ская 10.75 15.5 20.75 25.5 31 10.5 10.7 15.9 20.6 25.8 30.6 10.9

21-бис 11.0 10.9 11.0 10.6 10.7 10.8

Обратимся к экспериментальным данным, полученным в лабораторных экспериментах по определению кинетики газоотдачи для различных углей Донбасса [5]. В таблице для каждого из исследованных углей указаны фракции, для которых определялось газовыделение и давления насыщения метаном р0. Сопоставление полученных данных для углей различной степени метаморфизма, их фракций, при разных давлениях насыщения позволяют определить характер зависимостей кинетических параметров от указанных величин.

Рассмотрим некоторые результаты, относящиеся к углю шахты Добропольской и фракции 0.14-0.16 мм, для которой была проведена серия экспериментов при нескольких давлениях насыщения (10.7, 15.9, 20.6, 25.8, 30.6 ат). Результаты приведены на рис. 8, где точками показаны экспериментальные данные по выходу газа из угля в зависимости от времени. Очевидно, что чем выше было давление насыщения, тем большее количество газа сорбировано углем и тем выше располагается соответствующая кривая.

За время проведения эксперимента (20мин, а в отдельных случаях - 30) скорость выхода газа постепенно падает, однако газ на данном временном интервале не полностью выходит из навески угля, что не позволяет определить его начальное количество, сорбированное углем.

Отметим, что экспериментальные точки, соответствующие временам >1200 с практически для всех давлений р0, кроме 10.7 ат, не попадают на соответствующие аппроксимирующие

Рис. 8

кривые и лежат ниже их. Это связано с тем, что функции вида (7) являются неограниченно возрастающими при ^<х>. В тоже время количество газа, которое содержится в угле и может из него выйти в процессе десорбции, ограничено его сорбционной емкостью. Т.е. соответствующая реальная зависимость q от t должна иметь горизонтальную асимптоту. В связи с этим функции (7) могут достаточно хорошо описывать процесс выхода газа только до времен —1000 с, при чем тем точней, чем меньше р0.

Можно констатировать, что по полученным данным невозможно достаточно точно определить количество сорбированного углем газа в каждом представленном случае.

На том же рис. 8 показаны кривые вида

V to

(Р=1мл/г)

(8)

аппроксимирующие экспериментальные данные. При этом параметр ^ зависит от давления насыщения р0, т.е. to=t0(po).

*0- с

100 —|

о

20 —

0------

0

Рис. 9

30 Но1

Ро« ат

10

Эта зависимость является характерной для данной фракции угля. Соответствующая аппроксимирующая функция

to = 1850р-1-27. (9)

В данном конкретном случае она имеет вид, показанный на рисунке 9.

Таким образом, для аппроксимирующей функции (8) с учетом (9) получим

( , V

q = 0--------—— . (10)

11850 р-1-27 J

При этом время выражено в секундах, давление в атмосферах, а расход газа в мл/г.

Эти же зависимости в логарифмических координатах примут вид прямых линий, показанных на рис. 10. При этом, чем больше величина О тем ниже располагается соответствующая прямая при мало отличающихся величинах а.

Рис. 10

Безразмерный показатель степени а характеризует наклон прямых и варьируется, исходя из экспериментальных данных, в пределах от 0.35 до 0.45.

Параметр t0 зависит от величины давления р0 и, тем самым, от количества сорбированного газа. Если считать, что справедлива связь Q и р в виде изотермы сорбции аЬр

(о = 1850

-1.27

Q =-, А ’ 1 + Ьр

то для Q0 получим неявное соотношение

" Qо "

_ ь(а - <Зо)_

которое может быть разрешено относительно Q0

аЬ аЬ

(20 =-

ь +

1850

0787 Ь + 0.00268 ^787

(11)

(12)

0

Однако определить величину Q0 не представляется возможным, поскольку, как правило, неизвестны значения параметров сорбции а и b. Если же они известны из независимых экспериментов, то величина Q0 легко определяется.

Поскольку опыты по кинетике десорбции при разных давлениях насыщения от 10.7 до 30.6ат проводились для одной и той же навески угля, то во всех этих случаях параметры a и b естественно считать постоянными и не зависящими от давления газа p.

--------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кузнецов С.В., Трофимов В.А. Газодинамика угольного пласта. Часть 1. Математическое описание кинетики десорбции//ФТПРПИ. - 2009. - 1.

2. Кузнецов С.В., Трофимов В.А. Газодинамика угольного пласта. Численный алгоритм, частные и приближенные решения. Неделя горняка-2008. - М.: МГГУ, 2008.

3. Кузнецов С.В., Бобин В.А. К вопросу о кинетике десорбции при газодинамических явлениях в угольных шахтах//ФТПРПИ. - 1980. - 1.

4. Яновская М.Ф. О скорости десорбции метана из разрушенного угля. Проблемы рудничной аэрологии. М.: Гос. науч.-тех. изд. литер. по горному делу, 1959.

5. Заглущенко Н.Ю. Автореферат дисс. «Разработка метода оценки выбро-

соопасности угольных пластов на основе анализа параметров кинетики десорбции метана из угля» на соискание уч. степени канд. техн. наук. М.: ИПКОН АН СССР, 1989. ВШЭ ' '

Kuznetsov S. V., Trofimov V.A

COAL LAYER GAS DYNAMICS. EXPERIMENTAL DEFINITION OF DIFFUSION PARAMETER OF METHANE FROM COAL DESORPTION KINETICS.

The method of a finding of the parameters determining adsorptions kinetic of methane from coal, based on approximation of experimental data with use of algorithm of "casual search» is considered. The example of processing and the analysis of experimental data are resulted.

Key words: desorption of methane, gas emission from a coal seam, sorbed by

coal.

— Коротко об авторах ----------------------------

Кузнецов С.В. - гл. научный сотрудник, доктор технических наук, Трофимов В.А. - вед. научный сотрудник, доктор технических наук, УРАН Институт проблем комплексного освоения недр РАН, e-mail: [email protected].